தளத்தில் கிடைமட்டம் அல்லாத நேர்கோட்டுத் தொகுப்புகளின் சமன்பாடு ax+by = 1,\(a\neq 0\) \(\delta \ b\in R\) .
கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு ax+by=1 ...(1)
சமன்பாடு (1)ஐ 'y'ஐப் பொறுத்து வகைப்படுத்த நாம் பெறுவது
\(a\cfrac { dx }{ dy } +b=0\) 
[ஃ 2 தனித்த மாறிலிகள்,
ஃ இருமுறை தொடர்ச்சியாக வகைப்படுத்த]
மீண்டும் வகைப்படுத்த நாம் பெறுவது
\(a\cfrac { { d }^{ 2 }x }{ { dy }^{ 2 } } =0\) 
[\(\because \) 2 தனித்த மாறிலிகள்,
ஃ இருமுறை தொடர்ச்சியாக வகைப்படுத்த]
மீண்டும் வகைப்படுத்த நாம் பெறுவது 
\(a\cfrac { { d }^{ 2 }x }{ { dy }^{ 2 } } =0\) 
\(\cfrac { { d }^{ 2 }x }{ { dy }^{ 2 } } =0\) என்பது தேவையான வகைக்கெழுச் சமன்பாடு.

\(\int _{ -1 }^{ 1 }{ \cfrac { dx }{ { x }^{ 2 }+2x+5 } =\int _{ -1 }^{ 1 }{ \cfrac { dx }{ \left( x+1 \right) ^{ 2 }+4 } } } \) 
= \(\cfrac { 1 }{ 2 } \left[ tan^{ -1 }\cfrac { x+1 }{ 2 } \right] _{ -1 }^{ 1 }\) 
= \(\cfrac { 1 }{ 2 } \left[ { tan }^{ -1 }-{ tan }^{ -1 }0 \right] \) 
= \(\cfrac { 1 }{ 2 } \times \cfrac { \pi }{ 4 } =\cfrac { \pi }{ 8 } \)

வட்டம் இரு அச்சுகளையும் தொட்டுச் செல்வதால் அச்சுகளிலிருந்து வட்டத்தின் மையத்திற்கு உள்ள தூரம் 3 அலகுகள். எனவே மையம் (±3, ±3)ஆக இருக்கும். அதனால் ஆரம் 3 உடைய நான்கு வட்டங்களின் சமன்பாடுகள் x² + y², ±6x, ±6y + 9 = 0 ஆகும்.

\(7\le \left|z +6-8i \right| \le 13\) எனக் கொடுக்கப்பட்டது 
\(\left| z+6-8i \right| \le \left| z \right| +\left| 6-8i \right| \) [முக்கோணச் சமனிலி]
\(\le 3\sqrt { { 6 }^{ 2 }+{ (-8) }^{ 2 } } \le 3+\sqrt { 36+64 } \le 3\sqrt { 1w } \)
\(\left| z+6-8i \right| \le 3+10\le 13\) ...(1)
மேலும் \(\left| z+6-8i \right| \ge \left| z \right| -\left| 6-8i \right| \ge \left| 3\sqrt { { 6 }^{ 2 }+{ (-8) }^{ 2 } } \right| \)
\(\ge \left| 3-\sqrt { 36+84 } \right| \ge \left| 3-10 \right| \ge \left| -7 \right| \ge 7\) ...(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து கிடைப்பது,
\(7\le \left| z+6-8i \right| \le 13\) எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

சாய்சதுரம் ABCD-ல்,
AB = BC = DC = AD .......(1)
மேலும், AB || DC,
\( \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{D C}=\vec{a}\) (என்க)
BC || AD,
\(\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A D}=\vec{b}\) (என்க)
(1)ஐப் பயன்படுத்த, நமக்கு கிடைப்பது
\(|\vec{a}|=|\vec{b}|\)                ...... (2)
\(\triangle \mathrm{ABC}\) - ல்,
\(\overrightarrow{A C}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}=\vec{a}+\vec{b} \)    ....(3)
\(\triangle A B D\) - ல்,
\( \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B D}=\overrightarrow{A D} \Rightarrow \overrightarrow{B D}=\overrightarrow{A D}-\overrightarrow{A B}=\bar{b}-\vec{a} \\ \overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{B D} =(\vec{a}+\vec{b}) \cdot(\vec{b}-\vec{a}) \\ =(\vec{b}+\vec{a}) \cdot(\vec{b}-\vec{a}) \\ =|\vec{b}|^2-|\vec{a}|^2=0(\because|\vec{a}|=|\vec{b}|) \\ \overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{B D} =0 \Rightarrow \overrightarrow{A C} \perp \overrightarrow{B D} \)
எனவே நிறுவப்பட்டது.

மெய்மை அட்டவணையிலிருந்து  \(\neg(p \leftrightarrow q) \equiv p \leftrightarrow \neg q\) என்பது தெளிவு.

\(f(x)=\cfrac { 1 }{ 2 } \left( { e }^{ x }-{ e }^{ -x } \right) \) 
\(f'\left( x \right) =\cfrac { 1 }{ 2 } \left( { e }^{ x }+{ e }^{ -x } \right) \) 
\(f''\left( x \right) =\cfrac { 1 }{ 2 } \left( { e }^{ x }-{ e }^{ -x } \right) \) 
\(f''\left( x \right) =0\Rightarrow \cfrac { 1 }{ 2 } \left( { e }^{ x }-{ e }^{ -x } \right) =0\) 
தேக்கநிலைப் புள்ளி x=0
\(\therefore \) இடைவெளிகள் \(\left( -\infty ,0 \right) \) மற்றும் \(\\ \left( 0,\infty \right) \) 
இடைவெளி \(\left( 0,\infty \right) \) ல்,\(f''\left( x \right) <0\)  வளைவரை மேல்நோக்கி குழிவானது.
வளைவரை \(\left( 0,\infty \right) \) ல் மேல்நோக்கி குழிவாகவும் \(\left( -\infty ,0 \right) \) ல் கீழ்நோக்கி குழிவாகவும் உள்ளது.
x=0 ஐக் கடக்கும்போது,\( f''\left( x \right) \) ன் குறி மாறுகிறது.
இப்போது \(f(0)=\cfrac { 1 }{ 2 } \left( { e }^{ 0 }-{ e }^{ 0 } \right) =\cfrac { 1 }{ 2 } \left( 1-1 \right) =0\) வளைவு மாற்றப் புள்ளி (0, 0)

\((1+{ x }^{ 2 })\frac { dy }{ dx } =1+{ y }^{ 2 }\) ...(1)
கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டின் மாறிகளைப் பிரித்து
\(\frac { dy }{ { 1+y }^{ 2 } } =\frac { dx }{ { 1+x }^{ x } } \) ...(2)
என எழுதலாம்.
சமன்பாடு (2)-ன் இருபக்கமும் தொகையிடக் கிடைப்பது tan^-1 y = tan^-1 x + C. ...( 3)
ஆனால் tan^-1 y - tan^-1 x = tan^-1 \(\left( \frac { y-x }{ 1+xy } \right) \) ...(4)
சமன்பாடு (4)ஐ (3)-ல் பயன்படுத்தக் கிடைப்பது
tan^-1 \(\left( \frac { y-x }{ 1+xy } \right)\) = C ⇒ \(\frac { y-x }{ 1+xy } \) = tan C = a (என்க).
ஆகவே , y − x = a(1+ xy) . இதுவே தேவையான தீர்வு ஆகும்.

வெள்ளை மற்றும் சிவப்பு பந்துகளை , w₁ w₂, r₁, r₂ மற்றும் r₃ எனக் குறிப்பிடுவோம்.
கூறுவெளியில் 5c₃ = 10 வெவ்வேறு 3 எண்ணிக்கை அளவுள்ள கூறுகள் உள்ளன.
அதாவது S = {w₁w₂r₁, w₁w₂r₂, w₁w₂r₃, w₁r₁r₂, w₁r₂r₃, w₁r₁r₃, w₂r₁r₂, w₂r₂r₃, w₂r₁r₃, r₁r₂r₃,} ஆகும்.
சமவாய்ப்பு மாறி X எடுக்கும் மதிப்புகள் 1, 2, மற்றும் 3 ஆகும்

 

இங்கு ,\(a=1,b=1.5,n=5,f(x)=x\) 
எனவே,ஒவ்வொரு பகுதி இடைவெளியின் அகலம் 
\(h=\Delta x=\cfrac { b-a }{ n } =\cfrac { 1.5-1 }{ 5 } =0.1\) 
இடைவெளியின் துண்டுகளைத் தரும் புள்ளிகள் 
\({ x }_{ 0 }=1\) 
\({ x }_{ 1 }={ x }_{ 0 }+h=1+0.1=1.1\) 
\({ x }_{ 2 }={ x }_{ 1 }+h=1.1+0.1=1.2\) 
\({ x }_{ 3 }={ x }_{ 2 }+h=1.2+0.1=1.3\) 
\({ x }_{ 4 }={ x }_{ 3 }+h=1.3+0.1=1.4\) 
\({ x }_{ 5 }={ x }_{ 4 }+h=1.4+0.1=1.5\) 
சம அளவு \(\Delta x\)  கொண்ட ரீமன் கூட்டலுக்கான இடது-முனை விதியானது.
\(S=\left[ f\left( { x }_{ 0 } \right) +f\left( { x }_{ 1 } \right) +...+f\left( { x }_{ n-1 } \right) \right] \Delta x\) 
\(\therefore S=\left[ f(1)+f(1.1)+f(1.2)+f(1.3)+f(1.4)(0.1) \right] \) 
= \(\left( 1+1.1+1.2+1.3+1.4 \right) \times 0.1\) 
S = 0.6

LHS = (z₁ + z₂) z₃
= (3 - 7i)(5 + 4i)
= 15 + 12i - 35i - 28i²
= 15 - 23i + 28 = 43 - 23i
RHS = z₁ z₃ + z₂ z₃
3 (5 + 4i) + (-7i) (5 + 4i)
15 + 12i - 35i - 28i²
= 15 - 23i + 28 = 43 - 23i
LHS = RHS
∴ (z₁ + z₂) z₃ = z₁ z₃ +z₂ z₃

\({ \cot }^{ -1 }x-{ \cot }^{ -1 }\left( x+2 \right) =\frac { \pi }{ 12 } ,x>0\)
\({ \tan }^{ -1 }\left( \frac { 1 }{ x } \right) -{ \tan }^{ -1 }\left( \frac { 1 }{ x+2 } \right) =\frac { \pi }{ 12 } \)
[∵ cot^-1 (x) = tan^-1 \(\left( \frac { 1 }{ x } \right) \) எனில் x > 0]
\(\Rightarrow { \tan }^{ -1 }\left( \frac { \frac { 1 }{ x } -\frac { 1 }{ x+2 } }{ 1+\frac { 1 }{ x } .\frac { 1 }{ x+2 } } \right) =\frac { \pi }{ 12 } \)
\(\Rightarrow \left( \frac { \frac { x+2-x }{ x(x+2) } }{ \frac { x(x+2)+1 }{ x(x+2) } } \right) =\tan{ 15 }^{ o }\)

\(\Rightarrow\frac { 2 }{ { x }^{ 2 }+2x+1 } =\frac { { \left( \sqrt { 3 } -1 \right) }^{ 2 } }{ 2 } \)
\(\Rightarrow \frac { 2 }{ { (x+1) }^{ 2 } } =\frac { { \left( \sqrt { 3 } -1 \right) }^{ 2 } }{ 2 } \)
⇒ 4 = (x+1)² \({ \left( \sqrt { 3 } -1 \right) }^{ 2 }\)
இருபுறமும் வர்க்க மூலம் எடுக்க கிடைப்பது 
2 = (x + 1) \(\left( \sqrt { 3 } -1 \right) \)
\(\Rightarrow x+1=\frac { 2 }{ \sqrt { 3 } -1 } \times \frac { \sqrt { 3 } +1 }{ \sqrt { 3 } +1 } =\frac { 2\left( \sqrt { 3 } +1 \right) }{ 3-1 } =\sqrt { 3 } +1\)
x + 1 = \(\sqrt { 3 } \) + 1 = x = \(\sqrt { 3 } \)
x = \(\sqrt { 3 } \) என்பது தீர்வாகும்.

\(\cos\left( { \sin }^{ -1 }\left( \frac { 4 }{ 5 } \right) -{ \tan }^{ -1 }\left( \frac { 3 }{ 4 } \right) \right) \)
sin^-1 \(\left( \frac { 4 }{ 5 } \right) \) = x என்க.
\( \frac { 4 }{ 5 } \) = sin x 

∴ cos x = \(\frac { adj }{ hyp } =\frac { 3 }{ 5 } \)
tan^-1 \(\left( \frac { 3 }{ 4 } \right) \) = y என்க.
⇒ tan y = \(\frac { 3 }{ 4 } \)

⇒ sin y = \(\frac { opp }{ hyp } =\frac { 3 }{ 5 } \) மற்றும் cos y = \(\frac { adj }{ hyp } =\frac { 4 }{ 5 } \)
∴ cos \(\left( { \sin }^{ -1 }\left( \frac { 4 }{ 5 } \right) -{ \tan }^{ -1 }\left( \frac { 3 }{ 4 } \right) \right) \)
= cos (x - y) = cos x cos y + sin x sin y
= \(\frac { 3 }{ 5 } .\frac { 4 }{ 5 } +\frac { 4 }{ 5 } .\frac { 3 }{ 5 } =\frac { 12 }{ 25 } +\frac { 12 }{ 25 } =\frac { 24 }{ 25 } =\frac { 24 }{ 25 } \)

மூலங்கள் இசைத் தொடர்முறையில் உள்ளன என்க. எனவே அவற்றின் பெருக்கல் தலைகீழிகள் கூட்டுத் தொடர் முறையில் இருக்கும். மேலும்
\(\left( \frac { 1 }{ x } \right) ^{ 3 }+p\left( \frac { 1 }{ x } \right) ^{ 2 }+q\left( \frac { 1 }{ x } \right) \)+r=0 ⇔ rx³+qx²+px+1=0            .....(1)
(1) –ன் மூலங்கள் கூட்டுத்தொடர் முறையில் இருப்பதால் அவற்றினை a-d, a,a+d என்க.வியட்டாவின் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்த
Σ₁=(α-d)+α+(α+d) =\(-\frac { q }{ r } \Rightarrow 3\alpha =-\frac { q }{ r } \Rightarrow \alpha =-\frac { q }{ 3r } \)
ஆனால் (1)-ன் மூலம் α என்பதால்,
\(r\left( -\frac { q }{ 3r } \right) ^{ 3 }+q\left( -\frac { q }{ 3r } \right) ^{ 2 }+p\left( -\frac { q }{ 3r } \right) \)+1=0 ⇒ -q³+3q³-9pqr+27r²=0 ⇒ 9pqr =2q³+27r².

குவியங்களின் நடுப்புள்ளி மையம் C(0, 0)
குறுக்கச்சு y-அச்சு
AA′ = 2a \(\Rightarrow \) 2a = 8,
SS′ = 2c = 12, c = 6
a = 4
b² = c²- a² = 36 - 16 = 20.
எனவே தேவையான அதிபரவளையத்தின் சமன்பாடு \(\frac { { y }^{ 2 } }{ 16 } -\frac { { x }^{ 2 } }{ 20 } =1\)

கொடுக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாட்டின் மூலங்கள் α மற்றும் β என்பதால் α+β=\(\frac { 7 }{ 2 } \) மற்றும் αβ=\(\frac { 13 }{ 2 } \) ஆகும்.
எனவே, தேவையான இருபடிச் சமன்பாட்டை பெற,
மூலங்களின் கூடுதல் =α²+β² =(α+β)² -2αβ=\(\frac { -3 }{ 4 } \)
மூலங்களின் பெருக்கல்=α²β² =(αβ)²=\(\frac { 169 }{ 4 } \)
எனவே, தேவையான இருபடிச் சமன்பாடு \({ x }^{ 2 }+\frac { 3 }{ 4 } x+\frac { 169 }{ 4 } \)=0 எனக் கிடைக்கிறது.
4x²+3x+169=0
இதுவே α² மற்றும் β² ஆகியவற்றை மூலங்களாகக் கொண்ட இருபடிச் சமன்பாடாகும்.

\({ \sin }^{ -1 }\left( \cos\left( { \sin }^{ -1 }\left( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \right) \right) \right) \)
sin^-1 \(\left( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \right) \) = x என்க.
⇒ \(\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \) = sin x ⇒ sin x = sin \(\frac { \pi }{ 3 } \)
[∵ \(\frac { \pi }{ 3 } \) ∈ \(\left[ \frac { -\pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 2 } \right] \)]
⇒ x = \(\frac { \pi }{ 3 } \)
∴ sin^-1 \(\left( \cos\left( { \sin }^{ -1 }\left( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \right) \right) \right) \) = sin^-1 \(\left( \cos\left( \frac { \pi }{ 3 } \right) \right) \)
= sin^-1 \(\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) \)
sin^-1 \(\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) \) = y ⇒ \(\frac { 1 }{ 2 } \) = siny என்க.
⇒ sin \(\frac { \pi }{ 6 } \) = sin y = y = \(\frac { \pi }{ 6 } \) 
[∵ \(\frac { \pi }{ 6 } \) ∈ \(\left[ \frac { -\pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 2 } \right] \)]
∴ sin^-1 \(\left( \cos\left( { \sin }^{ -1 }\left( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \right) \right) \right) =\frac { \pi }{ 6 } \)

(i) \(\left( \vec { a } \times \vec { b } \right) =\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 1 & -2 & 3 \\ 2 & 1 & -2 \end{matrix} \right| \) 
= \(\hat { i } \left| \begin{matrix} -2 & 3 \\ 1 & -2 \end{matrix} \right| -\hat { j } \left| \begin{matrix} 1 & 3 \\ 2 & -2 \end{matrix} \right| +\hat { k } \left| \begin{matrix} 1 & -2 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right| \) 
= \(\hat { i } \left( 1-3 \right) -\hat { j } \left( -2-6 \right) +\hat { k } \left( 1+4 \right) \) 
= \(\hat { i } +8\hat { j } +5\hat { k } \) 
\(\therefore \left( \vec { a } \times \vec { b } \right) =\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 1 & 8 & 5 \\ 3 & 2 & 1 \end{matrix} \right| \) 
= \(\hat { i } \left| \begin{matrix} 8 & 5 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right| -\hat { i } \left| \begin{matrix} 1 & 5 \\ 3 & 1 \end{matrix} \right| +\hat { k } \left| \begin{matrix} 1 & 8 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right| \) 
= \(\hat { i } \left( 8-10 \right) -\hat { j } \left( 1-15 \right) +\hat { k } \left( 2-24 \right) \) 
= \(-2\hat { i } +14\hat { j } -22\hat { k } \)
(ii) \(\vec { a } \times \left( \vec { b } \times \vec { c } \right)\)
\(\vec { b } \times \vec { c } =\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 2 & 1 & -2 \\ 3 & 2 & 1 \end{matrix} \right| \) 
\(\hat { i } \left| \begin{matrix} -2 & -3 \\ -8 & 1 \end{matrix} \right| -\hat { j } \left| \begin{matrix} 1 & 3 \\ 5 & 1 \end{matrix} \right| +\hat { k } \left| \begin{matrix} 1 & -2 \\ 5 & -8 \end{matrix} \right| \) 
\(= 22\hat { i } +14\hat { j } +2\hat { k } \)

கொடுக்கப்பட்டது : z₁ = 3, z₂ = -7i, z₃ = 5 + 4i
z₂ z₃ = -7i + 5 + 4i = 5 - 3i
z₁ (z₂ z₃) = 3(5 - 3i) = 15 - 9i  ...(1)
z₁ z₂ = 3(-7i) = -21i 
z₁ z₂ + z₁ z₃ = -21i + 15 + 12i 
= 15 - 9i  ...(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து
∴ (z₁ + z₂) z₃ = z₁ z₃ + z₂ z₃ எனவே நிறுவப்பட்டது.

|adj(A)| = \(\left| \begin{matrix} 7 & 7 & -7 \\ -1 & 11 & 7 \\ 11 & 5 & 7 \end{matrix} \right| \)=7(77-35)-7(-7-77)-7(-5-121) = 1764 > 0
எனவே
A =  \(\pm \frac { 1 }{ \sqrt { |adjA| } } adj(adjA)=\pm \frac { 1 }{ \sqrt { 1764 } } \left[ \begin{matrix} +(77-35) & -(-7-77) & +(-5-121) \\ -(49+35) & +(49+77) & -(35-77) \\ +(49+77) & -(49-7) & +(77+7) \end{matrix} \right] ^{ T }\)
\(=\pm \frac { 1 }{ 42 } \left[ \begin{matrix} 42 & 84 & -126 \\ -84 & 126 & 42 \\ 126 & -42 & 84 \end{matrix} \right] ^{ T }=\pm \left[ \begin{matrix} 1 & -2 & 3 \\ 2 & 3 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \end{matrix} \right] \).

வட்டவடிவத் தகட்டின் பரப்பு \(A={ \pi r }^{ 2 }\) 
= \(\pi \times 10.5\times 10.5\) 
= \(110.25\pi \)
\(dA=2\pi rdr\) 
= \(2\pi \times 10.5\times 0.25\) 
= \(5.25\pi \) 
பரப்பில் ஏற்படும் சதவீத அதிகரிப்பு 
= \(\cfrac { dA }{ A } \times 100\) 
= \(\cfrac { 5.25\pi }{ 110.25\pi } \times 100\) 
= \(0.04761\times 100\) 
= 4.76%

r ஆரமுடைய தட்டின் பரப்பிற்கான சார்பு A(r) ஆகும்.
A(r) = \(\pi\)r² \(\Rightarrow\) A'(r) = 2\(\pi\)r
கொடுக்கப்பட்டது:
ஆரத்தின் மெய் மதிப்பு (r₀) = 12.5 செ.மீ மற்றும்
அளவிடப்பட்ட ஆரம் (r) = 12.65 செ.மீ
(அ) பரப்பில் ஏற்படும் மாற்றம்:
= A (12.65) - A (12.5)
= \(\pi\) \(\times\) 12.65² -  \(\pi\) \(\times\) 12.5² = \(\pi\) (12.65² - 12.5²)
= \(\pi\) (12.65 + 12.5) (12.65 - 12.5)
= \(\pi\) \(\times\) 25.15 \(\times\) 0.15 = 3.7725 \(\pi\) செ.மீ²
(ஆ) நேரியல் தோராய மதிப்பின் படி, பரப்பில் ஏற்படும் துல்லியமான மாற்றம்
= A'(r). \(\Delta\)r, இங்கு r = r₀ (12.5 செ.மீ)
= A'(r₀).(r - r₀)
= 2\(\pi\) \(\times\) 12.5 \(\times\) (12.65 - 12.5) = 25\(\pi\) \(\times\) 0.15
= 3.75 \(\pi\) செ.மீ²
(i) தனிப்பிழை = மெய்மதிப்பு - தோராய மதிப்பு
= 3.7725 \(\pi\) - 3.75 \(\pi\)
= 0.0225 \(\pi\) செ.மீ²
(ii) 
\(=\frac{3.7725\pi-3.75\pi }{3.7725\pi }\)
\(=\frac{0.0225 \pi }{3.7725 \pi }=\frac{225}{37725}=\frac{3}{503}\)
= 0.00596 = 0.006 செ.மீ²
(iii) சதவீதப்பிழை = சார்பிழை \(\times\) 100
= 0.006 \(\times\) 100 = 0.6 %

(i) (a*b) = a^b ∈ℕ,∀a,b∈ℕ என்பது உண்மை. எனவே ℕ ஆனது ∗ –ன் கீழ் அடைவு பெற்றுள்ளது.
(ii) a = 2 , b = 3 ஆகிய மதிப்புகளை a*b=a^b மற்றும் b*a=b^a ஆகியவைகளில் பிரதியிட,
a*b=2³ = 8 ஆனால் b*a=3²=9 ⇒ a*b≠b*a
எனவே ∗ ஆனது பரிமாற்றுப் பண்பை நிறைவு செய்யாது.
(iii) a*(b*c) = a*(b^c) \({ a }^{ ({ b }^{ c }) }\)  எனக் கொள்க.
இதில் a=2,b=3 மற்றும் c = 4 எனப் பிரதியிடக் கிடைப்பது
a*(b*c)=2*(3*4)=\({ 2 }^{ ({3 }^{ 4 }) }\)=2⁸¹
ஆனால் (a*b)*c=(a^b)*c=(a^b)^c=c=a^(bc)=a^bc=2¹²
a*(b*c)≠(a*b)*c
எனவே, ∗ ஆனது சேர்ப்புப் பண்பை நிறைவு செய்யாது.
குறிப்பு
இந்த ஈருறுப்பு செயலிக்கு சமனியும் எதிர்மறையும் இல்லை. (காரணத்துடன் விளக்குக)

செவ்வகலத்தின் சமன்பாடு x = a  ஆகும்.  இச்செவ்வகலம் பரவளையத்தை L(a,2a)  மற்றும்   L₁(a,-2a)  என்ற புள்ளிகளில் வெட்டுகிறது. தேவையான பரப்பு படம் ல் நிழலிடப்பட்டுள்ளது.
பரவளையம் சமச்சீராக இருப்பதால் தேவையான பரப்பு  A  ஆனது y = 2 \(\sqrt a \sqrt x\)  என்ற பரவளையத்தின் பகுதி x -  அச்சு, x = 0 மற்றும் x = a  ஆகியவற்றால் அடைபடும் பரப்பைப் போல் இரு மடங்காகும்.
எனவே செங்குத்தான பட்டைகளைப் பயன்படுத்தி  பரப்பு காண நமக்குக் கிடைப்பது

A = 2 \(\int ^{a}_{0} y dx = 2 \int ^{a}_{0} 2\sqrt {a} \sqrt{ x} dx \) =  \(4\sqrt {a} [\frac {2}{3} x ^ {\frac {3}{2}}]^{a}_{0}\)
 = 4 \(\sqrt{a} \times \frac {2}{3} a^{\frac {3}{2}} = \frac {8a^2}{3}\) .

(i) f(x)-ன் தொடர்ச்சி புள்ளிகளில் x-ஐப் பொறுத்து F(x)-ஐ வகையிட
 எனப் பெறுகிறோம்.
f(x) எனும் நிகழ்தகவு அடர்த்தி சார்பு x = 0 -ல், அல்லது x =1-ல் தொடர்ச்சியற்று உள்ளது. f(0) மற்றும் f(1)-ஐ எவ்வகையிலும் வரையறுக்கலாம். f(0) =1, மற்றும் f(1) =0 எனத் தெரிவு செய்வோம் .
எனவே f(x) எனும் நிகழ்தகவு அடர்த்தி சார்பு

(ii) P(0.2 ≤ X ≤ 0.7) = F(0.7) − F(0.2)
= 0.7 − 0.2 = 0.5 அல்லது P(0.2 ≤ X ≤ 0.7) = \(\int_{0.2}^{0.7}{f(x)dx}=\int_{0.2}^{0.7}{1dx}=0.5\)

கொடுக்கப்பட்டது: f(x) க்கு, \(f'(x)\le 1,\) எல்லா \(1\le x\le 4\) க்கும்
\(\therefore\) a=1,b=4
லெக்ராஞ்சியின் சராசரி மதிப்புத் தேற்றத்தின்படி 
 \(f(b)-f(a)\le f'\left( c \right) \left( b-a \right) \) 
\(f(4)-f(1)\le 1(4-1)\) 
\(f(4)-f(1)\le 3\) 
எனவே நிறுவப்பட்டது.

\(y={ x }^{ 3 }-6{ x }^{ 2 }+x+3\) 
'x' ஐப் பொறுத்து வகைப்படுத்த 
தொடுகோட்டின் சாய்வு \(\cfrac { dy }{ dx } ={ 3x }^{ 2 }12x+1\) 
செங்கோட்டின் சாய்வு = \(\cfrac { 1 }{ { 3x }^{ 2 }-12x+1 } \) 
கொடுக்கப்பட்ட கோடு  x+y=1729
கோட்டின் சாய்வு = -1
செங்கோடும்,கோடும் இணை என்பதால் அவற்றின் சாய்வுகள் சமம்.
\(\therefore -\cfrac { 1 }{ { 3x }^{ 2 }-12x+1 } =-1\) 
\({ 3x }^{ 2 }-12x+1=1\) 
\({ 3x }^{ 2 }-12x=0\) 
\(3x(x-4)=0\) 
x = 0, 4
x = 0 எனும்போது, \(y=(0)^{ 3 }-6(0)^{ 2 }+0+3=3\) 
x = 4 எனும்போது \(y=\left( 4 \right) ^{ 3 }-6(4)^{ 2 }+4+3\) 
= 64 - 96 + 4 + 3 = - 25
\(\therefore\) வளைவரையின் மீதுள்ள புள்ளிகள் (0, 3) மற்றும் (4, -25).

கெழுக்களின் கூடுதல் =1+3-3-1=0
⇒ x=1 என்பது ஒரு மூலம்
⇒ (x-1) ஒரு காரணி

[தொகுமுறை வகுத்தலை பயன்படுத்தி]
∴ x=1, -1 மூலங்கள் மற்றும் மீதியுள்ள காரணி x²+3x+1]
⇒ x=\(\frac { -3\pm \sqrt { 9-4(1)(1) } }{ 2 } \)
⇒ x=\(\frac { -3\pm \sqrt { 5 } }{ 2 } \)
∴ மூலங்கள் 1,-1, \(\frac { -3\pm \sqrt { 15 } }{ 2 } ,\frac { -3\pm \sqrt { 15 } }{ 2 } \).

கொடுக்கப்பட்ட தளங்களின் சமன்பாடு 
\(\vec { r } .\left( 2\hat { i } -7\hat { j } +4\hat { k } \right) =3\) மற்றும் 3x - 5y + 4z + 11 = 0
தளங்களின் வெட்டுக்கோட்டின் வழிச் செல்லும் தளத்தின் வெக்டர் சமன்பாடானது 
\(\vec { r } .\vec { { n }_{ 1 } } ={ d }_{ 1 }\) மற்றும் \(\vec { r } .\vec { { n }_{ 2 } } ={ d }_{ 2 }\) 
\(\left( \vec { r } .{ { \vec { n } }_{ 1 }-{ d }_{ 1 } } \right) +\lambda \left( \vec { r } .{ \vec { n } }_{ 2 }-{ d }_{ 2 } \right) =0\)
\(\vec { r } =x\hat { i } +y\hat { j } +\hat { zk } \) பிரதியிட
\({ \vec { n } }_{ 1 }=2\hat { i } -7\hat { j } +4\hat { k } \), \({ \vec { n } }_{ 2 }=3\hat { i } -5\hat { j } +4\hat { k } \)
\({ d }_{ 1 }=+3,{ d }_{ 2 }=-11\)
\(\left[ \left( x\hat { i } +y\hat { j } +z\hat { k } \right) .(2\hat { i } -7\hat { j } +4\hat { k } -3) \right] +\gamma \left[ \left( x\hat { i } +yj\hat { +2\hat { k } } \right) .\left( 3\hat { i } -5\hat { j } +4\hat { k } \right) +11 \right] =0\)
\(\Rightarrow (2x+7y+4z-3)+\lambda (3x-5y+4z+11\_ =0\)
\(\left[ 2(-2)-7(1)+4(3)-3 \right] +\lambda \left[ -6-5+12+11 \right] =0\)
\(\Rightarrow (-4-7+12-3)+(12)=0\)
\(\Rightarrow -2+12\lambda =0\Rightarrow 12\lambda =2\Rightarrow \lambda =\cfrac { 1 }{ 6 } \)
\(\lambda =\cfrac { 1 }{ 6 } \) என (1) ல் பிரதியிட கிடைப்பது 
புள்ளி(-2,1,3) வழி தளம் செல்வதால் கிடைப்பது 
\(\left( 2x-7y+4z-3 \right) +\cfrac { 1 }{ 6 } \left( 3x-5y+11 \right) =0\)    ..(2)
\(\Rightarrow\) 12x - 42y + 24z - 18 + 3x - 5y + 4z + 11 = 0
\(\Rightarrow\) 15x - 47y + 28z - 7 = 0 என்பது தேவையான தளத்தின் சமன்பாடு 

கொடுக்கப்பட்ட வெக்டர் சமன்பாட்டையும் \(\vec { r } =\vec { a } +t\vec { b } \) என்ற கோட்டின் சமன்பாட்டையும் ஒப்பிட நமக்குக் கிடைப்பது \(\vec { a } =3\hat { i } -2\hat { j } +6\hat { k } \) மற்றும் \(\vec { b } =2\hat { i } -\hat { j } +3\hat { k } \) எனவே,
(i) \(\vec { b } ={ b }_{ 1 }\hat { i } +{ b }_{ 2 }\hat { j } +{ b }_{ 3 }\hat { k } \) எனில், கோட்டின் திசைவிகிதங்கள் b₁, b₂, b₃ ஆகும். எனவே, கொடுக்கப்பட்ட கோட்டின் திசை விகிதங்கள் 2, -1, 3 என்பவற்றுக்கு விகிதச் சமமானவையாகும். ஆகவே, கொடுக்கப்பட்ட கோட்டின் திசைக் கொசைன்கள்  \(\frac { 2 }{ \sqrt { 14 } } ,\frac { -1 }{ \sqrt { 14 } } ,\frac { 3 }{ \sqrt { 14 } } \) ஆகும்.
(ii) கோட்டின் துணை அலகு அல்லாத வடிவ வெக்டர் சமன்பாடு \((\vec { r } -\vec { a } )\times \vec { b } =\vec { 0 } \).
எனவே, \(\\ (\vec { r } -(3\hat { i } -2\hat { j } +6\hat { k } ))\times (2\hat { i } -\hat { j } +3\hat { k } )=\vec { 0 } \).
(iii) இங்கு (x₁, y₁, z₁) = (3, -2, 6) மற்றும் கோட்டின் திசை விகிதங்கள் 2, −1, 3 என்பவற்றுக்கு விகிதச் சமமானவை.
எனவே, கோட்டின் கார்டீசியன் சமன்பாடுகள் \(\frac { x-3 }{ 2 } =\frac { y+2 }{ -1 } =\frac { z-6 }{ 3 } \)ஆகும்.

முனை (0, 0) என்க.
பரவளையத்தின் சமன்பாடு y² = 4ax

(1) விட்டம் 40 செ.மீ மற்றும் உயரம் 30 செ.மீ. என உள்ளதால் பரவளையத்தின் விளிம்பில் உள்ள ஒரு புள்ளி (30,20) ஆகும்.
20² = 4a ×30
4a = \(\frac { 400 }{ 30 } \) = \(\frac { 40 }{ 3 } \)
சமன்பாடு y² = \(\frac { 40 }{ 3 } \)x.
(2) குமிழ் குவியத்தில் (0, a) ஆக இருக்க வேண்டும். எனவே குமிழ் பரவளையத்தின் முனையிலிருந்து \(\frac {10}{3}\) செ.மீ. தூரத்தில் பொருத்தப்பட வேண்டும்.

\( \frac { { x }^{ 2 } }{ 25 } +\frac { { y }^{ 2 } }{ 9 } =1\)
இது நீள்வட்டத்தின் சமன்பாடு 
a² = 25 மற்றும் b² = 9 மற்றும் c² = a² + b²
\(\Rightarrow { C }^{ 2 }=25+9=16\Rightarrow C=4\)
(a) மையம் (0, 0) \(\Rightarrow\) h = 0, k = 0
(b) குவியங்கள் (h - c, k), (h + c, k)
\(\Rightarrow\) (0-4, 0), (0 + 4, 0)
\(\Rightarrow \) (-4, 0) மற்றும் (4, 0)
(c) முனைகள் (h-a, k) மற்றும் (h+a, k)
\(\Rightarrow\) (0-5, 0) மற்றும் (0+5, 0)
\(\Rightarrow\) (-5, 0) மற்றும் (5, 0)
(d) இயக்குவரைகள் \(x=\pm \cfrac { a }{ e } \)
\(\Rightarrow x=\pm { \cfrac { 5 }{ e } }\)
\(e=\sqrt { 1-\cfrac { { b }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } } =\sqrt { 1-\cfrac { 9 }{ 25 } } =\sqrt { \cfrac { 16 }{ 25 } } =\cfrac { 4 }{ 5 } \)
\(\therefore \) கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு \(x-\pm \cfrac { 5 }{ \frac { 4 }{ 5 } } \Rightarrow x=\pm \cfrac { 25 }{ 4 } \)

கொடுக்கப்பட்ட கோடுகள் 
\(\frac { x-5 }{ 5m+2 } =\frac { 2-y }{ 5 } =\frac { 1-z }{ -1 }\) \(\Rightarrow \cfrac { x-5 }{ 5m+2 } =\cfrac { y-2 }{ -5 } =\cfrac { z-1 }{ 1 } \) 
\(\therefore \vec { b } =\left( 5m+2 \right) \hat { i } -5\hat { j } +\hat { k } \) 
 மற்றும்
\(x=\cfrac { 2y+1 }{ 4m } =\cfrac { 1-z }{ -3 } \) 
\(\Rightarrow \cfrac { x }{ 1 } =\frac { y+\frac { 1 }{ 2 } }{ 2m } =\cfrac { z-1 }{ 3 } \)  
\(\vec { b } \bot \vec { d } \Rightarrow \vec { b } .\vec { d } =0\) 
\(\Rightarrow \left( \hat { i } +2m\hat { j } +3\hat { k } \right) .\left( \left( 5m+2 \right) \hat { i } -5\hat { j } +\hat { k } \right) =0\)
\(\Rightarrow (5m+2)+2m(-5)+3(1)=0\)
\(\Rightarrow 5m+2-10m+3=0\)
\(\Rightarrow 5-5m=0\)
\(\Rightarrow 5=5m\)
\(\Rightarrow m=1\)

கொடுக்கப்பட்ட \(A=\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 0 \end{bmatrix},B=\begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\) மற்றும் \(C=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}\)மேலும்,  AXB = C
A^-1 ஆல் முன்புறம் பெருக்க கிடைப்பது.
\(\Rightarrow B={ A }^{ -1 }C.\ \quad \left[ \therefore \ { A }^{ -1 }A=1 \right] \)
B^-1 ஆல் பின்புறம் பெருக்க கிடைப்பது.
\(\left( XB \right) { B }^{ -1 }=\left( { A }^{ -1 }C \right) { B }^{ -1 }\)
\(\Rightarrow X=\left( { A }^{ -1 }C \right) { B }^{ -1 }\)
\(\left| A \right| =\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix}=0+2\neq 0\)
\(\therefore { A }^{ -1 }\frac { 1 }{ |A| } adjA=\frac { 1 }{ 2 } \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}\)
\(|B|=\begin{vmatrix} 3 & -2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}=3+2=5\neq 0\)
\(\therefore { B }^{ -1 }=\frac { 1 }{ \left| B \right| } adj\quad B=\frac { 1 }{ 5 } \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}\)
\({ A }^{ -1 }C=\frac { 1 }{ 2 } \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}\)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \left[ \begin{matrix} 0 & +2 \\ -2 & +2 \end{matrix}\begin{matrix} 0 & +2 \\ -2 & +2 \end{matrix} \right] \)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}=\frac { 1 }{ 2 } \left( 2 \right) \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\)
\(\therefore X=Z\left( { A }^{ -1 }C \right) .{ B }^{ -1 }\)
\(=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\frac { 1 }{ 5 } \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}=\frac { 1 }{ 5 } \left[ \begin{matrix} 1 & -1 \\ 0 & +0 \end{matrix}\begin{matrix} 2 & +3 \\ 0 & +0 \end{matrix} \right] \)
\(=\frac { 1 }{ 5 } \begin{bmatrix} 0 & 5 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}=\frac { 1 }{ 5 } \left( 5 \right) \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\)
\(\therefore X=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\)

கொடுக்கப்பட்ட  f(x) = sin^-1 \(\left( \frac { \left| x \right| -2 }{ 3 } \right) \) + cos^-1 \(\left( \frac { 1-\left| x \right| }{ 4 } \right) \)
sin^-1 x இன் வரையறையிலிருந்து 
-1≤ \( \frac { \left| x \right| -2 }{ 3 } \) ≤ 1
⇒ -3 ≤ |x| -2 ≤ 3
⇒ -3 + 2 ≤ |x| ≤ 3 + 2
⇒ -1≤ |x| ≤ 5
என்பதை சுருக்கி 0 ≤ |x| ≤ 5     ...(1)
⇒ 0 ≤ |x| மற்றும் |x| ≤ 5
⇒ |x| ≥ 0 மற்றும் -5 ≤ x ≤ 5
cos^-1 x ன் வரையறைப்படி -1 ≤ \(\frac { 1-\left| x \right| }{ 4 } \) ≤ 1
⇒ -4 ≤ 1 - |x| ≤ 4 ⇒ -4 - 1≤ - |x| ≤ 4 - 1
⇒ -5 ≤ - |x| ≤ 3 ⇒ -3 ≤ |x| ≤ 5
என்பதை சுருக்கி 0 ≤ |x| ≤ 5 - 5 ≤ x ≤ 5     ...(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து
சார்பகமானது [-5, 5]