\(\int ^1_0\) [2x]dx = \(\int ^\frac{1}{2} _0\) [2x]dx +  \(\int _\frac{1}{2} ^1\) [2x]dx  = \(\int ^\frac{1}{2} _0\) 0dx+ \(\int_\frac{1}{2} ^1\) 1dx = 0+\([x]_\frac{1}{2} ^1\)  = 1- \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{1}{2}\)

\(\tan^{ -1 }\left( \frac { d }{ 1+{ a }_{ 1 }{ a }_{ 2 } } \right) =\tan^{ -1 }(\frac { { a }_{ 2 }-{ a }_{ 1 } }{ 1+{ a }_{ 1 }{ a }_{ 2 } } )=\tan^{ -1 }{ a }_{ 2 }-\tan^{ -1 }{ a }_{ 1 }\)
இதே போன்று \(\tan ^{-1}\left(\frac{d}{1+a_2 a_3}\right)=\tan ^{-1}\left(\frac{a_3-a_2}{1+a_2 a_3}\right)=\tan ^{-1} a_3-\tan ^{-1} a_2\)
தொடர்ந்து உய்த்தறிதல் மூலம் 
\(\tan ^{-1}\left(\frac{d}{1+a_n a_{n-1}}\right)=\tan ^{-1}\left(\frac{a_n-a_{n-1}}{1+a_{n-1} a_n}\right)=\tan ^{-1} a_n-\tan ^{-1} a_{n-1}\) என கிடைக்கிறது. 
செங்குத்தாக கூட்டும்போது. 
\(\tan ^{-1}\left(\frac{d}{1+a_1 a_2}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{d}{1+a_2 a_3}\right)+\ldots+\tan ^{-1}\left(\frac{d}{1+a_n a_{n-1}}\right)=\tan ^{-1} a_n-\tan ^{-1} a_1\) என நமக்கு கிடைக்கிறது.
\(\tan \left[\tan ^{-1}\left(\frac{d}{1+a_1 a_2}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{d}{1+a_2 a_3}\right)+\ldots+\tan ^{-1}\left(\frac{d}{1+a_n a_{n-1}}\right)\right]=\tan \left[\tan ^{-1} a_n-\tan ^{-1} a_1\right]\) 
\(=\tan \left[\tan ^{-1}\left(\frac{a_n-a_1}{1+a_1 a_n}\right)\right]=\frac{a_n-a_1}{1+a_1 a_n} .\)

 cosec^-1(-1) = y என்க. எனவே, cosec y = -1
y = cosec^-1x-ன் முதன்மை மதிப்பிற்குரிய வீச்சகம்  \([-\frac { \pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 2 }]\)\{0} ஆகும்.
மேலும், cosec (−\(\frac{\pi}{2}\)) = −1 என்பதால், y = −\(\frac{\pi}{2}\) என்றிருக்க வேண்டும்.
இங்கு −\(\frac{\pi}{2}\)∈ \([\frac { \pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 2 }]\)\{0} என்பதை கவனிக்க.
எனவே, cosec⁻¹ (−1) -ன் முதன்மை மதிப்பு −\(\frac{\pi}{2}\) ஆகும்.

\(y=\frac{1}{1+e^{-x}}\)

சார்பகம் என்பது முழு மெய் எண் நேர்க்கோடாகும். 
அதாவது (-\(\infty\), \(\infty\)) \(\Rightarrow\) - \(\infty\) < x < \(\infty\) மற்றும் (0, 1) என்பது வீச்சகம். அதாவது 0 < f(x) < 1
f(x) க்கு 'x' வெட்டுத்துண்டு கிடையாது.
x = 0 எனும்போது y = \(\frac{1}{2}\)
எனவே 'y' வெட்டுத்துண்டு \(\left ( 0,\frac{1}{2} \right ) \)
\(f'(x)=\frac{e^{-x}}{(1+e^{-x})^{2}}\)
f'(x)=0 என்பது அர்த்தமற்றது. எனவே, அறுதி மதிப்புகள் கிடையாது.
வளைவரைக்கு நிலைக்குத்துத் தொலைத் தொடுகோடுகள் கிடையாது மற்றும் y = 1 மற்றும் y = 0 என்பன கிடைமட்டத் தொலைத் தொடுகோடுகளாகும்.

\(M=\left\{\left(\begin{array}{ll} x & x \\ x & x \end{array}\right): x \in R-\{0\}\right\}\) என்க
அடைவுப் பண்பு:
\(A=\left\{ \begin{matrix} x & x \\ x & x \end{matrix} \right\} \in M\) மற்றும் 
\(B=\left( \begin{matrix} y & y \\ y & y \end{matrix} \right) \in M\) என்க.
எனவே,\(AB=\left( \begin{matrix} 2xy & 2xy \\ 2xy & 2xy \end{matrix} \right) \) 
\(x\neq 0,y\neq 0\) என்பதால் \(2xy\neq 0\) என்பதைக் காண்கிறோம்.மேலும் \(AB \in M\) .இது அணிப்பெருக்கலின் கீழ் M என்பது அடைவைப் பெற்றுள்ளது என்பதைக் காட்டுகிறது.
பரிமாற்றுப் பண்பு:
\(AB=\left( \begin{matrix} 2xy & 2xy \\ 2xy & 2xy \end{matrix} \right) \) 
= BA எல்லா \(A, B \in M\) 
இங்கு அணிப்பெருக்கல் என்பது பரிமாற்றுப் பண்பை நிறைவு செய்கிறது.
சேர்ப்புப் பண்பு:
அணிப்பெருக்கல் எப்போதும் சேர்ப்புப் பண்பை நிறைவு செய்யும்.எனவே M-ன் மீது அணிப்பெருக்கல் சேர்ப்புப் பண்பை நிறைவு செய்கிறது.

நியூட்டனின் குளிர்ச்சியடையும் விதிப்படி,ஒரு பொருளின் வெப்பநிலை மாறும் வீதமானது பொருளின் வெப்பநிலைக்கும்,சுற்றுப்புற ஊடகத்தின் வெப்பநிலைக்கு உள்ள வேறுபாட்டிற்கு நேர் விகிதமாக அமையும்.
\(\cfrac { dT }{ dt } =-k\left( T-{ T }_{ 0 } \right) \) 
இங்கு T என்பது அறையின் வெப்பநிலை ,மற்றும் T₀ என்பது ஊடகத்தின் மாறாத வெப்பநிலை 
எனவே,\(\cfrac { dT }{ dt } =-k\left( T-25 \right) \) (அல்லது)
\(\cfrac { dT }{ T-25 } =-kdt\) 
சமன்பாடு (1) ஐ தொகையிடக் கிடைப்பது
\(\int { \cfrac { dT }{ T-25 } } =\int { -kdt } \) 
\(log\left( T-25 \right) =-kt+{ c }_{ 1 }\) 
இப்போது \(T=100,t=0\) 
\(log\left( 100-25 \right) =-k\left( 0 \right) +{ c }_{ 1 }\) 
\(\therefore log75={ c }_{ 1 }\) 
c₁ மதிப்பை சமன்பாடு (1)ல் பிரதியிடக் கிடைப்பது 
\(log\left( T-25 \right) =-kt+log75\left[ \because logm-logn=logm/n \right] \) 
\(log\cfrac { T-25 }{ 75 } =-kt\) ...(2) 
மேலும் t=10 நிமிடங்கள் எனும்போது T=80
\(log\left( \cfrac { 80-25 }{ 75 } \right) =-k(10)\) 
\(log\left( \cfrac { 55 }{ 75 } \right) =-10k\) 
\(k=-\cfrac { 1 }{ 10 } log\left( \cfrac { 55 }{ 75 } \right) \) 
\(k=\cfrac { 1 }{ 10 } log\left( \cfrac { 75 }{ 55 } \right) \) 
\(k=\cfrac { 1 }{ 10 } log\cfrac { 15 }{ 11 } \) 
k ன் மதிப்பை சமன்பாடு (2)ல் பிரதியிடக் கிடைப்பது   
\(log\left( \cfrac { T-25 }{ 75 } \right) =-\left( \cfrac { 1 }{ 10 } log\cfrac { 15 }{ 11 } \right) t\) 
t=20 என சமன்பாடு (3) ல் பிரதியிட 
\(log\left( \cfrac { T-25 }{ 75 } \right) =-\cfrac { 20 }{ 10 } log\cfrac { 15 }{ 11 } \) 
= \(-2log\cfrac { 15 }{ 11 } \) 
= \(2log\cfrac { 11 }{ 15 } \) 
\(log\cfrac { T-25 }{ 75 } =log\left( \cfrac { 11 }{ 15 } \right) ^{ 2 }\) 
\(\cfrac { T-25 }{ 75 } =\left( \cfrac { 11 }{ 15 } \right) ^{ 2 }\) 
\(T=75\left( \cfrac { 11 }{ 75 } \right) ^{ 2 }+25\) 
\(T=75\left( 0.5378 \right) +25\) 
\(\\ T=40.33+25\) 
\(T=65.33^{ 0 }C\)

\(I=\int _{ 0 }^{ 1 }{ \cfrac { log(1+x) }{ 1+{ x }^{ 2 } } } dx\) என்க 
\(x=tan\theta \) எனப் பதிலிட 
\(dx={ sec }^{ 2 }d\theta \) 
\(I=\int _{ 0 }^{ \pi /2 }{ \cfrac { log(1+tan\theta ) }{ 1+{ tan }^{ 2 } } } { sec }^{ 2 }\theta d\theta \) 
\(I=\int _{ 0 }^{ \pi /4 }{ \cfrac { log\left( 1+tan\theta \right) }{ { sec }^{ 2 }\theta } } { sec }^{ 2 }\theta d\theta \) 
\(\int _{ 0 }^{ a }{ f(x)dx } =\int _{ 0 }^{ a }{ f\left( a-x \right) dx } \) 

\(I=\int _{ 0 }^{ \pi /4 }{ log\left( 1+tan\left( \pi /4-\theta \right) \right) } d\theta \) 
\(\int _{ 0 }^{ \pi /4 }{ log\left[ 1+\cfrac { tan\pi /4-tan\theta }{ 1+tan\pi /4tan\theta } \right] } d\theta \) 
\(\int _{ 0 }^{ \pi /4 }{ log\left( 1+\cfrac { 1-tan\theta }{ 1+tan\theta } \right) } d\theta \) 
\(\int _{ 0 }^{ \pi /4 }{ log\left( \cfrac { 2 }{ 1+tan\theta } \right) } d\theta \) 
\(\int _{ 0 }^{ \pi /4 }{ \left[ log2-log\left( 1+tan\theta \right) \right] d\theta } \) 
= \(log2\int _{ 0 }^{ \pi /4 }{ d\theta } -\int _{ 0 }^{ \pi /4 }{ log\left( 1+tan\theta \right) } d\theta \) 
= \(I=log2\left( \cfrac { \pi }{ 4 } \right) -I\) 
= \(2I=\cfrac { \pi }{ 4 } log2\) 
= \(I=\cfrac { \pi }{ 8 } log2\)

(i) கொடுக்கப்பட்டது: f(x) ஒரு நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பு 
\(\sum { f(x)= } 1\)
\({ k }^{ 2 }+2{ k }^{ 2 }+3{ k }^{ 2 }+2k+3k=1\) 
\(6{ k }^{ 2 }+5k=1\)
\(6{ k }^{ 2 }+5k-1=0\)
\((k+1)(6k-1)=0\)
\(k=-1, \frac { 1 }{ 6 } \)
k = \(\frac { 1 }{ 6 } \)
(\(\because\)\(k\neq -1\) குறை மதிப்புகளை புறக்கணிக்க)
நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பு)

(ii) \(P\left( 2\le X < 5 \right) \) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4)
  = \(\cfrac { 2 }{ 36 } +\cfrac { 3 }{ 36 } +\cfrac { 2 }{ 6 } \) 
= \(\cfrac { 2+3+12 }{ 36 } =\cfrac { 17 }{ 36 } \) 
(iii) \(\mathrm{P}(3<\mathrm{X})=\mathrm{P}(\mathrm{X}>3)=\mathrm{P}(\mathrm{X}=4)+\mathrm{P}(\mathrm{X}=5)\) 
  = \(\cfrac { 2 }{ 6 } +\cfrac { 3 }{ 6 } \) = \(\cfrac { 5 }{ 6 } \)

கொடுக்கப்பட்ட சார்பு நிகழ்தகவு நிறை சார்பு என்பதால் மொத்த நிகழ்தகவு ஒன்றாகும். அதாவது
\(\underset { x }{ \Sigma } { f(x)=1 }\) ஆகும்.
கொடுக்கப்பட்ட  தகவல்களிலிருந்து k+2k+6k+5k+6k+10k = 1
30k = 1 ⇒ k = \(\frac{1}{30}\)
எனவே நிகழ்தகவு நிறை சார்பானது,

(i) P(2 < X < 6) = f(3) + f(4) + f(5) = \(\frac{6}{30}+\frac{5}{30}+\frac{6}{30}=\frac{17}{30}.\)
(ii) P(2 ≤ X < 5) = f(2) + f(3) + f(4) = \(\frac{2}{30}+\frac{6}{30}+\frac{5}{30}=\frac{13}{30}.\)
(iii) P(X ≤ 4) = f(1) + f(2) + f(3) + f(4) = \(\frac{1}{30}+\frac{2}{30}+\frac{6}{30}+\frac{5}{30}=\frac{14}{30}.\)
(iv) P(3 < X) = f(4) + f(5) + f(6) = \(\frac{5}{30}+\frac{6}{30}+\frac{10}{30}=\frac{21}{30}.\)

இப்பொழுது நாம் வெட்டும் புள்ளியைக் காண்போம். சமப்படுத்த x² = (x - 3)² ⇒ x = 3/2  எனப்பெறலாம். எனவே , வெட்டும் புள்ளி (3/2,9/4) ஆகும். θ என்பது இவ்விரு வளைவரைகளுக்கு இடைப்பட்ட கோணம் என்க . வெட்டும் புள்ளியிடத்து வளைவரையின் சாய்வுகள் பின்வருமாறு கணக்கிடப்படுகின்றன :

y = x² என்ற வளைவரைக்கு,
\(\frac{dy}{dx}=2x\) ஆகும்.
\(m_{1}=(\frac{dy}{dx})_{(\frac{3}{2},\frac{9}{4})}=3\).
y=(x-3)² என்ற வளைவரைக்கு,
\(\frac{dy}{dx}=2(x-3)\) ஆகும்.
\(m_{1}=(\frac{dy}{dx})_{(\frac{3}{2},\frac{9}{4})}= -3\)
(3)-லிருந்து,
\(\tan \theta=|\frac{3-(-3)}{1-9}|=\frac{3}{4}\) ஆகும்.
ஆகவே , \(\theta\) = \(\tan^{-1}(\frac{3}{4})\).

நீள்வட்டத்தின் சமன்பாடு \(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ 25 } +\cfrac { { y }^{ 2 } }{ 9 } =1\) 
\(\therefore { a }^{ 2 }=25\) 
b² = 9
\(\therefore e=\sqrt { 1-\cfrac { { b }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } } =\sqrt { 1-\cfrac { 96 }{ 25 } } =\sqrt { \cfrac { 16 }{ 25 } } =\cfrac { 4 }{ 5 } \) 
குவியங்கள் \(\left( ae,0 \right) =\left( 5\times \cfrac { 4 }{ 5 } ,0 \right) =(4,0)\) 
அதிபரவளையம்,நீள்வட்டமும் ஒரே குவியங்களை கொண்டுள்ளதால், அதிபரவளையத்தின் குவியங்கள் \(\left( \pm 4,0 \right) \) 
அரைக்குறுக்கச்சின் நீளம் A என்க 
\(\therefore Ae=4\Rightarrow 2A=\cfrac { 4 }{ e } =\cfrac { 4 }{ 2 } =2\) \(\left[ \therefore e=2 \right] \) 
அரை துணையச்சின் சமன்பாடு \(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ { A }^{ 2 } } -\cfrac { { y }^{ 12 } }{ { B }^{ 2 } } =1\) 
\(\Rightarrow \cfrac { { x }^{ 2 } }{ 4 } -\cfrac { { y }^{ 2 } }{ 12 } =1\)

பரவளையத்தின் சமன்பாடு y²= 4ax  ...(1) என்க
AB = l என்க

ABC ஒரு சமபக்க முக்கோணம் ஆதலால் 
\(\angle BAM=\angle MAC={ 30 }^{ 0 }\) 
\(\Delta ABM\quad { cos30 }^{ 0 }=\cfrac { AM }{ l } \) 
\(\Rightarrow AM=l\quad { cos30 }^{ 0 }=l\left( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \right) \) 
\({ sin30 }^{ 0 }=\cfrac { NM }{ AB } \) 
\(\Rightarrow { sin30 }^{ 0 }=\cfrac { BM }{ l } \) 
\(\Rightarrow BM=lsin{ 30 }^{ 0 }=l\left( \cfrac { 1 }{ 2 } \right) \) 
\(\therefore\) B-ன் ஆயத்தொலைவுகள் (AM, BM)
\(\Rightarrow \left( \frac { \sqrt { 3 } l }{ 2 } ,\cfrac { l }{ 2 } \right) \) 
மேலும் B(1) ன் மீது அமைந்துள்ளது.
\(\left( \cfrac { l }{ 2 } \right) ^{ 2 }=4a\left( \cfrac { \sqrt { 3 } l }{ 2 } \right) \) 
\(\Rightarrow \cfrac { { l }^{ 2 } }{ 4 } =4a\left( \cfrac { \sqrt { 3 } l }{ 2 } \right) \) 
\(\cfrac { { l }^{ 2 } }{ 4 } =2\sqrt { 3 } al\) 
\(\cfrac { 1 }{ 4 } =2\sqrt { 3 } a\Rightarrow 1=8a\sqrt { 3 } \)
சமபக்க முக்கோணத்தின் பக்கத்தின் நீளம் \(8a\sqrt { 3 } \) அலகுகள்

தளங்களுக்கு செங்குத்து வெக்டர் 
x + 2y +3z - 7 = 0, 2x - 3y + 4z = 0
\(\overset { \rightarrow }{ b } =\overset { \wedge }{ i } +2\overset { \wedge }{ j } +3\overset { \wedge }{ k } \) மற்றும் \(\overset { \rightarrow }{ c } =2\overset { \wedge }{ i } -3\overset { \wedge }{ j } +4\overset { \wedge }{ k } \)
∴ தேவையான தளம் \(\overset { \rightarrow }{ a } =\overset { \wedge }{ i } +\overset { \wedge }{ j } +\overset { \wedge }{ k } \) என்ற புள்ளி வழி செல்கிறது மற்றும் இரண்டு வெக்டர்கள் \(\overset { \rightarrow }{ b } \) மற்றும் \(\overset { \rightarrow }{ c } \) க்கு இணை 
∴ தளத்திற்கான துணையலகு வெக்டர் சமன்பாடு.
\(\overset { \rightarrow }{ r } =\overset { \rightarrow }{ a } +s\overset { \rightarrow }{ b } +t\overset { \rightarrow }{ c } s,t\epsilon R\)
\(\overset { \rightarrow }{ r } =\left( \overset { \wedge }{ i } +\overset { \wedge }{ j } +\overset { \wedge }{ k } \right) +s\left( \overset { \wedge }{ i } +2\overset { \wedge }{ j } +3\overset { \wedge }{ k } \right) +t\left( 2\overset { \wedge }{ i } -3\overset { \wedge }{ j } +4\overset { \wedge }{ k } \right) \)
கார்டீசியன் சமன்பாடு \(\left| \begin{matrix} x-{ x }_{ 1 } \\ { b }_{ 1 } \\ { c }_{ 1 } \end{matrix}\begin{matrix} y-{ y }_{ 1 } \\ { b }_{ 2 } \\ { c }_{ 2 } \end{matrix}\begin{matrix} z-{ z }_{ 1 } \\ { b }_{ 3 } \\ { c }_{ 3 } \end{matrix} \right| =0\)
\(\Rightarrow \left| \begin{matrix} x-1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} y-1 \\ 2 \\ -3 \end{matrix}\begin{matrix} z+1 \\ 3 \\ 4 \end{matrix} \right| =0\)
⇒ (x - 1) (8 + 9) - (y - 1) (4 - 6) + (z +1) (-3 - 4) = 0
⇒ 17 (x - 1) + 2 (y - 1) - 7 (z + 1) = 0
⇒ 17x - 17 + 2y - 2 - 7z - 7 = 0
⇒ 17x + 2y - 7z - 26 = 0

\(\overset { \rightarrow }{ B } =x\overset { \wedge }{ i } +y\overset { \wedge }{ j } +z\overset { \wedge }{ k } \) என்க.
கொடுக்கப்பட்ட \(\overset { \rightarrow }{ A } \times \overset { \rightarrow }{ B } =\overset { \rightarrow }{ C } \left| \begin{matrix} \overset { \wedge }{ i } \\ 1 \\ x \end{matrix}\begin{matrix} \overset { \wedge }{ j } \\ 1 \\ y \end{matrix}\begin{matrix} \overset { \wedge }{ k } \\ 1 \\ z \end{matrix} \right| =\overset { \wedge }{ j } -\overset { \wedge }{ k } \)
\(\Rightarrow \overset { \wedge }{ i } (z-y)-\overset { \wedge }{ j } (z-x)+\overset { \wedge }{ k } (y-x)\overset { \wedge }{ j } -\overset { \wedge }{ k } \)
இருபுறமும் ஒத்த உறுப்புகளை சமப்படுத்த கிடைப்பது 
z - y = 0      ....(1)
x - z = 1     .....(2)
y - x = -1     .....(3)
மேலும் \(\overset { \rightarrow }{ A } .\overset { \rightarrow }{ B } =3\Rightarrow \left( \overset { \wedge }{ i } +\overset { \wedge }{ j } +\overset { \wedge }{ k } \right) .\left( x\overset { \wedge }{ i } +y\overset { \wedge }{ j } +z\overset { \wedge }{ k } \right) =3\)
⇒ x + y + z = 3  ....(4)
தீர்க்க (1), (2), (3) மற்றும் (4) கிடைப்பது \(x=\frac { 5 }{ 3 } ,y=\frac { 2 }{ 3 } \) மற்றும் \(z=\frac { 2 }{ 3 } \)
\(\therefore \overset { \rightarrow }{ B } =\frac { 5 }{ 3 } \overset { \wedge }{ i } +\frac { 2 }{ 3 } \overset { \wedge }{ j } +\frac { 2 }{ 3 } \overset { \wedge }{ k } \)

∝, β என்க. x²+bx+ca=0 இன் மூலங்கள்.
∝+β=-b, ∝β=ca
மற்றும் ∝, ૪ என்பது x²+cx+ab=0 இன் மூலங்கள் என்க 
∝+૪=-c, ∝૪=ab
இனி, ∝²+b∝+ca =0 மற்றும் 
∝²+c∝+ab=0
⇒(b-c) ∝+a(c-b)=0⇒∝=a
மேலும்,∝β=ca மற்றும் ∝૪=ab
∴ β=c மற்றும் ૪=c
x²+bx+ca=0க்கு ∝=a ஒரு மூலம் ஆதலால் நமக்கு கிடைப்பது a²+ba+ca=0
⇒ a+b+c=0
ஆகையால், β+૪=b+c=-a மற்றும் β૪=bc எனவே β,૪ என்பது 
x²+ax+bc=0
என்ற சமன்பாட்டின் மூலங்கள் 

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு (a²+b²+c²)P²-2(ab+bc+cd)p+(b²+c²+d²)≤0  ...(1)
(1) ஐ மாற்றி எழுதலாம் 
(a²p²-2abp+b²)+(b²p²-2cp+c²)+(c²p²-2cdp+d²)≤0
(ap-b)²+(bp-c)²+(cp-d)²≤0     .....(2)
a,b,c,d, p∈ R எனில் 
(ap-b)²≥0, (bp-c)²≥0 மற்றும் (cp-d)²≥0
∴ (2) நிறைவு செய்யப்பட வேண்டுமெனில் 
ap-b=0, bp-c=0, cp-d=0
\(\frac { b }{ a } =\frac { c }{ b } =\frac { d }{ c } =p\)
⇒ a,b, c,d பெருக்குத் தொடரில் உள்ளன. மற்றும் ad=bc 

\(2-2i=r(cos\theta +isin\theta )\) என்க
\(\\ r=\sqrt { { 2 }^{ 2 }+({ -2) }^{ 2 } } =\sqrt { 4+4 } =\sqrt { 8 } =2\sqrt { 2 } \)
முதன்மை மதிப்பு \(\alpha ={ tan }^{ -1 }\left| \frac { y }{ x } \right| ={ tan }^{ -1 }\left| \frac { -z }{ z } \right| \)
= \({ tan }^{ -1 }(1)=\frac { \pi }{ 4 } \)
2 - 2i என்ற கலப்பெண் கால்பகுதியில் அமைந்துள்ளதால், \(\theta =-\alpha =-\frac { \pi }{ 4 } \)
\(\therefore 2-2i=2\sqrt { 2 } { \left[ cos\left( -\frac { \pi }{ 4 } \right) +isin\left( -\frac { \pi }{ 4 } \right) \right] }^{ \frac { 1 }{ 3 } }\)
\(\therefore { (2-2i) }^{ \frac { 1 }{ 3 } }={ \left( 2\sqrt { 2 } \right) }^{ \frac { 1 }{ 3 } }{ \left[ cos\left( -\frac { \pi }{ 4 } \right) +isin\left( -\frac { \pi }{ 4 } \right) \right] }^{ \frac { 1 }{ 3 } }\)
\(={ 8 }^{ \frac { 1 }{ 6 } }\left[ cos\frac { 1 }{ 3 } \left( 2k\pi -\frac { \pi }{ 4 } \right) +isin\frac { 1 }{ 3 } \left( 2k\pi -\frac { \pi }{ 4 } \right) \right] \)
k  = 0,1,2 மூலங்கள்
∴ k = 0 எனில், \({ 8 }^{ \frac { 1 }{ 6 } }cis\left( -\frac { \pi }{ 12 } \right) \)
k = 1 எனில், \({ 8 }^{ \frac { 1 }{ 6 } }cis\left( \frac { 7\pi }{ 12 } \right) \)
k = 2 எனில், \({ 8 }^{ \frac { 1 }{ 6 } }cis\left( \frac { 15\pi }{ 12 } \right) \)
∴ மூலங்களின் பெருக்கல் பலன்
\(={ 8 }^{ \frac { 1 }{ 6 } }cis\left( -\frac { \pi }{ 12 } +\frac { 7\pi }{ 12 } +\frac { 15\pi }{ 12 } \right) \)
= \({ 8 }^{ \frac { 1 }{ 6 } }cis\left( \frac { 21\pi }{ 12 } \right) \) = \({ 8 }^{ \frac { 1 }{ 6 } }cis\left( \frac { 7\pi }{ 12 } \right) \)
= \({ 8 }^{ \frac { 1 }{ 6 } }cis\left( 2\pi -\frac { \pi }{ 4 } \right) ={ 8 }^{ \frac { 1 }{ 6 } }cis\left( -\frac { \pi }{ 4 } \right) \)
= \({ 8 }^{ \frac { 1 }{ 6 } }\left[ cos\left( -\frac { \pi }{ 4 } \right) +isin\left( -\frac { \pi }{ 4 } \right) \right] \) 
\(={ 8 }^{ \frac { 1 }{ 6 } }\left[ cos\left( \frac { \pi }{ 4 } \right) +isin\left( \frac { \pi }{ 4 } \right) \right] \)
\(={ 8 }^{ \frac { 1 }{ 6 } }\left[ \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } -\frac { i }{ \sqrt { 2 } } \right] ={ 2 }^{ 2\times \frac { 1 }{ 6 } }\left( \frac { 1-i }{ \sqrt { 2 } } \right) ={ 2 }^{ 1/2 }\left( \frac { 1-i }{ \sqrt { 2 } } \right) \)
= 1 - i 

LHS = 2 arg (-1)
= 2 arg (cos π + i sin π) = 2π
RHS = arg(-1)² = arg (1)
= arg (cos θ + i sin θ) = 0
ஃ LHS ≠ RHS

LHS = \({ tan }^{ -1 }\left( \frac { 1-x }{ 1+x } \right) -{ tan }^{ -1 }\left( \frac { 1-y }{ 1+y } \right) \) = tan^-1 (1) - tan^-1 (x) - (tan^-1 (1) - tan^-1 (y))
\(\left[ \because { tan }^{ -1 }\left( \frac { x-y }{ 1+xy } \right) ={ tan }^{ -1 }x-{ tan }^{ -1 }y \right] \)
= tan^-1 (1) - tan^-1 (x) - (tan^-1 (1) - tan^-1 (y))
= tan^-1 (y) - tan^-1 (x)
\(={ tan }^{ -1 }\left( \frac { y-x }{ 1+xy } \right) \)
\(={ sin }^{ -1 }\left( \frac { y-x }{ \sqrt { 1+{ (yx) }^{ 2 }+{ (y-x) }^{ 2 } } } \right) \)
\(={ sin }^{ -1 }\left( \frac { y-x }{ \sqrt { \left( 1+{ x }^{ 2 } \right) \left( 1+{ x }^{ 2 } \right) } } \right) \)
= RHS

f (x) ன் சார்பகம் [-1,1] மற்றும் cos x க்கு R 
∴ f(x) = sin^-1 x + cos x ன் சார்பகம்
[-1,1] ∩ R = [-1, 1]

விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணி \([A/B]=\left[ \begin{matrix} 2 & -3 & 5 \\ 3 & 1 & \lambda \\ 1 & -7 & 8 \end{matrix}|\begin{matrix} 12 \\ \mu \\ 17 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 1 }\leftrightarrow { R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & -7 & 8 \\ 3 & 1 & \lambda \\ 2 & -3 & 5 \end{matrix}|\begin{matrix} 17 \\ \mu \\ 12 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-3{ R }_{ 1 }\\ { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-2{ R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & -7 & 8 \\ 0 & 22 & \lambda -51 \\ 0 & 11 & -11 \end{matrix}|\begin{matrix} 17 \\ \mu -51 \\ -22 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-2{ R }_{ 3 }\\ { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }\div 11 }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & -7 & 8 \\ 0 & 0 & \lambda -2 \\ 0 & 1 & -1 \end{matrix}|\begin{matrix} 17 \\ \mu -7 \\ -2 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 2 }\leftrightarrow { R }_{ 3 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & -7 & 8 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & \lambda -2 \end{matrix}|\begin{matrix} 17 \\ -2 \\ \mu -7 \end{matrix} \right] \)
நிலை (i) λ≠2 எனில்,
ρ([A|B])=3 மற்றும் ρ(A)=3
∴ ρ([A|B])=ρ(A)=3=மாறிகளின் எண்ணிக்கை 
∴ ஒரே ஒரு தீர்வை கொண்டிருக்கும் 
நிலை (ii) λ=2 எனில் μ=7,
\([A|B]=\left[ \begin{matrix} 1 & -7 & 8 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}|\begin{matrix} 17 \\ -2 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
இங்கு ρ(A)=2 மற்றும் ρ([A|B])=2
∴ ρ(A)=ρ([A|N])=2 <மாறிகளின் எண்ணிக்கை  தொகுப்பு ஒருங்கமைவுடன் எண்ணிக்கையற்ற தீர்வுகளை கொண்டிருக்கும்.
நிலை (iii) λ=2 மற்றும் μ≠7 எனில் மட்டும் 
ρ(A)=2 மற்றும் ρ([A|B])=3
∴ ρ(A) ≠ ρ([A|B])
ஆகையால், கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடுகளின் தொகுப்பு ஒருங்கமைவற்றது.

x² - 2x + 8y + 17 = 0
x²- 2x = -8y - 17
இருபுறமும் 1ஐ கூட்ட கிடைப்பது
 x² - 2x + 1 = -8y - 17 + 1
\(\therefore\) (x-1)² = -8y-16= -8(y+2)
\(\therefore\) (x-1)² = 8(y+2)
இது கீழ்நோக்கி திறப்புடைய பரவளையம்,
செவ்வகலம் 4a = 8
\(\Rightarrow\) a = 2
(a) முனை(1, -2)
\(\Rightarrow\) h = 1, k = -2
(b) குவியம் (0+h, -a+k)
\(\therefore\) h = 1, k = -2
(c) இயக்குவரையின் சமன்பாடு y = k + a
y = -2 + 2 \(\Rightarrow\) y = 0
(d) செவ்வகலத்தின் நீளம் 4a = 8 அலகுகள்.

\({ \left( -\sqrt { 3 } +3i \right) }^{ 31 }\)
\(-\sqrt { 3 } +3i\) = r(cos θ + isin θ) என்க.
r = \(\sqrt { { (-\sqrt { 3 } ) }^{ 2 }+{ 3 }^{ 2 } } =\sqrt { 12 } =2\sqrt { 3 } \)
\(\alpha ={ tan }^{ -1 }\left| \frac { 3 }{ -\sqrt { 3 } } \right| ={ tan }^{ -1 }\sqrt { 3 } =\frac { \pi }{ 3 } \)
θ = π - a = π - \(\frac { \pi }{ 3 } =\frac { 2\pi }{ 3 } \) (∵ \(-\sqrt { 3 } +3i \) ஆனது II-ஆம் கால் பகுதியில் உள்ளதால்)
ஆகவே, \(-\sqrt { 3 } +3i \) = \(2\sqrt { 3 } \) \(\left( cos\frac {2 \pi }{ 3 } +isin\frac { 2\pi }{ 3 } \right) \)
இருபுறமும் 31-ன் அடுக்கிற்கு உயர்த்த,
\({ (-\sqrt { 3 } +3i) }^{ 31 }={ (2\sqrt { 3 } ) }^{ 31 }\) \(\left( cos\frac {2 \pi }{ 3 } +isin\frac { 2\pi }{ 3 } \right) ^{31}\)
=\({ (2\sqrt { 3 } ) }^{ 31 }\) \(\left( cos\left( 20\pi +\frac {2 \pi }{ 3 } \right) +isin\left( 20\pi +\frac { \pi }{ 3 } \right) \right) \)
= \({ (2\sqrt { 3 } ) }^{ 31 }\) \(\left( cos\frac {2 \pi }{ 3 } +isin\frac {2 \pi }{ 3 } \right) \)
= \({ (2\sqrt { 3 } ) }^{ 31 }\)\(\left( cos\left( \pi +\frac { \pi }{ 3 } \right) +isin\left( \pi +\frac { \pi }{ 3 } \right) \right) \)
= \({ (2\sqrt { 3 } ) }^{ 31 }\)\(\left( -cos\frac { \pi }{ 3 } +isin\frac { \pi }{ 3 } \right) \) = \({ (2\sqrt { 3 } ) }^{ 31 }\)\(\left( -\frac { 1 }{ 2 } +i\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \right) \)

உறுப்புகளை பின்வருமாறு வரிசைபடுத்த
(x − 5)(x − 7)(x + 6)(x + 4) = 504
⇒ (x²-x-20) (x²-x-42) = 504
பிரதியிடு x²-x=y
⇒ (y-20)(y-42) = 504
⇒ y²-62y+840-504 =0
⇒ y²-62y+336 =0
⇒ (y-56)(y-6) =0
⇒ y=56,6
நிலை  (i) y=56 எனில், x²-x=56
⇒ x²-x-56=0
⇒ (x-8)(x+7) =0
⇒ x= 8, -7
நிலை (ii) y=6 எனில்,
x²-x =6
⇒ x²-x-6 =0
⇒ (x-3)(x+2) =0
⇒ x=3,-2
எனவே மூலங்கள் -2, 3, 8, -7

துணைக்கோள் ஏற்பியின் குறுக்கு வெட்டு பரவளையம் வலது பக்க திறப்புடையது.

அதனுடைய சமன்பாடு y² = 4ax 
முனையிலிருந்து குவியம் 1.2 மீ தூரத்தில் உள்ளதால் OA = 1.2மீ மற்றும் BC = 2.5 மீ ஏற்பியின் அகலம் 5மீ 
படத்திலிருந்து, a = 1.2 மீ 
\(\therefore\) y₂ = 4(1.2)x
(a) \(\Rightarrow\) y₂ = 4.8x
(b) (x₁, 2.5) (1)-ன் மீது அமைந்துள்ளதால் 
(2.5)² = 4.8(x₁)
\({ x }_{ 1 }=\cfrac { 2.5\times 2.5 }{ 4.8 } \) 
x₁ = 1.3மீ
\(\therefore \) முனையிலிருந்து செயற்கைக்கோள் ஏற்பியின் ஆழம் 1.3மீ ஆகும்.

தளம் இரண்டு புள்ளிகள் வழிச் செல்கிறது 
\(\vec { a } =2\hat { i } +\hat { 2j } +\hat { k } \) மற்றும் \(\vec { b } =\hat { i } -2\hat { j } +3\hat { k } \) 
(2, 1, -3) மற்றும் (-1, 5, -8) வழிச் செல்லும் நேர்க்கோடு 
\(\cfrac { x-{ x }_{ 1 } }{ { c }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } } =\cfrac { y-{ y }_{ 1 } }{ { y }_{ 2 }-{ y }_{ 1 } } =\cfrac { z-{ z }_{ 1 } }{ { z }_{ 2 }-{ z }_{ 1 } } \) 
\(\Rightarrow \cfrac { x-2 }{ -1-2 } =\cfrac { y-1 }{ 5-1 } =\cfrac { z+3 }{ -8+3 } \) 
\(\Rightarrow \cfrac { x-2 }{ -3 } =\cfrac { y-1 }{ 4 } =\cfrac { z+3 }{ -5 } \) 
ஆகையால் தேவையான தளம் வெக்டர்
\(\vec { c } =-3\hat { i } +4\hat { j } -5\hat { k } \)  க்கு இணை.
இரு புள்ளிகள் \(\vec { a } ,\vec { b } \)வழிச் செல்லும் மற்றும் \(\vec { c } \)க்கு இணையான தளத்தின் வெக்டர் சமன்பாட்டின் துணையலகு வடிவம் \(\vec { r } =\vec { a } +s\left( \vec { b } -\vec { a } \right) +t\vec { c } s,t\in R\) 
\(\vec { r } =2\hat { i } +2\hat { j } +\hat { k } +s(3\hat { i } -4\hat { j } +2\hat { k) } +t\left( -3\hat { i } +4\hat { j } -5\hat { k } \right) ,s.t\in R\) 
இரண்டு புள்ளி வழிச் செல்லும் மற்றும் வெக்டருக்கு இணையான தளத்தின் கார்டீசியன் வடிவம் 
\(\left| \begin{matrix} x-{ x }_{ 1 } & y-{ { \quad y }_{ 1 } } & z-{ z }_{ 1 } \\ { x }_{ 2 }-{ { x }_{ 1 } } & { y }_{ 2 }-{ y }_{ 1 } & { z }_{ 2 }-{ z }_{ 1 } \\ { c }_{ 1 } & { c }_{ 2 } & { { c }_{ 3 } } \end{matrix} \right| =0\) 
[\(\therefore\) (x₁, y₁, z₁) = (2, 2, 1), (x₂, y₂, z₂) = (-1, 2, 3) & (c₁, c₂, c₃) = (-3, 4, 5)]
\(\Rightarrow \left| \begin{matrix} x-2 & y-2 & z-1 \\ -1 & -4 & 2 \\ -3 & 4 & -5 \end{matrix} \right| =0\) 
\(\Rightarrow (x-2)(20-8)-(y-2)(5+6)+(z-1)(-4-12)=0\) 
\(\Rightarrow (x-2)(12)-(y-2)(11)+(z-1)(-16)=0\) 
\(\Rightarrow 12x-24-11y+22-16z+16=0\) 
\(\Rightarrow 12x-11y-16z+14=0\)

கொடுக்கப்பட்ட தளம் புள்ளிகள் \(\vec { a } =2\hat { i } +\hat { 2j } +\hat { k } \) மற்றும் \(\vec { b } =9\hat { i } +3\hat { j } +6\hat { k } \) வழிச் செல்கிறது.
கொடுக்கப்பட்ட தளத்தின் சமன்பாடு \(2x+6y+6z=9\)
இதை இவ்வாறு எழுதலாம் \(\vec { r } .\left( 2\hat { i } +6\hat { j } +6\hat { k } \right) =9\)
கொடுக்கப்பட்ட தளம் \(2\hat { i } +6\hat { j } +6\hat { k } \)க்கு செங்குத்து ஆதலால், தேவையான தளம்   \(\vec { c } =2\hat { i } +6\hat { j } +6\hat { k } \)க்கு இணை ஆகையால் இரண்டு புள்ளி வழிச் செல்லும் மற்றும் வெக்டருக்கு இணையான தளத்தின் வெக்டர் சமன்பாட்டின் துணையலகு வடிவம் \(\vec { r } =\vec { a } +s\left( \vec { b } -\vec { a } \right) +t\vec { c } ,s,t\in R\)
\(\vec { r } =2\hat { i } +2\hat { j } +\hat { k } +s\left( 7\hat { i } +\hat { j } +5\hat { k } \right) +t\left( 2\hat { i } +6\hat { j } +6\hat { k } \right) ,s,t\in R\)
தளத்தின் கார்டீசியன் சமன்பாடு
\(\left| \begin{matrix} x-{ x }_{ 1 } & y-{ y }_{ 1 } & z-{ z }_{ 1 } \\ { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } & { y }_{ 2 }-{ y }_{ 1 } & { z }_{ 2 }-{ z }_{ 1 } \\ { c }_{ 1 } & { { c }_{ 2 } } & { c }_{ 3 } \end{matrix} \right| =0\) 
\(\Rightarrow \left| \begin{matrix} x-2 & y-2 & z-1 \\ 7 & 1 & 5 \\ 2 & 6 & 6 \end{matrix} \right| =0\)
\(\Rightarrow \left( x-2 \right) (6-30)-(y-2)(42-10)+(z-1)(42-2)=0\) 
\(\Rightarrow (x-2)(-24)-(y-2)(32)+(z-1)(40)=0\) 
\(\Rightarrow -24x+48-32y+64+40z-40=0\) 
\(\Rightarrow -24x-32y+40z+72=0\) 
\(\div -8\) கிடைப்பது
3x + 4y - 5z - 9 = 0 என்பது கார்டீசியன் வடிவம்.
\(\therefore\) வெக்டர் சமன்பாட்டின் துணையலகு வடிவம்
\(\vec { r } =\vec { r } .\left( 3\vec { i } +4\hat { j } -5\vec { k } \right) =9\)

கொடுக்கப்பட்டது z = x + iy
\(Im\left( \frac { 2z+1 }{ iz+1 } \right) =0\)
\(\Rightarrow Im\left( \frac { 2(x+iy)+1 }{ i(x+iy)+1 } \right) =0\)
\(\Rightarrow Im\left( \frac { (2x+1)+2iy }{ ix+{ i }^{ 2 }y+1 } \right) =0\)
\(\Rightarrow Im\left( \frac { (2x+1)+2iy }{ ix-y+1 } \right) =0\)
\(\Rightarrow Im\left( \frac { (2x+1)+iy }{ (1-y)+ix } \right) =0\)
பகுதியின் இணையால் தொகுதி மற்றும் பகுதியை பெருக்க கிடைப்பது.
\(Im\left( \frac { (2x+1)+2iy }{ (1-y)+ix } \times \frac { (1-y)-ix }{ (1-y)-ix } \right) =0\)
\(\Rightarrow Im\left( \frac { (2x+1)+2iy\times (1-y)-ix }{ (1-{ y })^{ 2 }+{ x }^{ 2 } } \right) =0\)
கற்பனை பகுதியை தேர்ந்தெடுக்க கிடைப்பது,
\(\frac { (2x+1)+(-x)\times 2y(1-y) }{ (1-{ y })^{ 2 }+{ x }^{ 2 } } =0\)
⇒ (2x+ 1)-x+2y(1-y) = 0
⇒ -2x² - x + 2y - 2y² = 0
⇒ 2x² + 2y² + x - 2y = 0
எனவே z - ன் நியமப்பாதை
2x² + 2y² + x - 2y = 0

அணிவடிவம் \(=\left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 3 \\ 4 & 3 & \lambda \\ 2 & 1 & 2 \end{matrix}\right ]\left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right]\)
விரிவு படுத்தப்பட்ட அணியை ஏறுபடி வடிவத்திற்கு மற்ற கிடைப்பது,
\([A|0]=\left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 3 \\ 4 & 3 & \lambda \\ 2 & 1 & 2 \end{matrix}|\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 1 }\leftrightarrow { R }_{ 3 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 2 \\ 4 & 3 & \lambda \end{matrix}|\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-2{ R }_{ 1 } }{ \underset { { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-4{ R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } } \left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & -4 \\ 0 & -1 & \lambda \end{matrix}|\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { R_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-{ R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & -4 \\ 0 & 0 & \lambda -8 \end{matrix}|\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right]\)
நிலை (i) λ≠8 எனில் 

இங்கு ρ(A) = 3, ρ([A | B]) = 3
\(\therefore\) ρ(A) = ρ([A | B]) = 3 = n மதிப்பிட வேண்டிய மாறிகளின் எண்ணிக்கை 
\(\therefore\) கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பு ஒருங்கமைவுடன் ஒரே ஒரு தீர்வை கொண்டிருக்கும்.
தீர்வு x = 0, y = 0, z = 0
நிலை (ii) λ = 8 எனில் 
\([A|0]=\left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & -4 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}|\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
இங்கு ρ(A) = 2, ρ([A | B]=2
\(\therefore\) ρ(A) = ρ([A|0]) = 2 < 3, மதிப்பிட வேண்டிய மாறிகளின் எண்ணிக்கை,
\(\therefore\) தொகுப்பு ஒருங்கமைவுடன் வெளிப்படையற்ற தீர்வுகளை உடையது.

கொடுக்கப்பட்ட y = ax² + bx + c     ...(1)
(-6, 8),(1) - ன் மீது அமைந்துள்ளது 
⇒ 8 = a(-6)² + b(-6) + c
⇒ 8 = 36a - 6b + c      ...(2)
(-2, -12), (1) -ன் மீது அமைந்துள்ளது 
⇒ -12 = a(-2)² + b(-2) + c
⇒ -12 = 4a - 2b + c   ....(3)
⇒ 8 = a(3) 2 + b(3) + c
⇒ 8 = 9a + 3b + c        ...(4)
விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணியை ஏறுபடிவ வடிவத்திற்கு தொடக்கநிலை உருமாற்றங்கள் செய்யக் கிடைப்பது, 
[A|B] =\(\left[ \begin{matrix} 36 & -6 & 1 \\ 4 & -2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \end{matrix}|\begin{matrix} 8 \\ -1 \\ 8 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { 9R }_{ 2 }-{ R }_{ 1 }\\ { R }_{ 3 }\rightarrow { 4R }_{ 3 }-{ R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 36 & -6 & 1 \\ 0 & -12 & 8 \\ 0 & 18 & 3 \end{matrix}|\begin{matrix} 8 \\ -116 \\ 24 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }\div 4\\ { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }\div 3 }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 36 & -6 & 1 \\ 0 & -3 & 2 \\ 0 & 6 & 1 \end{matrix}|\begin{matrix} 8 \\ -29 \\ 8 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }+2{ R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 36 & -6 & 1 \\ 0 & -3 & 2 \\ 0 & 0 & 5 \end{matrix}|\begin{matrix} -8 \\ -29 \\ -50 \end{matrix} \right] \)
ஏறுபடி வடிவத்திலிருந்து கிடைக்கும் சமான சமன்பாடுகளின் தொகுப்பாக கிடைப்பது.
36a - 6b + c = 8   ....(1)
-3b + 2c = -29   ....(2)
5c = -50
⇒ c=\(\frac{-50}{5}=-10\)
c=-10 என (2)-ல் பிரதியிட கிடைப்பது,
-3b + 2(-10) = -29
⇒ -3b - 20 = -29
⇒ -3b = -29 + 20
⇒ -3b = -9
⇒ b = \(\frac{-9}{-3}=3\)
b=3 மற்றும் c=-10 என (1)ல் பிரதியிட கிடைப்பது,
36a - 6(3) - 10 = 8
⇒36a - 18 - 10 = 8
⇒ 36a - 28 = 8
⇒ a=\(\frac{36}{36}=1\)
∴ a = 1, b = 3, x = -10
எனவே சிறுவனின் பாதை 
y = 1(x²) + 3(x) - 10
⇒ y = x² + 3x - 10
அவனுடைய நண்பன் P(7, 60) என்ற புள்ளியில் உள்ளதால்,
⇒ 60 = (7)² + 3(7) - 10
⇒ 60 = 49 + 21 - 10
⇒ 60 = 70 - 10 = 60
⇒ 60 = 60
(7, 60) பாதையை நிறைவு செய்கிறது, அவன் P(7, 60)ல் உள்ள அவன் நண்பனை சந்திப்பான்.

மெய்மை அட்டவணையில் p ↔ q மற்றும் ( p ⟶ q) ∧ (q ⟶ p) ஆகியவற்றிற்கான நிரல்கள் முழுவதும் ஒரே மாதிரியாக உள்ளன. எனவே அவை சமானமானவை.

u (x, y, z) = xyz; x = e^-t y = e^-t cos t; z = sin t
\(\frac { \partial u }{ \partial x } \) = yz; \(\frac { \partial u }{ \partial y } \) = xz; \(\frac { \partial u }{ \partial z } \) = xy
⇒ \(\frac { \partial u }{ \partial x } \) = e^t cos t sin t
\(\frac { \partial u }{ \partial y } \) = e^t sin t
\(\frac { \partial u }{ \partial z } \) = e^-2t cos t மற்றும் 
\(\frac{dx}{dt}=-e^{-t}\)
⇒ \(\frac{dy}{dt}\) = e^-t (- sin t) - cos t e^-t
⇒ \(\frac{dz}{dt}\) = cos t
\(\frac { dw }{ dt } =\frac { \partial w }{ \partial x } .\frac { dx }{ dt } +\frac { \partial w }{ \partial y } .\frac { dy }{ dt } +\frac { \partial w }{ \partial z } .\frac { dz }{ dt } \)
∴ \(\frac { dw }{ dt } =\frac { \partial u }{ \partial x } .\frac { dx }{ dt } +\frac { \partial u }{ \partial y } .\frac { dy }{ dt } +\frac { \partial u }{ \partial z } .\frac { dz }{ dt } \)
= e^-1 cos t sin t (-e^-t) + e^-t sin t (-e^-t) + e^-t sin t (-e^-t sin t - e^-t cos t)+ (-e-^2t) cos t(cos t)
= -e^-2t [(sin t cos t + sin² t + sin t cos t - cos² t]
= -e^-2t [2 sin t cos t - (cos² t - sin² t)]
\(\frac { du }{ dt } \) = - e^-2t [sin 2t - cos2t]
[∵ cas 2 t = cos² t - sin² t and sin 2t = 2 sin t cos t]

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு சமபடித்தான சமன்பாடாகும் என்பது நமக்குத் தெரியும். ஆகவே, கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டை \(\frac { dy }{ dx } =\frac { 3y }{ 2x } -\frac { x }{ 2y } \) என எழுதலாம்.
y = vx எனில், v + x \(\frac { dv }{ dx } =\frac { 3v }{ 2 } -\frac { 1 }{ 2v } \) அல்லது x \(\frac { dv }{ dx } =\frac { { v }^{ 2 }-1 }{ 2v } \).
மாறிகளைப் பிரித்து எழுத \(\frac { 2vdv }{ { v }^{ 2 }-1 } =\frac { dx }{ x } \) எனப் பெறுகிறோம்.
இருபுறமும் தொகையிட log, \(\left| { v }^{ 2 }-1 \right| =log\left| x \right| +log\left| c \right| ,\)
எனவே, \(\left| { v }^{ 2 }-1 \right| =\left| Cx \right| \) இங்கு C என்பது எதேச்சை மாறிலி v க்குப் பதிலாக \(\frac { y }{ x } \) எனப் பிரதியிட, நமக்குக் கிடைப்பது
\(\left| \frac { { y }^{ 2 } }{ { x }^{ 2 } } -1 \right| =\left| Cx \right| .\) 
எனவே, \(\left| { y }^{ 2 }-{ x }^{ 2 } \right| =\left| C{ x }^{ 3 } \right| \)
ஆகவே, \({ y }^{ 2 }-{ x }^{ 2 }=\pm C{ x }^{ 3 }\) (அல்லது) y² - x² = kx³
இதுவே கொடுக்கப்பட்ட வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் பொதுத் தீர்வாகும்.

\(\left( a,b \right) \varepsilon { R }^{ 2 }\) என்பது ஒரு தனித்த புள்ளி என்க.
f என்ற புள்ளி சார்பின் தொடர்ச்சியான தன்மையை (a,b) எனும் புள்ளி இப்போது நாம் சோதிக்கலாம்.
அதாவது,தொடர்ச்சித் தன்மையின் மூன்று கட்டுப்பாடுகளையும் f என்ற சார்பு (a,b) என்ற புள்ளியில் நிறைவு செய்கிறதா என்பதைச் சோதிக்க வேண்டும்.
முதல் கட்டுப்பாட்டை சோதிக்க \(f(a,b)=\cfrac { { a }^{ 2 }-{ b }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 }+1 } \) என்பது வரையறுக்கப்பட்டது என்பதைக் கவனிக்கலாம்.
இப்போது \(\underset { \left( x,y \right) \rightarrow \left( a,b \right) }{ lim } f\left( x,y \right) \) உள்ளதாகிறதா என்பதைச் சோதிக்க வேண்டும்.
\(\underset { \left( x,y \right) \rightarrow \left( a,b \right) }{ lim } { x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 }={ a }^{ 2 }-{ b }^{ 2 }\) மற்றும் \(\underset { \left( x,y \right) \rightarrow \left( a,b \right) }{ lim } { y }^{ 2 }+1={ b }^{ 2 }+1\) ஆகியவற்றைக் கணக்கிட வேண்டும்.
எல்லைகளின் பண்புபடி 
 \(\underset { \left( x,y \right) \rightarrow \left( a,b \right) }{ lim } f\left( x,y \right) =\cfrac { { x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 } }{ { y }^{ 2 }+1 } =\cfrac { { a }^{ 2 }-{ b }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 }+1 } =f\left( a,b \right) =L\) என்பது உள்ளதாகிறது.
இப்போது \(\underset { \left( x,y \right) \rightarrow \left( a,b \right) }{ lim } f\left( x,y \right) =L=f(a,b)\) என்பதைக், கவனிக்க. எனவே f என்பது (a,b ) என்ற புள்ளியில் தொடர்ச்சித் தன்மையின் அனைத்து கட்டுப்பாடுகளையும் நிறைவு செய்கிறது.
(a,b) என்பது R² ல் ஒரு தனித்த புள்ளி என்பதால், f என்பது R² ல் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் தொடர்ச்சியுடையதாக உள்ளது எனக் காண்கிறோம்.

p(x) =x²-5x+6 என்க.


p(x) க்கு இரண்டு குறி மாற்றங்கள் நிகழ்ந்துள்ளது. ஆகையால் p(x) க்கு அதிகபட்சம் இரண்டு மெய் மூலங்கள் இருக்கும்.
Q(x) =x²-5x+16 என்க.
p(-x)=(-x)²-5(-x)+6
=x²+5x+6
p(-x) க்கு குறி மாற்றம் இல்லை. எனவே குறை மூலங்கள் இல்லை.
Q(x)=x²-5x+6 என்க
Q(x) இரண்டு குறி மாற்றம் நிகழ்ந்துள்ளது மற்றும் Q(-x) க்கு குறி மாற்றம் இல்லை.
[∵ Q(-x)=(-x)²-5(-x)+16=x²+5x+16]
∴ அதற்கு அதிகபட்சம் இரண்டு மிகை மூலங்கள் மற்றும் குறை மூலங்கள் இல்லை.