சமன்பாட்டை \(\cfrac { dy }{ dx } =x\sqrt { 25-{ x }^{ 2 } } \) எனுமாறு எழுதலாம்.
25-x²=t என்க.
-2xdx = dt 
\(xdx=-\cfrac { dt }{ 2 } \) 
இம்மதிப்புகளை சமன்பாடு (1)ல் பிரதியிடக் கிடைப்பது 
\(dy=x\sqrt { 25-{ x }^{ 2 } } dx\) 
\(dy-\sqrt { t } \cfrac { dt }{ 2 } \) 
இருபுறமும் தொகையிடக் கிடைப்பது 
\(\int { dy } =-\cfrac { 1 }{ 2 } \int { { t }^{ \frac { 1 }{ 2 } }dt } \) 
\(y=-\cfrac { 1 }{ 2 } \cfrac { { t }^{ \frac { 1 }{ 2 } +1 } }{ \frac { 1 }{ 2 } +1 } +C\) 
= \(-\cfrac { 1 }{ 2 } \cfrac { { t }^{ \frac { 3 }{ 2 } } }{ \frac { 3 }{ 2 } } +C\) 
= \(-\cfrac { 1 }{ 2 } \times \cfrac { 2 }{ 3 } { t }^{ \frac { 3 }{ 2 } }+C\) 
= \(-\cfrac { 1 }{ 3 } { t }^{ \frac { 3 }{ 2 } }+C\) 
= \(y=\cfrac { -{ t }^{ \frac { 3 }{ 2 } }+C }{ 3 } \) 
= \(3y=-{ t }^{ \frac { 3 }{ 2 } }+3c\) 
\(3y=-\left( 25-{ x }^{ 2 } \right) ^{ \frac { 1 }{ 2 } }+3C\) 
\(\left( \because t=25-{ x }^{ 2 } \right) \)

x என்பது ஓர் எண் என்க.
\(y={ x }^{ 1/n }\)  என்க
\(logy=\cfrac { 1 }{ n } logx\) 
இருபுறமும் வகைப்படுத்தக் கிடைப்பது 
\(\cfrac { 1 }{ y } dy=\cfrac { 1 }{ n } \times \cfrac { 1 }{ x } dx\) 
\(\cfrac { \Delta y }{ y } \simeq \cfrac { 1 }{ y } dy=\cfrac { 1 }{ n } \times \cfrac { 1 }{ x } dx\) 
\(\cfrac { \Delta y }{ y } \times 100\simeq\cfrac { 1 }{ n } \left( \cfrac { dx }{ x } \times 100 \right) \) 
= எண்ணின் சதவீதப் பிழையின் \(\frac { 1 }{ n } \) மடங்கு.

(i) m + n ∈ ℤ, ∀,m, n ∈ ℤ . எனவே , ' + ' ஆனது, ℤ -ன் மீது ஓர் ஈருறுப்புச் செயலி ஆகும்.
(ii) மேலும் m + n = n + m, ∀m, n ∈ ℤ . எனவே , பரிமாற்றுப் பண்பு உண்மையாகும்.
(iii) ∀m,n, p ∈ ℤ,m+(n+p) = (m+n) + p . எனவே , சேர்ப்புப் பண்பு உண்மையாகும்.
(iv) m + e = e + m = m ⇒ e = 0. எனவே , ∃ 0 ∈ ℤ ⋺(m + 0) = (0 + m) = m . எனவே சமனிப்பண்பு உள்ளது.
(v) m + m' = m' + m = 0 ⇒ m' = −m. எனவே, ∀m ∈ ℤ,∃ −m ∈ ℤ ⋺
m + (−m) = (−m) + m =0. எனவே, எதிர்மறைப் பண்பும் உள்ளது. இவ்வாறாக, கூட்டல் செயலி + ஆனது, ℤ -ன் மீது மேற்கண்ட ஐந்து பண்புகளை நிறைவு செய்யும். 
கூட்டல் சமனி =0 மற்றும் ஏதேனும் ஒரு முழு எண் m -ன் கூட்டல் எதிர்மறை −m என்பதைக் கவனத்தில் கொள்வோம்.

\(Let\ I=\int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ \frac { dx }{ 1+5{ cos }^{ 2 }x } } \)
U = tan x \(\Rightarrow\) du = sec 2x dx 
\(I=\int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ \frac { \frac { 1 }{ { cos }^{ 2 }x } }{ \frac { 1 }{ { cos }^{ 2 }x } +5 } } dx=\int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ \frac { { sec }^{ 2 }x }{ { sec }^{ 2 }x+5 } dx } \)
\(=\int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ \frac { { sec }^{ 2 }x }{ 1+{ tan }^{ 2 }+x+5 } dx } =\int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ \frac { { sec }^{ 2 }x\quad dx }{ { tan }^{ 2 }x+6 } } \)

\(=\int _{ 0 }^{ \infty }{ \frac { du }{ { u }^{ 2 }+6 } } \)
\(=\int _{ 0 }^{ \infty }{ \frac { du }{ { u }^{ 2 }+{ (\sqrt { 6 } ) }^{ 2 } } } \)
\(I=\frac { \pi }{ 2\sqrt { 6 } } \left[ \because \int _{ 0 }^{ \infty }{ \frac { dx }{ { a }^{ 2 }+{ x }^{ 2 } } =\frac { \pi }{ 2a } ,\ a=\sqrt { 6 } } \right] \)

(i) \(\begin{aligned} \mathrm{P}(0.2 \leq X<0.6)=\int_{0.2}^{0.6} f(x) d x \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} =\int_{0.2}^{0.6} x d x=\left[\frac{x^2}{2}\right]_{0.2}^{0.6} \end{aligned}\)
= 0.18 - 0.02 = 0.16

(ii) \(\mathrm{P}(1.2 \leq X<1.8)=\int_{1.2}^{1.8}(2-x) d x\)
\(=\left[2 x-\frac{x^2}{2}\right]_{1.2}^{1.8}\)
= 3.6 - 1.62 - 2.4 + 0.72
= 0.3

(iii) P(0.5 \(\le\) X < 1.5)
\(\begin{aligned} =\int_{0.5}^1 f(x) d x+\int_1^{1.5} f(x) d x \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} =\int_{0.5}^1 x d x+\int_1^{1.5}(2-x) d x \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} =\left[\frac{x^2}{2}\right]_{0.5}^1+\left[2 x-\frac{x^2}{2}\right]_1^{1.5} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} =\frac{1}{2}-\frac{0.25}{2}+3-\frac{2.25}{2}-2+\frac{1}{2} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} =1+3-2-\frac{2.50}{2} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} =2-\frac{2.5}{2}=\frac{1.5}{2} \end{aligned}\)
= 0.75

\(f(x)=sinx\)  என்க 
\(f(x)=\sin x\ f\left( \frac { \pi }{ 4 } \right) =\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \) 
\(f'(x)=\cos x\ f'\left( \frac { \pi }{ 4 } \right) =\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \)
\(f''(x)=-\sin x\ f''\left( \frac { \pi }{ 4 } \right) =-\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \)
\(f'''(x)=-\cos x\ f'''\left( \frac { \pi }{ 4 } \right) =-\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \)
f(x) ன் டெய்லர் விரிவு 
\(f(x)=\sum _{ n=0 }^{ n=\infty }{ { a }_{ n }\left( x-\cfrac { \pi }{ 4 } \right) ^{ n } } ,{ a }_{ n }=\cfrac { { f }^{ (n) }\left( \frac { \pi }{ 4 } \right) }{ n! } \) 
எனவே தேவையான விரிவு 
 \(\sin x=\cfrac { 1 }{ \sqrt { 2 } } +\cfrac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \cfrac { \left( x-\frac { \pi }{ 4 } \right) }{ 1! } -\cfrac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \cfrac { \left( x-\frac { \pi }{ 4 } \right) ^{ 2 } }{ 2! } -\cfrac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \cfrac { \left( x-\frac { \pi }{ 4 } \right)^3 }{ 3! } +...\) 
= \(\cfrac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \left[ 1+\cfrac { \left( x-\frac { \pi }{ 4 } \right) }{ 1! } -\cfrac { \left( x-\frac { \pi }{ 4 } \right)^2 }{ 2! } -\cfrac { \left( x-\frac { \pi }{ 4 } \right)^3 }{ 3! } +... \right] \) 
= \(\cfrac { \sqrt { 2 } }{ 2 } \left[ 1+\cfrac { \left( x-\frac { \pi }{ 4 } \right) }{ 1! } -\cfrac { \left( x-\frac { \pi }{ 4 } \right)^2 }{ 2! } -\cfrac { \left( x-\frac { \pi }{ 4 } \right) ^{ 3 } }{ 3! } +... \right] \)

வளைவரை y=1+x³
'x' ஐப் பொறுத்து வகைப்படுத்த 
தொடுகோட்டின் சாய்வு \('m'=\cfrac { dy }{ dx } ={ 3x }^{ 2 }\) 
கொடுக்கப்பட்ட கோடு  x+12y=12
கோட்டின் சாய்வு = \(-\cfrac { 1 }{ 12 } \) 
தொடுகோடு,கோட்டிற்கு செங்குத்தாக உள்ளதால் தொடுகோட்டின் சாய்வு 12.
\(\therefore \cfrac { dy }{ dx } =12\) 
அதாவது,\(\\ { 3x }^{ 2 }=12\) 
\({ x }^{ 2 }=4\) 
\(x=\pm 2\) 
x=2 எனும்போது \(y=1+8=9\Rightarrow \) (2,9)
x=-2 எனும்போது \(y=1-8=-7\Rightarrow \) (-2,-7)
(2,9) புள்ளியில் சாய்வு 12 ஐக் கொண்ட தொடுகோட்டின் சமன்பாடு 
\(y-9=12(x-2)\) 
\(y-9=12x-24\) 
\(12x-y-15=0\) 
புள்ளி (-2,-7)ல் சாய்வு 12ஐக் கொண்ட தொடுகோட்டின் சமன்பாடு 
\(y+7=12(x+2)\) 
\(y+7=12x+24\) 
\(12x-y+17=0\)

\({ \sin }^{ -1 }(-1)+{ \cos }^{ -1 }\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) +{ \cot }^{ -1 }(2)\)
sin^-1 (-1) = x என்க.
⇒ -1 = sin x
⇒ sin x = -1 = -sin \(\frac { \pi }{ 2 } \) = sin \(\left( \frac { -\pi }{ 2 } \right) \)
[∵ sin (-θ) = -sin θ]
⇒ x = \(\frac { -\pi }{ 2 } \)
cos^-1 \(\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) \) = y  என்க.
⇒ \(\frac { 1 }{ 2 } \) = cos y ⇒ cos y = cos \(\frac { \pi }{ 3 } \)
⇒ y = \(\frac { \pi }{ 3 } \)
∴ sin^-1 (-1) + cos^-1 \(\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) \) + cot^-1(2)
= \(\frac { -\pi }{ 2 } +\frac { \pi }{ 3 } +{ \cot }^{ -1 }(2)\)
= \({ \cot }^{ -1 }(2)+\frac { -3\pi +2\pi }{ 6 } ={ \cot }^{ -1 }(2)-\frac { \pi }{ 6 } \)

கொடுக்கப்பட்ட தளங்களின் சமன்பாடுகள் x+2y+3z = 2 மற்றும் x - y + z  = 3 தளங்களின் வெட்டுக்கோட்டின் வழிச் செல்லும் தளத்தின் கார்டீசியன் வடிவம் 
(a₁x+b₁y+c₁z-d₁) + \(\lambda \) (a₂x+b₂y+c₂z-d₂) = 0
\(\therefore\) தேவையான தளத்தின் சமன்பாடு 
\(\left( x+2y+3z-2 \right) +\lambda \left( x+y+z+8 \right) =0\) 
\(\left( \lambda +1 \right) +y\left( 2+\lambda \right) +z\left( 3+\lambda \right) -2-3\lambda =0\)  
\( \frac{3(1+\lambda)+1(2-\lambda)-1(3+\lambda)-2-3 \lambda}{\sqrt{(1+\lambda)^2+(2-\lambda)^2+(3+\lambda)^2}}= \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \\ \frac{3+3 \lambda+2-\lambda-3-\lambda-2-3 \lambda}{\sqrt{1+2 \lambda+\lambda^2+4-4 \lambda+\lambda^2+9+6 \lambda+\lambda^2}}= \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \\ \frac{-2 \lambda}{\sqrt{3 \lambda^2+4 \lambda+14}}= \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \) 
வர்க்கப்படுத்த
\( \frac{\lambda^2}{3 \lambda^2+4 \lambda+14} =\frac{1}{3} \\ 3 \lambda^2 =3 \lambda^2+4 \lambda+14 \\ 4 \lambda=-14 \Rightarrow \lambda =\frac{-7}{2} \)
\(\lambda =\frac{-7}{2}\) 1 ல் பிரதியிட 
\( (x+2 y+3 z-2)-\frac{7}{2}(x-y+z-3)=0 \\ 2 x+4 y+6 z-4-7 x+7 y-7 z+21=0 \\ -5 x+11 y-z+17=0 \\ 5 x-11 y+z-17=0 \)

A = (6, -7, 0), B = (16, -19, -4), c = (0, 3, -6) D = (2, -5, 10) என்க. A, B, C, D என்ற நான்கு புள்ளிகளும் ஒரே தளத்தில் அமையும் என நிரூபிக்க, \(\vec { AB } ,\vec { AC } ,\vec { AD } \) என்ற மூன்று வெக்டர்கள் ஒரு தள வெக்டர்களாகும் என நிரூபிக்க வேண்டும்.
\(\vec { AB } =\vec { OB } -\vec { OA } =(16\hat { i } -19\hat { j } -4\hat { k } )-(6\hat { i } -7\hat { j } )=10\hat { i } -12\hat { j } -4\hat { k } \)
\(\vec { AC } =\vec { OC } -\vec { OA } =-6\hat { i } +10\hat { j } -6\hat { k } \) மற்றும் \(\vec { AD } =\vec { OD } -\vec { OA } =-4\hat { i } +2\hat { j } +10\hat { k } \)
\([\vec { AB } ,\vec { AC } ,\vec { AD } ]=\left| \begin{matrix} 10 & -12 & -4 \\ -6 & 10 & -6 \\ -4 & 2 & 10 \end{matrix} \right| =0\)
எனவே, \(\vec { AB } ,\vec { AC } ,\vec { AD } \)  என்ற வெக்டர்கள் ஒரு தள வெக்டர்களாகும். ஆகவே, A, B, C மற்றும் D என்ற நான்கு புள்ளிகளும் ஒரே தளத்தில் அமைகின்றன.

LHS = \(​​​​​​\left[ \frac { 1+sin\frac { \pi }{ 10 } +icos\frac { \pi }{ 10 } }{ 1+sin\frac { \pi }{ 10 } -icos\frac { \pi }{ 10 } } \right] ^{10}\)
\(=\left(\frac{1+\cos \left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{10}\right)+i \sin \left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{10}\right)}{1+\cos \left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{10}\right)-i \sin \left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{10}\right)}\right)^ {10} \)
\(=\left(\frac{1+\cos \frac{2 \pi}{5}+i \sin \frac{2 \pi}{5}}{1+\cos \frac{2 \pi}{5}-i \sin \frac{2 \pi}{5}}\right)^{10}\)
\(=\left(\frac{2 \cos ^2\left(\frac{2 \pi / 5}{2}\right)+i 2 \sin \frac{2 \pi / 5}{2} \cdot \cos \frac{2 \pi / 5}{2}}{2 \cos ^2 \frac{2 \pi / 5}{2}-i 2 \sin \frac{2 \pi / 5}{2}, \cos \frac{2 \pi / 5}{2}}\right)^{10} \)
\(=\left(\frac{\cos \frac{\pi}{5}+i \sin \frac{\pi}{5}}{\cos \frac{\pi}{5}-i \sin \frac{\pi}{5}}\right)^{10}=\left(\frac{\cos \frac{\pi}{5}+i \sin \frac{\pi}{5}}{\cos \left(\frac{-\pi}{5}\right)+i \sin \left(-\frac{\pi}{5}\right)}\right)^{10} \)
\(=\left(\cos \left(\frac{\pi}{5}+\frac{\pi}{5}\right)+i \sin \left(\frac{\pi}{5}+\frac{\pi}{5}\right)\right)^{10} \)
\(=\left(\cos \frac{2 \pi}{5}+i \sin \frac{2 \pi}{5}\right)^{10} \)
\(=\cos 10\left(\frac{2 \pi}{5}\right)+i \sin 10\left(\frac{2 \pi}{5}\right) \)
[டி மாய்வரின் தேற்றம்]
\(=\cos 4 \pi+i \sin 4 \pi=1+i(0)=1 \)

நீள் வட்டத்தின் சமன்பாடு 
x²+ 4y² = 32
\(\frac { { x }^{ 2 } }{ 32 } +\frac { { y }^{ 2 } }{ 8 } =1\)
a² = 32, b² = 8
\(a=4\sqrt { 2 } ,b=2\sqrt { 2 } \)
\(\theta =\frac { \pi }{ 4 } \) - இல் தொடுகோட்டுச் சமன்பாடு 
\(\frac { x \cos\frac { \pi }{ 4 } }{ 4\sqrt { 2 } } \frac { y \sin\frac { \pi }{ 4 } }{ 2\sqrt { 2 } } =1\)
\(\frac { x }{ 8 } +\frac { y }{ 4 } =1\)
x+2y-8 = 0.
செங்கோட்டின் சமன்பாடு \(\frac { 4\sqrt { 2X } }{ cos\frac { \pi }{ 4 } } -\frac { 2\sqrt { 2Y } }{ sin\frac { \pi }{ 4 } } =32-8\)
8x-4y = 24 
2x-y-6 = 0.
மாற்று முறை : \(\theta =\frac { \pi }{ 4 } \) எனில்
\((a\ cos \theta ,b\ sin \theta )=\left( 4\sqrt { 2 }\ cos\frac { \pi }{ 4 } ,2\sqrt { 2 }\ sin\frac { \pi }{ 4 } \right) \) = (4, 2)
∴ தொடுகோட்டுச் சமன்பாடு  \(\theta =\frac { \pi }{ 4 } \) -இல் என்பதும் புள்ளி (4, 2) -இல் என்பதும் ஒன்றே.
எனவே தொடுகோட்டுச் சமன்பாடு \(\frac { { xx }_{ 1 } }{ { a }^{ 2 } } +\frac { { yy }_{ 1 } }{ { b }^{ 2 } } =1\)
x+2y−8 = 0
தொடுகோட்டுச் சாய்வு -\(\frac { 1 }{ 2 } \)
செங்கோட்டுச் சாய்வு 2
செங்கோட்டின் சமன்பாடு  y - 2 = 2(x -4) 
y−2x+6 = 0 

கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் \(\vec { a } =5\hat { i } +2\hat { j } +8\hat { k } \) 
கொடுக்கப்பட்ட கோடுகள்  
\(\vec { r } =\left( \hat { i } +\hat { j } -\hat { k } \right) +s\left( 2\hat { i } -2\hat { j } +\hat { k } \right) \) 
\(\Rightarrow \vec { b } =2\hat { i } -2\hat { j } +k\) 
மற்றும் \(\vec { r } =\left( 2\hat { i } -\hat { j } -3\hat { k } \right) +t\left( \hat { i } +2\hat { j } +2\hat { k } \right) \) 
\(\Rightarrow \vec { d } =\hat { i } +2\hat { j } +2\hat { k } \) 
தேவையான கோடு \(​​​​\vec { b } \) மற்றும்   \(\vec { d } \) ,செங்குத்து ஆதலால் \(\vec { b } \times \vec { d } \) க்கு இணை 
 \(\therefore \vec { b } \times \vec { d } =\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 2 & -2 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \end{matrix} \right| \) 
= \(\hat { i } \left( -4-2 \right) -\hat { j } \left( 4-1 \right) +\hat { k } \left( 4+2 \right) \) 
=  \(-6\hat { i } -3\hat { j } +6\hat { k } \) 
= \(-3\left( 2\hat { i } +\hat { j } -2\hat { k } \right) \) 
\(\therefore\) தேவையான நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடு 
\(\vec { r } =\vec { a } +m\left( \vec { b } \times \vec { d } \right) ,m\epsilon R\) 
\(\vec { r } =\left( 5\hat { i } +2\hat { j } +8\hat { k } \right) -3m\left( 2\hat { i } +\hat { j } +\vec { k } \right) \) 
 \(\vec { r } =(5\hat { i } +2\hat { j } +8\hat { k } )+t\left( 2\hat { i } +\hat { j } -2\hat { k } \right) \) 
இங்கு \(t=-3m\epsilon R\) 
\(\vec { r } =\left( \vec { i } +\vec { j } -\vec { k } \right) +s\left( 2\hat { i } -2\hat { j } +\vec { k } \right) \) 
\(\vec { r } =\left( 2\vec { i } -\vec { j } -3\vec { k } \right) +t(\vec { t } +2\vec { j } +2\vec { k } )\) 
நேர்க்கோடு மற்றும் செங்குத்து வழி செல்லும் நேர்கோட்டின் கார்டீசியன் சமன்பாடு (5,2,8) 
\(\cfrac { x-x_{ 1 } }{ { b }_{ 1 } } =\cfrac { y-{ y\quad }_{ 1 } }{ { b }_{ 2 } } =\cfrac { z-{ z }_{ 1 } }{ { b }_{ 3 } } \) 
\(\cfrac { x-5 }{ 2 } =\cfrac { y-2 }{ 1 } =\cfrac { z-8 }{ -2 } \)

LHS = tan^-1 x + tan^-1 \(\frac { 2x }{ 1-{ x }^{ 2 } } \)
= tan^-1 \(\left( \frac { x+\frac { 2x }{ 1-{ x }^{ 2 } } }{ 1-x\left( \frac { 2x }{ 1-{ x }^{ 2 } } \right) } \right) \)
= tan^-1 \(\left( \frac { \frac { x(1-{ x }^{ 2 })+2x }{ 1-{ x }^{ 2 } } }{ \frac { 1-{ x }^{ 2 }-{ 2x }^{ 2 } }{ 1-{ x }^{ 2 } } } \right) \)
= tan^-1 \(\left( \frac { \frac { x-{ x }^{ 3 }+2x }{ 1-{ x }^{ 2 } } }{ \frac { 1-{ 3x }^{ 2 } }{ 1-{ x }^{ 2 } } } \right) \)
\(\left[ \because \left| x \right| <\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \right] \)
= tan^-1 \(\left( \frac { 3x-{ x }^{ 3 } }{ 1-{ x }^{ 2 } } \times \frac { 1-{ x }^{ 2 } }{ 1-{ 3x }^{ 2 } } \right) \)
\(\left[ \because \left| x \right| <\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } { x }^{ 2 }<\frac { 1 }{ 3 } \Rightarrow { 3x }^{ 2 }<1 \right] \)
= tan^-1 \(\left( \frac { 3x-{ x }^{ 3 } }{ 1-{ 3x }^{ 2 } } \right) \)

x கேள்விகளுக்கு சரியாக பதில் அளித்திருப்பார் மற்றும் y கேள்விகளுக்கு தவறான பதில் அளித்திருப்பார் என்க.
கொடுக்கப்பட்ட தரவின்படி, x+y =100 மற்றும் 
\(x-\frac { 1 }{ 4 } y=80...(1)\)
4ஆல் பெருக்க கிடைப்பது 
4x-y=320      ...(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து 
\(\Delta =\left| \begin{matrix} 1 & 1 \\ 4 & -1/4 \end{matrix} \right| =-1/4-1=-5/4 \not = 0\)
\({ \Delta }_{ x }=\left| \begin{matrix} 100 & 1 \\ 80 & -1/4 \end{matrix} \right| =-25-80=-105\)
\({ \Delta }_{ y }=\left| \begin{matrix} 1 & 100 \\ 1 & 80 \end{matrix} \right| =80-100=-20\)
\(\therefore x=\frac { { \Delta }_{ x } }{ \Delta } =\frac { -105 }{ -5/4 } =21 \times 4 =+84\)
மற்றும் \(y=\frac { { \Delta }_{ y } }{ \Delta } =\frac { -20 }{ -5/4 } =4 \times 4 = 16\)
\(\therefore\) 84 கேள்விகளுக்குச் சரியான பதில் அளித்திருப்பார்.
16 கேள்விகளுக்கு தவறான பதில் அளித்திருப்பார்.

a) z ன் கூட்டல் நேர்மாறு = -z 
b) z ன் பெருக்கல் நேர்மாறு  \(=z^{-1}=\frac{1}{z}\)
\(z \bar{z}=|z|^2\) என நாம் அறிந்த 
\(\Rightarrow \frac{1}{z}=\frac{\bar{z}}{|z|^2}\) i.e.) \(z^{-1}=\frac{\bar{z}}{|z|^2}\)
கொடுக்கப்பட்ட z₁ = 2 + 5i, z₂ = - 3 - 4i மற்றும் z₃ = 1 + i
z₁ - ன் கூட்டல் நேர்மாறு -z₁ = - (2 + 5i) = - 2 - 5i
z₂ - ன் கூட்டல் நேர்மாறு -z₂ = - (- 3 - 4i) = 3 + 4i
z₃ - ன் கூட்டல் நேர்மாறு  -z₃ = - (1 - i) = -1 - i
z₁ - ன் பெருக்கல் நேர்மாறு
\(\frac { 1 }{ { z }_{ i } } =\frac { 1 }{ 2\times 5i } \times \frac { 2-5i }{ 2-5i } \)
[தொகுதி மாற்றும் பகுதிகளை பகுதியிலுள்ள கலப்பெண்ணால் பெருக்க]
= \(\frac { 2-5i }{ { 2 }^{ 2 }-({ 5i) }^{ 2 } } =\frac { 2-5i }{ 4-{ 25i }^{ 2 } } =\frac { 2-5i }{ 4+25 } \)
= \(\frac { 1 }{ 29 } (2-5i)[\therefore { i }^{ 2 }=-1]\)
z₂ - பெருக்கல் நேர்மாறு
\(\frac { 1 }{ { z }_{ 2 } } =\frac { 1 }{ -3-4i } \times \frac { -3+4i }{ -3+4i } \)
\(=\frac { -3+4i }{ { (-3) }^{ 2 }-({ 4i) }^{ 2 } } \)
\(=\frac { -3+4i }{ 9-16{ i }^{ 2 } } =\frac { -3+4i }{ 9+16 } \)
\(=\frac { 1 }{ 25 } (-3+4i)\)
z₃ - ன் பெருக்கல் நேர்மாறு
\(\frac { 1 }{ { z }_{ 3 } } =\frac { 1 }{ 1+i } \times \frac { i-i }{ 1-i } =\frac { 1-i }{ { 1 }^{ 2 }-({ i }^{ 2 }) } \)
\(=\frac { 1-i }{ 1+i } =\frac { 1 }{ 2 } (1-i)\)

\({ \vec { F } }_{ 1 }\) மற்றும் \({ \vec { F } }_{ 2 }\) கொடுக்கப்பட்ட இரு விசைகள் என்க.
கொடுக்கப்பட்ட \(\left| { \vec { F } }_{ 1 } \right| =5\sqrt { 2 } \) மற்றும் \(3\hat { i } +4\hat { j } +5\hat { k } \)  ன் அலகு வெக்டர் 
= \(\therefore { \vec { F } }_{ 1 }=5\sqrt { 2 } \left( 3\hat { i } +4\hat { j } +5\hat { k } \right) \) 
= \(5\sqrt { 2 } \cfrac { \left( 3\hat { i } +4\hat { j } +5\hat { k } \right) }{ \sqrt { { 3 }^{ 2 }+{ 4 }^{ 2 }+{ 5 }^{ 2 } } } \) \(\left[ \because \hat { n } =\cfrac { \vec { n } }{ \left| \vec { n } \right| } \right] \)
= \(\sqrt { 2 } \cfrac { \left( 3\hat { i } +4\hat { j } +5\hat { k } \right) }{ \sqrt { 9+16+25 } } =\cfrac { 5\sqrt { 2 } \left( 3\hat { i } +4\hat { j } +5\hat { k } \right) }{ 5\sqrt { 2 } } \)
= \(3\hat { i } +4\hat { j } +5\hat { k } \)
மற்றும்
\({ \vec { F } }_{ 2 }=10\sqrt { 2 } \) (\(10\hat { i } +6\hat { j } -8\hat { k } \) ன் அலகு வெக்டர் )
= \(10\sqrt { 2 } \cfrac { \left( 10\hat { i } +6\hat { j } -8\hat { k } \right) }{ \sqrt { { 10 }^{ 2 }+{ 6 }^{ 2 }+\left( -8 \right) ^{ 2 } } } \) 

= \(10\hat { i } +6\hat { j } -8\hat { k } \) 
\(\therefore\)  \(\vec { F } ={ \vec { F } }_{ 1 }+{ \vec { F } }_{ 2 }\)
= \(\left( 3\hat { i } +4\hat { j } +5\hat { k } \right) +\left( 10\hat { i } +6\hat { j } -8\hat { k } \right) \) 
\(\vec { F } =13\hat { i } +10\hat { j } -3\hat { k } \) 
\(\hat { d } \) = இடம்பெயர்ந்த புள்ளி-புள்ளியிலிருந்து இடப்பெயர்வு 
= \(\left( 6\hat { i } +\hat { j } -3\hat { k } \right) -\left( 4\hat { i } -3\hat { j } -2\hat { k } \right) \) 
= \(2\hat { i } +4\hat { j } -\hat { k } \) 
\(\therefore \) செய்த வேலை 
\(w=\vec { F } .\vec { d } =\left( 13\hat { i } +10\hat { j } -3\hat { k } \right) .\left( 2\hat { i } +4\hat { j } -\hat { k } \right) \) 
\(w=13(2)+10(4)-3(-1)=26+40+3\)
w = 69 அலகுகள்

கொடுக்கப்பட்ட சார்பானது 2\(\pi \) பிரிவு இடைவெளி உள்ள சார்பு ஆகும். எனவே இந்த ஒவ்வொரு பிரிவு இடைவெளிகளிலும் தேக்க நிலைப் புள்ளிகள் மற்றும் வளைவு மாற்றப் புள்ளிகள் இருக்கும்.
y = 3+sin x என்பதில் இருந்து

\(\frac{dy}{dx} = \cos x\) மற்றும் \(\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = -\sin x\)
இப்பொழுது, \(\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = -\sin x\) =0 \(\Rightarrow x=n\pi\).
\((-\pi, \pi)\) என்ற இடைவெளியினை  \((-\pi, 0)\) மற்றும் \((0,\pi)\) எனும் உள் இடைவெளிகளாக பிரிக்கலாம்.
\((-\pi,0)\) எனும் இடைவெளியில், \(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}>0\). மேலும் இதிலிருந்து \((-\pi,0)\) -ல் சார்பு மேல்நோக்கி குழிவு. \((0,\pi)\) எனும் இடைவெளியில்  \(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}<0\),  மேலும் இதிலிருந்து \((0,\pi)\) -ல் சார்பு கீழ்நோக்கி குழிவு. ஆகவே , (0,3) என்பது வளைவு மாற்றப் புள்ளி ஆகும் (படம் ஐ பார்க்க). \((n\pi,(n+1)\pi)\) என்ற பொதுவான இடைவெளிகளைக் கருதும் போது ( n ஒரு முழு எண்), இவ்விடைவெளிகளில் குழிவுத்தன்மையை ஆராய வேண்டும். இதனை மேற்கூறியவாறே ஆராய நாம் \((n\pi,3)\) ஆகியவை வளைவு மாற்றப் புள்ளிகள் என அறியலாம்.

2a = 2π  மற்றும் f(x) =g(cos x) என்க.
எனவே ,  f(2a- x) = f (2π - x) = g (cos(2π- x)) = g(cos x) = f(x)
∴ \(\int ^{2a}_{0}\) f(x) dx  = 2  \(\int ^{a}_{0}\) f(x) dx.
∴ \(\int ^{2\pi}_{0}\) g(cos x)dx =  2\(\int ^{\pi}_{0}\) g(cos x)dx.
முடிவு :
 \(\int ^{2\pi}_{0}\) g(cos x)dx =  2\(\int ^{\pi}_{0}\) g(cos x)dx.
குறிப்பு :
\(\int ^{2\pi}_{0}\) g(cos x) dx  என்ற அமைப்பில் உள்ள வரையறுத்த தொகையிடல்களை காண மேலே உள்ள முடிவு பயன்படும்.

f (x) = sin x என்பது அனைத்து திறந்த இடைவெளியிலும் வகையிடத்தக்கதாகும். மூடிய இடைவெளி \([\alpha, \beta]\) -வை கருதுக. சராசரி மதிப்புத் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்த  \(c \in (\alpha, \beta)\) -ஐ
\(\frac{sin \beta - sin \alpha}{\beta-\alpha}=f'(c)=cos(c)\) எனக் காணலாம்.
எனவே ,\(\frac{sin \alpha - sin\beta}{\alpha - \beta}=|cos(c)|\le1\)
ஆகவே , \(|sin\alpha-sin\beta|\le |\alpha-\beta|\)
குறிப்புரை :
\(\beta=0\) எனக்  கொண்டால், \(|sin \alpha|\le |\alpha|\) என கிடைக்கும்.

சாத்தியமான தீர்வுகள் (i) இரண்டுமே கருப்பாக இருக்கலாம் அல்லது (ii) ஒரு வெள்ளை மற்றும் ஒரு கருப்பு அல்லது (iii) இரண்டுமே வெள்ளையாக இருக்கலாம். எனவே X என்பது பின்வரும் மதிப்புகளைக் கொண்டிருக்கும் சமவாய்ப்பு மாறியாகும்.
X (இரண்டுமே கருப்பு பந்துகள்) = ரூ. 2(30) = ரூ. 60
X (ஒரு கருப்பு மற்றும் ஒரு வெள்ளை பந்து) = ரூ. 30 − ரூ. 20 = ரூ. 10
X (இரண்டுமே வெள்ளை பந்துகள்) = ரூ. 2( − 20) = − ரூ. 40
எனவே X ஆனது 60,10, மற்றும் − 40 மதிப்புகளைக் கொண்டிருக்கும்.
குறிப்பு : 60-இன் நேர்மாறு பிம்பம் {b₁b₂, b₁b₃, b₁b₄, b₂b₃, b₂b₄, b₃b₄,} ஆகும்.

A= \(\left[ \begin{matrix} 1 \\ 3 \\ \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ -1 \\ \begin{matrix} -2 \\ -1 \end{matrix} \end{matrix}\begin{matrix} -1 \\ 2 \\ \begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix} \end{matrix} \right] \)
\(\left.\xrightarrow[R_4 \rightarrow R_4-R_1]{\substack{R_2 \rightarrow R_2-3 R_1 \\ R_3 \rightarrow R_3-R_1}} \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 2 & -1 \\ 0 & -7 & 5 \\ 0 & -4 & 4 \\ 0 & -3 & 2 \end{array}\right.\right]\)
\(\begin{aligned} & \xrightarrow[R_4 \rightarrow(-1) R_4]{\substack{R_2 \rightarrow(-1) R_2 \\ R_3 \rightarrow(-1) R_3}}\left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 7 & -5 \\ 0 & 4 & -4 \\ 0 & 3 & -2 \end{array}\right] \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} & \xrightarrow[R_4 \rightarrow 7 R_4-3 R_2]{R_3 \rightarrow 7 R_3-4 R_2}\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 7 & -5 \\ 0 & 0 & -8 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} & \xrightarrow{R_3 \rightarrow \frac{R_3}{-8}}\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 7 & -5 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} & \xrightarrow{R_4 \rightarrow R_4-R_3}\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 7 & -5 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right] \end{aligned}\)
கடைசி சமான அணி ஏறுபடி வடிவத்தில் உள்ளது. இது மூன்று அபூச்சிய நிறைகளைப் பெற்றுள்ளது. 
\(\therefore\) \(ρ\)(A) = 3

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டை 7x³ − 43x² − 43x +7 = 0 என மாற்றி எழுதலாம். இது முதல்வகையைச் சார்ந்த ஒற்றைப்படை படி தலைகீழ் சமன்பாடு. எனவே −1 ஒரு தீர்வாகும். ஆகையால் x+1 ஒரு காரணியாகும். 7x³ − 43x² − 43x +7 என்ற பல்லுறுப்புக்கோவையை x+1 ஆல் வகுக்க 7x²-50x+7 எனும் ஒரு காரணி கிடைக்கிறது. இதனைத் தீர்க்க 7 மற்றும் \(\frac{1}{7}\) மூலங்களாகக் கிடைக்கிறது. எனவே கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டிற்கு -1,\(\frac{1}{7}\),7 தீர்வுகளாக அமையும்.

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு 2x⁴-8x³+6x²-3=0
இங்கு a=2, b=-8, c=6, d=0, e=-3
α,β,\(\gamma \) மற்றும் δ என்பது சமன்பாடு (1)-ன் மூலங்கள் என்க.
வியட்டாவின் சூத்திரப்படி,
Σ₁=\(\alpha +\beta +\gamma +\delta =\frac { -b }{ a } =\frac { -(-8) }{ 2 } \)=4
Σ₂=\(\alpha \beta +\alpha \gamma +\alpha \delta +\beta \gamma +\beta \delta +\gamma \delta =\frac { c }{ a } =\frac { 6 }{ 2 } \)=3
Σ₃=\(\alpha \beta \gamma +\alpha \beta \delta +\alpha \gamma \delta +\beta \gamma \delta =\frac { -d }{ a } =\frac { 0 }{ a } \)
Σ₄=αβ\(\gamma \)δ  =\(\frac { e }{ a } =\frac { -3 }{ 2 } \)
இப்பொழுது (a+b+c+d)²=a²+b²+c²+d²+2(ab+ac+ad+bc+cd)
⇒ α²+β²+\(\gamma \)²+δ² =(α+β+\(\gamma \)+δ)²-2(αβ+α\(\gamma \)+αδ+β\(\gamma \)+βδ+\(\gamma \)δ)
α²+β²+\(\gamma \)²+δ²=4²-2(3)=16-6=10

இதற்கு நாம் முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் நீளங்கள் சமம் என நிறுவினால் போதும்.
z₁ = 1, z₂ = \(\frac { -1 }{ 2 } +i\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \\ \)மற்றும் z₃ = \(\frac { -1 }{ 2 } -i\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \) என்க .
முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் நீளங்களை காண்போம்
\(\left| { { z }_{ 1 }-z }_{ 2 } \right| =\left| 1-\left( \frac { -1 }{ 2 } +i \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \right) \right| =\left| \frac { 3 }{ 2 } -\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } i \right | =\sqrt { \frac { 9 }{ 4 } +\frac { 3 }{ 4 } } =\frac { 2\sqrt { 3 } }{ 2 } =\sqrt { 3 } \)
\(\left| { { z }_{ 2 }-z }_{ 3 } \right| =\left| \left( \frac { -1 }{ 2 } +i\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \right) -\left( \frac { -1 }{ 2 } -i\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \right) \right| =\sqrt { { \left( \sqrt { 3 } \right) }^{ 2 } } =\sqrt { 3 } \)
\(\left| { { z }_{ 3 }-z }_{ 1 } \right| =\left| \left( \frac { -1 }{ 2 } +i\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \right)-1 \right| =\left| \frac { -3 }{ 2 } -\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } i \right| =\sqrt { \frac { 9 }{ 4 } +\frac { 3 }{ 4 } } =\sqrt { 3 } \)
பக்கங்களின் நீளங்கள் சமம் எனவே, கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் ஒரு சமபக்க முக்கோணத்தை அமைக்கும்.

|A|=(2)(7)-(9)(1) = 14-9=5. எனவே, A^-1 =\(\frac { 1 }{ 5 } \left[ \begin{matrix} 7 & -9 \\ -1 & 2 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} \frac { 7 }{ 5 } & -\frac { 9 }{ 5 } \\ -\frac { 1 }{ 5 } & \frac { 2 }{ 5 } \end{matrix} \right] \)
எனவே, (A^-1)^T = \(\left[ \begin{matrix} \frac { 7 }{ 5 } & -\frac { 1 }{ 5 } \\ -\frac { 9 }{ 5 } & \frac { 2 }{ 5 } \end{matrix} \right] =\frac { 1 }{ 5 } \left[ \begin{matrix} 7 & -1 \\ -9 & 2 \end{matrix} \right] \) ... (1)
A^T=\(\left[ \begin{matrix} 2 & 1 \\ 9 & 7 \end{matrix} \right] \)எனவே |A^T| =(2)(7)-(1)(9) = 5
(A^T)^-1 = \(\frac { 1 }{ 5 } \left[ \begin{matrix} 7 & -1 \\ -9 & 2 \end{matrix} \right] \)... (2)
(1) மற்றும் (2)-லிருந்து கிடைப்பது, (A^-1)^T =(A^T)^-1 எனவே கொடுத்துள்ள பண்பு சரிபார்க்கப்பட்டது.

sin^-1(x)-ன் சார்பகம் [-1, 1] ஆகும்.
எனவே −1\(\le\)2 - 3x²\(\le\)1, ஆகையால் -3 \(\le\) -3x² \(\le\) -1
-3 \(\le\) -3x², எனும்போது  x² \(\le\) 1    ....(1)  
-3x² \(\le\) -1, எனும்போது x² \(\le\) \(\frac{1}{2}\)   ...(2)
சமன்பாடுகள் (1) மற்றும் (2) ஆகியவற்றிலிருந்து \(\frac{1}{3}\le x^2\le 1\) எனக் கிடைக்கிறது.
எனவே, \(\frac{1}{\sqrt3}\le |x|\le1\)
\(a\le|x|\le b\) என்பதிலிருந்து x \(\in[-b,-a]\cup[a,b]\) என கிடைக்கும் என்பதால், 
எனவே \(x\in[-1,-\frac{1}{\sqrt3}]\cup[\frac{1}{\sqrt3},1]\) 

p மற்றும் q சம்பந்தப்பட்ட நான்கு விதமான நிபந்தனைக் கூற்றுகள் கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளன
(i). p → q: (நிபந்தனைக் கூற்று) “பகா எண்களின் எண்ணிக்கை முடிவில்லாதது எனில் பின்னர் ஊட்டி கேரளாவில் உள்ளது”.
(ii). q → p: (மறுதலைக் கூற்று) “ஊட்டி கேரளாவில் உள்ளது எனில், பகா எண்களின் எண்ணிக்கை முடிவில்லாதது”
(iii). ¬ p → ¬q (எதிர்மறைக் கூற்று) “பகா எண்களின் எண்ணிக்கை முடிவில்லாதது அல்ல எனில், ஊட்டி கேரளாவில் இல்லை”.
(iv). ¬ q → ¬p (நேர்மாறுக் கூற்று) “ஊட்டி கேரளாவில் இல்லை எனில், பின்னர் பகா எண்களின் எண்ணிக்கை முடிவில்லாதது அல்ல”.

v(x, y, z) = x³ + y³ + z³ + xyz³
\(\frac { \partial v }{ \partial z } \) = 0 + 0 +3z² + 3xy = 3z² + 3xy
\(\frac { \partial v }{ \partial y } \) = 0 + 3y² + 0 + 3xz = 3y² + 3xz
\(\frac { { \partial }^{ 2 }v }{ \partial y\partial z } =\frac { { \partial } }{ \partial { y } } \left( \frac { \partial v }{ \partial z } \right) \) = 0 + 3x = 3x ...(1)
\(\frac { { \partial }^{ 2 }v }{ \partial z\partial y } =\frac { { \partial } }{ \partial { z } } \left( \frac { \partial v }{ \partial y } \right) \) = 0 + 3x = 3x ..... (2)
(1) மற்றும் (2) - ல் 
\(\frac { { \partial }^{ 2 }v }{ \partial y\partial z } =\frac { { \partial }^{ 2 }v }{ \partial z\partial y } \)

y = Acos x + Bsin x ...(1)
சமன்பாடு (1)ஐ தொடர்ந்து இருமுறை வகையிட, நாம் பெறுவது
\(\frac { dy }{ dx } \) = - Asin x + Bcos x. ...(2)
\(\frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } \) = - Acos x - Bsin x = -(Acos x + Bsin x). ... (3)
சமன்பாடு (1)ஐ (3)இல் பிரதியிட,\(\frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } +y=0\) எனும் தேவையான வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டை நாம் பெறுகிறோம்.

z = x + iy என்க. இங்கு x என்பது Re (z) மற்றும் y என்பது Im (z).
பிறகு \(\bar { z } \) = x - iy
z  + \(\bar { z } \) = x + iy + x - iy = 2x
\(\therefore \frac { z+\bar { z } }{ 2 } =x\)
\( \frac { z+\bar { z } }{ 2 } =Re(z)\)
மேலும் z- z = x + iy-(x-iy)
= x + iy - x + iy = 2iy
\(\frac { z-\bar { z } }{ 2i } =y\)
\(\therefore \frac { z-\bar { z } }{ 2i } =Im(z)\)

வட்டத்தின் சமன்பாடு x²+ y² - 6x - 6y - 8 = 0
\(\therefore\) (x₁, y₁) தொடுகோட்டின் சமன்பாடு 
\({ xx }_{ 1 }+{ yy }_{ 1 }-\cfrac { 6 }{ 2 } \left( x+{ x }_{ 1 } \right) +\cfrac { 6 }{ 2 } \left( y+{ y_{ 1 } } \right) -8=0\)
கொடுக்கப்பட்ட (x₁, y₁), (2, 2)
(2, 2) -ல் தொடுகோட்டின் சமன்பாடு 
\(\Rightarrow\) x(2)+y(2)-3(x+2)+3(y+2)-8 = 0

-x+5y-8 = 0
x-5y+8 = 0
செங்கோட்டின் சமன்பாடு 
yx₁-xy₁+g(y-y₁)-f(x-x₁) = 0
y(2)-x(2)-3(y-2)-3(x-2) = 0
\(\left[ \because 2g=6\Rightarrow g=-3;2f=6\Rightarrow f=3 \right] \)
\(\Rightarrow\) 2y - 2x - 3y + 6 - 3x + 6 = 0
\(​​\)\(\Rightarrow\) -5x - y + 12 = 0
\(\Rightarrow\) 5x + y - 12 = 0