பரவளையத்தின் சமன்பாடு y²= 4ax  ...(1) என்க
AB = l என்க

ABC ஒரு சமபக்க முக்கோணம் ஆதலால் 
\(\angle BAM=\angle MAC={ 30 }^{ 0 }\) 
\(\Delta ABM\quad { cos30 }^{ 0 }=\cfrac { AM }{ l } \) 
\(\Rightarrow AM=l\quad { cos30 }^{ 0 }=l\left( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \right) \) 
\({ sin30 }^{ 0 }=\cfrac { NM }{ AB } \) 
\(\Rightarrow { sin30 }^{ 0 }=\cfrac { BM }{ l } \) 
\(\Rightarrow BM=lsin{ 30 }^{ 0 }=l\left( \cfrac { 1 }{ 2 } \right) \) 
\(\therefore\) B-ன் ஆயத்தொலைவுகள் (AM, BM)
\(\Rightarrow \left( \frac { \sqrt { 3 } l }{ 2 } ,\cfrac { l }{ 2 } \right) \) 
மேலும் B(1) ன் மீது அமைந்துள்ளது.
\(\left( \cfrac { l }{ 2 } \right) ^{ 2 }=4a\left( \cfrac { \sqrt { 3 } l }{ 2 } \right) \) 
\(\Rightarrow \cfrac { { l }^{ 2 } }{ 4 } =4a\left( \cfrac { \sqrt { 3 } l }{ 2 } \right) \) 
\(\cfrac { { l }^{ 2 } }{ 4 } =2\sqrt { 3 } al\) 
\(\cfrac { 1 }{ 4 } =2\sqrt { 3 } a\Rightarrow 1=8a\sqrt { 3 } \)
சமபக்க முக்கோணத்தின் பக்கத்தின் நீளம் \(8a\sqrt { 3 } \) அலகுகள்

\(\alpha +\beta =\frac { 1 }{ { \alpha }^{ 2 } } +\frac { 1 }{ { \beta }^{ 2 } } =\frac { { \alpha }^{ 2 }+{ \beta }^{ 2 } }{ { \alpha }^{ 2 }{ \beta }^{ 2 } } =\frac { { (\alpha +\beta ) }^{ 2 }-2\alpha \beta }{ { \alpha }^{ 2 }{ \beta }^{ 2 } } \)
\(\Rightarrow \frac { -b }{ a } =\frac { \frac { { b }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } -2\frac { c }{ a } }{ \frac { { c }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } } +\frac { b }{ a } \)
\(\frac { 2a }{ c } =\frac { { ab }^{ 2 }+{ bc }^{ 2 } }{ { ac }^{ 2 } } \)
\({ 2a }^{ 2 }c={ ab }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }\)
\(\frac { 2a }{ b } =\frac { b }{ c } +\frac { c }{ a } \)[abc ஆல் வகுக்க]
\(\Rightarrow \frac { c }{ a } ,\frac { a }{ b } ,\frac { b }{ c } \quad A.P\) ல் உள்ளன
\(\Rightarrow \frac { a }{ b } ,\frac { b }{ c } ,\frac { c }{ a } \quad H.P\)ல் உள்ளன.

கொடுக்கப்பட்ட \(\vec { AB } =\vec { \alpha } ,\vec { AB } =\vec { \beta } \) மற்றும் \(\vec { AC } =2\vec { \alpha } +3\vec { \beta } \)
நாற்கரம் ABCD யின் பரப்பு
∴ ΔABC யின் பரப்பு + ΔACDயின் பரப்பு
= \(\frac { 1 }{ 2 } |\vec { AB } \times \vec { AC } |+\frac { 1 }{ 2 } |\vec { AC } \times \vec { AD } |\)
= \(\frac { 1 }{ 2 } |\vec { a } \times (2\vec { \alpha } +3\vec { \beta } )|+\frac { 1 }{ 2 } |(2\vec { \alpha } +3\vec { \beta } )\times \vec { \beta } |\)
\(=\frac { 1 }{ 2 } |2(\vec { \alpha } \times \vec { \alpha } )+3(\overline { \alpha } \times \overline { \beta } )|+\frac { 1 }{ 2 } |3(\vec { \alpha } \times \vec { \beta } )+3(\vec { \beta } \times \vec { \beta } )|\)
\(=\left( \frac { 3 }{ 2 } +\frac { 2 }{ 2 } \right) \left( \vec { \alpha } \times \vec { \beta } \right) =\left( \frac { 5 }{ 2 } \right) \left| \vec { \alpha } \times \vec { \beta } \right| \) ...(1)
இப்பொழுது, \(\vec { AB } \) மற்றும் \(\vec { AD } \) யை அடுத்துள்ள பக்கங்களாக கொண்ட இணைகரத்தின் பரப்பு
\(=|\vec { AB } \times \vec { AD } |=|\vec { \alpha } \times \vec { \beta } |\) ...(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து, \(\frac { 5 }{ 2 } \left| \vec { \alpha } \times \vec { \beta } \right| =\lambda |\vec { \alpha } \times \vec { \beta } |\) [கொடுக்கப்பட்ட]
\(\lambda =\frac { 5 }{ 2 } \) 

\(2-2i=r(cos\theta +isin\theta )\) என்க
\(\\ r=\sqrt { { 2 }^{ 2 }+({ -2) }^{ 2 } } =\sqrt { 4+4 } =\sqrt { 8 } =2\sqrt { 2 } \)
முதன்மை மதிப்பு \(\alpha ={ tan }^{ -1 }\left| \frac { y }{ x } \right| ={ tan }^{ -1 }\left| \frac { -z }{ z } \right| \)
= \({ tan }^{ -1 }(1)=\frac { \pi }{ 4 } \)
2 - 2i என்ற கலப்பெண் கால்பகுதியில் அமைந்துள்ளதால், \(\theta =-\alpha =-\frac { \pi }{ 4 } \)
\(\therefore 2-2i=2\sqrt { 2 } { \left[ cos\left( -\frac { \pi }{ 4 } \right) +isin\left( -\frac { \pi }{ 4 } \right) \right] }^{ \frac { 1 }{ 3 } }\)
\(\therefore { (2-2i) }^{ \frac { 1 }{ 3 } }={ \left( 2\sqrt { 2 } \right) }^{ \frac { 1 }{ 3 } }{ \left[ cos\left( -\frac { \pi }{ 4 } \right) +isin\left( -\frac { \pi }{ 4 } \right) \right] }^{ \frac { 1 }{ 3 } }\)
\(={ 8 }^{ \frac { 1 }{ 6 } }\left[ cos\frac { 1 }{ 3 } \left( 2k\pi -\frac { \pi }{ 4 } \right) +isin\frac { 1 }{ 3 } \left( 2k\pi -\frac { \pi }{ 4 } \right) \right] \)
k  = 0,1,2 மூலங்கள்
∴ k = 0 எனில், \({ 8 }^{ \frac { 1 }{ 6 } }cis\left( -\frac { \pi }{ 12 } \right) \)
k = 1 எனில், \({ 8 }^{ \frac { 1 }{ 6 } }cis\left( \frac { 7\pi }{ 12 } \right) \)
k = 2 எனில், \({ 8 }^{ \frac { 1 }{ 6 } }cis\left( \frac { 15\pi }{ 12 } \right) \)
∴ மூலங்களின் பெருக்கல் பலன்
\(={ 8 }^{ \frac { 1 }{ 6 } }cis\left( -\frac { \pi }{ 12 } +\frac { 7\pi }{ 12 } +\frac { 15\pi }{ 12 } \right) \)
= \({ 8 }^{ \frac { 1 }{ 6 } }cis\left( \frac { 21\pi }{ 12 } \right) \) = \({ 8 }^{ \frac { 1 }{ 6 } }cis\left( \frac { 7\pi }{ 12 } \right) \)
= \({ 8 }^{ \frac { 1 }{ 6 } }cis\left( 2\pi -\frac { \pi }{ 4 } \right) ={ 8 }^{ \frac { 1 }{ 6 } }cis\left( -\frac { \pi }{ 4 } \right) \)
= \({ 8 }^{ \frac { 1 }{ 6 } }\left[ cos\left( -\frac { \pi }{ 4 } \right) +isin\left( -\frac { \pi }{ 4 } \right) \right] \) 
\(={ 8 }^{ \frac { 1 }{ 6 } }\left[ cos\left( \frac { \pi }{ 4 } \right) +isin\left( \frac { \pi }{ 4 } \right) \right] \)
\(={ 8 }^{ \frac { 1 }{ 6 } }\left[ \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } -\frac { i }{ \sqrt { 2 } } \right] ={ 2 }^{ 2\times \frac { 1 }{ 6 } }\left( \frac { 1-i }{ \sqrt { 2 } } \right) ={ 2 }^{ 1/2 }\left( \frac { 1-i }{ \sqrt { 2 } } \right) \)
= 1 - i 

f (x) ன் சார்பகம் [-1,1] மற்றும் cos x க்கு R 
∴ f(x) = sin^-1 x + cos x ன் சார்பகம்
[-1,1] ∩ R = [-1, 1]

தேவையான எண்களை x,y மற்றும் z என்க.
கொடுக்கப்பட்ட தரவின் படி,
x+y+z=20     .....(1)
2z+x=23⇒x+2z=23  ....(2)
y+z+3x=46⇒3x+y+z=46   ...(3)
\(\Delta =\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 3 & 1 & 1 \end{matrix} \right| =1\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}-1\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}+1\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{vmatrix}\)
=-2+5+1=4
\({ \Delta }_{ 1 }=\left| \begin{matrix} 20 & 1 & 1 \\ 23 & 0 & 2 \\ 46 & 1 & 1 \end{matrix} \right| =20\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}-1\begin{vmatrix} 23 & 2 \\ 46 & 1 \end{vmatrix}+1\begin{vmatrix} 23 & 0 \\ 46 & 1 \end{vmatrix}\)
=-40+69+23=52
\({ \Delta }_{ 2 }=\left| \begin{matrix} 1 & 20 & 1 \\ 1 & 23 & 2 \\ 3 & 46 & 1 \end{matrix} \right| \)
\(=1\begin{vmatrix} 23 & 2 \\ 46 & 1 \end{vmatrix}-20\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{vmatrix}+1\begin{vmatrix} 1 & 23 \\ 3 & 46 \end{vmatrix}\)
=-69+100-23=8
\({ \Delta }_{ 3 }=\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 20 \\ 1 & 0 & 23 \\ 3 & 1 & 46 \end{matrix} \right| \)
\(=1\begin{vmatrix} 0 & 23 \\ 1 & 46 \end{vmatrix}-1\begin{vmatrix} 1 & 23 \\ 3 & 46 \end{vmatrix}+20\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{vmatrix}\)
=-23+23+20=20
\(\therefore x=\frac { { \Delta }_{ 1 } }{ \Delta } =\frac { 52 }{ 4 } =13\)
\(y=\frac { { \Delta }_{ 2 } }{ \Delta } =\frac { 8 }{ 4 } =2\) மற்றும் \(z=\frac { { \Delta }_{ 3 } }{ \Delta } =\frac { 20 }{ 4 } =5\)