கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு c²+y²-2x+5y+7 = 0
இங்கு \(2g=-2\Rightarrow g=-1\Rightarrow 2f5\Rightarrow 5\Rightarrow f=\cfrac { 5 }{ 2 } \) 
c = 7
மையம் \(\left( -g,-f \right) =\left( 1,\cfrac { -5 }{ 2 } \right) \) 
\(r=\sqrt { { g }^{ 2 }+{ f }^{ 2 }-c } =\sqrt { { 1 }^{ 2 }+\left( \cfrac { -5 }{ 2 } \right) ^{ 2 }-7 } \) 
= \(\sqrt { 1+\cfrac { 25 }{ 4 } -7 } =\sqrt { \cfrac { 25 }{ 4 } -6 } =\sqrt { \cfrac { 1 }{ 4 } } =\cfrac { 1 }{ 2 } \) 
\(\therefore\) வட்டத்தின் சுற்றளவு = \(2\pi r=2\pi \left( \cfrac { 1 }{ 2 } \right) =\pi \)  அலகுகள்
வட்டத்தின் பரப்பு = \({ \pi r }^{ 2 }=\pi \left( \cfrac { 1 }{ 2 } \right) ^{ 2 }=\cfrac { \pi }{ 4 } \) சதுர அலகுகள் 

கொடுக்கப்பட்ட \(\vec { OA } =6\hat { i } -7\hat { j } \), \(\vec { OB } =16\hat { i } -29\hat { j } -4\hat { k } \), \(\vec { OC } =3\hat { i } -6\hat { j } \) மற்றும் \(\vec { OD } =2\hat { i } +5\hat { j } +10\hat { k } \)
\(\vec { AB } =\vec { OB } -\vec { OA } =10\hat { i } -22\hat { j } -4\hat { k } \)
\(\vec { AC } =\vec { OC } -\vec { OA } =-6\hat { i } +10\hat { j } -6\hat { k } \)
\(\vec { AD } =\vec { OD } -\vec { OA } =-4\hat { i } +12\hat { j } +10\hat { k } \)
∴ \([\vec { AB } \vec { AC } \vec { AD } ]=\left| \begin{matrix} 10 & -22 & -4 \\ -6 & -10 & -6 \\ -4 & 12 & 10 \end{matrix} \right| \)
= 10(100 + 75) + 22(-60 -24) -4(-72 + 40)
= 1720 - 1848 + 128 = 0
எனவே கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் ஒரு தளம் அமைவன

\(\overset { \rightarrow }{ a } =3\overset { \wedge }{ i } -5\overset { \wedge }{ k } ,\overset { \rightarrow }{ b } =2\overset { \wedge }{ i } +7\overset { \wedge }{ j } \) மற்றும் \(\overset { \rightarrow }{ c } =\overset { \wedge }{ i } +\overset { \wedge }{ j } +\overset { \wedge }{ k } \) என்க. தேவையான வெக்டர் \(\overset { \rightarrow }{ r } =x\overset { \wedge }{ i } +y\overset { \wedge }{ j } +z\overset { \wedge }{ k } \) என்க.
கொடுக்கப்பட்ட \(\overset { \rightarrow }{ r } .\overset { \rightarrow }{ a } =-1\)
\(\Rightarrow \left( x\overset { \wedge }{ i } +y\overset { \wedge }{ j } +z\overset { \wedge }{ k } \right) .\left( 3\overset { \wedge }{ i } -5\overset { \wedge }{ k } \right) =-1\)
⇒ 3x - 5z = -1      ......(1)
\(\overset { \rightarrow }{ r } .\overset { \rightarrow }{ b } =6\)
\(\Rightarrow \left( x\overset { \wedge }{ i } +y\overset { \wedge }{ j }+z\overset { \wedge }{ k } \right) .\left(2\overset {\wedge }{ i } +7\overset { \wedge }{ j } \right)\) = 2x + 7y = 6  ....(2)
\(\overset { \rightarrow }{ r } .\overset { \rightarrow }{ i } =5\)
\(\Rightarrow \left( x\overset { \wedge }{ i } +y\overset { \wedge }{ j } +z\overset { \wedge }{ k } \right) .\left( \overset { \wedge }{ i } +\overset { \wedge }{ j } +\overset { \wedge }{ k } \right) \) = x + y + z = 5   ...(3)
தீர்க்க (1), (2) மற்றும் (3) ல் கிடைப்பது 
x = 3, y = 0 மற்றும் z = 2.
\(\therefore \overset { \rightarrow }{ r } =3\overset { \wedge }{ i } +2\overset { \wedge }{ k } \)

\({ cos }^{ -1 }\left( \frac { 4 }{ 5 } \right) =\theta \Rightarrow cos\theta =\frac { 4 }{ 5 } \) என்க. 
\(\therefore tan\theta =\frac { opp }{ adj } =\frac { 3 }{ 4 } \)
\(\Rightarrow \theta ={ tan }^{ -1 }\left( \frac { 3 }{ 4 } \right) \)
\(LHS={ cos }^{ -1 }\left( \frac { 4 }{ 5 } \right) +{ tan }^{ -1 }\left( \frac { 3 }{ 5 } \right) \)
\(={ tan }^{ -1 }\left( \frac { 3 }{ 4 } \right) +{ tan }^{ -1 }\left( \frac { 3 }{ 5 } \right) \)
\(\left[ \because { tan }^{ -1 }x+{ tan }^{ -1 }y={ tan }^{ -1 }\left( \frac { x+y }{ 1-xy } \right) \right] \)
\(={ tan }^{ -1 }\left( \frac { \frac { 3 }{ 4 } +\frac { 3 }{ 5 } }{ 1-\left( \frac { 3 }{ 4 } \right) \left( \frac { 3 }{ 5 } \right) } \right) \)
\(={ tan }^{ -1 }\left( \frac { \frac { 15+12 }{ 20 } }{ \frac { 20-9 }{ 20 } } \right) ={ tan }^{ -1 }\left( \frac { 27 }{ 20 } \times \frac { 20 }{ 11 } \right) \)
\(={ tan }^{ -1 }\left( \frac { 27 }{ 11 } \right) \)

-1 = i² = i x i = \(\sqrt { -1 } \times \sqrt { -1 } =\sqrt { (-1) } \times \sqrt { (-1) } \)
= \(\sqrt { 1 } \)
⇒ -1 = i
மேற்கூறிய நிரூபனத்தில் \(\sqrt { -1 } \times \sqrt { -1 } \) = \(\sqrt { (-1)(-1) } \) என பயன்படுத்தியது தவறு ஏனெனில் \(\sqrt { ab } =\sqrt { a } .\sqrt { b } \) என்பது a, b மட்டுமே உண்மை ஆகும்.

A=\(\left[ \begin{matrix} 4 & 4 & \begin{matrix} 0 & 3 \end{matrix} \\ -2 & 3 & \begin{matrix} -1 & 5 \end{matrix} \\ 1 & 4 & \begin{matrix} 8 & 7 \end{matrix} \end{matrix} \right] \) என்க
\(A\overset { { R }_{ 1 }\leftrightarrow { R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 4 & \begin{matrix} 8 & 7 \end{matrix} \\ -2 & 3 & \begin{matrix} -1 & 5 \end{matrix} \\ 4 & 4 & \begin{matrix} 0 & 3 \end{matrix} \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }+{ R }_{ 1 }\\ { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-{ 4R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 4 & \begin{matrix} 8 & 7 \end{matrix} \\ 0 & 11 & \begin{matrix} 15 & 19 \end{matrix} \\ 0 & -12 & \begin{matrix} -32 & -25 \end{matrix} \end{matrix} \right] \)
A ஏறுபடி வடிவில் உள்ளது மற்றும் 3 அபூச்சிய நிரைகள் உள்ளன.
∴ ρ(A)=3.