படத்திலிருந்து 
\({ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }=\left( 20 \right) ^{ 2 }\) [பிதாகரஸ் தேற்றம் 
\({ y }^{ 2 }=400-{ x }^{ 2 }\) [\(\therefore\) வட்டத்தின் ஆரம் 10 செ.மீ
 \(y=\sqrt { 400-{ x }^{ 2 } } \) 
இப்போது,செவ்வகத்தின் பரப்பு A=xy 
\(A=\sqrt [ x ]{ 400-{ x }^{ 2 } } \) 
\(\cfrac { dA }{ dx } =x\cfrac { \left( -2x \right) }{ \sqrt [ 2 ]{ 400-{ x }^{ 2 } } } +\sqrt { 400-{ x }^{ 2 } } (1)\) 
= \(\cfrac { -{ x }^{ 2 }+400-{ x }^{ 2 } }{ \sqrt { 400-{ x }^{ 2 } } } =\cfrac { -2{ x }^{ 2 }+400 }{ \sqrt { 400-{ x }^{ 2 } } } \) 
பெருமம் அல்லது சிறுமத்திற்கு 
\(\cfrac { dA }{ dx } =0\Rightarrow \cfrac { -{ 2x }^{ 2 }+400 }{ \sqrt { 400-{ x }^{ 2 } } } =0\) 
\({ x }^{ 2 }=200\) 
\(x=\pm 10\sqrt { 2 } \) 
\(x =-10\sqrt { 2 } \) என்பது சாத்தியமல்ல 
 \(\therefore x=10\sqrt { 2 } \) 
இப்போது,
\(\cfrac { { d }^{ 2 }A }{ { dx }^{ 2 } } =\cfrac { \sqrt { 400-{ x }^{ 2 } } (-4x)-\left( { -2x }^{ 2 }+400 \right) \left( -\cfrac { 2x }{ \sqrt [ 2 ]{ 400-{ x }^{ 2 } } } \right) }{ 400-{ x }^{ 2 } } \) 
= \(\cfrac { { 2x }^{ 3 }-1200x }{ \left( 400-{ x }^{ 2 } \right) \sqrt { 400-{ x }^{ 2 } } } \) 
\(x=10\sqrt { 2 } \) ல் ,\(\cfrac { { d }^{ 2 }A }{ { dx }^{ 2 } } <0\) 
\(\therefore x=10\sqrt { 2 } \) எனும்போது செவ்வகத்தின் பரப்பு சிறுமமாகிறது.
\(y=\sqrt { 400-200 } =\sqrt { 200 } =10\sqrt { 2 } \) 
\(\therefore x=y=10\sqrt { 2 } \) 
செவ்வகத்தின் நீளம் = \(10\sqrt { 2 } \) செ.மீ 
செவ்வகத்தின் அகலம் = \(10\sqrt { 2 } \) செ.மீ 

நியூட்டனின் குளிர்ச்சியடையும் விதிப்படி,ஒரு பொருளின் வெப்பநிலை மாறும் வீதமானது பொருளின் வெப்பநிலைக்கும்,சுற்றுப்புற ஊடகத்தின் வெப்பநிலைக்கு உள்ள வேறுபாட்டிற்கு நேர் விகிதமாக அமையும்.
\(\cfrac { dT }{ dt } =-k\left( T-{ T }_{ 0 } \right) \) 
இங்கு T என்பது அறையின் வெப்பநிலை ,மற்றும் T₀ என்பது ஊடகத்தின் மாறாத வெப்பநிலை 
எனவே,\(\cfrac { dT }{ dt } =-k\left( T-25 \right) \) (அல்லது)
\(\cfrac { dT }{ T-25 } =-kdt\) 
சமன்பாடு (1) ஐ தொகையிடக் கிடைப்பது
\(\int { \cfrac { dT }{ T-25 } } =\int { -kdt } \) 
\(log\left( T-25 \right) =-kt+{ c }_{ 1 }\) 
இப்போது \(T=100,t=0\) 
\(log\left( 100-25 \right) =-k\left( 0 \right) +{ c }_{ 1 }\) 
\(\therefore log75={ c }_{ 1 }\) 
c₁ மதிப்பை சமன்பாடு (1)ல் பிரதியிடக் கிடைப்பது 
\(log\left( T-25 \right) =-kt+log75\left[ \because logm-logn=logm/n \right] \) 
\(log\cfrac { T-25 }{ 75 } =-kt\) ...(2) 
மேலும் t=10 நிமிடங்கள் எனும்போது T=80
\(log\left( \cfrac { 80-25 }{ 75 } \right) =-k(10)\) 
\(log\left( \cfrac { 55 }{ 75 } \right) =-10k\) 
\(k=-\cfrac { 1 }{ 10 } log\left( \cfrac { 55 }{ 75 } \right) \) 
\(k=\cfrac { 1 }{ 10 } log\left( \cfrac { 75 }{ 55 } \right) \) 
\(k=\cfrac { 1 }{ 10 } log\cfrac { 15 }{ 11 } \) 
k ன் மதிப்பை சமன்பாடு (2)ல் பிரதியிடக் கிடைப்பது   
\(log\left( \cfrac { T-25 }{ 75 } \right) =-\left( \cfrac { 1 }{ 10 } log\cfrac { 15 }{ 11 } \right) t\) 
t=20 என சமன்பாடு (3) ல் பிரதியிட 
\(log\left( \cfrac { T-25 }{ 75 } \right) =-\cfrac { 20 }{ 10 } log\cfrac { 15 }{ 11 } \) 
= \(-2log\cfrac { 15 }{ 11 } \) 
= \(2log\cfrac { 11 }{ 15 } \) 
\(log\cfrac { T-25 }{ 75 } =log\left( \cfrac { 11 }{ 15 } \right) ^{ 2 }\) 
\(\cfrac { T-25 }{ 75 } =\left( \cfrac { 11 }{ 15 } \right) ^{ 2 }\) 
\(T=75\left( \cfrac { 11 }{ 75 } \right) ^{ 2 }+25\) 
\(T=75\left( 0.5378 \right) +25\) 
\(\\ T=40.33+25\) 
\(T=65.33^{ 0 }C\)

t நேரத்தில் உடலின் வெப்பநிலை T என்க. பிற்பகல் 8 மணி என்பதை t = 0 எனக்கொள்க.
நியுட்டனின் குளிர்வு விதிப்படி, \(\frac { dT }{ dt } =k(T-50)\) அல்லது \(\frac { dT }{ T-50 } =dt\).
இரு பக்கமும் தொகையிட, \(log\left| 50-T \right| =kt+logC\) அல்லது 50 - T = Ce^kt.
t = 0 எனும்போது T = 70 என்பதால், C = -20
t = 2 எனும்போது T = 60 என்பதா ல், -10 = -20e^k2.
ஆகவே, \(k=\frac { 1 }{ 2 } log\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) \).
எனவே, தீர்வு \(50-T=-20{ e }^{ \frac { 1 }{ 2 } log\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) }\) அல்லது  T = 50 + 20 \(( \frac { 1 }{ 2 })^{ \frac { 1 }{ 2 }}\)
நாம் இப்பொழுது T(t) = 98.6ஆக இருக்கும்போது t-ன் மதிப்பைக் காணவேண்டும். \(t=2\left( \frac { log\left( \frac { 48.6 }{ 20 } \right) }{ log\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) } \right) \approx -2.56\)
எனவே , அந்நபர் இறந்த நேரம் பிற்பகல் 5.30 மணியாகும்

\((y-{ e }^{ { sin }^{ -1 }x })\frac { dy }{ dx } +\sqrt { { 1-x }^{ 2 } } =0\) 
\(\left( y-{ e }^{ sin^{ -1 }x } \right) \cfrac { dx }{ dy } =\sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } \) 
\(\left( y-{ e }^{ { sin }^{ -1 }x } \right) =-\sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } \cfrac { dy }{ dx } \) 
\(\sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } \cfrac { dy }{ dx } +y={ e }^{ sin^{ -1 }x }\) 
\(\div \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } ,\cfrac { dy }{ dx } +\cfrac { 1 }{ \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } } =\cfrac { { e }^{ sin^{ -1 }x } }{ \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } } \) 
எனவே,இது ஒரு நேரியல் வகைக்கெழுச் சமன்பாடு  
\(P=\cfrac { 1 }{ \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } } ,Q=\cfrac { { e }^{ { sin }^{ -1 }x } }{ \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } } \) 
\(I.F={ e }^{ \int { pdx } }\) 
\({ e }^{ \int { \frac { 1 }{ \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } } dx } }={ e }^{ { sin }^{ -1 }x }\) 
எனவே,தேவையான தீர்வு  
 \(y\times I.F=\int { Q\times I.Fdx+c } \) 
\(ye^{ sin^{ -1 }x }=\int { \cfrac { { e }^{ { sin }^{ -1 } }x }{ \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } } +{ e }^{ { sin }^{ -1 } }dx+c } \) 
\(t={ sin }^{ -1 }x\) 
\(dt=\cfrac { 1 }{ \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } } dx\) 
\({ y }^{ sin^{ -1x } }=\int { { e }^{ t }.{ e }^{ t }dt+c } \) 
\(\int { { e }^{ 2t }dt+c } \) 
\(y{ e }^{ sin^{ -1 }x }=\cfrac { { e }^{ 2t } }{ 2 } +c\) 
\(\therefore y{ e }^{ sin^{ -1 } }=\cfrac { { e }^{ 2 }{ sin }^{ -1 }x }{ 2 } +c\)

W(x, y, z) = xy + yz + zx, x =u -v, y = uv, z = u + v; y = uv; z = u
\(\frac { \partial W }{ \partial x } \) = y + z; \(\frac { \partial W }{ \partial y } \) = x + z
∴ \(\frac { \partial W }{ \partial x } \) = uv + u +  v;
\(\frac { \partial W }{ \partial y} \) = u - v + u + v;
\(\frac { \partial W }{ \partial z} \) = uv +  u - v
\(\frac { dx }{ du } =1;\frac { dy }{ du } =v;\frac { dz }{ du } =1\)
\(\frac { dx }{ dv } =1;\frac { dy }{ dv } =v;\frac { dz }{ dv} =1\)
\(\frac { \partial W }{ \partial u } =\frac { \partial w }{ \partial x } .\frac { dx }{ du } +\frac { \partial w }{ \partial y } .\frac { dy }{ du } +\frac { \partial w }{ \partial z } .\frac { dz }{ du } \)
= (uv +u +v) (1) +2u (v) + (uv +u - v)(1)

\(\frac { \partial W }{ \partial u } \) = 4uv + 2u = 12u (2v + 1)
\({ \left( \frac { \partial W }{ \partial u } \right) }_{ \left( \frac { 1 }{ 2 } ,1 \right) }\) = 2 x \(\frac12\) (2+ 1) = 1(2+ 1) = 3
= (uv + u + v) (-1) + (2u) (u) + (uv + u - v)(1)

= 2u² - 2v = 2 (u² - v)
∴  \({ \left( \frac { \partial W }{ \partial v } \right) }_{ \left( \frac { 1 }{ 2 } ,1 \right) }\) = \(2\left( \frac { 1 }{ 4 } -1 \right) =2\left( -\frac { 3 }{ 4 } \right) =-\frac { 3 }{ 2 } \)

கொடுக்கப்பட்டது \(x\cfrac { dy }{ dx } =y-x{ cos }^{ 2 }\cfrac { y }{ x } \) 
சமன்பாட்டை \(\cfrac { dy }{ dx } =\cfrac { y-x{ cos }^{ 2 }\frac { y }{ x } }{ x } \) எனுமாறு எழுதலாம்.
இது ஒரு சமப்படித்தான வகைக்கெழுச் சமன்பாடாகும்.
\(y=vx\)
\(\frac { dy }{ dx } =v(1)+x\cfrac { dv }{ dx } \) 
y மற்றும் \(\cfrac { dy }{ dx } \) ன் மதிப்பை சமன்பாடு (10 ல் பிரதியிட 
\(v+\frac { xdv }{ dx } =\cfrac { vx-x{ cos }^{ 2 } }{ x } \) 
\(v+\cfrac { xdv }{ dx } =\cfrac { vx-x{ cos }^{ 2 }(v) }{ x } \) 
\(v+\cfrac { xdv }{ dv } =x\cfrac { \left( v-{ cos }^{ 2 }v \right) }{ x } \) 
\(x\cfrac { dv }{ dx } =v-{ cos }^{ 2 }v-v\) 
\(\cfrac { dv }{ dx } =\cfrac { -{ cos }^{ 2 } }{ x } \) 
\(\cfrac { dv }{ { cos }^{ 2 }v } =\cfrac { -dx }{ x } \) 
இருபுறமும்  தொகையிடக் கிடைப்பது 
\(\int { { sec }^{ 2 }vdx } =-\int { \cfrac { dx }{ x } } \) 
\(tanv=-logx+logC\) 
\(tanv=logC-logx\) 
\(tanv=log\left( \cfrac { c }{ x } \right) \) 
\({ e }^{ tanv }=\cfrac { C }{ x } \) 
\(C=x{ e }^{ tanv }\) 
\(C={ xe }^{ tan\left( \frac { y }{ x } \right) }\) என்பது தேவையான தீர்வாகும்.

சமன்பாட்டை tan y \(\frac { dy }{ dx } \) = cos (x + y) + cos (x - y) எனுமாறு எழுதலாம்.
[cos(A+B)+cos(A-B)=2cosAcosB என்பதை நாம் அறிவோம். இங்கு A=x,B=y]
\(\therefore tany\cfrac { dy }{ dx } =2cosxcosy\) 
\(\cfrac { tany }{ cosy } dy=2cosxdx\) 
இருபுறமும் தொகையிடக் கிடைப்பது 
\(\int { \cfrac { tany }{ cosy } dy=2\int { cosxdx } } \) 
\(2\int { \tan y \sec y dy } =2\int { \cos x } dx\) 
\(\\ secy=2sinx+C\)

\(f(x)=\cfrac { { e }^{ x } }{ 1-{ e }^{ x } } \) 
\(f'\left( x \right) =\cfrac { \left( 1-{ e }^{ x } \right) { e }^{ x }-{ e }^{ x }\left( -{ e }^{ x } \right) }{ \left( 1-{ e }^{ x } \right) ^{ 2 } } \) 
= \(\cfrac { { e }^{ x }-{ e }^{ 2x }+{ e }^{ 2x } }{ \left( 1-{ e }^{ x } \right) ^{ 2 } } =\cfrac { { e }^{ x } }{ \left( 1-{ e }^{ x } \right) ^{ 2 } } \) 
x=0 எனும்போது,f(x) என்பது வரையறுக்கப்படாததாகிறது.
\(\therefore\) x=0 என்பது விலக்கப்பட்ட மதிப்பாகும்.
\(\therefore\) இடைவெளிகள் என்பன  \(\left( -\infty ,0 \right) \cup \left( 0,\infty \right) \left( -\infty ,0 \right) \) ல் \(f'\left( x \right) >0\) 
\(\therefore\) f(x) என்பது \( \left( -\infty ,0 \right) \) மற்றும் \((0, \infty)\)ல் திட்டமாக ஏறுகிறது மற்றும் அறுதி மதிப்பு கிடையாது.  

வட்டம் x² + y² = r² , x-அச்சு,கோடுகள் x = r - h மற்றும் x = r ஆகியவற்றால் சூழப்பட்ட முதல் கால் வட்டப் பகுதியில் உள்ள அரங்கத்தின் பரப்பை x-அச்சைப் பொருத்து  சுழற்றும்போது உருவாகும் திடப் பொருளானது , ஆரம் r, உயரம் h உடைய கோள வடிவ தொப்பியாகும் படம் -ல் காண்க. எனவே தேவையான கன அளவு 

V = π \(\int ^{r}_{r-h} y^2 dx = π \int ^{r}_{r-h} (r^2-x^2) dx = π (r^2 x - \frac {x^3}{3})^{r}_{r-h} \)
= π \((r^2 (r (r-h)) - \frac {(r^3- (r-h)^3)}{3})\)
= π  \((r^2h - \frac {(r^3-(r^3-3r^2h + 3rh^2 -h^3))}{3})\)
= π \((\frac {3rh^2-h3}{3}) = \frac{1}{3}πh^2(3r - h)\).
குறிப்பு
மேலே உள்ள கோள  வடிவத் தொப்பியின் கன அளவை தொப்பியின்  ஆரம் மூலம் எழுதலாம். ρ என்பது  கோள  வடிவத் தொப்பியின் ஆரம் எனில்  ρ² + (r  - h )²  = r²

எனவே r =  \(\frac {ρ^2 + h^2 }{2h}\) . மேலே உள்ள கன அளவில் r-ன் மதிப்பை பிரதியிட, நாம் பெறுவது
V =  \(\frac{1}{3}πh^2[3 (\frac {ρ^2 + h^2}{2h})- h]\) = \(\frac{1}{3}πh[ (\frac {3ρ^2 + h^2}{2})] = \frac {1}{6} πh(3 ρ^2 +h^2)\).

கொடுக்கப்பட்டது n = 6 .
குறைபாடுள்ள ஒரு பொருளைத் தேர்ந்தெடுப்பதற்கான நிகழ்தகவு \(\frac{20}{100}\), அதாவது p = \(\frac{1}{5}\).
q = 1 − p = \(\frac{4}{5}\). குறைபாடுள்ள பொருட்களின் எண்ணிக்கையை X குறிப்பதால், X கொள்ளும் மதிப்புகள் 0,1,2,...,6ஆகும்.
எனவே X ஈருறுப்பு பரவலைப் பின்பற்றுகிறது. அதனை X~B (6, \(\frac{1}{5}\))  எனக் குறிப்பிடலாம்.
இதிலிருந்து பெறுவது \(f(x) = \left( \begin{matrix} 6 \\ x \end{matrix} \right) (\frac{1}{5})^x(\frac{4}{5})^{6-x},\quad x=0,1,2,...,6\).
(i) இரு குறைபாடுகளுள்ள பொருட்களுக்கான நிகழ்தகவு,
P(X = 2) = \(f(2) = \left( \begin{matrix} 6 \\ 2 \end{matrix} \right) (\frac{1}{5})^2(\frac{4}{5})^{6-2}=15(\frac{4^4}{5^6})\) 
(ii) அதிகபட்சம் ஒரு பொருள் குறைபாடுள்ளதாக இருக்க நிகழ்தகவு,
P(X ≤ 1) = P(X = 0) + P(X = 1)
\(=\left( \begin{matrix} 6 \\ 0 \end{matrix} \right) (\frac{1}{5})^0(\frac{4}{5})^{6-0}+\left( \begin{matrix} 6 \\ 1 \end{matrix} \right) (\frac{1}{5})^1(\frac{4}{5})^{6-1}\)
\(=\left( \begin{matrix} 4 \\ 5 \end{matrix} \right)^6 +(6)(\frac{4^5}{5^6})=2(\frac{4}{5})^5\)
அதிகபட்சம் ஒரு பொருள் குறைபாடுள்ளதாக  இருக்க நிகழ்தகவு 2\((\frac{4}{5})^5\).
(iii) குறைந்தபட்சம் இரு பொருட்கள் குறைபாடுள்ளதாக  இருக்க நிகழ்தகவு
P(X ≥ 2) = 1 − P(X < 2) =1 − P(X ≤ 1) = 1 − 2\((\frac{4}{5})^5\)
குறைந்தபட்சம் இரு பொருட்கள் குறைபாடுள்ளதாக இருக்க நிகழ்தகவு 1 −2\((\frac{4}{5})^5\).

நீள்வட்டமானது நெட்டச்சு மற்றும் குற்றச்சுகளைப்  பொருத்து  சமச்சீராக  உள்ளது.  படம் - ல் நீள்வட்டம்  வரையப்பட்டுள்ளது.  y -அச்சின் மிகைப்பகுதியின் திசையில்  பார்க்கும்போது தேவையான பரப்பு  A ஆனது நீள்வட்டத்தின்  முதல் கால் வட்டப் பகுதியில் \((y = \frac {b}{a} \sqrt{a^2}-{x^2}, 0 < x < a ), \)   x -அச்சு,  x = 0 மற்றும்  x = a  ஆகியவற்றால் அடைபடும்  அரங்கத்தின் பரப்பைப்  போல்   நான்கு மடங்காகும். செங்குத்தான பட்டைகளைப் பயன்படுத்தி பரப்பு காணக் கிடைப்பது,

A = \(4\int ^{a}_ {0} x dx \) = 4 \(\int ^{b}_{0} \frac {a}{b} \sqrt{a^2 - x^2} dy \)
 = \(\frac {4a}{b}\)[\(\frac {x \sqrt {a^2 - y^2}}{2}\) + \(\frac {a^2}{2}\) sin^-1  \(\frac {x}{b}]^{a}_{0}\) = \(\frac {4b}{a} \times \frac {\pi^2}{4} = \pi ab.\)

I =  \(\int ^\frac{\pi}{4}_{0}\) log(1+tan x) dx என்க.
\(\int ^{a}_{0}\) f(x) dx =  \(\int ^{a}_{0}\)  f(a-x) dx  என்ற பண்பை சமன்பாடு  (1)-ல் பயன்படுத்தக் கிடைப்பது,
I =  \(\int ^\frac{\pi}{4}_{0}\) log \([1+\tan (\frac{\pi}{4}-x)]\) dx = \(\int ^\frac{\pi}{4}_{0}\) log  \([1 + \frac{\tan \frac {\pi}{4}- \tan x}{1 + \tan {\frac {\pi}{4} \tan x}}]\) dx
= \(\int ^\frac{\pi}{4}_{0}\) log \([1 + \frac {1 - \tan x}{1 + \tan x}]\)dx = \(\int ^\frac{\pi}{4}_{0}\) log  \([\frac {1+tan x +1 - tan x}{1 + tan x}]\) dx
=\(\int ^\frac{\pi}{4}_{0}\) log \([\frac{2}{1+tanx}]\) dx = \(\int ^\frac{\pi}{4}_{0}\) [log 2 - log (1+tan x)] dx
= log 2\(\int ^\frac{\pi}{4}_{0}\) dx - \(\int ^\frac{\pi}{4}_{0}\)  log (1+tan x)] dx
= \(\frac{\pi}{4}\)log 2 - I
2I = \(\frac{\pi}{4}\)log2.  எனவே , I = \(\frac{\pi}{8}\)  log2. 

(i) நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பு 
\(f(0)=P(X=0)=F(0)-F(0^-)=\cfrac { 1 }{ 2 } -0 =\frac { 1 }{ 2 } \) 
\(f(1)=P(X=1)=F(1)-F(0)=\cfrac { 3 }{ 5 } -\cfrac { 1 }{ 2 } =\cfrac { 1 }{ 10 } \)
\(f(2)=P(X=2)=F(2)-F(1)=\cfrac { 4 }{ 5 } -\cfrac { 3 }{ 5 } =\cfrac { 1 }{ 5 } \)
\(f(3)=P(X=3)=F(3)-F(2)=\cfrac { 9 }{ 10 } -\cfrac { 4 }{ 5 } =\cfrac { 1 }{ 10 } \)
\(f(4)=P(X=4)=F(4)-F(3)=1-\cfrac { 9 }{ 10 } =\cfrac { 1 }{ 10 } \)
நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பு 

x	0	1	2	3	4
f(x)	\(\frac{1}{2}\)	\(\frac{1}{10}\)	\(\frac{1}{5}\)	\(\frac{1}{10}\)	\(\frac{1}{10}\)

(ii) P(X < 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P (X = 2) 
 \(\begin{aligned} =\frac{1}{2}+\frac{1}{10}+\frac{1}{5} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} =\frac{5+1+2}{10}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5} \end{aligned}\)
(iii) P(X \(\geq\)2) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4)
\(\begin{aligned} =\frac{1}{5}+\frac{1}{10}+\frac{1}{10} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} =\frac{2+1+1}{10}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5} \end{aligned}\)

இருமுறை எறிதலின் மொத்தத் தொகை X -ஐ குறிப்பதால், X -ஆனது 2, 3, 4, 5, மற்றும் 6 ஆகிய மதிப்புகளைக் கொண்டிருக்கும்.
அருகிலுள்ள அட்டவணை S-லிருந்து,

சமவாய்ப்பு மாறியின் மதிப்பு	2	3	4	5	6	மொத்தம்
நேர்மாறு பிம்பங்களில் உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை	1	4	10	12	9	36

கூறுவெளி S

\(P(X=2)=\frac{1}{36},\)
\(P(X=3)=\frac{4}{36},\)
\(P(X=4)=\frac{10}{36},\)
\(P(X=5)=\frac{12}{36},\)
மற்றும் \(P(X=6)=\frac{9}{36}.\)
(i) நிகழ்தகவு நிறை சார்பானது.

x	2	3	4	5	6
f(x)	\(\frac{1}{36}\)	\(\frac{4}{36}\)	\(\frac{10}{36}\)	\(\frac{12}{36}\)	\(\frac{9}{36}\)

 

(ii) குவிவு பரவல் சார்பு வரையறைப்படி தனிநிலை சமவாய்ப்பு மாறியின் குவிவு பரவல் சார்பானது,

\(F(x)=P(X\le x) =\underset { { x }_{ i }\le x }{ \Sigma } { P(X={ x }_{ i }) }\),
P(X < x)  = 0, −∞ < x < 2.
\(F(2)=P(X\le 2)=\sum _{ -\infty }^{ 2 }{ { P(X={ x }) }={ P(X<2) }+P(X=2)=0+\frac { 1 }{ 36 } } =\frac { 1 }{ 36 } .\)
\(F(3)= P(X\le 3)=\sum _{ -\infty }^{ 3 }{ { P(X={ x }) }={ P(X<2) }+P(X=2)+P(X=3)=0+\frac { 1 }{ 36 }+\frac { 4 }{ 36 } } =\frac { 5 }{ 36 } .\)
\(F(4)= P(X\le 4)=\sum _{ -\infty }^{ 4 }{ { P(X={ x }) }={ P(X<2) }+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=0+\frac { 1 }{ 36 }+\frac { 4 }{ 36 }+\frac { 10 }{ 36 } } =\frac {15 }{ 36 } .\)
\(F(5)= P(X\le 5)=\sum _{ -\infty }^{ 5 }{ { P(X={ x }) }={ P(X<2) }+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)}\)= \(0+\frac{1}{36}+\frac{4}{36}+\frac{10}{36}+\frac{12}{36}=\frac{27}{36}.\)
\(F(6)= P(X\le 6)=\sum _{ -\infty }^{ 6 }{ { P(X={ x })}}\)
= P(X < 2) + P(X = 2) + P(X = 3)+ P(X = 4)+ P(X = 5)+ P(X = 6)
= \(0+\frac{1}{36}+\frac{4}{36}+\frac{10}{36}+\frac{12}{36}+\frac{9}{36}=1.\)
எனவே , குவிவு பரவல் சார்பானது
,\(\begin{cases}\begin{matrix}0,&-\infty < x< 2\end{matrix}\\\begin{matrix}\frac{1}{36},&2 \le x< 3\end{matrix}\\\begin{matrix}\frac{5}{36},&3 \le x< 4\end{matrix}\\\begin{matrix}\frac{15}{36},&4 \le x< 5\end{matrix}\\\begin{matrix}\frac{27}{36},&5 \le x< 6\end{matrix}\\\begin{matrix}1,&6 \le x< \infty\end{matrix}\end{cases}\)

(iii) \(P(3\le X<6)=\sum _{ x=3 }^{ 5 }{ P(X={ x }_{ i })=P(X=3)+P(X=4) } +P(X=5)\)
= \(\frac{4}{36}+\frac{10}{36}+\frac{12}{36}=\frac{26}{36}.\)
(iv) \(P(X\ge4)=\sum _{ x=4 }^{ \infty }{ P(X={ x }_{ i })}\)
= P(X = 4)+P(X = 5)+P(X = 6)
=\(\frac{10}{36}+\frac{12}{36}+\frac{9}{36}=\frac{31}{36}.\)

படத்திலிருந்து,\(\cfrac { r }{ h } =\cfrac { 5 }{ 12 } \) \(\Rightarrow\) \(r=\cfrac { 5h }{ 12 } \) 
கொடுக்கப்பட்ட கன அளவின் மாறுவீதம் \(\cfrac { dv }{ dt } =10\) 
h=8 எனும்போது \(\cfrac { dh }{ dt } \) ஐக் காண வேண்டும்
கூம்பின் கன அளவு \(V=\cfrac { 1 }{ 3 } { \pi r }^{ 2 }\)h 
\(V=\cfrac { \pi }{ 3 } \left( \cfrac { 5h }{ 12 } \right) ^{ 2 }h\) 
\(V=\cfrac { \pi }{ 3 } \left( \cfrac { 25{ h }^{ 3 } }{ 144 } \right) =\cfrac { 25\pi }{ 432 } { h }^{ 3 }\) 
't' ஐப் பொறுத்து வகைப்படுத்த 
\(\cfrac { dv }{ dt } =\cfrac { 25\pi }{ 432 } \left( 3{ h }^{ 2 } \right) \cfrac { dh }{ dt } \) 
\(10=\cfrac { 25\pi }{ 432 } \left( 3\left( 8 \right) ^{ 2 } \right) \cfrac { dh }{ dt } \)  \(\left[ \therefore h=8 \right] \) 
\(\therefore \cfrac { dh }{ dt } =\cfrac { 1 }{ \pi } \cfrac { 432\times 10 }{ 3\times 25\times 64 } =\cfrac { 4320 }{ 4800\pi } \) 
= \(\cfrac { 0.9 }{ \pi } =\cfrac { 9 }{ 10\pi } \) 
ஃ  நீரின் ஆழம் நிமிடத்திற்கு \(\cfrac { 9 }{ 10\pi } \) மீ வேகத்தில் அதிகரிக்கிறது. 

9x²-y²-36x-6y+18 = 0
\(\Rightarrow\) 9x²-36x(y²-6y) = -18
\(\Rightarrow\) 9(x²-4x)(y²+6y) = -18
\(\Rightarrow\) 9(x²-4x+4-4)-(y²+6y+9-9) = -18
\(\Rightarrow\) 9(x-2)²-36-(y+3)²+9 = -18
\(\Rightarrow\) 9(x-2)²-(y+3)² = -18+36-9
\(\Rightarrow\) 9(x-2)²-(y+3)² = 9
9 ஆல் வகுக்க கிடைப்பது 
துணை அச்சு x-அச்சுக்கு இணையான அதிபரவளையத்தின் சமன்பாடு  
a² = 1, b² = 9
\(\therefore { c }^{ 2 }={ a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }=1+9=10\Rightarrow c=\sqrt { 10 } \)
\(e=\sqrt { 1+\cfrac { { b }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } } =\sqrt { 1+\cfrac { 9 }{ 1 } } =\sqrt { 10 } \)
(a) மையம் (2, -3)
\(\Rightarrow h=2,k=-3\)
(b) குவியங்கள் (h+c, k), (h-c, k)
\(\Rightarrow \left( 2+\sqrt { 10 } ,-3 \right) ,\left( 2-\sqrt { 10 } ,-3 \right) \)
(c) முனைகள் (h+a, k) (h-a, k)
\(\Rightarrow \left( 2+1,-3 \right) ,\left( 2-1,3 \right) \)
\(\Rightarrow \left( 3,3 \right) \left( 1,-3 \right) \)
(d) இயக்குவரையின் சமன்பாடுகள் \(x-2=\pm \cfrac { a }{ e } \)
\(\Rightarrow x-2=\pm \cfrac { 1 }{ \sqrt { 10 } } \)
\(x=2\pm \cfrac { 1 }{ \sqrt { 10 } } \)
\(\Rightarrow x=2+\cfrac { 1 }{ \sqrt { 10 } } \)
\(x=2-{ \cfrac { 1 }{ \sqrt { 10 } } }\)

தேவையான நேர்க்கோடு (-5, 7, -4) மற்றும் (13, -5, 2) என்ற புள்ளிகள் வழியாகச் செல்கிறது. எனவே, இப்புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டின் திசை விகிதங்கள் 18, -12, 6 ஆகும். அதாவது 3, -2, 1 ஆகும்.
ஆதலால், தேவையான நேர்க்கோடு \(3\hat { i } -2\hat { j } +\hat { k } \) என்ற வெக்டருக்கு இணையாக இருக்கும். எனவே,
தேவையான நேர்க்கோட்டின் துணையலகு வடிவ வெக்டர் சமன்பாடு
\(\vec { r } =(-5\hat { i } +7\hat { j } -4\hat { k } )+t(3\hat { i } -2\hat { j } +\hat { k } )\)அல்லது \(\vec { r } =(13\hat { i } -5\hat { j } +2\hat { k } )+s(3\hat { i } -2\hat { j } +\hat { k } )\) இங்கு s,t \(\in R\) ஆகும்.
தேவையான கோட்டின் கார்டீசியன் சமன்பாடுகள் \(\frac { x+5 }{ 3 } =\frac { y-7 }{ -2 } =\frac { z+4 }{ 1 } \) அல்லது \(\frac { x-13 }{ 3 } =\frac { y+5 }{ -2 } =\frac { z-2 }{ 1 } \) ஆகும்.
இந்நேர்க்கோட்டில் உள்ள ஏதேனும் ஒரு புள்ளியின் அமைப்பு
(3t-5, -2t+7, t-4) அல்லது (3s+13, -2s-5, s+2)
நேர்க்கோடு xy-தளத்தை சந்திப்பதால், வெட்டும் புள்ளியின் z -அச்சுத் தொலைவு பூச்சியமாகும். எனவே, t−4 = 0, அதாவது, t = 4 ஆகும். ஆகையால், நேர்க்கோடு xy-தளத்தை வெட்டும் புள்ளி (7, -1, 0) ஆகும்.

முக்கோணம் ABC-ல், \(\vec { AD } ,\vec { BE } \) என்ற செங்குத்துக் கோடுகள் வெட்டும் புள்ளி O என்க. AB-ஐ F-ல் சந்திக்குமாறு COவை நீட்டுக. ஆதிப்புள்ளி O என்க. \(\vec { OA } =\vec { a } \), \(\vec { OB } =\vec { b} \)  மற்றும் \(\vec { OC } =\vec { c } \) என்க.
\(\vec { AD } \) என்பது \(\vec { BC } \) க்குச் செங்குத்து என்பதால், \(\vec { OA } \) என்பது \(\vec { BC } \)-க்குச் செங்குத்தாகும். எனவே, \(\vec { OA } \).\(\vec { BC } \) = 0
அதாவது, \(\vec { a } .(\vec { c } -\vec { b } )=0\)
\(\Rightarrow \vec { a } .\vec { c } -\vec { a } .\vec { b } =0\) .....(1)
இதேபோன்று, \(\vec { BE } \) என்பது \(\vec { CA } \)-க்குச் செங்குத்து என்பதால், \(\vec { OB } \) என்பது \(\vec { CA } \) க்குச் செங்குத்தாகும். எனவே, \(\vec { OB } .\vec { CA } \) = 0.
அதாவது \(\vec { b } .(\vec { a } -\vec { c } )=0\), 
\(\Rightarrow \vec { a } .\vec { b } -\vec { b } \vec {​​c } =0\) ....(2)
சமன்பாடுகள் (1) மற்றும் (2) ஆகியவற்றின் கூடுதல் காண, நாம் பெறுவது 
\( \vec { a } .\vec { c } -\vec { b } .\vec {​​c } =0\)
\(\Rightarrow \vec { c } .(\vec { a } -\vec { b } )=0\)
அதாவது, \(\vec { OC } .\vec { BA } =0\). ஆகவே, \(\vec { OC } \) என்பது \(\vec { BA } \)-க்குச் செங்குத்து என்பதால், \(\vec { CF } \) என்பது \(\vec { AB } \) க்குச் செங்குத்தாகும். அதாவது, C-யிலிருந்து பக்கம் AB-க்கு வரையப்பட்ட செங்குத்துக் கோடு O வழியாகச் செல்கிறது. எனவே, ஒரு முக்கோணத்தின் குத்துக்கோடுகள் ஒரு புள்ளி வழிச் செல்லும் கோடுகளாகும். 

அணு உலை குளிரூட்டும் தூணின் குறுக்கு வெட்டு அதிபரவளைய வடிவில் உள்ளது.

கொடுக்கப்பட்ட \(OC=\cfrac { 1 }{ 2 } OD\) மற்றும் CD = 150மீ அதனுடைய சமன்பாடு OC = 50மீ மற்றும் OD = 100 மீ \(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ { 30 }^{ 2 } } -\cfrac { { y }^{ 2 } }{ { 44 }^{ 2 } } =1\)
OC = 50 மீ மற்றும் OD = 100 மீ அணு உலையின் மேற்புற ஆரம் x₁ எனவும், கீழ்புற ஆரம் x₂ எனவும் கொள்க.
ஃபுள்ளிகள் A(x₁, 50) மற்றும் B(x₂, -100) அதிபரவளையம் A(x₁, 50) புள்ளி வழிச் செல்கிறது.
\( \therefore \frac{x_1^2}{30^2}-\frac{50^2}{44^2} =1+\frac{2500}{1936}=\frac{1936+2500}{1936} \\ x_1^2 =\frac{30^2}{44^2}(4436) \\ \Rightarrow x_1 =\frac{30}{44} \times \sqrt{4436} \)
\(\\ \Rightarrow x_1 =\frac{30}{44} \times(66.6)=45.41 \ \)மீ
மேற்புற ஆரம் = 45.41 மீ
மேற்புற விட்டம் = 90.82 மீ
மேலும், அதிபரவளையம் B(x₂, -100) வழிச் செல்கிறது.
\( \frac{x_2^2}{30^2}-\frac{100^2}{44^2} =1 \\ \frac{x_2^2}{30^2} =1+\frac{100^2}{44^2}=\frac{44^2+100^2}{44^2} \\ x_2^2 =\frac{30^2}{44^2}(11936) \\ x_2 =\frac{30}{44} \times \sqrt{11936} \\ =\frac{30}{44}(109.25)=74.48 \)
கீழ்ப்புற ஆரம் = 74.48 மீ
கீழ்ப்புற விட்டம் = 148.96 மீ
ஃ தூணின் மேற்பகுதி மற்றும் அடிப்பகுதியின் விட்டங்கள் முறையே 90.82 மீ மற்றும் 148.96 மீ.

நீள்வட்டத்தின் சமன்பாடு c² + 3y² = 12
\(\div \) 12 கிடைப்பது \(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ 12 } +\cfrac { { y }^{ 2 } }{ 4 } =1\) 
\(\therefore\) a² = 12, b² = 4
கோடு x - y + 4 = 0 ஐ y = x + 4 என திருத்தி எழுதலாம் .
\(\therefore\) m = 1, c = 4
y = mx + 4 நீள் வட்டத்தின் தொடுகோடாக இருக்க கட்டுப்பாடு c² = a²m² + b²
\(\therefore \) (4)² = 12(1)² + 4
\(\Rightarrow\) 16 = 12 + 4
\(\Rightarrow\) 16 = 16
நிபந்தனை நிறைவு செய்யப்படுவதால், கோடு x - y + 4 = 0 நீள் வட்டம் x² + 3y² = 12க்கு தொடுகோடாகும்.
மேலும் தொடும்புள்ளி \(\left( \cfrac { { -a }^{ 2 }m }{ c } ,\cfrac { { b }^{ 2 } }{ c } \right) \)
\(\Rightarrow \left( -\cfrac { 12(1) }{ 4 } ,\cfrac { 4 }{ 4 } \right) \Rightarrow \left( -3,1 \right) \)
\(\therefore\) தொடுபுள்ளி (-3, 1)

ஒரு தோசையின் விலை ரூ.x என்க.
ஒரு இட்லியின் விலை ரூ. y என்க.
ஒரு வடையின் விலை ரூ.z என்க.
கொடுக்கப்பட்ட தரவின்படி, 
2x+3y+2z=150
2x+2y+4z=200
5x+4y+2z=250
\(\therefore \Delta =\left| \begin{matrix} 2 & 3 & 2 \\ 2 & 2 & 4 \\ 5 & 4 & 2 \end{matrix} \right| \)
\(=2\left| \begin{matrix} 2 & 4 \\ 4 & 2 \end{matrix} \right| -3\left| \begin{matrix} 2 & 4 \\ 5 & 2 \end{matrix} \right| +2\left| \begin{matrix} 2 & 2 \\ 5 & 4 \end{matrix} \right| \)
=2(4-16)-3(4-20)+2(8-10)
=2(-12)-3(-16)+2(-2)
=-24+48-4=20 ≠ 0 
\({ \Delta }_{ 1 }=\left| \begin{matrix} 150 & 3 & 2 \\ 200 & 2 & 4 \\ 250 & 4 & 2 \end{matrix} \right| \)
C₃ லிருந்து 50ஐ பொதுவில் எடுக்க கிடைப்பது 
\(=50\left| \begin{matrix} 3 & 3 & 1 \\ 4 & 2 & 2 \\ 5 & 4 & 1 \end{matrix} \right| \)
\(=50\left[ 3\left| \begin{matrix} 2 & 2 \\ 4 & 1 \end{matrix} \right| -3\left| \begin{matrix} 4 & 2 \\ 5 & 1 \end{matrix} \right| +1\left| \begin{matrix} 4 & 2 \\ 5 & 4 \end{matrix} \right| \right] \)
= 50[3(4 - 16) - 3(8 - 20) + 2(16 - 10)]
= 50[- 36 + 36 + 12] = 600
\({ \Delta }_{ 2 }=\left| \begin{matrix} 2 & 150 & 2 \\ 2 & 200 & 4 \\ 5 & 250 & 2 \end{matrix} \right| =50\left| \begin{matrix} 2 & 3 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 5 & 5 & 1 \end{matrix} \right| \)
\(=50\left[ \left| \begin{matrix} 4 & 2 \\ 5 & 1 \end{matrix} \right| -3\left| \begin{matrix} 2 & 2 \\ 5 & 1 \end{matrix} \right| +1\left| \begin{matrix} 2 & 4 \\ 5 & 5 \end{matrix} \right| \right] \)
= 50 [2(8-20)-3(4-20)+2(10-20)]
= 50[-24+48-20] = 200
\({ \Delta }_{ 3 }=\left| \begin{matrix} 2 & 3 & 150 \\ 2 & 2 & 200 \\ 5 & 4 & 250 \end{matrix} \right| =50\left| \begin{matrix} 2 & 3 & 3 \\ 2 & 2 & 4 \\ 5 & 4 & 5 \end{matrix} \right| \)
\(=50\left[ 2\left| \begin{matrix} 2 & 4 \\ 4 & 5 \end{matrix} \right| -3\left| \begin{matrix} 2 & 4 \\ 5 & 5 \end{matrix} \right| +3\left| \begin{matrix} 2 & 2 \\ 5 & 4 \end{matrix} \right| \right] \)
=50[2(10-16)-3(10-20)+3(8-10)]
=50[2(-6)-3(-10)+3(-2)]
=50[-12+30-6]=50[12]=600
\(\therefore x=\frac { { \Delta }_{ 1 } }{ \Delta } =\frac { 600 }{ 20 } =30\)
\(y=\frac { { \Delta }_{ 2 } }{ \Delta } =\frac { 200 }{ 20 } =10\)
\(z=\frac { { \Delta }_{ 3 } }{ \Delta } =\frac { 600 }{ 20 } =30\)
ஆகையால் ஒரு தோசையின் விலை ரூ.30, ஒரு இட்லியின் விலை ரூ. 10 மற்றும் 1 வடையின் விலை ரூ.30.
மேலும் 3 தோசைகள், ஆறு இட்லிகள் மற்றும் 6 வடைகளின் விலை
=3x+6y+6z =3(30)+6(10)+6(30)
=90+60+180=ரூ.330
அக்குடும்பத்தினரிடம் ரூ.350 இருப்பதால் சாப்பிட்ட செலவிற்கான தொகையை அவர்களிடமிருந்த பணத்தைக் கொண்டு செலுத்த முடியும்.

A என்பது செங்குத்து அணி. எனவே, AA^T = A^TA = I₃ எனவே நாம் பெறுவது
AA^T = I₃ ⇒ \(\frac { 1 }{ 7 } \left[ \begin{matrix} 6 & -3 & a \\ b & -2 & 6 \\ 2 & c & 3 \end{matrix} \right] \frac { 1 }{ 7 } \left[ \begin{matrix} 6 & b & 2 \\ -3 & -2 & c \\ a & 6 & 3 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \)
⇒\(\left[ \begin{matrix} 45+{ a }^{ 2 } & 6b+6+6a & 12-3c+3a \\ 6b+6+6a & { b }^{ 2 }+40 & 2b-2c+18 \\ 12-3c+3a & 2b-2c+18 & { c }^{ 2 }+13 \end{matrix} \right] =49\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \)
⇒ \(\left\{ \begin{matrix} 45+{ a }^{ 2 }=49 \\ { b }^{ 2 }+40=49 \\ \begin{matrix} { c }^{ 2 }+13=49 \\ 6b+6+6a=0 \\ \begin{matrix} 12-3c+3a=0 \\ 2b-2c+18=0 \end{matrix} \end{matrix} \end{matrix} \right\} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} { a }^{ 2 }=4,\quad { b }^{ 2 }=9,\quad { c }^{ 2 }=36 \\ a+b=-1,a-c=-4,b-c=-9 \end{matrix} \right\} \) ⇒m a = 2, b = -3, c = 6
எனவே நமக்குக் கிடைப்பது, A = \(\frac { 1 }{ 7 } \left[ \begin{matrix} 6 & -3 & 2 \\ -3 & -2 & 6 \\ 2 & 6 & 3 \end{matrix} \right] \) மற்றும் A^-1 = A^T = \(\frac { 1 }{ 7 } \left[ \begin{matrix} 6 & -3 & 2 \\ -3 & -2 & 6 \\ 2 & 6 & 3 \end{matrix} \right] \).

p	q	p ➝ q	q⟶ p	p ↔️ q	(p ➝ q) ∧ (q⟶ p)
T	T	T	T	T	T
T	F	F	T	F	F
F	T	T	F	F	F
F	F	T	T	T	T

மெய்மை அட்டவணையில் p ↔ q மற்றும் ( p ⟶ q) ∧ (q ⟶ p) ஆகியவற்றிற்கான நிரல்கள் முழுவதும் ஒரே மாதிரியாக உள்ளன. எனவே அவை சமானமானவை.

x = வெட்டி எடுக்கப்படும் ஒவ்வொரு சிறிய சதுரங்களின் நீளம் என்க.
V = மடிப்பதன் மூலம் பெறப்படும் பெட்டியின் கன அளவு என்க.
நீளத்தின் இரு மூலைகளிலும் x நீளமுள்ள சதுரத்தை வெட்டிய பின் நீளம் 12 − 2x  மடித்த பின்பு பெட்டியின் ஆழம் x. எனவே, கன அளவு V = x \(\times\) (12 - 2x)² ஆகும். x = 0 அல்லது 6 -ல் கன அளவு பூச்சியமாவதைக் கவனிக்க. எனவே, x = 0 அல்லது 6 எனில் பெட்டி கிடைக்காது. எனவே, V = x \(\times\) (12 - 2x)² , x∈(0, 6) -ஐ பெருமப்படுத்த வேண்டும்.
இப்பொழுது, \(\frac { dV }{ dx } ={ (12-2x) }^{ 2 }-4x(12-2x)\)
= (12 − 2x)(12 − 6x).
\(\frac { dV }{ dx } \)= 0 ⇒ x = 2,6 . 6∉(0,6) என்பதால் x = 2∈(0,6) என்பது மட்டுமே தேக்கநிலை எண். மேலும் \(\frac { dV }{ dx } \)-ன் குறி x = 2 -ஐ கடக்கும்போது மிகையிலிருந்து குறைக்கு மாறுகிறது. எனவே x = 2 -ல் V ஆனது இடஞ்சார்ந்த பெரும மதிப்பினை அடையும். இந்த இடஞ்சார்ந்த பெரும கன அளவு V =128 அலகுகள். எனவே பெரும கன அளவிற்கு 2 அலகுகள் வெட்ட வேண்டும்.

\({ g }_{ x }=\cfrac { 1 }{ 5x+3y } \times 5\) 
= \(\cfrac { 5 }{ 5x+3y } \) 
= \(5(5x+3y)^{ -1 }\) 
\({ g }_{ xx }=5\times -1(5x+3y)^{ -2 }\times 5\) 
= \(-\cfrac { 25 }{ \left( 5x+3y \right) ^{ 2 } } \) 
\(g_{ yx }=5\times -1\left( 5x+3y \right) ^{ -2 }\times 3\) 
= \(-\cfrac { 15 }{ \left( 5x+3y \right) ^{ 2 } } \) 
\({ g }_{ y }=\cfrac { 1 }{ 5x+3y } \times 3=3\left( 5x+3y \right) ^{ -1 }\) 
\({ g }_{ xy }=-3\left( 5x+3y \right) ^{ -2 }\times 5\) 
= \(-\cfrac { 15 }{ \left( 5x+3y \right) ^{ 2 } } \) 
\({ g }_{ yy }=-3\left( 5x+3y \right) ^{ -2 }\times 3\) 
= \(\cfrac { 9 }{ \left( 5x+3y \right) ^{ 2 } } \)

x² + y² = a²   என்ற வட்டத்திற்கு (x₁y₁) எனும் புள்ளியில்  தொடுகோட்டின்  சமன்பாடு  (xx₁ + yy₁ = a²) என நாம்  அறிவோம். எனவே x² + y² =4 என்ற வட்டத்திற்கு (1, \(\sqrt {3}\) ) எனும் புள்ளியில்  தொடுகோட்டின்  சமன்பாடு x+y\(\sqrt {3}\) = 4;
அதாவது y= − \(\frac {1}{\sqrt {3}}\)(x -4 ). தொடுகோடு  (4,0) எனும் புள்ளியில் x-அச்சை சந்திக்கிறது. எனவே தொடுகோட்டின்  சாய்வு  - ( \(\frac {1}{\sqrt {3}}\)).  எனவே செங்கோட்டின் சாய்வு \(\sqrt {3}\) . செங்கோட்டின் சமன்பாடு y− \(\sqrt {3}\) = \(\sqrt {3}\)(x−1); அதாவது y= \(\sqrt {3}\) x. இக்கோடு ஆதி வழிச் செல்கிறது. தேவையான பரப்பானது அருகில் உள்ள படத்தில் நிழலிடப்பட்டுள்ளது. இப்பரப்பினை இரு வழிகளில் காணலாம்.

முறை 1
y-அச்சின் மிகை திசையில் நோக்கி பார்க்கும் போது, தேவையான அரங்கத்தின் பரப்பானது x-அச்சு, y= \(\sqrt {3}\) x மற்றும் x+y\(\sqrt {3}\) = 4 ஆகியவற்றால் அடைபடும் பரப்பாகும். இதற்கு  \(\int ^{b}_{a}\)ydx  என்ற சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவோம். இதற்குத் தேவையான அரங்கத்தின் பரப்பை இரு பகுதிகளாக பிரித்துக்  காண்போம். ஒரு பகுதியானது x-அச்சு, செங்கோடு y= \(\sqrt {3}\) x மற்றும் x =1 ஆகியவற்றால் அடைபடும் அரங்கத்தின் பரப்பு  மற்றொரு  பகுதியானது x-அச்சுத்  தொடுகோடு  x +y \(\sqrt {3}\) = 4 மற்றும் x =1 ஆகியவற்றால் அடைபடும் அரங்கத்தின் பரப்பு ஆகும்.
∴ தேவையான பரப்பு  = \(\int ^{1}_{0}\) y dx + \(\int ^{4}_{1}\) y dx = \(\int ^{1}_{0}\)  \(\sqrt 3x dx\) + \(\int ^{4}_{1} [- \frac {1}{\sqrt 3} (x-4)] dx\)
= \([\sqrt 3 \frac {x^2}{2}]^{1}_{0}\) +  \([ -\frac {1}{\sqrt 3} (\frac {x^2}{2}-4x)]^{4}_{1} \) = \(\frac {\sqrt 3}{2} + \frac {8}{\sqrt 3} - \frac {7}{2\sqrt 3} = 2\sqrt 3\).

முறை 2
x-அச்சின் மிகை திசையில் நோக்கி  பார்க்கும்  போது, தேவையான அரங்கத்தின் பரப்பானது  y= \(\sqrt 3\) x, x + y\(\sqrt 3\) = 4,  y = 0 மற்றும் y =  \(\sqrt 3\)ஆகியவற்றால் அடைபடும் பரப்பாகும். இப்பரப்பைக் காண  \(\int ^{d}_{c} (x_{R} - x_{L}) dy\) என்ற சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டும்.
இங்கு c = 0, d = \(\sqrt 3\)  ,  x_R  என்பது  தொடுகோடு  x + y \(\sqrt 3\)  =  4  மற்றும்  x_L என்பது செங்கோடு y = \(\sqrt 3\) x  இன் x மதிப்பாகும்.
∴ தேவையான பரப்பு  =  \(\int ^{d}_{c} (x_R - x_L) dy = \int ^{\sqrt 3}_{0} ((4 - y \sqrt {3}) - \frac {y}{\sqrt {3}} )dy\)
= \([(4y - \frac {y^2}{2} \sqrt {3}) - \frac {y^2}{2\sqrt {3}}]^{\sqrt {3}}_{0}\)
= 4  \(\sqrt {3} - \frac {3}{2} \sqrt {3} - \frac {3}{2 \sqrt {3} } = 2 \sqrt {3}\) . 

இது \(1^{\infty}\) எனும் தேரப்பெறா வடிவில் உள்ளது.  \(g(x)=(1+x)^{\frac{1}{x}}\) என்க. மடக்கை எடுக்க,
\(\log g(x)=\frac{\log(1+x)}{x}\)
\(\underset{x\rightarrow 0^{+}}{\lim} \log (g(x))=\underset{x\rightarrow 0^{+}}{\lim}(\frac{\log(1+x)}{x})\) (\(\frac{0}{0}\) வடிவம்)
=\(\underset{x\rightarrow0^{+}}{\lim}(\frac{\frac{1}{1+x}}{1})\)  (லோபிதாலின் விதியின்படி)
=1.
ஆனால், \(\underset{x\rightarrow0^{+}}{\lim}\log g(x)=\log(\underset{x\rightarrow 0^{+}}{\lim} g(x))\)
எனவே , log\((\underset{x\rightarrow 0^{+}}{\lim} g(x))=1\).
ஆகவே அடுக்குப்படுத்த , \(\underset{x\rightarrow 0^{+}}{\lim}g(x)=e.\)

2x + 3y − z = 9, x + y + z = 9, 3x − y − z = −1
தொகுப்பின் அணி வடிவம் 
\(\left[ \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ 1 \\ -1 \end{matrix}\begin{matrix} -1 \\ 1 \\ -1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 9 \\ 9 \\ -1 \end{matrix} \right] \)
\(\Rightarrow AX=B\) இங்கு \(A=\left[ \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ 1 \\ -1 \end{matrix}\begin{matrix} -1 \\ 1 \\ -1 \end{matrix} \right] \)
\(X=\left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] \)மற்றும் \(B=\left[ \begin{matrix} 9 \\ 9 \\ -1 \end{matrix} \right] \)
\(\Rightarrow \quad X={ A }^{ -1 }B\)
\(|A|=\left| \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ 1 \\ -1 \end{matrix}\begin{matrix} -1 \\ 1 \\ -1 \end{matrix} \right| =2\left| \begin{matrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{matrix} \right| -3\left| \begin{matrix} 1 & 1 \\ 3 & -1 \end{matrix} \right| -1\left| \begin{matrix} 1 & 1 \\ 3 & -1 \end{matrix} \right| \)
[R₁ மூலம் விரிவுபடுத்தப்பட்டது]
=2(-1+1)-3(-1-3)-1(-1-3)
=0-3(-4)=12+4=16
\(adj\quad A={ \left[ \begin{matrix} +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} \\ -\begin{vmatrix} 3 & -1 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} \\ +\begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} \end{matrix}\begin{matrix} -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} \\ +\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} \\ -\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} \end{matrix}\begin{matrix} +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} \\ -\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} \\ +\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} \end{matrix} \right] }^{ T }\)
\(={ \left[ \begin{matrix} +(-1+1) \\ -(-3-1) \\ +(3+1) \end{matrix}\begin{matrix} -(-1-3) \\ +(-2+3) \\ -(2+1) \end{matrix}\begin{matrix} +(-1-3) \\ -(-2-9) \\ +(2-3) \end{matrix} \right] }^{ T }\)
\(={ \left[ \begin{matrix} 0 \\ 4 \\ 4 \end{matrix}\begin{matrix} 4 \\ 1 \\ -3 \end{matrix}\begin{matrix} -4 \\ 11 \\ -1 \end{matrix} \right] }^{ T }=\left[ \begin{matrix} 0 \\ 4 \\ -4 \end{matrix}\begin{matrix} 4 \\ 1 \\ 11 \end{matrix}\begin{matrix} 4 \\ -3 \\ -1 \end{matrix} \right] \)
\(\therefore { A }^{ -1 }=\frac { 1 }{ |A| } adj\quad A=\frac { 1 }{ 16 } \left[ \begin{matrix} 0 \\ 4 \\ -4 \end{matrix}\begin{matrix} 4 \\ 1 \\ 11 \end{matrix}\begin{matrix} 4 \\ -3 \\ -1 \end{matrix} \right] \)
\(\therefore X={ A }^{ -1 }B=\frac { 1 }{ 16 } \left[ \begin{matrix} 0 \\ 4 \\ -4 \end{matrix}\begin{matrix} 4 \\ 1 \\ 11 \end{matrix}\begin{matrix} 4 \\ -3 \\ -1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 9 \\ 9 \\ -1 \end{matrix} \right] \)
\(=\frac { 1 }{ 16 } \left[ \begin{matrix} 0+36-4 \\ 36+9+3 \\ -36+99+1 \end{matrix} \right] =\frac { 1 }{ 16 } \left[ \begin{matrix} 32 \\ 48 \\ 64 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{matrix} \right] \)
\(\therefore x=2,\quad y=3,\quad z=4\)
∴ தீர்வுக் கணம் {1,3,4}

கொடுக்கப்பட்ட முப்படிச் சமன்பாடு
2x³ − 6x² + 3x + k = 0
இங்கு a = 2, b = -6, c = 3, d= k
α,β,\(\gamma\) என்பது மூலங்கள் என்க.
கொடுக்கப்பட்ட α=2(\(\beta +\gamma \)) =\(\frac { \alpha }{ 2 } =\beta +\gamma \)       .....(1)
இங்கு  α+β+\(\gamma\)=\(\frac { -b }{ a } =-\frac { (-6) }{ 2 } \)=3
\(\frac { \alpha }{ 2 } +\alpha =3\Rightarrow \frac { \alpha +2\alpha }{ 2 } =3\Rightarrow \frac { 3\alpha }{ 2 } \)=3
⇒ α=2
\(\alpha \beta \gamma =\frac { -d }{ a } =\frac { -k }{ 2 } \Rightarrow 2.\beta \gamma =\frac { -k }{ 2 } \)
\(\beta \gamma =\frac { -k }{ 4 } \)           .......(2)
மேலும், \(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha =\frac { c }{ a } \)
\(2\beta +\beta \gamma +2\gamma =\frac { 3 }{ 2 } \)
\(2(\beta +\gamma )+\beta \gamma =\frac { 3 }{ 2 } \)
\(\alpha \frac { -k }{ 4 } =\frac { 3 }{ 2 } \) [(1) மற்றும் (2) லிருந்து]
\(2-\frac { k }{ 4 } =\frac { 3 }{ 2 } \)    [∵ α=2]
\(2-\frac { 3 }{ 2 } =\frac { k }{ 4 } \Rightarrow \frac { 1 }{ 2 } =\frac { k }{ 4 } \)
k=\(\frac { 4 }{ 2 } \) ⇒ k=2
(2)லிருந்து, \(\beta \gamma =\frac { -k }{ 4 } =\frac { -2 }{ 4 } =\frac { -1 }{ 2 } \Rightarrow =\frac { -1 }{ 2\beta } \)
(1) லிருந்து, \(\beta +\gamma =\frac { \alpha }{ 2 } =\frac { 2 }{ 2 } \)=1
\(\gamma =\frac { -1 }{ 2\beta } \) என பிரதியிட கிடைப்பது
\(\beta -\frac { 1 }{ 2\beta } \)=1 ⇒ 2β²-1=2β ⇒ 2β-2β-1=0
β=\(\frac { 2\pm \sqrt { 4-4(2)(-1) } }{ 4 } =\frac { 2\pm \sqrt { 4+8 } }{ 4 } \)
=\(\frac { 2\pm \sqrt { 12 } }{ 4 } =\frac { 2\pm 2\sqrt { 3 } }{ 4 } \)
β =\(\frac { 1\pm \sqrt { 3 } }{ 2 } \)
எனவே மூலங்கள் 2,\(\frac { 1+\sqrt { 3 } }{ 2 } ,\frac { 1-\sqrt { 3 } }{ 2 } \)  மற்றும் k = 2

சமன்பாட்டு தொகுப்பின் அணி வடிவம் AX=B 
இங்கு 
\(A=\left[ \begin{matrix} k & -2 & 1 \\ 1 & -2k & 1 \\ 1 & -2 & k \end{matrix} \right] ,X=\left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] ,B=\left[ \begin{matrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{matrix} \right] \)
[A|B] என்ற விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணியில் தொடக்கநிலை நிரை செயலிகள் பயன்படுத்தக் கிடைப்பது,
\(A=\left[ \begin{matrix} k & -2 & 1 \\ 1 & -2k & 1 \\ 1 & -2 & k \end{matrix} \right] ,X=\left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] ,B=\left[ \begin{matrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{matrix} \right] \)
\([A/B]=\left[ \begin{matrix} k & -2 & 1 \\ 1 & -2k & 1 \\ 1 & -2 & k \end{matrix}|\begin{matrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 1 }\leftrightarrow { R }_{ 3 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & -2 & k \\ 1 & -2k & 1 \\ k & -2 & 1 \end{matrix}|\begin{matrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-{ R }_{ 1 }\\ { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-{ kR }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & -2 & k \\ 1 & -2k+2 & k \\ 0 & -2+2k & 1-{ k }^{ 2 } \end{matrix}|\begin{matrix} 1 \\ -3 \\ 1-k \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }+{ R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} -2 \\ -2k+2 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} k \\ 1-k \\ 1-{ k }^{ 2 }+1-k \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ -3 \\ -k-2 \end{matrix} \right] \)
\(\rightarrow \left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} -2 \\ -2k+2 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} k \\ 1-k \\ (k+2)(1-k) \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ -3 \\ -k-2 \end{matrix} \right] \quad .....(1)\)
நிலை (i) k=1 எனில் 
\([A|B]\rightarrow \left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} -2 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ -3 \\ -3 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-{ R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} -2 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ -3 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
[2 - k - k² = - (k² +k-2)
=-(k+2) (k-1)
= (k + 2) (1-k)]
நிலை (i) k = 1 எனில்
ρ(A)=1, ρ([A } B]) = 3.
ρ(A) ≠ ρ([A | B])
சமன்பாட்டுத் தொகுப்பு ஒருங்கமைவற்றது மற்றும் தீர்வுகள் கிடையாது.
நிலை (ii): k ≠ 1, k ≠ -2 எனில் ρ(A)=3, ρ([A | B]) = 3 = n
சமன்பாட்டுத் தொகுப்பு ஒருங்கமைவுடையது மற்றும் ஒரே ஒரு தீர்வைக் கொண்டது.
நிலை (iii): k=-2 எனில்
ρ(A) = 2, ρ([A | B]) = 2
சமன்பாட்டுத் தொகுப்பு ஒருங்கமைவுடையது மற்றும் எண்ணற்ற தீர்வுகளைக் கொண்டது.

\({ \sin }^{ -1 }\left( \frac { x }{ \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } } \right) ={ \cos }^{ -1 }\left( \frac { 1 }{ \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } } \right) \).என அறிவோம்
எனவே, \(\cos\left( { \sin }^{ -1 }\left( \frac { x }{ \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } } \right) \right) +\frac { 1 }{ \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } } )\)     ...(1)
\({ \cot }^{ -1 }\left( \frac { 3 }{ 4 } \right) =\theta \). என்க. பின்னர் \(\cot\theta =\frac { 3 }{ 4 } \)மற்றும் \(\theta \) குறுங்கோணம்.
படத்திலிருந்து, நமக்கு கிடைக்கப்பெறுவது 
\(\sin\left\{ { \cot }^{ -1 }\left( \frac { 3 }{ 4 } \right) \right\} =\sin\theta =\frac { 4 }{ 5 } \)        ...(2)
(1) மற்றும் (2)-ஐ கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டில் பயன்படுத்தும்போது 
\(\frac { 1 }{ \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } } =\frac { 4 }{ 5 } \), என்பதிலிருந்து \(\sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } =\frac { 5 }{ 4 } \) எனவே, \(x=\pm \frac { 3 }{ 4 } \).

ஆதி வழிச்செல்லும் நேர்க்கோடுகளின் குடும்பத்தின் சமன்பாடு y = mx ஆகும். இங்கு, m என்பது ஏதேனும் ஒரு மாறிலி. … (1)
இருபுறமும் xஐப் பொருத்து வகைக்கெழுக் காண, நாம் பெறுவது,
\(\frac { dy }{ dx } =m\). ...(2)
சமன்பாடுகள் (1) மற்றும் (2) ஆகியவற்றிலிருந்து, நாம் பெறுவது, y = x \(\frac { dy }{ dx } \). இதுவே தேவையான  வகைக்கெழுச் சமன்பாடாகும்.
கொடுக்கப்பட்ட y = mx எனும் சமன்பாடு
ஒரேயொரு மாறிலியை மட்டுமே பெற்றுள்ளது. எனவே, நாம் முதல் வரிசை வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம் என்பதை கவனத்தில் கொள்க.

சார்பு g வகையிடத்தக்கது என்பதைக் கவனிக்கவும். மேலும் g'(x) = 2x + cos x.
இதனால் dg = (2x + cos x)dx