t நேரத்தில் பொருளின் இருப்பு x(t) என்க. பின்னர் \(\frac { dx }{ dt } =kx.\)
மாறிகளைப் பிரித்து எழுத, \(\frac { dx }{ x } =kdt\)
இரு பக்கமும் தொகையிட, \(log\left| x \right| =kt+log\left| C \right| \) அல்லது \(x={ Ce }^{ kt }\)
இங்கு C எதேச்சை மாறிலி.
t = 0 எனும்போது பொருளின் இருப்பு x₀ என்க. எனவே, C = x₀ ஆகும்.
ஆதலால், x = x₀e^kt
t = 50 எனும்போது x = 2x₀, என்பதால் \(k=\frac { 1 }{ 50 } log2\) ஆகும்.
எனவே, t நேரத்தில் பொருளின் இருப்பு \(x={ x }_{ 0 }{ 2 }^{ \frac { 1 }{ 50 } }\) ஆகும்.
t₁நேரத்தில் பொருளின் இருப்பு மும்மடங்காகிறது என்க.
அதாவது, t = t₁ எனில் x = 3x₀ என்பதால் \({ t }_{ 1 }=50\left( \frac { \log 3 }{ \log2 } \right) \) ஆகும்.
எனவே, \(50\left( \frac {\log3 }{ \log2 } \right) \) வருடங்களில் பொருளின் இருப்பு மும்மடங்காகும். 

\(g\left( x,y \right) =xlog\left( y/x \right) \) 
\(g\left( tx,ty \right) =txlog\left( \cfrac { ty }{ tx } \right) \) 
g என்பது படி உடைய சமபடிதான சார்பாகும்.
ஃ ஆய்லரின் தேற்றபடி 
 \(x\cfrac { \partial g }{ \partial x } +y\cfrac { \partial g }{ \partial y } =g\) 
சரிபார்த்தல்:
∴ \(\frac { \partial g }{ \partial x } \) = \(x.\frac { 1 }{ \frac { y }{ x } } \left( -\frac { y }{ { x }^{ 2 } } \right) +log\left( \frac { y }{ x } \right) \)(1)
= \(-\frac { { x }^{ 2 } }{ y } \left( \frac { y }{ { x }^{ 2 } } \right) log\left( \frac { y }{ x } \right) \)
= - 1 + log \(\left( \frac { y }{ x } \right) \)
\(\frac { \partial g }{ \partial y } =x.\frac { 1 }{ \left( \frac { y }{ x } \right) } \left( \frac { 1 }{ x } \right) =\frac { 1 }{ \frac { y }{ x } } =\frac { x }{ y } \)
\(x\frac { \partial g }{ \partial x } +y\frac { \partial g }{ \partial y } \)
= \(x\left( -1+log\frac { y }{ x } \right) +y\left( \frac { x }{ y } \right) \)

= x log \(\left( \frac { y }{ x } \right) \) = g
\(\therefore x\frac { \partial g }{ \partial x } +y\frac { \partial g }{ \partial y } \) = (g)

எனவே சரிபார்க்கப்பட்டது. 

\(\int _{ 0 }^{ \pi /4 }{ { sin }^{ 6 }2xdx } \) 
\(t=2x\)
\(dt=2dx\) 
\(I=\int _{ 0 }^{ \pi /2 }{ { sin }^{ 6 }t\cfrac { dt }{ 2 } } \) 
இங்கு n=6 என்பது இரட்டை எண் 
\(\therefore \int _{ 0 }^{ \pi /2 }{ { sin }^{ n }xdx } =\cfrac { \left( n-1 \right) }{ n } \times \cfrac { \left( n-3 \right) }{ (n-2) } \times ...\times \cfrac { 1 }{ 2 } \times \cfrac { \pi }{ 2 } \) 
\(\int _{ 0 }^{ \pi /2 }{ { sin }^{ 6 }t\cfrac { dt }{ t } } =\cfrac { 1 }{ 2 } \times \cfrac { 5 }{ 6 } \times \cfrac { 3 }{ 4 } \times \cfrac { 1 }{ 2 } \times \cfrac { \pi }{ 2 } \) = \(\cfrac { 5\pi }{ 2 } \)

\(f(x)=log\left( 1-x \right)\) என்க\(-1\le x<1\) 
\(f(x)=log\left( 1-x \right) \quad f(0)=0\) 
\(f'(x)=-\cfrac { 1 }{ 1-x } \quad f'(0)=-1\) 
\(f''(x)=-\cfrac { 1 }{ \left( 1-x \right) ^{ 2 } } \quad f''(0)=-1\) 
\(f'''(x)=-\cfrac { 2 }{ (1-x)^{ 3 } } f'''(0)=-2\) 
\({ f }^{ IV }\left( x \right) =-\cfrac { 6 }{ (1-x)^{ 4 } } { f }^{ IV }(0)=-6\) 
மெக்லாரின் விரிவு 
\(f(x)=\overset { \infty }{ \underset { n=0 }{ \Sigma } } \cfrac { { f }^{ (n) }(0){ x }^{ n } }{ n! } \) 
\(f(0)+\cfrac { f'(0) }{ 1! } x+\cfrac { f''(0) { x }^{ 2 }}{ 2! }+...+\cfrac { { f }^{ (n) }(0){ x }^{ n } }{ n! } +...\) 
\(\log(1-x)=0\cfrac { 1 }{ 1! } x-\cfrac { 1 }{ 2! } { x }^{ 2 }-\cfrac { 2 }{ 3! } { x }^{ 3 }-\cfrac { 6 }{ 4! } { x }^{ 4 }+...\) 
\(=-\left[ x+\cfrac { { x }^{ 2 } }{ 2 } +\cfrac { { x }^{ 3 } }{ 3 } +\cfrac { { x }^{ 4 } }{ 4 } +... \right] \)

\(f(x)=\cfrac { { x }^{ 2 }-2x }{ x+2 } ,x\varepsilon \left[ -1,6 \right] \) 
\(f(-1)=\cfrac { 1+2 }{ -1+2 } =3\) 
\(f(6)=\cfrac { 36-12 }{ 8 } =\cfrac { 24 }{ 8 } =3\) 
\(\Rightarrow f(-1)=3f(6)\) 
f(x) என்பது [-1,6]ல் தொடர்ச்சியானது 
f(x) என்பது (-1,6)ல் வகையிடத்தக்கது 
இப்போது,\(f'\left( x \right) =\cfrac { \left( x+2 \right) \left( 2x-2 \right) -\left( { x }^{ 2 }-2x \right) (1) }{ \left( x+2 \right) ^{ 2 } } \) 
= \(\cfrac { { x }^{ 2 }+4x-4 }{ \left( x+2 \right) ^{ 2 } } \) 
தொடுகோடு, x -அச்சுக்கு இணை என்பதால் 
\(f'(x)=0\) 
\(\Rightarrow { x }^{ 2 }+4x-4=0\) 
\(\Rightarrow x=-\cfrac { 4\pm \sqrt { 16+16 } }{ 2 } \) 
= \(-\cfrac { -4\pm 4\sqrt { 2 } }{ 2 } =-2\pm 2\sqrt { 2 } \) 
\(x=-2\pm 2\sqrt { 2 } \in \left( -1,6 \right) \)

f(x) = 8x³ − 2x² − 7x + 3 = 0 என்க. இங்கு ஒற்றைப்படி உறுப்புகளின் கெழுக்களின் கூடுதல்
=8-7=1
மற்றும் இரட்டைப்படி உறுப்புகளின் கெழுக்களின் கூடுதல்
=-2+3=1
எனவே, x=-1 என்பது f(x) ன் ஒரு மூலமாகும்.
f(x) ஐ (x+1) ஆல் வகுக்க

∴ மற்ற காரணியானது 8x²-10x+3
⇒ x=\(\frac { 10\pm \sqrt { 100-4(8)(3) } }{ 2\times 8 } \)
⇒ x=\(\frac { 10\pm \sqrt { 100-96 } }{ 16 } \Rightarrow x=\frac { 10\pm 2 }{ 16 } \)
⇒ x=\(\frac { 12 }{ 16 } \) அல்லது
x=\(\frac { 8 }{ 16 } \Rightarrow x=\frac { 3 }{ 4 } ,\frac { 1 }{ 2 } \)
∴ மூலங்கள் -1,\(\frac { 1 }{ 2 } ,\frac { 3 }{ 4 } \).

\(2{ \tan }^{ -1 }x={ \cos }^{ -1 }\frac { 1-{ a }^{ 2 } }{ 1+{ a }^{ 2 } } -{ \cos }^{ -1 }\frac { 1-{ b }^{ 2 } }{ 1+{ b }^{ 2 } } ,a>0,b>0\)
a = tan θ மற்றும் b = tan ф என்க.
∴ cos^-1 \(\left( \frac { 1-{ a }^{ 2 } }{ 1+{ a }^{ 2 } } \right) \) = \({ cos }^{ -1 }\left( \frac { 1-{ \tan }^{ 2 }\theta }{ 1+{\tan }^{ 2 }\theta } \right) \)
= cos^-1 (cos 2θ) = 2θ    -------(1)
\(\left[ \because cos2\theta =\frac { 1-{ tan }^{ 2 }\theta }{ 1+{ tan }^{ 2 }\theta } \right] \)
மேலும் \({ \cos }^{ -1 }\left( \frac { 1-{ b }^{ 2 } }{ 1+{ b }^{ 2 } } \right) ={ \cos }^{ -1 }\left( \frac { 1-{ tan }^{ 2 }\phi }{ 1+{ tan }^{ 2 }\phi } \right) \)
= cos^-1 (cos 2ф) = 2ф   -----(2)
∴ 2 tan^-1 x = 2θ - 2ф = 2 (θ - ф)
[(1) மற்றும் (2) ஐ பயன்படுத்தி]
⇒ tan^-1 x = θ - ф
⇒ x = tan (θ - ф) = \(\frac { tan\theta -tan\phi }{ 1+tan\theta \quad tan\phi } \)
[∵ tan (A - B) = \(\frac { tanA-tanB }{ 1+tanA\quad tanB } \)]
⇒ x = \(\frac { a-b }{ 1+ab } \) என்பது தீர்வாகும்.

இங்கு ஒற்றைப் படியுள்ள உறுப்புகளின் கெழுக்களின் கூடுதலும் இரட்டைப் படியுள்ள உறுப்புகளின் கெழுக்களின் கூடுதலும் சமமாக இருக்கின்றது. எனவே, -1 என்பது இச்சமன்பாட்டின் ஒரு மூலமாகும். இனி பிற மூலங்களைக் கண்டறிய 2x³ +11x² − 9x −18 -ஐ x+1 ஆல் வகுத்து 2x²+ 9x -18 என்பதை ஈவாகப் பெறுகிறோம். இதனைத் தீர்ப்பதன் மூலம், \(\\ \frac { 3 }{ 2 } \) மற்றும் -6 ஆகியவற்றை மூலங்களாக பெறுகிறோம். எனவே கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டிற்கு -6,-1,\(\\ \frac { 3 }{ 2 } \) ஆகியவை தீர்வுகளாக அமையும்.

z = (cos θ + i sin θ) என்க.
டி மாய்வரின் தேற்றப்படி
zⁿ = (cos θ + i sin θ)ⁿ = cos nθ + i sin nθ
\(\frac { 1 }{ { z }^{ n } } \) = z^-n =  cos nθ + i sin nθ
ஆகவே, \({ z }^{ n }+\frac { 1 }{ { z }^{ n } } \) = (cos nθ + i sin nθ) + (cos nθ - i sin nθ)
\({ z }^{ n }+\frac { 1 }{ { z }^{ n } } \) = 2 cos nθ.
இதுபோலவே,
\({ z }^{ n }-\frac { 1 }{ { z }^{ n } } \) = (cos nθ + i sin nθ) - (cos nθ - i sin nθ)
\({ z }^{ n }-\frac { 1 }{ { z }^{ n } } \) = 2i sin nθ.

கொடுக்கப்பட்டது z³ + 2\(\bar { z } \) = 0
\(\Rightarrow { z }^{ 3 }=-2\bar { z } \)
இருபுறமும் மட்டுப்படுத்த, \(\left| { z }^{ 3 } \right| =\left| -2\bar { z } \right| \)
\(\Rightarrow { \left| z \right| }^{ 3 }=2\left| z \right| \)
\(\Rightarrow \left| z \right| \left[ { \left| z \right| }^{ 2 }-2 \right] =0\)
\(\left| z \right| =0\) அல்லது \({ \left| z \right| }^{ 2 }-2=0\)
\(\Rightarrow z =0\) ஒரு தீர்வு ...(1)
\(\left| { z }^{ 2 } \right| =2\)
\(\Rightarrow { \left| z \right| }^{ 2 }=2\Rightarrow (z{ \bar { z } ) }^{ 2 }=2\)
\(\Rightarrow z\bar { z } =\sqrt { 2 } \Rightarrow \bar { z } =\frac { \sqrt { 2 } }{ z } \)
கொடுக்கப்பட்ட z³ + 2\(\bar { z } \) = 0
\(\Rightarrow { z }^{ 3 }+2.\frac { \sqrt { 2 } }{ z } =0\)
\(\Rightarrow { z }^{ 4 }+2\sqrt { 2 } =0\) ...(2)
z⁴ = -4
இது 4 பூஜ்யமற்ற தீர்வுகளை கொண்டிருக்கும்.
எனவே (1) மற்றும் (2) லிருந்து, z³ + 2\(\bar { z } \) க்கு 5 தீர்வுகள்.

\(\left| { z }_{ 1 } \right| =\left| 3+4i \right| =\sqrt { { 3 }^{ 2 }+{ 4 }^{ 2 } } =5\)
\(\left| { z }_{ 2 } \right| =\left| 5-12i \right| =\sqrt { { 5 }^{ 2 }+(-{ 12 })^{ 2 } } =13\)
\(\left| { z }_{ 3 } \right| =\left| 6+8i \right| =\sqrt { { 6 }^{ 2 }+{ 8 }^{ 2 } } =10\)
\(\left| { z }_{ 1 }+{ z }_{ 2 } \right| =\left| (3+4i)+(5-12i) \right| =\left| 8-8i \right| =\sqrt { 128 } =8\sqrt { 2 } \)
\(\left| { z }_{ 2 }-{ z }_{ 3 } \right| =\left| (5-12i)-(6+8i) \right| =\left| -1-20i \right| =\sqrt { 401 } \)
\(\left| { z }_{ 1 }+{ z }_{ 3 } \right| =\left| (3+4i)+(6+8i) \right| =\left| 9+12i \right| =\sqrt { 225 } =15\)
எல்லா வகைகளிலும் முக்கோணச் சமனிலி நிறைவு செய்யப்பட்டுள்ளது என்பதைக் காண்க
\(\left| { z }_{ 1 }+{ z }_{ 3 } \right| =\left| { z }_{ 1 } \right| +\left| { z }_{ 2 } \right|\) = 15 (ஏன்?)

z, iz மற்றும் z + iz  ஐ ஆர்கண்ட் தளத்தில் குறிக்க.
z = 2 + 3i (2,3) எனக் குறிக்கலாம்.
iz = i (2 + 3i) = 2i + 3i² = 2i -3 = -3 + 2i (-3, 2) எனக் குறிக்கலாம்.
z + iz = 2 + 3i; -3 + 2i = -1 + 5i (-1, 5) என ஆர்கண்ட் தளத்தில் குறிக்கலாம்.

கொடுக்கப்பட்ட \(\vec { a } ,\vec { b } \) மற்றும் \(\vec { c } \)  ஒரு தள வெக்டர்கள்
\(\therefore \vec { a } .\left( \vec { b } \times \vec { c } \right) =0\) 
\(\Rightarrow \left| \begin{matrix} a & a & c \\ 1 & 0 & 1 \\ c & c & b \end{matrix} \right| =0\) 
\(\Rightarrow a\left| \begin{matrix} 0 & 1 \\ c & b \end{matrix} \right| -a\left| \begin{matrix} 1 & 1 \\ \quad c & b \end{matrix} \right| +c\left| \begin{matrix} 1 & 0 \\ c & c \end{matrix} \right| =0\) 
\(\Rightarrow a\left( 0-c \right) -a\left( b-c \right) +c\left( c-0 \right) =0\) 

\(\Rightarrow { c }^{ 2 }=ab\Rightarrow c=\sqrt { ab } \)
எனவே a மற்றும் b யின் பெருக்குச் சராசரி c ஆகும்.

\(V(t)=30+12{ t }^{ 2 }-{ t }^{ 3 }\) \(dt=4 \frac{1}{6}-4\) 
 \(V'\left( t \right) =\left( 24t-{ 3t }^{ 2 } \right) dt\) 
= \(\left( 24\left( 4 \right) -3\left( 4 \right) ^{ 2 } \right) \times \frac{1}{6}\) 
= \(\left( 96-48 \right) \times 1/6\) 
= \(48\times \frac{1}{6}\) 
= 8
வாக்காளர்களின் எண்ணிக்கை (ஆயிரங்களில்)
\(\therefore\) தோராய வாக்காளர்களின் எண்ணிக்கை மாற்றம் =  8 x 1000 = 8000

(i) கொடுக்கப்பட்டது r=10
dr=10-9.8=0.2
கன அளவு \(v=\cfrac { 4 }{ 3 } { \pi r }^{ 3 }\) 
\(dr=\cfrac { 4 }{ 3 } .3{ \pi r }^{ 2 }.dv\) 
கன அளவில் ஏற்படும் மாற்றம் 
\(10-v(9.8)=4\pi \left( 10 \right) ^{ 2 }\left( 0.2 \right) \) 
= \(80\pi \) செ.மீ³
(ii) வளைப்பரப்பு = \(4{ \pi r }^{ 2 }\) 
\(ds=8\pi rdr\) 
வளைபரப்பில் ஏற்படும் மாற்றம் 
\(S(10)-S(9.8)=ds\) 
= \(8\pi \times 10\times 0.2\) 
= \(16\pi \) செ.மீ²

முதலில் y=tanx மற்றும் y=cotx ஆகியவை வெட்டும் புள்ளிகளைக் காண 
\(tanx=cotx\) 
\(\cfrac { tanx }{ cotx } =1\) 
\({ tan }^{ 2 }x=1\) 
tanx=1
\(x=\cfrac { \pi }{ 4 } ,y=1\) 
 
தேவையான பரப்பு = \(\int _{ 0 }^{ \pi /4 }{ tanxdx+\int _{ \pi /4 }^{ \pi /2 }{ cotxdx } } \\ \) 
= \(\left[ logsecx \right] _{ 0 }^{ \pi /4 }+\left[ logsinx \right] _{ \pi /4 }^{ \pi /2 }\) 
= \(\left[ \log \sec\cfrac { \pi }{ 4 } -\log \sec0 \right] +\left[ \log \sin\cfrac { \pi }{ 2 } -\log \sin\cfrac { \pi }{ 4 } \right] \) 
= \(log\sqrt { 2 } -0+0-log\cfrac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \) 
= \(log\sqrt { 2 } +log\sqrt { 2 } \) 
= \(log\left( \sqrt { 2 } \right) ^{ 2 }\) 
= log 2 சதுர அலகுகள் 

\(X\sim B(n,p)\) 
கொடுக்கப்பட்டது: சராசரி=6, திட்ட விலக்கம் = 2
\(np=6,\sqrt { npq } =2\) 
\(npq=4\) 
\(\cfrac { npq }{ np } =\cfrac { 4 }{ 6 } \) \(\Rightarrow\) \( q=\cfrac { 2 }{ 3 } \)
\(\mathrm{p}=1-\mathrm{q}=\frac{1}{3}\)
npq = 4
\(\mathrm{n} \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3}=4 \Rightarrow \mathrm{n}=18\)
(i) நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பு 
\(P(X=x)=^{ n }{ C }_{ x },{ p }^{ x }{ q }^{ n-x },x=0,1,2..,n\) 
\(P\left( X=x \right) =^{ 18 }{ C }_{ x }\left( \cfrac { 1 }{ 3 } \right) ^{ x }\left( \cfrac { 2 }{ 3 } \right) ^{ 18-x }\) 
\(x=0,1,2,..18\) 
(ii) \(P(X=3)\) 
\(P(X=3)=^{ 18 }{ C }_{ 3 }\left( \cfrac { 1 }{ 3 } \right) ^{ 3 }\left( \cfrac { 2 }{ 3 } \right) ^{ 15 }\) 
(iii) \(P(X\ge 2)\) 
\(P(X\ge 2)=1-P(X<2)\) 
= \(1-\left[ P(X=0)+P(X=1) \right] \) 
= \(1-\left[ ^{ 18 }{ C }_{ 0 }\left( \cfrac { 1 }{ 3 } \right) ^{ 0 }\left( \cfrac { 2 }{ 3 } \right) ^{ 18 }+^{ 18 }{ C }_{ 1 }\left( \cfrac { 1 }{ 3 } \right) ^{ 1 }\left( \cfrac { 2 }{ 3 } \right) ^{ 17 } \right] \) 
= \(1-\left( \cfrac { 2 }{ 3 } \right) ^{ 17 }\times \cfrac { 20 }{ 3 } \)

சமவாய்ப்பு மாறி X என்பது 4 குழந்தைகள் கொண்ட குடும்பத்தில் பெண் குழந்தைகளின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கட்டும்.
\(X=\left\{ 0,1,2,3,4 \right\} \)
X(0) = {BBBB}
X (1) = {GBBB, BGBB, BBGB, BBBG}
X (2) = {GGBB, BBGG, GBGB, BGBG, BGGB, GBBG)
X (3) = {BGGG, GGGB, GBGG, GGBG}
X(4) = {GGGG}

சமவாய்ப்பு மாறி X-ன் மதிப்புகள்	0	1	2	3	4	மொத்தம்
நேர்மாறு பிம்பங்களில் உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை	1	4	6	4	1	16

(i) நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பு 

x	0	1	2	3	4	மொத்தம்
f(x)	\(\cfrac { 1 }{ 16 } \)	\(\cfrac { 4 }{ 16 } \)	\(\cfrac { 6 }{ 16 } \)	\(\cfrac { 4 }{ 16 } \)	\(\cfrac { 1 }{ 16 } \)	1

(ii) குவிவு பரவல் சார்பு 
\(\mathrm{F}(\mathrm{x})=\mathrm{P}(\mathrm{X} \leq \mathrm{x})=\sum_{x_i \leq \mathrm{x}} P\left(X=x_i\right)\)
\(\mathrm{P}(\mathrm{X}<0)=0,-\infty<\mathrm{x}<0\)
\(F(0)=P(X\le 0)=P(X=0)=\cfrac { 1 }{ 16 } \) 
\(F(1)=P(x\le 1)=P(X=0)+P(X=1)=\cfrac { 1 }{ 16 } +\cfrac { 4 }{ 16 } =\cfrac { 5 }{ 16 } \)
\(F(2)=P(X\le 2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=\cfrac { 1 }{ 16 } +\cfrac { 4 }{ 16 } +\cfrac { 6 }{ 16 } =\cfrac { 11 }{ 16 } \)
\(F(3)=P(X\le 3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)\)
\(\begin{aligned} = \frac{1}{16}+\frac{4}{16}+\frac{6}{16}+\frac{4}{16}=\frac{15}{16} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \mathrm{~F}(4)=\mathrm{P}(X \leq 4)= & \mathrm{P}(X=0)+\mathrm{P}(X=1)+\mathrm{P}(X=2) +\mathrm{P}(X=3)+\mathrm{P}(X=4) \\ \end{aligned}\)
\(=\frac{15}{16}+\frac{1}{16}=1\)

I =  \(\int ^{a}_{0} \frac{f{(x)}}{f{(x)}+f(a-x)}\) dx  என்க.   --- (1)
\(\int ^{a}_{0}\) f(x) dx = \(\int ^{a}_{0}\) f(a-x)dx  என்பதை (1)-ல் பயன்படுத்தக் கிடைப்பது,
 I =  \(\int ^{a}_{0} \frac{f{(a-x)}}{f{(a-x)}+f(a-(a-x))}\) dx
= \(\int ^{a}_{0} \frac{f{(a-x)}}{f{(x)}+f(a-x)}\) dx.  ----- (2)
சமன்பாடுகள் (1)-ம் (2)-ம் கூட்டக் கிடைப்பது,
2I =  \(\int ^{a}_{0} \frac{f{(x)}}{f{(x)}+f(a-x)}\) dx +  \(\int ^{a}_{0} \frac{f{(a-x)}}{f{(x)}+f(a-x)}\) dx
= \(\int ^{a}_{0} \frac{f(x) +f{(a-x)}}{f{(x)}+f(a-x)}\) dx
= \(\int ^{a}_{0} dx = a\)
எனவே நாம் பெறுவது  I = \(\frac{a}{2}\).

கொடுக்கப்பட்ட வளைவரைகள் \({ x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 }={ r }^{ 2 }\) ...(1) 
\(xy={ c }^{ 2 }\) ...(2)
\(\left( { x }_{ 1 },{ y }_{ 1 } \right) \) என்பது வளைவரைகள் வெட்டும் புள்ளி என்க.
\((1)\Rightarrow { x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 }={ r }^{ 2 }\) 
'x' ஐப் பொறுத்து வகைப்படுத்த 
\(2x-2y\cfrac { dy }{ dx } =0\) 
\(\cfrac { dy }{ dx } =\cfrac { x }{ y } \) 
இப்போது,\(\left( \cfrac { dy }{ dx } \right) _{ \left( { x }_{ 1 },{ y }_{ 1 } \right) }={ m }_{ 1 }=\cfrac { { x }_{ 1 } }{ { y }_{ 1 } } \) 
\((2)\Rightarrow xy={ c }^{ 2 }\) 
'x' 'ஐ'ப் பொறுத்து வகைப்படுத்த,
\(x\cfrac { dy }{ dx } +y.1=0\) 
\(\cfrac { dy }{ dx } =-\cfrac { y }{ x } \) 
\(\left( \cfrac { dy }{ dx } \right) _{ \left( { x }_{ 1 },{ y }_{ 1 } \right) }={ m }_{ 2 }=-\cfrac { { y }_{ 1 } }{ { x }_{ 1 } } \) 
இப்போது,\({ m }_{ 1 }\times { m }_{ 2 }=\cfrac { { x }_{ 1 } }{ { y }_{ 1 } } x\left( -\cfrac { { y }_{ 1 } }{ { x }_{ 1 } } \right) =-1\) 
எனவே,வளைவரைகள் செங்குத்தாக வெட்டிக்கொள்கின்றன.

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு  \( \frac { { y }^{ 2 } }{ 16 } -\frac { { x }^{ 2 } }{ 9 } =1\)
இது துணையச்சு y-அச்சுக்கு அதிபர வளையத்தின் சமன்பாடாகும்.
\(\therefore\) a² = 16, b² = 9, c² = a² + b²
\(\Rightarrow { c }^{ 2 }=16+9=25\Rightarrow c=5\)
\(e=\sqrt { 1+\cfrac { { b }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } } =\sqrt { 1+\cfrac { 9 }{ 16 } } =\sqrt { { \cfrac { 16+9 }{ 16 } } } =\sqrt { \cfrac { 25 }{ 16 } } =\cfrac { 5 }{ 4 } \)
(a) மையம் (0, 0)
\(\Rightarrow\) h = 0, k = 0
(b) முனைகள் (h, k+a), (h, k-a)
\(\Rightarrow \left( 0,0+4 \right) ,\left( 0,0-4 \right) \Rightarrow \left( 0,4 \right) \left( 0,-4 \right) \)
(c) குவியங்கள்
\(\Rightarrow \left( 0,0+4 \right) ,\left( 0,0-5 \right) \Rightarrow \left( 0,5 \right) \left( 0,-5 \right) \)
(d) இயக்குவரையின் சமன்பாடுகள் \(y=\pm \cfrac { a }{ e } \)
\(\Rightarrow y=\pm \cfrac { 4 }{ \frac { 5 }{ 4 } } \Rightarrow y=\pm \cfrac { 16 }{ 5 } \)

LHS = (1 + ω)(1 + ω2)(1 + ω4)(1 + ω8) ...(1 + \({ { \omega }^{ 2 } }^{ 11 }\))
= (1 + ω20)6(1 + ω21)(1 + ω22)(1 + ω23) ...(1 + \({ { \omega }^{ 2 } }^{ 11 }\))
[∵  ω4 =  ω3. ω ω8 =  ω6. ω2]
12 உறுப்புகள் உள்ளன.
= (1 + ω)(1 + ω2)(1 + ω)(1 + ω21) .... 12 உறுப்புகள்
= (1 + ω)6(1 + ω2)6(-ω)6(-ω2)6
=(ω3)6 = 1.1 ....6 = 1 RHS எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

கொடுக்கப்பட்ட கோட்டின் சமன்பாடு 
\(\cfrac { x-1 }{ 1 } =\cfrac { y }{ 2 } =z+1=t\)
\( 2(t+1)-2 t+2(t-1)-2 =0 \\ 2 t+2-2 t+2 t-2-2 =0 \\ 2 t-2=0 \Rightarrow 2 t =2 \Rightarrow t=1 \) 
வெட்டு புள்ளி (2, 2, 0)
\( \sin \theta =\frac{|\vec{b} \cdot \vec{n}|}{|\vec{b}||\vec{n}|} \\ \vec{b}=\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}, \quad \vec{n}=2 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k} \\ \vec{b} \cdot \vec{n} =2-2+2=2 \\ |\vec{b}| =\sqrt{1+4+1}=\sqrt{6} \\ |\vec{n}| =\sqrt{4+1+4}=\sqrt{9}=3 \\ \sin \theta =\frac{|2|}{\sqrt{6} \times 3}=\frac{2}{3 \sqrt{6}} \\ \theta =\sin ^{-1}\left(\frac{2}{3 \sqrt{6}}\right) \)

முக்கோணம் ABC-ல் ஆதிப்புள்ளி A என்க. எனவே D,E,F என்ற புள்ளிகளின் நிலைவெக்டர்கள் முறையே \(\frac { \vec { AB } +\vec { AC } }{ 2 } ,\frac { \vec { AC } }{ 2 } ,\frac { \vec { AB } }{ 2 } \). ஆகும். \(\vec { AB } ,\vec { AC }\) என்ற வெக்டர்களை அடுத்தடுத்த பக்கங்களாகக் கொண்ட இணைகரத்தின் பரப்பு \(​​\left| \vec { AB } \times \vec { AC } \right| \) என்பதால், முக்கோணம் \(\Delta \)ABC-ன் பரப்பு \(\frac {1}{2}\)\(​​\left| \vec { AB } \times \vec { AC } \right| \) ஆகும்.
இதேபோன்று, \(\Delta \)DEF-ஐக் கருதுக.
\(\Delta \)DEF -ன் பரப்பு  =\(\frac{1}{2}\)\(​​\left| \vec { DE } \times \vec { DF } \right| \)
= \(\frac{1}{2}\) \(​​\left| (\vec { AE }-\vec{AD}) \times (\vec { AF }-\vec{AD}) \right|​​\)
=\(\frac{1}{2}\) \(\left| \frac { \vec { AB } }{ 2 } \times \frac { \vec { AC } }{ 2 } \right| \)
= \(\frac14\) \(\left( \frac { 1 }{ 2 } \left| \vec { AB } \times \vec { AC } \right| \right) \)
= \(\frac14\) (\(\Delta \)ABC-ன் பரப்பு).

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு x²+px+q=0  .....(1)
மற்றும் x²+p'x+q'=0    .....(2)
α என்பது (1) மற்றும் (2)-ன் பொது மூலம்
∴ α²+pα+q=0       ........(3)
மற்றும் α²+p'α+q'=0          .........(4)
(3) மற்றும் (4) ஐ குறுக்கு பெருக்கல் முறையில் தீர்க்க கிடைப்பது
⇒ \(\frac { { \alpha }^{ 2 } }{ pq'-p'q } =\frac { \alpha }{ q-q' } =\frac { 1 }{ p'-p } \)
\( \Rightarrow \alpha^2=\frac{p q^{\prime}-p^{\prime} q}{p^{\prime}-p} \& \alpha=\frac{q-q^{\prime}}{p^{\prime}-p} \)
⇒ \( \alpha=\frac{\alpha^2}{\alpha}=\frac{\frac {p q^{\prime}-p^{\prime} q}{p'-q }}{\frac{q-q^{\prime}}{p^{\prime}-p}}=\frac{p q^{\prime}-p^{\prime} q}{q-q^{\prime}} \)
எனவே மூலங்கள் \(\frac { pq'-p'q }{ q-q' } \) அல்லது \(\frac { q-q' }{ p'-p } \).

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு \(\frac { { (x-3) }^{ 2 } }{ 225 } +\frac { { (y-4) }^{ 2 } }{ 289 } =1\)
இது அதிபரவளையத்தின் சமன்பாடு a² = 289
b² = 225 மற்றும் c² = a² + b²\(\Rightarrow\) 289 - 225 = 64
\(\Rightarrow\) c = 8
\(e=\sqrt { 1\frac { { b }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } } =\sqrt { 1-\cfrac { 225 }{ 289 } } =\sqrt { \cfrac { 2589-225 }{ 289 } } \)
\(\sqrt { \cfrac { 64 }{ 289 } } =\cfrac { 8 }{ 17 } \)
(a) மையம் (3,4) \(\Rightarrow\) h = 3, k = 4
(b) குவியங்கள் (h,k+c), (h,k-c), (h,k+a)
\(\Rightarrow\) (3, 4+8), (3, 4-8) \(\Rightarrow\) (3,12), (3,-4)
(c) முனைகள் (h, k-a), (h,k+a)
\(\Rightarrow\) (3,4,-17), (3,4+17) \(\Rightarrow\) (3,-13), (3,21)
(d) இயக்குவரைகளின் சமன்பாடுகள்
\(y-4=\pm \cfrac { a }{ e } \)
\(\Rightarrow y-4=\pm \cfrac { 17 }{ 18 } \Rightarrow y-4\pm \cfrac { 289 }{ 9 } \)
\(\Rightarrow y=\cfrac { 289 }{ 8 } +4\) மற்றும் \(y=\cfrac { -289 }{ 8 } +4\)
\(\Rightarrow y=\cfrac { 289+32 }{ 2 } \)  மற்றும் \(y=\cfrac { -257 }{ 8 } \)

\(\frac { x-1 }{ 2 } =\frac { y+1 }{ 3 } =\frac { z-1 }{ 4 }\)
கொடுக்கப்பட்ட கோடுகள் 
\(\vec { a } =\hat { i } -\hat { j } +\hat { k } \) மற்றும் \(\vec { b } =2\hat { i } +3\hat { j } +4\hat { k } \) 
\(\cfrac { x-3 }{ 1 } =\cfrac { y-m }{ 2 } =\cfrac { z-0 }{ 1 } \Rightarrow \vec { c } =3\hat { i } +3\hat { j } \) 
\(\vec { d } =\hat { i } +2\hat { j } +\hat { k } \) 
\(\vec { c } -\vec { a } =\left( 3\hat { i } +m\hat { j } \right) -\left( \hat { i } -\hat { j } +\hat { k } \right) \)
= \(2\hat { i } +(m+1)\hat { j } -\hat { k } \)  
\(\vec { b } \times \vec { d } =\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \end{matrix} \right| \) 
= \(-5\hat { i } +2\hat { j } +\hat { k } \) 
கோடுகள் ஒரே புள்ளியில் வெட்டுவதால் \(\left( \vec { c } -\vec { a } \right) \).\(\left( \vec { b } \times \vec { d } \right) \) =0
\(\Rightarrow 2\hat { i } +\left( m,+1 \right) \hat { j } -\hat { k } ).\left( -5\hat { i } +2\hat { j+\hat { k } } \right) =0\) 
\(\Rightarrow -10+2(m+1)-1=0\Rightarrow 0-10+2m+2-1=0\) 
\(\Rightarrow 2m-9=0\Rightarrow 2m=9\Rightarrow m=\cfrac { 9 }{ 2 } \)  \(\therefore m=\cfrac { 9 }{ 2 } \) 

நபரின் மாத ஆரம்ப ஊதியம் ரூ x என்க மற்றும் ஆண்டு உயர்வு ரூ y என்க.
கொடுக்கப்பட்ட தரவின்படி x + 3y = 19800 மற்றும் x + 9y = 23,400.
கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு தொகுப்பின் அணி வடிவம் 
\(\left[ \begin{matrix} 1 & 3 \\ 1 & 9 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 19800 \\ 23400 \end{matrix} \right] \)
⇒ AX=B இங்கு A=\(\left[ \begin{matrix} 1 & 3 \\ 1 & 9 \end{matrix} \right] \)மற்றும் \(B=\left[ \begin{matrix} 19800 \\ 23400 \end{matrix} \right] \)
\(|A|=\left| \begin{matrix} 1 & 3 \\ 1 & 9 \end{matrix} \right| =9-3=6\neq 0\)
A^-1 ஐக் காண இயலும்
\(\therefore { A }^{ -1 }=\frac { 1 }{ |A| } adj\quad A=\frac { 1 }{ 6 } \begin{bmatrix} 9 & -3 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}\)
\(\therefore X={ A }^{ -1 }B\)
\(\left[ \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right]=\frac { 1 }{ 6 } \begin{bmatrix} 9 & -3 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}\left[ \begin{matrix} 19800 \\ 23400 \end{matrix} \right] \)
\(=\frac { 1 }{ 6 } \left[ \begin{matrix} 178200 & -70200 \\ -19800 & +23400 \end{matrix} \right] \)
\(\left[ \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right]=\frac { 1 }{ 6 } \left[ \begin{matrix} 108000 \\ 3600 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 18000 \\ 600 \end{matrix} \right] \)
\(\therefore x=18000,\quad y=600\)
எனவே  ஆரம்ப ஊதியம் Rs. 18000 மற்றும் ஆண்டு உயர்வு Rs. 600.

கொடுக்கப்பட்ட \(A=\begin{bmatrix} 1 & tanx \\ -tanx & 1 \end{bmatrix}\)
\(\left| A \right| =1+{ tan }^{ 2 }x\)
\(\therefore { A }^{ -1 }=\frac { 1 }{ |A| } adjA\)
\(\frac { 1 }{ 1+{ tan }^{ 2 }x } \begin{bmatrix} 1 & -tanx \\ tanx & 1 \end{bmatrix}\)
[முதன்மை மூலைவிட்ட உறுப்புகளை இடமாற்ற மற்றும் மூலைவிட்டத்தில் இல்லாத உறுப்புகளின் குறியை மாற்ற)
\({ A }^{ T }=\begin{bmatrix} 1 & -tanx \\ tanx & 1 \end{bmatrix}\)
\(\therefore { A }^{ T }{ A }^{ -1 }=\begin{bmatrix} 1 & -tanx \\ tanx & 1 \end{bmatrix}.\cfrac { 1 }{ 1+{ tan }^{ 2 }x } \begin{bmatrix} 1 & -tanx \\ tanx & 1 \end{bmatrix}\)
\(\cfrac { 1 }{ 1+{ tan }^{ 2 }x } \begin{bmatrix} 1 & -tanx \\ tanx & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & -tanx \\ tanx & 1 \end{bmatrix}\)
\(\cfrac { 1 }{ 1+{ tan }^{ 2 }x } \begin{bmatrix} 1 & -{ tan }^{ 2 }x \\ tanx & +tanx \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -tanx & -tanx \\ { -tan }^{ 2 }x & +1 \end{bmatrix}\)
\(\begin{bmatrix} \cfrac { 1-{ tan }^{ 2 }x }{ 1+{ tan }^{ 2 }x } & \frac { -2tanx }{ 1+{ tan }^{ 2 }x } \\ \frac { 2tanx }{ 1+{ tan }^{ 2 }x } & \frac { 1-{ tan }^{ 2 }x }{ 1+{ tan }^{ 2 }x } \end{bmatrix}\)
\({ A }^{ T }{ A }^{ -1 }=\begin{bmatrix} cos2x & -sin2x \\ sin2x & cos2x \end{bmatrix}\)
[\(\because \sin { 2x=\frac { 2tanx }{ 1+{ tan }^{ 2 }x } } \) மற்றும் \(cos2x=\frac { 1-{ tan }^{ 2 }x }{ 1+{ tan }^{ 2 }x } \)
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

¬ p → ¬q (எதிர்மறைக் கூற்று) “பகா எண்களின் எண்ணிக்கை முடிவில்லாதது அல்ல எனில், ஊட்டி கேரளாவில் இல்லை”.

முனை (0,-1) மற்றும் y அச்சை அச்சாகவும் கொண்ட பரவளையக் குடும்பத்தின் சமன்பாடு 
\(\left( x-o \right) ^{ 2 }=4a(y+1)\) 
\({ x }^{ 2 }=4a(y+1)\) 
\({ x }^{ 2 }=4ay+4a\) 
சமன்பாடு (1) ஐ 'x' ஐப் பொறுத்து வகைப்படுத்தக் கிடைப்பது 
\(2x=4a{ y }^{ ' }\) 
\(\cfrac { 2x }{ y } =4a\) 
4a ன் மதிப்பை சமன்பாடு (1)ல் பிரதியிட 
\({ x }^{ 2 }=\cfrac { 2x }{ y' } \left( y+1 \right) \) 
\(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ x } =\cfrac { 2 }{ y' } \left( y+1 \right) \) 
\(x=\cfrac { 2 }{ y' } \left( y+1 \right) \) 
 \(xy'2y+2\) 
xy'-2y-2=0 என்பது தேவையான வகைக்கெழுச் சமன்பாடாகும்.

f(x) = 3x⁴-4x³ ; [-1,2]
\(f'\left( x \right) ={ 12x }^{ 3 }-{ 12x }^{ 2 }\) 
\(f'\left( x \right) =0\Rightarrow { 12x }^{ 2 }\left( x-1 \right) =0\) 
\(x=0,1 \in \left( -1,2 \right) \) 
தேக்க நிலை எண்கள் x = 0,1 மற்றும் இடைவெளியின் முடிவுப் புள்ளிகள் x = -1, 2
\(f(-1)=3+4=7\) 
\(f(0)=0-0=0\) 
\(f(1)=3-4=-1\)
f(2) = 48 - 32 = 16
மீப்பெரு அறுதி மதிப்பு f(2)=16
மீச்சிறு அறுதி மதிப்பு f(1)=-1

y = sin x என்ற வளைவரை மிகை x -அச்சை வெட்டும் போது y = 0 \(\Rightarrow x=n\pi , n=1,2,3,...\)
இப்பொழுது, \(\frac{dy}{dx}=cos \space x, x=n\pi\)-ல் சாய்வு  \(m_{1}=cos(n\pi)=(-1)^{n}\), x -அச்சின் சாய்வு m₂ = 0 ஆகும்.
இவைகளுக்கு இடைப்பட்ட கோணம் θ எனில்,
\(\tan\theta=|\frac{(-1)^{n}-0}{1+(-1)^{n}(0)}|=1, \forall n\)
\(\Rightarrow \theta=\frac{\pi}{4}\)

= [(5 -2i) + (-1 + 3i)]² = (4 + i)²
= 16 +i² + 8i = 16 -1 + 8i
= 15 + 8i

பண்புகாட்டி Δ=(4p)²-4(4)(p+2)=16(p²-p-2)=16(p+1)(p-2) ஆகும்.
எனவே,
−1< p < 2 எனில், Δ< 0
p = −1 அல்லது p = 2 எனில், Δ = 0
−∞ < p < −1 அல்லது 2 < p < ∞ எனில், Δ > 0
எனவே, கொடுக்கப்பட்டுள்ள பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு,
−1< p < 2 எனில், கலப்பெண் மூலங்களைப் பெற்றிருக்கும் ;
p = -1 அல்லது p = 2 எனில், சமமான மெய்யெண் மூலங்களைப் பெற்றிருக்கும் ;
− ∞ < p < −1 அல்லது 2 < p < ∞ எனில், வெவ்வேறான மெய்யெண் மூலங்களைப் பெற்றிருக்கும்.

அச்சு y-அச்சுக்கு இணை என்பதால் தேவையான பரவளையத்தின் சமன்பாடு
(x+1)² = 4a(y+2)
இது (3, 6) வழிச்செல்வதால் 
(3 + 1)² = 4a(6 + 2)
\(\Rightarrow\) a = \(\frac{1}{2}\)
எனவே பரவளையத்தின் சமன்பாடு (x + 1)² = 2(y + 2)
இதைச் சுருக்க x² + 2x - 2y - 3 = 0 எனக் கிடைக்கும்.

6x²<1 எனில், tan^-1 2x + tan^-13x = tan^-1\(\\ \left( \frac { 2x+3x }{ 1-{ 6x }^{ 2 } } \right) \)
\({ \tan }^{ -1 }\left( \frac { 5x }{ 1-{ 6x }^{ 2 } } \right) =\frac { \pi }{ 4 } \) என்பதால் \(\frac { 5x }{ 1-6{ x }^{ 2 } } =\tan\frac { \pi }{ 4 } =1\)
ஆகையால், 1 - 6x² = 5x, என்பதிலிருந்து 6x² + 5x -1 = 0
ஆகவே, \(x=\frac { 1 }{ 6 } ,-1\)
x = -1 என்பது சமன்பாட்டின் இடப்புறம் குறையெண் மதிப்பையும் மற்றும் வலப்புறம் மிகையெண் மதிப்பையும் தருகிறது என்பதை கவனிக்கவும். ஆகையால், x = -1 என்பது தீர்வாகாது. எனவே, \(x=\frac{1}{6}\) மட்டுமே சமன்பாட்டிற்குத் தீர்வாக அமையும்.