வட்டத்தின் சமன்பாடு x² + y² = 64
\(\therefore { a }^{ 2 }=64\Rightarrow a=8\) 
கொடுக்கப்பட்ட கோடு 3x + 4y = p
\(4y=-3x+p\Rightarrow y=\cfrac { -3 }{ 4 } x+\cfrac { p }{ 4 } \) 
\(m=\cfrac { -3 }{ 4 } \) மற்றும் \(c=\cfrac { p }{ 4 } \)
y = mx + c வட்டத்திற்கு தொடுகோடாக இருக்க நிபந்தனை c² = a²(1 + m²)
\(\therefore \left( \cfrac { p }{ 4 } \right) ^{ 2 }=64\left( 1+\cfrac { 9 }{ 16 } \right) \) 

\(p=\pm \sqrt { 64(25) } =\pm 8(5)\) 
\(\therefore p=\pm 40\)

O வில் செங்கோணமுடைய செங்கோண முக்கோணம் AOB என்க.
O வை ஆதி என்க.
பிறகு, \(\overset { \rightarrow }{ OA } =\overset { \rightarrow }{ a } ,\overset { \rightarrow }{ OB } =\overset { \rightarrow }{ b } \)
\(\therefore \overset { \rightarrow }{ AB } =\overset { \rightarrow }{ OB } -\overset { \rightarrow }{ OA } =\overset { \rightarrow }{ b } -\overset { \rightarrow }{ a } \)
\(\therefore \overset { \rightarrow }{ OA } \bot \overset { \rightarrow }{ OA } =\overset { \rightarrow }{ a } \bot \overset { \rightarrow }{ b } \Rightarrow \overset { \rightarrow }{ a } .\overset { \rightarrow }{ b } =0\)
\(\therefore { AB }^{ 2 }={ \left| \overset { \rightarrow }{ AB } \right| }^{ 2 }=\overset { \rightarrow }{ AB } .\overset { \rightarrow }{ AB } \)
\(=0=\left( \overset { \rightarrow }{ b } -\overset { \rightarrow }{ a } \right) .\left( \overset { \rightarrow }{ b } -\overset { \rightarrow }{ a } \right) \)
\(=\overset { \rightarrow }{ b } .\overset { \rightarrow }{ b } -\overset { \rightarrow }{ b } .\overset { \rightarrow }{ a } -\overset { \rightarrow }{ a } .\overset { \rightarrow }{ b } +\overset { \rightarrow }{ a } .\overset { \rightarrow }{ a } \)
\(={ \left| \overset { \rightarrow }{ b } \right| }^{ 2 }-2\overset { \rightarrow }{ a } .\overset { \rightarrow }{ b } +{ \left| \overset { \rightarrow }{ a } \right| }^{ 2 }\)
\(\left[ \because \overset { \rightarrow }{ a } .\overset { \rightarrow }{ b } =0 \right] \)
= OB² - 0 + OA²
⇒ AB² = OA² + OB² 
எனவே பிதாகரஸ் தேற்றம்.

\(\overset { \rightarrow }{ r } \) = \(x\overset { \wedge }{ i } +y\overset { \wedge }{ j } +z\overset { \wedge }{ k } \) என்க.
\(\therefore x\overset { \wedge }{ i } +y\overset { \wedge }{ j } +z\overset { \wedge }{ k } =(s-2t)\overset { \wedge }{ i } +(3-t)\overset { \wedge }{ j } +(2s+t)\overset { \wedge }{ k }\) ஒத்த உறுப்புகளின் கெழுக்களை இருபுறமும் ஒப்பிட கிடைப்பது 
x = s - 2t 
y = 3 - t
z = 2s + t
நீக்க s மற்றும் t யை அணிக்கோவையை பயன்படுத்தி கிடைப்பது 
\(\left| \begin{matrix} x \\ y-3 \\ z \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} -2 \\ -1 \\ 1 \end{matrix} \right| =0\)
⇒ x (0 + 2) - 1(y - 3 +z) -2 (2y - 6 - 0) = 0
⇒ 2x - y + 3 - z - 4y + 12 = 0
⇒ 2x - 5y - z + 15 = 0

x²-y² இரட்டை ஆதலால், x மற்றும் y இரண்டுமே இரட்டை அல்லது x மற்றும் y இரண்டுமே ஒற்றை.
எந்த நிலையிலும் (x+y) மற்றும் (x-y) இரண்டுமே இரட்டை முழுக்கள் 
∴ x²-y² = (x+y) (x+y) 4 ஆல் வகுபடும் ஆனால் 353702 4ஆல் வகுபடாது.
∴ x² - y² = 353702 க்கு மிகை முழுக்கள் தீர்வு இல்லை.

\({ sin }^{ -1 }\left( \frac { 3 }{ 5 } \right) =A\Rightarrow \frac { 3 }{ 5 } =sinA\) என்க.
\(cosA=\frac { adj }{ hyp } =\frac { 4 }{ 5 } \)
\({ sin }^{ -1 }\left( \frac { 5 }{ 13 } \right) =B\Rightarrow sinB=\frac { 5 }{ 13 } \) என்க.
\(\Rightarrow cosB=\frac { 12 }{ 13 } \)
\(\therefore cos\left[ { sin }^{ -1 }\frac { 3 }{ 5 } +{ sin }^{ -1 }\frac { 5 }{ 13 } \right] =cos(A+B)\)
= cos A cos B  - sin A sin B
\(=\frac { 4 }{ 5 } .\frac { 12 }{ 13 } -\frac { 3 }{ 5 } .\frac { 5 }{ 13 } =\frac { 48 }{ 65 } -\frac { 15 }{ 65 } =\frac { 33 }{ 65 } \)

x = (27)^{\(\frac { 1 }{ 3 } \)} = 3^{\(3\times \frac { 1 }{ 3 } \)}
= 3(cos π + isin π)^{\(\frac { 1 }{ 3 } \)}
= 3 [cos \(\frac { 1 }{ 3 } \)(2kπ + π )+ isin \(\frac { 1 }{ 3 } \)(2kπ + π)], k = 0, 1, 2 ...
∴ -27 - ன் மூலங்கள்
k = 0 எனில், 3[cos \(\frac { π }{ 3 } \) + isin \(\frac { π }{ 3 } \)] = 3 cis \(\frac { π }{ 3 } \)
k = 1 எனில் -3
k = 2 எனில், 3 cis \(\frac { 5π }{ 3 } \)

\(x\Delta =\left| \begin{matrix} t & 3 & -1 \\ 1 & 2 & 1 \\ -t & 1 & 2 \end{matrix} \right| =t\left| \begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix} \right| -3\left| \begin{matrix} 1 & 1 \\ -t & 2 \end{matrix} \right| -\left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ -t & 1 \end{matrix} \right| \)
=t(4-1)-3(2+t)-1(1+2t)
=3t-6-3t-1-2t=-7-2t
தொகுப்பானது ஒரே ஒரு தீர்வை கொண்டிருக்க இயலாது எனில் 
Δ=0⇒-7-2t=0 ⇒-2t=7 ⇒t=\(\frac{-7}{2}\)
∴ t=\(\frac{-7}{2}\)