cosec^-1(-1) = y என்க. எனவே, cosec y = -1
y = cosec^-1x-ன் முதன்மை மதிப்பிற்குரிய வீச்சகம்  \([-\frac { \pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 2 }]\)\{0} ஆகும்.
மேலும், cosec (−\(\frac{\pi}{2}\)) = −1 என்பதால், y = −\(\frac{\pi}{2}\) என்றிருக்க வேண்டும்.
இங்கு −\(\frac{\pi}{2}\)∈ \([\frac { \pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 2 }]\)\{0} என்பதை கவனிக்க.
எனவே, cosec⁻¹ (−1) -ன் முதன்மை மதிப்பு −\(\frac{\pi}{2}\) ஆகும்.

\(\\ \\ \int _{ 0 }^{ 1 }{ \cfrac { 2x+7 }{ { 5x }^{ 2 }+9 } dx } =\int _{ 0 }^{ 1 }{ \cfrac { 2x }{ { 5x }^{ 2 }+9 } } +7\int _{ 0 }^{ 1 }{ \cfrac { dx }{ ({ 5x }^{ 2 }+9) } } =\cfrac { 1 }{ 5 } \log\left[ { 5x }^{ 2 }+9 \right] _{ 0 }^{ 1 }+\cfrac { 7 }{ 5 } \int _{ 0 }^{ 1 }{ \cfrac { dx }{ { x }^{ 2 }+\left( \frac { 3 }{ \sqrt { 5 } } \right) ^{ 2 } } } \)
\(=\cfrac { 1 }{ 5 } \left[ \log14-\log9 \right] +\cfrac { 7 }{ 5 } \times \cfrac { \sqrt { 5 } }{ 3 } \left[ { \tan }^{ -1 }\cfrac { x }{ \left[ \frac { 3 }{ \sqrt { 5 } } \right] } \right] =\cfrac { 1 }{ 5 } \log\cfrac { 14 }{ 9 } +\cfrac { 7 }{ 3\sqrt { 5 } } { \tan }^{ -1 }\cfrac { \sqrt { 5 } }{ 3 } \)

x = வெட்டி எடுக்கப்படும் ஒவ்வொரு சிறிய சதுரங்களின் நீளம் என்க.
V = மடிப்பதன் மூலம் பெறப்படும் பெட்டியின் கன அளவு என்க.
நீளத்தின் இரு மூலைகளிலும் x நீளமுள்ள சதுரத்தை வெட்டிய பின் நீளம் 12 − 2x  மடித்த பின்பு பெட்டியின் ஆழம் x. எனவே, கன அளவு V = x \(\times\) (12 - 2x)² ஆகும். x = 0 அல்லது 6 -ல் கன அளவு பூச்சியமாவதைக் கவனிக்க. எனவே, x = 0 அல்லது 6 எனில் பெட்டி கிடைக்காது. எனவே, V = x \(\times\) (12 - 2x)² , x∈(0, 6) -ஐ பெருமப்படுத்த வேண்டும்.
இப்பொழுது, \(\frac { dV }{ dx } ={ (12-2x) }^{ 2 }-4x(12-2x)\)
= (12 − 2x)(12 − 6x).
\(\frac { dV }{ dx } \)= 0 ⇒ x = 2,6 . 6∉(0,6) என்பதால் x = 2∈(0,6) என்பது மட்டுமே தேக்கநிலை எண். மேலும் \(\frac { dV }{ dx } \)-ன் குறி x = 2 -ஐ கடக்கும்போது மிகையிலிருந்து குறைக்கு மாறுகிறது. எனவே x = 2 -ல் V ஆனது இடஞ்சார்ந்த பெரும மதிப்பினை அடையும். இந்த இடஞ்சார்ந்த பெரும கன அளவு V =128 அலகுகள். எனவே பெரும கன அளவிற்கு 2 அலகுகள் வெட்ட வேண்டும்.

\(\cfrac { \partial f }{ \partial x } =\cfrac { (y+sinx)3-3xcosx }{ \left( y+sinx \right) ^{ 2 } } \) 
= \(\cfrac { 3y+3sinx-3xcosx }{ \left( y+sinx \right) ^{ 2 } } \) 
= \(\cfrac { { \partial }^{ 2 }f }{ \partial y\partial x } =\cfrac { \left( y+sinx \right) ^{ 2 }3-\left( 3y+3sinx-3xcosx \right) 2\left( y+sinx \right) }{ \left( y+sinx \right) ^{ 4 } } \) 
= \(\cfrac { \left( y+sinx \right) \left[ 3y+3sinx-6y-6sinx+6xcosx \right] }{ \left( y+sinx \right) ^{ 4 } } \) 
= \(\cfrac { -3y-3sinx+6xcosx }{ \left( y+sinx \right) ^{ 3 } } \) 
= \(f(x,y)=\cfrac { 3x }{ y+sinx } \) 
\(\cfrac { \partial f }{ \partial y } =\cfrac { \left( y+sinx \right) \times 0-3x }{ \left( y+sinx \right) ^{ 3 } } \) 
= \(\cfrac { -3x }{ \left( y+sinx \right) ^{ 2 } } \) 
\(\cfrac { { \partial }^{ 2 }f }{ \partial x\partial y } =\cfrac { \left( y+sinx \right) ^{ 2 }\times 3+3x\times 2\left( y+sinx \right) \times cosx }{ \left( y+sinx \right) ^{ 2 } } \) 
= \(\cfrac { \left( y+sinx \right) \left( -3y-3sinx+6xcosx \right) }{ \left( y+sinx \right) ^{ 4 } } \) 
= \(\cfrac { -3y-sinx+6xcosx }{ \left( y+sinx \right) ^{ 3 } } \) 
= \(\cfrac { { \partial }^{ 2 }f }{ \partial y\partial x } =\cfrac { { \partial }^{ 2 }f }{ \partial x\partial y } \)

x →1 எனில்  \(1^{\infty}\) எனும் தேரப்பெறாத வடிவில் உள்ளது. \(g(x)=x^{\frac{1}{1-x}}\) என்க. மடக்கை எடுக்க
\(\log g(x)=\frac{\log x}{1-x}\).
எனவே , \(\underset{x \rightarrow1}{\lim}\log g(x) =\underset{x\rightarrow 1}{\lim}(\frac{\log x}{1-x})\) (\(\frac{0}{0}\) வடிவம்)
லோபிதாலின் விதியை பயன்படுத்த ,
\(\underset{x \rightarrow1}{\lim} (\frac{\frac{1}{x}}{-1})=-1\)
ஆனால் , \(\underset{x\rightarrow 1}{\lim}\) log g(x)=log (\(\underset{x\rightarrow 1}{\lim}\) g(x)).
ஆகவே , அடுக்குப்படுத்த நாம் பெறுவது,
\(\underset{x \rightarrow1}{\lim} x^{\frac{1}{1-x}}=e^{-1}=\frac{1}{e}\).

I = \(\int^{\frac{\pi}{4}}_{0} \frac {sin 2x dx}{ sin ^4x +cos ^4 x}\) = \(\int^{\frac{\pi}{4}}_{0} \frac {sin 2x dx}{( sin ^2x +cos ^2 x) - 2 sin^2 x cos ^2 x}\)
=  \(\int^{\frac{\pi}{4}}_{0} \frac {sin 2x dx}{( 1- \frac{1}{2} (2 sin x cos x)^2}\) = \(\int^{\frac{\pi}{4}}_{0} \frac {2sin 2x dx}{2- sin^2 2x} \) = \(\int^{\frac{\pi}{4}}_{0} \frac {2sin 2x dx}{1 +cos ^2 x} \)

u = cos 2x என்க. du = -2sin 2x dx.
x = 0 எனில், u = cos 0 =1 மற்றும் x = \(\frac{\pi}{4}\)  எனில் u = cos  \(\frac{\pi}{2}\) = 0
∴ I =  \(\int^{0}_{1} \frac {-du}{1+u^2}\) = \(\int^{0}_{1} \frac {du}{1+u^2}\) = [tan^-1 u\(]^1_0\) = \(\frac{\pi}{4}\)

இங்கு \(\vec { u } =\hat { i } +2\hat { j } +3\hat { k } ,\vec { n } =\hat { i } +2\hat { j } +4\hat { k } ,P=38\) ஆகும். \(\overset \rightarrow{ u } \) \(=\hat { i } +\hat { 2j } +\hat { 3k } \) என்ற புள்ளியின் பிம்பப் புள்ளி \(\overset \rightarrow{ v } \)-ன் நிலைவெக்டர் 
\(\vec { v } =\vec { u } +\frac { 2[p-(\vec { u } .\vec { n } )] }{ { \left| \vec { n } \right| }^{ 2 } } \vec { n } \) ஆகும்.
\(\vec { v } =(\hat { i } +2\hat { j } +3\hat { k } )+\frac { 2[38-(\hat { i } +2\hat { j } +3\hat { k } ).(\hat { i } +2\hat { j } +4\hat { k } ))] }{ (\hat { i } +2\hat { j } +4\hat { k } ).(\hat { i } +2\hat { j } +4\hat { k } ) } (\hat { i } +2\hat { j } +4\hat { k } )\)
அதாவது \(\vec { v } =(\hat { i } +2\hat { j } +3\hat { k } )+2(\frac { 38-17}{ 21 }) (\hat { i } +2\hat { j } +4\hat { k } )= (\hat {3 i } +6\hat { j } +11\hat { k } )\)
எனவே, \(\hat { i } +\hat { 2j } +\hat { 3k } \) என்ற நிலை வெக்டர் கொண்ட புள்ளியின் பிம்பப் புள்ளியின் நிலைவெக்டர் \((\hat {3 i } +6\hat { j } +11\hat { k } )\)ஆகும்.

கொடுக்கப்பட்ட முப்படிச் சமன்பாடு
2x³ − 6x² + 3x + k = 0
இங்கு a = 2, b = -6, c = 3, d= k
α,β,\(\gamma\) என்பது மூலங்கள் என்க.
கொடுக்கப்பட்ட α=2(\(\beta +\gamma \)) =\(\frac { \alpha }{ 2 } =\beta +\gamma \)       .....(1)
இங்கு  α+β+\(\gamma\)=\(\frac { -b }{ a } =-\frac { (-6) }{ 2 } \)=3
\(\frac { \alpha }{ 2 } +\alpha =3\Rightarrow \frac { \alpha +2\alpha }{ 2 } =3\Rightarrow \frac { 3\alpha }{ 2 } \)=3
⇒ α=2
\(\alpha \beta \gamma =\frac { -d }{ a } =\frac { -k }{ 2 } \Rightarrow 2.\beta \gamma =\frac { -k }{ 2 } \)
\(\beta \gamma =\frac { -k }{ 4 } \)           .......(2)
மேலும், \(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha =\frac { c }{ a } \)
\(2\beta +\beta \gamma +2\gamma =\frac { 3 }{ 2 } \)
\(2(\beta +\gamma )+\beta \gamma =\frac { 3 }{ 2 } \)
\(\alpha \frac { -k }{ 4 } =\frac { 3 }{ 2 } \) [(1) மற்றும் (2) லிருந்து]
\(2-\frac { k }{ 4 } =\frac { 3 }{ 2 } \)    [∵ α=2]
\(2-\frac { 3 }{ 2 } =\frac { k }{ 4 } \Rightarrow \frac { 1 }{ 2 } =\frac { k }{ 4 } \)
k=\(\frac { 4 }{ 2 } \) ⇒ k=2
(2)லிருந்து, \(\beta \gamma =\frac { -k }{ 4 } =\frac { -2 }{ 4 } =\frac { -1 }{ 2 } \Rightarrow =\frac { -1 }{ 2\beta } \)
(1) லிருந்து, \(\beta +\gamma =\frac { \alpha }{ 2 } =\frac { 2 }{ 2 } \)=1
\(\gamma =\frac { -1 }{ 2\beta } \) என பிரதியிட கிடைப்பது
\(\beta -\frac { 1 }{ 2\beta } \)=1 ⇒ 2β²-1=2β ⇒ 2β-2β-1=0
β=\(\frac { 2\pm \sqrt { 4-4(2)(-1) } }{ 4 } =\frac { 2\pm \sqrt { 4+8 } }{ 4 } \)
=\(\frac { 2\pm \sqrt { 12 } }{ 4 } =\frac { 2\pm 2\sqrt { 3 } }{ 4 } \)
β =\(\frac { 1\pm \sqrt { 3 } }{ 2 } \)
எனவே மூலங்கள் 2,\(\frac { 1+\sqrt { 3 } }{ 2 } ,\frac { 1-\sqrt { 3 } }{ 2 } \)  மற்றும் k = 2

\(\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } +\frac { i }{ 2 } =r(cos\theta +isin\theta )\)
\(r=\sqrt { { \left( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \right) }^{ 2 }+{ \left( \frac { 1 }{ 2 } \right) }^{ 2 } } =\sqrt { \frac { 3 }{ 4 } +\frac { 1 }{ 4 } } =\sqrt { \frac { 4 }{ 4 } } =1\)
\(\alpha ={ tan }^{ -1 }\left| \frac { y }{ x } \right| ={ tan }^{ -1 }\left| \frac { \frac { 1 }{ 2 } }{ \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } } \right| ={ tan }^{ -1 }\left( \frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \right) =\frac { \pi }{ 6 } \)
\(\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } +\frac { i }{ 2 } \) முதலாம் கால்பகுதியில் அமைவதால், θ = α
\(\therefore \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } +\frac { i }{ 2 } =1\left( cos\frac { \pi }{ 6 } +isin\frac { \pi }{ 6 } \right) \)
\(\therefore { \left( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } +\frac { i }{ 2 } \right) }^{ 5 }={ 1 }^{ 2 }{ \left( cos\frac { \pi }{ 6 } +isin\frac { \pi }{ 6 } \right) }^{ 5 }\)
\(=cos\frac { 5\pi }{ 6 } +isin\frac { 5\pi }{ 6 } \) ...(1) [டி மாய்வரின் தேற்றம்]
அதைப் போல \(\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } -\frac { i }{ 2 } =1\left( cos\frac { \pi }{ 6 } -isin\frac { \pi }{ 6 } \right) \)
\(\therefore { \left( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } -\frac { i }{ 2 } \right) }^{ 5 }={ 1 }^{ 2 }{ \left( cos\frac { \pi }{ 6 } -isin\frac { \pi }{ 6 } \right) }^{ 5 }\)
\(=cos\frac { 5\pi }{ 6 } +isin\frac { 5\pi }{ 6 } \) ...(2)
(1) மற்றும் (2) ஐ கூட்ட கிடைப்பது,
\({ \left( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } +\frac { i }{ 2 } \right) }^{ 5 }{ +\left( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } -\frac { i }{ 2 } \right) }^{ 5 }\)

\(=2cos\frac { 5\pi }{ 6 } =2cos\left( \pi -\frac { \pi }{ 6 } \right) \)
\(=-2cos\frac { \pi }{ 6 } \)[\(\therefore \frac { 5\pi }{ 6 } \) இரண்டாம் காலப்பகுதியில் அமைவதால்]
\({ -2\left( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \right) }=\sqrt { 3 } \)
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது

A = \(\left[ \begin{matrix} 5 & 3 \\ -1 & -2 \end{matrix} \right] \)
\({ A }^{ 2 }= A \times A =\left[ \begin{matrix} 5 & 3 \\ -1 & -2 \end{matrix} \right] \begin{bmatrix} 5 & 3 \\ -1 & -2 \end{bmatrix}=\left[ \begin{matrix} 25-3 & 15-6 \\ -5+2 & -3+4 \end{matrix} \right] \)
\(=\left[ \begin{matrix} 22 & 9 \\ -3 & 1 \end{matrix} \right] \)
-3A = \(-3\left[ \begin{matrix} 5 & 3 \\ -1 & -2 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} -15 & -9 \\ 3 & 6 \end{matrix} \right] \)
-7I₂ = \(-7\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -7 & 0 \\ 0 & -7 \end{bmatrix}\)
\(\therefore { A }^{ 2 }-3A-{ 7I }_{ 2 }\)
\(=\begin{bmatrix} 22 & 9 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}-3\left[ \begin{matrix} 5 & 3 \\ -1 & -2 \end{matrix} \right] -7\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\)
\(=\left[ \begin{matrix} 22-15-7 & 9-9+0 \\ -3+3+0 & 1+6-7 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} \right] ={ O }_{ 2 }\)
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.
\(\therefore { A }^{ 2 }-3A-{ 7I }_{ 2 }=0\)
பின்புறமாக A^-1 ஆல் பெருக்க கிடைப்பது,
A².A^-1-3AA^-1-7I₂A^-1=0.A^-1
⇒ A(AA^-1)-3(AA^-1)-7(A^-1) = 0
[∵I₂A^-1 = A^-1 மற்றும் |(0)A^-1 = 0]
⇒ AI-3I-7A^-1 = 0 [ ∵ AA^-1 = I]
⇒ AI-3I = 7A-1
⇒A^-1 = \(\frac{1}{7}[A-3I]\) [∵ AI = A]
\(\Rightarrow { A }^{ -1 }=\frac { 1 }{ 7 } =\left[ \left[ \begin{matrix} 5 & 3 \\ -1 & -2 \end{matrix} \right] -3\left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] \right] \)
\(\Rightarrow { A }^{ -1 }=\frac { 1 }{ 7 } \begin{bmatrix} 5-3 & 3-0 \\ -1-0 & -2-3 \end{bmatrix}=\frac { 1 }{ 7 } \left[ \begin{matrix} 2 & 3 \\ -1 & -5 \end{matrix} \right] \)
\(\therefore { A }^{ -1 }=\frac { 1 }{ 7 } \left[ \begin{matrix} 2 & 3 \\ -1 & -5 \end{matrix} \right] \)

\(y=\frac{1}{1+e^{-x}}\)

சார்பகம் என்பது முழு மெய் எண் நேர்க்கோடாகும். 
அதாவது (-\(\infty\), \(\infty\)) \(\Rightarrow\) - \(\infty\) < x < \(\infty\) மற்றும் (0, 1) என்பது வீச்சகம். அதாவது 0 < f(x) < 1
f(x) க்கு 'x' வெட்டுத்துண்டு கிடையாது.
x = 0 எனும்போது y = \(\frac{1}{2}\)
எனவே 'y' வெட்டுத்துண்டு \(\left ( 0,\frac{1}{2} \right ) \)
\(f'(x)=\frac{e^{-x}}{(1+e^{-x})^{2}}\)
f'(x)=0 என்பது அர்த்தமற்றது. எனவே, அறுதி மதிப்புகள் கிடையாது.
வளைவரைக்கு நிலைக்குத்துத் தொலைத் தொடுகோடுகள் கிடையாது மற்றும் y = 1 மற்றும் y = 0 என்பன கிடைமட்டத் தொலைத் தொடுகோடுகளாகும்.

\(M=\left\{\left(\begin{array}{ll} x & x \\ x & x \end{array}\right): x \in R-\{0\}\right\}\) என்க
அடைவுப் பண்பு:
\(A=\left\{ \begin{matrix} x & x \\ x & x \end{matrix} \right\} \in M\) மற்றும் 
\(B=\left( \begin{matrix} y & y \\ y & y \end{matrix} \right) \in M\) என்க.
எனவே,\(AB=\left( \begin{matrix} 2xy & 2xy \\ 2xy & 2xy \end{matrix} \right) \) 
\(x\neq 0,y\neq 0\) என்பதால் \(2xy\neq 0\) என்பதைக் காண்கிறோம்.மேலும் \(AB \in M\) .இது அணிப்பெருக்கலின் கீழ் M என்பது அடைவைப் பெற்றுள்ளது என்பதைக் காட்டுகிறது.
பரிமாற்றுப் பண்பு:
\(AB=\left( \begin{matrix} 2xy & 2xy \\ 2xy & 2xy \end{matrix} \right) \) 
= BA எல்லா \(A, B \in M\) 
இங்கு அணிப்பெருக்கல் என்பது பரிமாற்றுப் பண்பை நிறைவு செய்கிறது.
சேர்ப்புப் பண்பு:
அணிப்பெருக்கல் எப்போதும் சேர்ப்புப் பண்பை நிறைவு செய்யும்.எனவே M-ன் மீது அணிப்பெருக்கல் சேர்ப்புப் பண்பை நிறைவு செய்கிறது.

மேய்ச்சல் நிலத்தின் நீளம் 'x' மீ என்க.
மேய்ச்சல் நிலத்தின் அகலம் 'y' மீ என்க.
கொடுக்கப்பட்ட பரப்பு = 1,80,000
xy=1,80,000
\(y=\cfrac { 1,80,000 }{ x } \) 
வேலி அமைக்கத் தேவைப்படுவது 2y+x 
(ஒரு பக்கம் ஆறு உள்ளது)
P=2y+x என்க 
\(P=2\left( \cfrac { 180000 }{ x } \right) +x=\cfrac { 360000 }{ x } +x\) 
\(\cfrac { dP }{ dx } =-\cfrac { 360000 }{ { x }^{ 2 } } +1\) 
பெருமம் அல்லது சிறுமத்திற்கு 
\(\cfrac { dp }{ dx } =0\) 
\(\Rightarrow -360000+{ x }^{ 2 }=0\) 
\({ x }^{ 2 }=360000\) 
\(x=\pm 600\) 
[x=-600 என்பது சாத்தியமல்ல]
\(\therefore x=600\) 
இப்போது,\(\cfrac { { d }^{ 2 }P }{ { dx }^{ 2 } } =\cfrac { 720000 }{ { x }^{ 3 } } \) 
x=600ல்,\(\cfrac { { d }^{ 2 }P }{ { dx }^{ 2 } } >0\) 
\(\therefore x=600\) ல் \(\cfrac { { d }^{ 2 }P }{ { dx }^{ 2 } } >0\) 
\(\therefore x=600\) எனும்போது P என்பது சிறுமமாகிறது.
\(y=\cfrac { 180000 }{ 600 } =300\) 
\(\therefore\) வேலி அமைக்கத் தேவைப்படும் குறைந்தபட்ச வேலிக் கம்பியின் நீளம் 
= \(2y+x=2\left( 300 \right) +600=1200\) மீ   

x என்பது t நேரத்தில் தொட்டியில் உள்ள உப்பின் அளவு காண்க.
\(\therefore \cfrac { dx }{ dt } \) = உள்வரும் வீதம் - வெளிவரும் வீதம் ...(1)
கொடுக்கப்பட்டது:
ஒரு லிட்டர் நீரில் 2 கிராம் வீதம் கரைக்கப்பட்டு உப்புக் கரைசலானது ஒரு நிமிடத்திற்கு 3 லிட்டர் வீதம் தொட்டியில் விடப்படுகிறது.
அதாவது,உள்வரும் வீதம் = 6 கிராம் உப்பு 
[ஒரு லிட்டருக்கு=2 கிராம் உப்பு  3 லிட்டருக்கு = 6 கிராம் உப்பு]
தொட்டியில் 50 லிட்டர் நீர் உள்ளது.
ஃ உப்பு வெளியேறும் வீதங்களை சமன்பாடு (1)ல் பிரதியிடக் கிடைப்பது 
 \(\cfrac { dx }{ dt } =6-\cfrac { 3x }{ 50 } \) 
= \(\cfrac { 6\times 50-3x }{ 50 } \) 
\(\cfrac { dx }{ dt } =\cfrac { 300-3x }{ 50 } \) 
= \(\cfrac { 3\left[ 100-x \right] }{ 50 } \) 
= \(\cfrac { dx }{ dt } =\cfrac { -3\left[ x-100 \right] }{ 50 } \) 
சமன்பாட்டை\(\cfrac { dx }{ x-100 } =\cfrac { -3 }{ 50 } dt\) என எழுதலாம்.
இருபுறமும் தொகையிடக் கிடைப்பது  
  \(\int { \cfrac { dx }{ x-100 } } =\int { \cfrac { -3 }{ 50 } dt } \) 
 \(\int { \cfrac { dx }{ x-100 } } =\cfrac { -3 }{ 50 } \int { dt } \) 
\(log\left( x-100 \right) =\cfrac { -3 }{ 50 } t+logc\) 
\(log\left( x-100 \right) -logc=\cfrac { -3 }{ 50 } t\)  
\(og\left( \cfrac { x-100 }{ c } \right) =\cfrac { -3 }{ 50 } t\) 
\(\cfrac { x-100 }{ c } ={ e }^{ \frac { -3 }{ 50 } t }\) 
\(x-100={ ce }^{ \frac { -3t }{ 50 } }\) 
தொடக்கக் கட்டுப்பாடு 
t=0 எனும்போது x=0
\(0-100={ ce }^{ \frac { -3x\times 0 }{ 50 } }\) 
\(-100=c{ e }^{ 0 }\) 
\(-100=c\) 
c ன் மதிப்பை (2)ல் பிரதியிடக் கிடைப்பது 
\(x-100=-100{ e }^{ \frac { -3t }{ 50 } }\) 
\(x=-100{ e }^{ \frac { -3t }{ 50 } }+100\) 
ஃ தொட்டியில் உள்ள உப்பின் அளவு  
\(x=100\left[ 1-{ e }^{ \frac { -3t }{ 50 } } \right] \)

P என்பது நகரத்தின் மக்கள் தொகையைக் குறிக்கப்படும்.
கொடுக்கப்பட்டது \(log\left( \cfrac { P }{ c } \right) =kt\) 
இச்சமன்பாட்டை \(\cfrac { dP }{ dt } =kP\) எனுமாறு எழுதலாம்.
இருபுறமும் தொகையிடக் கிடைப்பது 
\(\int { \cfrac { dp }{ p } } =k\int { dt } \) 
\(logP=kt+logc\) 
\(logP-logc=kt\) 
\(log\left( \cfrac { P }{ c } \right) =kt\) 
\(\cfrac { p }{ c } ={ e }^{ kt }\) 
\(P={ ce }^{ kt }\) ..(1) 
தொடக்கக் கட்டுப்பாடு 
கொடுக்கப்பட்டது \(t=0\) ;\(P=3,00,000\) 
சமன்பாடு \(3,00,000={ cc }^{ k(o) }\)என்று மாறுகிறது. 
= \({ ce }^{ 0 }\) 
\(3,00,000=c\) 
\(\therefore (1)\Rightarrow P=3,00,000{ e }^{ kt }\) 
மேலும் t=40 எனும்போது P=4,00,000
சமன்பாடு (2),\(\therefore (1)\Rightarrow P=3,00,000{ e }^{ kt }\) என மாறுகிறது.
\(\cfrac { 4,00,000 }{ 3,00,000 } ={ e }^{ 40k }\) 
\(\cfrac { 4 }{ 3 } ={ e }^{ 40k }\) 
மடக்கை எடுக்க,
\(log\left( \cfrac { 4 }{ 3 } \right) =40k\) 
\(k=\cfrac { 1 }{ 40 } log\cfrac { 4 }{ 3 } \) 
\(k=log\left( \cfrac { 4 }{ 3 } \right) ^{ \frac { 1 }{ 40 } }\left[ \because nlogm=log{ m }^{ n } \right] \) 
k ன் மதிப்பை சமன்பாடு (2) ல் பிரதியிடக் கிடைப்பது.
 \(P=3,00,000{ e }^{ log\left( \cfrac { 4 }{ 3 } \right) ^{ \frac { t }{ 40 } } }\)
\(P=3,00,000\left( \cfrac { 4 }{ 3 } \right) ^{ \frac { t }{ 40 } }\left[ \because { e }^{ loga{ ^{ x } } }=a^{ x } \right] \)

கொடுக்கப்பட்ட நேரியல் வகைக்கெழுச் சமன்பாடு 
\(\cfrac { dy }{ dx } +Py=Q\) எனும் வடிவில் உள்ளது.
இங்கு \(P=\cfrac { 1 }{ \left( 1-x \right) \sqrt { x } } ;Q=1-\sqrt { x } \) 
\(\sqrt { x } =t\Rightarrow { t }^{ 2 }=x\) என்க.
 \({ x }^{ 1/2 }=t\) 
\(\cfrac { 1 }{ 2 } x^{ 1/2-1 }dx=dt\) 
 \(\cfrac { 1 }{ 2{ x }^{ 1/2 } } dx=dt\) 
\(\cfrac { 1 }{ 2\sqrt { x } } dx=dt\) 
\(\cfrac { dx }{ \sqrt { x } } =2dt\) 
\({ e }^{ \int { Pdx } }={ e }^{ \int { \frac { 1 }{ \left( 1-x \right) \sqrt { x } } } dx }\) 
=\({ e }^{ \int { \frac { 1 }{ 1-{ r }^{ 2 } } } }\) 
=\({ e }^{ log\left( \frac { 1+t }{ 1-t } \right) }\) 
\(\left[ \because \int { \frac { dx }{ { a }^{ 2 }-{ x }^{ 2 } } =\cfrac { 1 }{ 2x } log\left| \cfrac { a+x }{ a-x } \right| } \right] \left[ a=1;x=t \right] \) 
\(\cfrac { 1 }{ 2x } log\left| \cfrac { a+x }{ a-x } \right| =2\times \cfrac { 1 }{ 2x } log\left| \cfrac { 1+t }{ 1-t } \right| \) 
தொ.கா= \(\cfrac { 1+t }{ 1-t } \) 
தொ.கா= \(\cfrac { 1+\sqrt { x } }{ 1-\sqrt { x } } \) 
சமன்பாட்டின் தீர்வு \(y\times I.F=\int { Q\times I.F } dx+c\) \(\int { \left( 1+\sqrt { x } \right) } dx+c\) 
\(y\left( \cfrac { 1+\sqrt { x } }{ 1-\sqrt { x } } \right) =x+\cfrac { { x }^{ 3/2 } }{ 3/2 } +c\) 
\(y\left( \cfrac { 1+\sqrt { x } }{ 1-\sqrt { x } } \right) =x+\cfrac { 2 }{ 3 } { x }^{ 3/2 }+c\) 
\(y\left( \cfrac { 1+\sqrt { x } }{ 1-\sqrt { x } } \right) =x+\cfrac { 2 }{ 3 } x\sqrt { x } +c\) \(\left[ \because { x }^{ 3/2 }=x\sqrt { x } \right] \)

W(x, y, z) = xy + yz + zx, x =u -v, y = uv, z = u + v; y = uv; z = u
\(\frac { \partial W }{ \partial x } \) = y + z; \(\frac { \partial W }{ \partial y } \) = x + z
∴ \(\frac { \partial W }{ \partial x } \) = uv + u +  v;
\(\frac { \partial W }{ \partial y} \) = u - v + u + v;
\(\frac { \partial W }{ \partial z} \) = uv +  u - v
\(\frac { dx }{ du } =1;\frac { dy }{ du } =v;\frac { dz }{ du } =1\)
\(\frac { dx }{ dv } =1;\frac { dy }{ dv } =v;\frac { dz }{ dv} =1\)
\(\frac { \partial W }{ \partial u } =\frac { \partial w }{ \partial x } .\frac { dx }{ du } +\frac { \partial w }{ \partial y } .\frac { dy }{ du } +\frac { \partial w }{ \partial z } .\frac { dz }{ du } \)
= (uv +u +v) (1) +2u (v) + (uv +u - v)(1)

\(\frac { \partial W }{ \partial u } \) = 4uv + 2u = 12u (2v + 1)
\({ \left( \frac { \partial W }{ \partial u } \right) }_{ \left( \frac { 1 }{ 2 } ,1 \right) }\) = 2 x \(\frac12\) (2+ 1) = 1(2+ 1) = 3
= (uv + u + v) (-1) + (2u) (u) + (uv + u - v)(1)

= 2u² - 2v = 2 (u² - v)
∴  \({ \left( \frac { \partial W }{ \partial v } \right) }_{ \left( \frac { 1 }{ 2 } ,1 \right) }\) = \(2\left( \frac { 1 }{ 4 } -1 \right) =2\left( -\frac { 3 }{ 4 } \right) =-\frac { 3 }{ 2 } \)

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டை 
\(\cfrac { dx }{ dy } =\cfrac { { xe }^{ \frac { x }{ y } }+y }{ { ye }^{ \frac { x }{ y } } } \) எனுமாறு எழுதலாம்.
இது ஒரு சமப்படிதான வகைக்கெழுச் சமன்பாடு 
x=vy என்க. & \(\cfrac { dx }{ dy } =v+y\cfrac { dv }{ dy } \) 
\(v+y\cfrac { dv }{ dy } =\cfrac { { vye }^{ \frac { vy }{ y } }+y }{ ye^{ \frac { vy }{ y } } } \) 
\(v+y\cfrac { dv }{ dy } =\cfrac { y\left[ { ve }^{ v }+1 \right] }{ y\left[ e^{ v } \right] } \) 
\(y\cfrac { dy }{ dv } =\cfrac { 1 }{ { e }^{ v } } \) 
\({ e }^{ v }dv=\cfrac { dy }{ y } \) 
தொகையிடைக் கிடைப்பது 
\(\int { { e }^{ v }dv } =\int { \cfrac { dy }{ y } } \) 
\({ e }^{ v }=logy+logc\) 
\({ e }^{ \frac { x }{ y } }=log|cy|\) என்பது தேவையான தீர்வாகும்.

V(x, y) = e^x(x cos y - y sin y)
\(\frac { \partial V }{ \partial x } \) = e^x (cos y) +(x cos y - y sin y)e^x
= e^x (cos y + x cos y - y sin y)
\(\frac { { \partial }^{ 2 }V }{ \partial { x }^{ 2 } } \) = e^x(0 + cos y - 0) + (cos y +x cos y - y sin y)e^x
= e^x(2 cos y + x cos y - y sin y) ... (1)
\(\frac { \partial V }{ \partial y } \) = e^x(-x sin y- y cos y- sin y)
\(\frac { { \partial }^{ 2 }V }{ \partial { y }^{ 2 } } \) = e^x (-x cos y - (-y sin y + cos y) - cos y)
= e^x(- x cos y + y sin y - cos y - cos y)
= e^x (- x cos y + y sin y - 2 cos y) ... (2)
(1)+(2)➝ 
\(\frac { { \partial }^{ 2 }V }{ \partial { x }^{ 2 } } \) + \(\frac { { \partial }^{ 2 }V }{ \partial { y }^{ 2 } } \) = e^x(2 cos y + x cos y - y sin y - x cos y + y sin y - 2 cos y]
= e^x (0) = 0 எனவே நிறுவப்பட்டது.

கொடுக்கப்பட்ட வளைவரையின் சாய்வு \(\cfrac { y-1 }{ { x }^{ 2 }+x } \) 
\(\cfrac { dy }{ dx } =\cfrac { y-1 }{ { x }^{ 2 }+x } \) 
சமன்பாட்டை \(\cfrac { dy }{ y-1 } =\cfrac { dx }{ { x }^{ 2 }+x } \) ...(1) எனுமாறு எழுதலாம்.
\(\cfrac { 1 }{ { x }^{ 2 }+x } =\cfrac { 1 }{ x(x+1) } =\cfrac { A }{ x } +\cfrac { B }{ x+1 } \)
\(I=A(x+1)+B(x)\) 
x=-1 என்க. x=0 என்க 
\(I=A(0)+B(-1)\quad I=A(0+1)+B(0)\) 
\(I=-B\quad I=A\) 
\(B=-1\quad A=1\) 
\(\therefore \cfrac { 1 }{ { x }^{ 2 }+x } =\cfrac { 1 }{ x } -\cfrac { 1 }{ x+1 } \) 
(2) ஆம் சமன்பாட்டை,சமன்பாடு (1) ல் பிரதியிடக் கிடைப்பது 
\(\cfrac { dy }{ y-1 } =\cfrac { dx }{ x } -\cfrac { dx }{ x+1 } \) 
இருபுறமும் தொகையிடக் கிடைப்பது 
\(log(y-1)=logx-log(x+1)+loC\) 
\(log(y-1)=logC+logx-log(x+1)\) 
= \(logCx-log(x+1)\) 
\(log(y-1)=log\left( \cfrac { Cx }{ x+1 } \right) \) 
\(y-1=\cfrac { Cx }{ x+1 } \) 
வளைவரை (1,0) என்ற புள்ளி வழிச் செல்வதால் 
\(0-1=\cfrac { C(1) }{ 1+1 } \) 
\(-1=\cfrac { C }{ 2 } \) 
\(-2=C\) 
\((3)\Rightarrow y-1=\cfrac { 2x }{ x+1 } \) 
\(y=1-\cfrac { 2x }{ x+1 } \) 
= \(\cfrac { x+1-2x }{ x+1 } \) 
= \(\cfrac { 1-x }{ x+1 } \) 
\(\therefore y=\cfrac { 1-x }{ x+1 } \)

\(f'(x)={ x }^{ 2 }-\cfrac { 1 }{ x } \) 
\(f'(x)=0\Rightarrow { x }^{ 3 }-1=0\Rightarrow x=1\) 
\(\therefore\) இடைவெளிகள் (0, 1) மற்றும் \((1,\infty )\) 
அதாவது, \(x>0\) எனும்போது,சார்பு வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது.
(0, 1) என்ற இடைவெளியில் \(f'\left( x \right) <0\) 
\(\therefore\) f(x) என்பது (0,1)ல் திட்டமாக இறங்குகிறது.
\(\\ \left( 1,\infty \right) \) என்ற இடைவெளியில் \(f'\left( x \right) <0\) 
\(\therefore\) f(x) என்பது \(\\ \left( 1,\infty \right) \) ல் திட்டமாக ஏறுகிறது.f'(x)ன் குறி x=1 ஐக் கடக்கும்போது குறையிலிருந்து மிகைக்கு மாறுவதால்,f(x) என்பது இடஞ்சார்ந்த சிறும மதிப்பை அடைகிறது.
\(\therefore\) இடஞ்சார்ந்த சிறும மதிப்பு 
\(f(1)=\cfrac { 1 }{ 3 } -\log1=\cfrac { 1 }{ 3 } -0=\cfrac { 1 }{ 3 } \) 

வட்டம் x² + y² = r² , x-அச்சு,கோடுகள் x = r - h மற்றும் x = r ஆகியவற்றால் சூழப்பட்ட முதல் கால் வட்டப் பகுதியில் உள்ள அரங்கத்தின் பரப்பை x-அச்சைப் பொருத்து  சுழற்றும்போது உருவாகும் திடப் பொருளானது , ஆரம் r, உயரம் h உடைய கோள வடிவ தொப்பியாகும் படம் -ல் காண்க. எனவே தேவையான கன அளவு 

V = π \(\int ^{r}_{r-h} y^2 dx = π \int ^{r}_{r-h} (r^2-x^2) dx = π (r^2 x - \frac {x^3}{3})^{r}_{r-h} \)
= π \((r^2 (r (r-h)) - \frac {(r^3- (r-h)^3)}{3})\)
= π  \((r^2h - \frac {(r^3-(r^3-3r^2h + 3rh^2 -h^3))}{3})\)
= π \((\frac {3rh^2-h3}{3}) = \frac{1}{3}πh^2(3r - h)\).
குறிப்பு
மேலே உள்ள கோள  வடிவத் தொப்பியின் கன அளவை தொப்பியின்  ஆரம் மூலம் எழுதலாம். ρ என்பது  கோள  வடிவத் தொப்பியின் ஆரம் எனில்  ρ² + (r  - h )²  = r²

எனவே r =  \(\frac {ρ^2 + h^2 }{2h}\) . மேலே உள்ள கன அளவில் r-ன் மதிப்பை பிரதியிட, நாம் பெறுவது
V =  \(\frac{1}{3}πh^2[3 (\frac {ρ^2 + h^2}{2h})- h]\) = \(\frac{1}{3}πh[ (\frac {3ρ^2 + h^2}{2})] = \frac {1}{6} πh(3 ρ^2 +h^2)\).

கோடுகள் 5x - 2y = 15, x + y + 4 = 0 வெட்டும் புள்ளி (1, -5).5x - 2y = 15, என்ற கோடு x-அச்சை சந்திக்கும் புள்ளி  (3,0). கோடு   x + y + 4 = 0 , x  -  அச்சை (-4,0) -ல் சந்திக்கிறது. தேவையான பரப்பு படம் -ல் நிழலிடப்பட்டுள்ளது. இப்பரப்பானது x-அச்சின் மேல் பகுதியில் உள்ளது.
இப்பரப்பை செங்குத்துப் பட்டைகள் அல்லது கிடைமட்டப் பட்டைகளைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம்.
செங்குத்துப் பட்டைகளைப் பயன்படுத்தி அரங்கத்தின் பரப்பு காண அரங்கத்தை x =1 கோடு  வழியாக இரு பிரிவுகளாகப் பிரிக்க வேண்டும். எனவே நமக்கு கிடைப்பது,
A   \(= | \int^{1}_{-4} y dx| + |\int ^3_1 y dx|\)
\(= | \int^{1}_{-4} (-4-x) dx| + |\int ^3_1 (\frac {5x-15}{2}) dx|\)
\(= |(-4x-\frac {x^2}{2})^1_{-4}| + |(\frac {5x^2}{2}- \frac {15x}{2})^{3}_{1}|\)
= \(|(-\frac {9}{2}) - (8)| +|(-\frac {45}{4}) - (-\frac {25}{4})| \)
\(=\frac {25}{5} + 5\)
\(=\frac {35}{2} \)
கிடைமட்டப் பட்டைகளைப்  கொண்டு பரப்பு காணும்போது அரங்கத்தை இரு பகுதிகளாகப் பிரிக்கத் தேவையில்லை. இம்முறையில் பரப்பின் வலது பக்க எல்லை 5x - 2 y = 15 என்ற கோடு  மற்றும் இடது பக்க எல்லை x + y + 4 = 0 என்ற  கோடு  ஆகும். எனவே நமக்கு கிடைப்பது,
A = \(\int ^{0}_{-5} [x_R - x_L] dy\)  =  \(\int ^{0}_{-5} [\frac {15+2y}{5} - (-4-y)] dy\)
=  \(\int ^{0}_{-5} [ 7 +\frac {7y}{5}] dy = [ 7y +\frac {7y^2}{10}]^{0}_{-5} \)
= 0 - \([-35 + \frac {35}{2}] = \frac {35}{2}\).
குறிப்பு
முக்கோண வடிவத்தில் உள்ள அரங்கத்தின் அடிப்பக்கம்  7 அலகுகளாகும் மற்றும் உயரம் 5  அலகுகளாகவும் உள்ளது. எனவே  தொகையிடலை பயன்படுத்தாமலே அதன் பரப்பானது \(\frac {35}{2}\) என  காணலாம்.

(i) பரவல் சார்பு \(F(x)=\int _{ -\infty }^{ x }{ f(u)du } \) 
நிலை 1:
\(x<-1\) 
\(F(x)=\int_{-\infty}^x f(u) d u=\int_{-\infty}^{-1}(0) d u=0\)
நிலை 2:
\(-1\le 1x<0\) 
\(\begin{aligned} F(x) & =\int_{-\infty}^x f(u) d u=\int_{-\infty}^{-1} f(u) d u+\int_{-1}^x f(u) d u \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} =0+\int_{-1}^x(u+1) d u=\left[\frac{u^2}{2}+u\right]_{-1}^x \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} =\frac{x^2}{2}+x-\frac{1}{2}+1=\frac{x^2}{2}+x+\frac{1}{2} \end{aligned}\)
நிலை 3: \(0\le x<1\)
\(\begin{aligned} F(x) & =\int_{-\infty}^x f(u) d u \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} =\int_{-\infty}^{-1} f(u) d u+\int_{-1}^0 f(u) d u+\int_0^x f(u) d u \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} =0+\int_{-1}^0(u+1) d u+\int_0^x(-u+1) d u \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} =\left[\frac{u^2}{2}+u\right]_{-1}^0+\left[-\frac{u^2}{2}+u\right]_0^x \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} =0-\left(\frac{1}{2}-1\right)+\left(-\frac{x^2}{2}+x-0\right) \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} =\frac{1}{2}-\frac{x^2}{2}+x \end{aligned}\)
நிலை 4: x \(\geq\) 1
\(\begin{aligned} F(x)= \int_{-\infty}^x f(u) d u \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} = \int_{-\infty}^{-1} f(u) d u+\int_{-1}^0 f(u) d u+\int_0^1 f(u) d u +\int_1^x f(u) d u \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} 0+\int_{-1}^0(u+1) d u+\int_0^1(-u+1) d u+0 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} & =\left[\frac{u^2}{2}+u\right]_{-1}^0+\left[-\frac{u^2}{2}+u\right]_0^1 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} =0-\left(\frac{1}{2}-1\right)+\left(-\frac{1}{2}+1\right)-0 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} =\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1 \end{aligned}\)

(ii) P(-0.5 \(\le\) X \(\le\) 0.5)
\(\begin{aligned} =\int_{-0.5}^{0.5} f(x) d x=\int_{-0.5}^0 f(x) d x+\int_0^{0.5} f(x) d x \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} =\int_{-0.5}^0(x+1) d x+\int_0^{0.5}(-x+1) d x \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} =\left[\frac{x^2}{2}+x\right]_{-0.5}^0+\left[-\frac{x^2}{2}+x\right]_0^{0.5} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} =0-\left(\frac{(-0.5)^2}{2}-0.5\right)+\frac{-(0.5)^2}{2}+0.5-0 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} =-\frac{0.25}{2}+0.5-\frac{0.25}{2}+0.5 \end{aligned}\)
= 1 - 0.25 = 0.75

\( I=\int _{ 0 }^{ \pi }{ x\left[ { sin }^{ 2 }(sinx)+{ cos }^{ 2 }(cosx) \right] } dx\quad ...(1)\) என்க.
\(\left[ \because \int _{ 0 }^{ a }{ f(x)dx=\int _{ 0 }^{ a }{ f(a-x)dx } } \right] \)
\(I=\int _{ 0 }^{ \pi }{ (\pi -x) } [{ sin }^{ 2 }(sin(\pi -x))+{ cos }^{ 2 }(cos(\pi -x)]dx\)
\(=\int _{ 0 }^{ \pi }{ (\pi -x)[{ sin }^{ 2 }(sinx)+{ cos }^{ 2 }(-cosx)]dx } \)
\(=\int _{ 0 }^{ \pi }{ (\pi -x)[{ sin }^{ 2 }(sin\quad x)+{ cos }^{ 2 })(cosx)]dx } \)
\([\because cos(-x)=cos\quad x]\)
\(=\int _{ 0 }^{ \pi }{ \pi [{ sin }^{ 2 }(sinx)+{ cos }^{ 2 }(cosx)] } dx\)
\(-\int _{ 0 }^{ \pi }{ x[{ sin }^{ 2 }(sinx)+{ cos }^{ 2 }(cosx)] } dx\)
\(=\int _{ 0 }^{ \pi }{ \pi [{ sin }^{ 2 }(sinx)+{ cos }^{ 2 }(cosx)]dx-I } [from\quad (1)]\)
\(2I=\pi \int _{ 0 }^{ \pi }{ [{ sin }^{ 2 }(sinx)+{ cos }^{ 2 }(cosx)] } dx\)
\(I=\pi \int _{ 0 }^{ \pi /2 }{ \left[ { sin }^{ 2 }(sin\quad x)+{ cos }^{ 2 }(cos\quad x) \right] } dx\quad ...(2)\)
\(I=\pi \int _{ 0 }^{ \pi /2 }{ \left[ { sin }^{ 2 }(sin\frac { \pi }{ 2 } -x)+{ cos }^{ 2 }(cos\frac { \pi }{ 2 } -x) \right] dx } \)
\(I=\pi \int _{ 0 }^{ \pi /2 }{ [{ sin }^{ 2 }(cosx)+{ cos }^{ 2 }(sin\quad x)]dx] } ....(3)\)
(2) மற்றும்  (3) கூட்ட 
\(2I=\pi \int _{ 0 }^{ \pi /2 }{ \left[ { sin }^{ 2 }(sinx)+{ cos }^{ 2 }(cosx) \right] dx } +{ sin }^{ 2 }(cosx)+{ cos }^{ 2 }(sin\quad x)]dx\)
\(I=\pi \int _{ 0 }^{ \pi /2 }{ (1+1)dx } \ [\because { sin }^{ 2 }\theta +{ cos }^{ 2 }\theta =1]\)
\(=\pi (2){ [x] }_{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }=2\pi \left[ \frac { \pi }{ 2 } -0 \right] ={ \pi }^{ 2 }\ \)
\( \therefore I=\frac { { \pi }^{ 2 } }{ 2 } \)

சமவாய்ப்பு மாறி X என்பது பகடையின்  இரு உருட்டல்களில் கிடைக்கும் எண்களின் கூட்டுத்தொகை என்க.
கூறுவெளி S

n(S) = 36
X = {2, 4, 6, 8, 10}

(i) நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பு 

 (ii) குவிவு பரவல் சார்பு 
\(\begin{array}{r} \mathrm{F}(\mathrm{x})=\mathrm{P}(\mathrm{X} \leq \mathrm{x})=\sum_{\mathrm{x}_i \leq \mathrm{x}} P\left(X=x_i\right) \\ \end{array}\)
\(\mathrm{P}(\mathrm{X}<2)=0,-\infty<\mathrm{x}<2 \)
\(\begin{aligned} \mathrm{F}(2)=\mathrm{P}(X \leq 2) & =\mathrm{P}(X<2)+\mathrm{P}(X=2) \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} =0+\frac{1}{36}=\frac{1}{36} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \mathrm{F}(4)=\mathrm{P}(X \leq 4) & =\mathrm{P}(X<2)+\mathrm{P}(X=2)+\mathrm{P}(X=4) \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} =0+\frac{1}{36}+\frac{4}{36}=\frac{5}{36} \end{aligned}\)
 \(\begin{aligned} \mathrm{F}(6)=\mathrm{P}(X \leq 6)=\mathrm{P}(X<2)+\mathrm{P}(X=2)+ \mathrm{P}(X=4)+\mathrm{P}(X=6) \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} =0+\frac{1}{36}+\frac{4}{36}+\frac{10}{36}=\frac{15}{36} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \mathrm{F}(8)=\mathrm{P}(X \leq 8)= & \mathrm{P}(X<2)+\mathrm{P}(X=2)+\mathrm{P}(X=4) +\mathrm{P}(X=6)+\mathrm{P}(X=8) \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} = 0+\frac{1}{36}+\frac{4}{36}+\frac{10}{36}+\frac{12}{36}=\frac{27}{36} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \mathrm{F}(10)=\mathrm{P}(X \leq 10)= & \mathrm{P}(X<2)+\mathrm{P}(X=2) +\mathrm{P}(X=4)+\mathrm{P}(X=6) +\mathrm{P}(X=8)+\mathrm{P}(X=10) \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} = 0+\frac{1}{36}+\frac{4}{36}+\frac{10}{36}+\frac{12}{36}+\frac{9}{36} \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} = \frac{36}{36}=1 \end{aligned}\)


(iii) \(\begin{aligned} \mathrm{P}(4 & \leq X<10) \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} =\mathrm{P}(X=4)+\mathrm{P}(X=6)+\mathrm{P}(X=8) \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} =\frac{4}{36}+\frac{10}{36}+\frac{12}{36}=\frac{26}{36}=\frac{13}{18} \end{aligned}\)
(iv) \(\begin{aligned} \mathrm{P}(X & \geq 6) \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} =\mathrm{P}(X=6)+\mathrm{P}(X=8)+\mathrm{P}(X=10) \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} =\frac{10}{36}+\frac{12}{36}+\frac{9}{36}=\frac{31}{36} \end{aligned}\)

x-ஐப் பொறுத்து வகையிட, \(\frac{dy}{dx}=2x+3\), ஆகவே, \((\frac{dy}{dx})_{(1,2)}=5\).
எனவே , தேவையான தொடுகோட்டின் சமன்பாடு
\((y-2)=5(x-1)\Rightarrow 5x-y-3=0\) ஆகும்.
(1, 2) என்ற புள்ளியில் செங்கோட்டின் சாய்வு -\(\frac{1}{5}\).
எனவே , தேவையான செங்கோட்டின் சமன்பாடு
\((y-2)=-\frac{1}{5}(x-1)\Rightarrow x+5y-11=0\) ஆகும். 

ஒரு சுற்றுக்கான நேரம் = 10 வினாடி 
இப்போது,கோணத்திசைவேகம் \(\cfrac { dv }{ dt } =\cfrac { 2\pi }{ 10 } =\cfrac { \pi }{ 5 } \) 
படத்திலிருந்து,\(\tan{ 45 }^{ o }=\cfrac { AB }{ OA } \) 
\(1=\cfrac { x }{ 5 } \Rightarrow x=5\) 
மீண்டும்,\(\tan\theta =\cfrac { x }{ 5 } \) 
\(x=5 \tan\theta \) 
't' ஐப் பொறுத்த வகைப்படுத்த 
\(\cfrac { dx }{ dt } =5{ \sec }^{ 2 }\theta \cfrac { d\theta }{ dt } \) 
= \(5{ \sec }^{ 2 }(45^{ o })\left( \cfrac { \pi }{ 5 } \right) \) 
= \(\left( \sqrt { 2 } \right) ^{ 2 }\pi =2\pi \) 
\(\therefore\) ஒளிக்கற்றை வினாடிக்கு \(2\pi \) கி.மீ வேகத்தில் நகரும்.  

x² - 2x + 8y + 17 = 0
x²- 2x = -8y - 17
இருபுறமும் 1ஐ கூட்ட கிடைப்பது
 x² - 2x + 1 = -8y - 17 + 1
\(\therefore\) (x-1)² = -8y-16= -8(y+2)
\(\therefore\) (x-1)² = 8(y+2)
இது கீழ்நோக்கி திறப்புடைய பரவளையம்,
செவ்வகலம் 4a = 8
\(\Rightarrow\) a = 2
(a) முனை(1, -2)
\(\Rightarrow\) h = 1, k = -2
(b) குவியம் (0+h, -a+k)
\(\therefore\) h = 1, k = -2
(c) இயக்குவரையின் சமன்பாடு y = k + a
y = -2 + 2 \(\Rightarrow\) y = 0
(d) செவ்வகலத்தின் நீளம் 4a = 8 அலகுகள்.

வரையறைப்படி,
\(\vec { a } \times \vec { b } =\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & -1 & -4 \end{matrix} \right| =4\hat { i } +4\hat { j } ,\vec { c } \times \vec { d } =\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 0 & 3 & -1 \\ 2 & 5 & 1 \end{matrix} \right| =8\hat { i } -2\hat { j } -6\hat {k } \)
பின்னர்,
\(\left( \vec { a } \times \vec { b } \right) \times \left( \vec { c } \times \vec { d } \right) =\left| \begin{matrix} \hat { i } & \hat { j } & \hat { k } \\ 4 & 4 & 0 \\ 8 & -2 & -6 \end{matrix} \right| =-24\hat { i } +24\hat { j } -40\hat { k } \)   ...(1)
இப்பொழுது,\(\left[ \vec { a } ,\vec { b } ,\vec { d } \right] \vec { c } -\left[ \vec { a } ,\vec { b } ,\vec { c } \right]\vec { d } =28\left( 3\hat { j } -\hat { k } \right) -12\left( 2\hat { i } +5\hat { j } +\hat { k } \right) =-24\hat { i } +24\hat { j } -40\hat { k } \) ...(2) 
சமன்பாடுகள் (1) மற்றும் (2) ஆகியவற்றிலிருந்து, முற்றொருமை (i) நிறுவப்பட்டது. முற்றொருமை (ii)-ன் சரிபார்த்தல் மாணவர்களின் பயிற்சிக்காக விடப்பட்டுள்ளது.

வெடிச்சத்தம் உண்டான இடம்P(x, y) என்க.
கொடுக்கப்பட்ட PB-PA = 6

தூரத்திற்கான சமன்பாட்டை பயன்படுத்த
\(\sqrt { (x-5)^{ 2 }+(y-0)^{ 2 } } -\sqrt { (x+5)^{ 2 }+(y-0)^{ 2 } } =6\)
⇒ \(\sqrt { (x-5)^{ 2 }+(y)^{ 2 } } -\sqrt { (x+5)^{ 2 }+(y)^{ 2 } } =6\)
இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த கிடைப்பது
(x-5)²+y²+(x+5)²+y²
\(-2\sqrt { [(x-5)^{ 2 }+{ y }^{ 2 }][(x+5)^{ 2 }+{ y }^{ 2 }] } =36\)

= \(2\sqrt { ({ x }^{ 2 }-10x+25+{ y }^{ 2 })({ x }^{ 2 }+10x+25+{ y }^{ 2 }) } \)
⇒ x² + y² + 7
= \(2\sqrt { ({ x }^{ 2 }-10x+25+{ y }^{ 2 })({ x }^{ 2 }+10x+25+{ y }^{ 2 }) } \) [∵ ÷2]
மீண்டும் வர்க்கப்படுத்த,
x⁴+y⁴+49+2x²y²+14y²+14x²
= (x²-10x+25y²) (x²+10x+25+y²)

⇒ 14y²+14x² = -50x²+50y²+625-49
⇒ 64x²-36y² = 576
÷ 4 கிடைப்பது
16x²-9y² = 144
\(\frac { x^{ 2 } }{ 9 } -\frac { { y }^{ 2 } }{ 16 } \) = 1
எனவே வெடிச்சத்தம் உண்டான இடம் அதிபரவளையத்திற்கு உட்பட்டது. அதன் சமன்பாடு \(\frac { x^{ 2 } }{ 9 } -\frac { { y }^{ 2 } }{ 16 } \)=1

AB என்பது தடி என்க மற்றும் P(x₁, y₁) தடியின் மீதுள்ள புள்ளி AP = 0.3மீ வரைக.
\(PD\bot x\) அச்சு மற்றும் \(PC\bot y\) 

\(\Delta ADP\cong \Delta PCB\) 
\(\therefore \cfrac { PC }{ DA } =\cfrac { PB }{ AP } =\cfrac { BC }{ PD } \) 
\(\Rightarrow \cfrac { { x }_{ 1 } }{ DA } =\cfrac { 0.9 }{ 0.3 } =\cfrac { BC }{ { y\quad }_{ 1 } } \)
\(\Rightarrow DA=\cfrac { { 0.3 }x_{ 1 } }{ 0.9 } =\cfrac { { x }_{ 1 } }{ 3 } \) 
மற்றும் \(BC=\cfrac { 0.9{ y }_{ 1 } }{ 0.3 } =\cfrac { 9 }{ 3 } { y }_{ 1 }={ 3y }_{ 1 }\)
இங்கு OA = OD + DA
 \({ x }_{ 1 }+\cfrac { { x }_{ 1 } }{ 3 } =\cfrac { { 4x }_{ 1 } }{ 3 } \)
OB = OC + BC = y₁ + 3y₁ = 4y₁
OA² + OB² = AB²
\(\Rightarrow \left( \cfrac { 4x_{ 1 } }{ 3 } \right) ^{ 2 }+\left( { 4y }_{ 1 } \right) ^{ 2 }=\left( 1.2 \right) ^{ 2 }\) 
\(\Rightarrow \cfrac { 16{ x }_{ 1 }^{ 2 } }{ 9 } +\cfrac { 16{ y }_{ 1 }^{ 2 } }{ 1 } =1.44\) 
16 ஆல் வகுக்க கிடைப்பது 
\(\cfrac { { x }_{ 1 }^{ 2 } }{ 9 } +\cfrac { { y }_{ 1 }^{ 2 } }{ 9 } =\cfrac { 1.44 }{ 16 } =0.09\cong 1\) 
 \(\therefore\) (x₁, y₁)\(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ 9 } +\cfrac { { y }^{ 2 } }{ 1 } =1\) 
இங்கு a² = 9, b²
\(\therefore e=\sqrt { 1-\cfrac { { b }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } } =\sqrt { 1-\cfrac { 1 }{ 9 } } =\sqrt { \cfrac { 9-1 }{ 9 } } \)
\(=\sqrt { \cfrac { 8 }{ 9 } } \)
\(e=\cfrac { 2\sqrt { 2 } }{ 3 } \)

துணைக்கோள் ஏற்பியின் குறுக்கு வெட்டு பரவளையம் வலது பக்க திறப்புடையது.

அதனுடைய சமன்பாடு y² = 4ax 
முனையிலிருந்து குவியம் 1.2 மீ தூரத்தில் உள்ளதால் OA = 1.2மீ மற்றும் BC = 2.5 மீ ஏற்பியின் அகலம் 5மீ 
படத்திலிருந்து, a = 1.2 மீ 
\(\therefore\) y₂ = 4(1.2)x
(a) \(\Rightarrow\) y₂ = 4.8x
(b) (x₁, 2.5) (1)-ன் மீது அமைந்துள்ளதால் 
(2.5)² = 4.8(x₁)
\({ x }_{ 1 }=\cfrac { 2.5\times 2.5 }{ 4.8 } \) 
x₁ = 1.3மீ
\(\therefore \) முனையிலிருந்து செயற்கைக்கோள் ஏற்பியின் ஆழம் 1.3மீ ஆகும்.

தேவையான தளம்  \(\vec { r } =(\hat { i } -\hat { j } +3\hat { k } )+t(2\hat { i } -\hat { j } +4\hat { k } )\) என்ற வெக்டருக்கு இணையாகும் மற்றும்  \(\vec { a } =\hat { i } -\hat { j } +3\hat { k } \)  \(\vec { b } =2\hat { i } -\hat { j } +4\hat { k } \) என்ற புள்ளிகள் வழியாகச் செல்லும் 
\(\vec { c } =\hat { i } -2\hat { j } +\hat { k } \) 
∴ \(\vec { a } \) \(\vec { b } \)என்ற நிலை வெக்டர்களைக் கொண்ட இரு தனித்த புள்ளிகள் A மற்றும் B வழியாகச் செல்வதும் \(\vec { c } \) என்ற பூச்சியமற்ற வெக்டருக்கு இணையானதுமான தளத்தின் துணையலகு வடிவ வெக்டர் சமன்பாடு 
\(\vec { r } =\vec { a } +s\vec { b } +t\vec { c } \)  இங்கு s, t ∈ R
⇒ \(\vec { r } .(\hat { i } -\hat { j } +3\hat { k } )+s(2\hat { i } -\hat { j } +4\hat { k } )+t(\hat { i } +2\hat { j } +\hat { k } )\) s, t  ∈ R 
கார்டீசியன் சமன்பாடு 
\(\left| \begin{matrix} x-{ x }_{ 1 } & y-{ y }_{ 1 } & z-{ z }_{ 1 } \\ { b }_{ 1 } & { b }_{ 2 } & { b }_{ 3 } \\ { c }_{ 1 } & { c }_{ 2 } & { c }_{ 3 } \end{matrix} \right| =0\)
\(\Rightarrow \left| \begin{matrix} x-1 & y+1 & z-3 \\ 2 & -1 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \end{matrix} \right| =0\)
⇒ (x - 1)(-1 - 8) - (y + 1)(2 - 4) + (z - 3)(4 + 1) = 0
⇒ (x - 1)(-9) - (y + 1)(-2) + (z - 3)(5) = 0
⇒ -9x + 9 +2y + 2 + 5z - 15 = 0
⇒ -9x + 2y + 5z - 4 = 0
⇒ 9x - 2y - 5z + 4 = 0

x மற்றும் y மதிப்புகளை முழுவர்க்கமாக்க 4x² + 36y² + 40x − 288y + 532 = 0,
4(x²+10x+25-25) + 36(y²-8y+16-16)+532 = 0 இலிருந்து 
4(x²+10x-25) + 36(y²-8y-16) = -532 + 100 + 576
4(x+5)² + 36(y-4)² = 144.
இருபுறமும் 144-ஆல் வகுக்கச் சமன்பாடு 
\(\frac { { (x+5) }^{ 2 } }{ 36 } +\frac { { (y-4) }^{ 2 } }{ 4 } =1\)
இது மையம் (-5,4), மற்றும் நெட்டச்சு x-அச்சுக்கு இணையான நீள்வட்டம். இதன் அரை நெட்டச்சின் நீளம் 12 மற்றும் குற்றச்சின் நீளம் 4. முனைகள் (1, 4) மற்றும் (-11, 4).
தற்போது, c² = a² - b² = 36 - 4 = 32
மற்றும் c = ±4\(\sqrt 2\).
எனில் குவியங்கள் (-5 - 4\(\sqrt 2\), 4) மற்றும் (−5 + 4\(\sqrt 2\),4)
நெட்டச்சின் நீளம் = 2a = 12 அலகுகள் மற்றும் 
குற்றச்சின் நீளம் = 2b = 4 அலகுகள்.

கொடுக்கப்பட்ட C₂ H₆ + O₂ ➝ H₂O + CO₂
நாம் மிகை எண்கள் x₁, x₂, x₃ மற்றும் x₄ இவ்வாறு காண வேண்டும்.
x₁ C₂ H₆ + x₂ O₂ ➝ x₃ H₂O + x₄ CO₂ ... (1)
(1) ல் இடது பக்கத்தில் உள்ள கார்பன் அணுக்களின் எண்ணிக்கை வலது பக்கத்தில் உள்ள கார்பன் அணுக்களின் எண்ணிக்கைக்கு சமமாக இருக்க வேண்டும்.
∴ 2x₁ = 1x₄
⇒ 2x₁ - x₄ = 0                ...(2)
ஹைட்ரஜன் அணுக்களால் கிடைப்பது, 
6x₁ = 2x₃
⇒6x₁ - 2x₃ = 0
⇒ 3x₁ - x₃ = 0                ...(3)
மேலும், ஆக்ஸிஜன் அணுக்களால் கிடைப்பது, 
2x₂ = 1x₃ + 2x₄
⇒ 2x₂ - x₃ - 2x₄ = 0       ...(3)
4 மாறிகளில் அமைந்த நேரியில் சமபடித்தான தொகுப்பு சமன்பாடுகள் (2), (3) மற்றும் (4)
∴ விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணி
[A|B] \(\left[ \begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ -1 \\ -1 \end{matrix}\begin{matrix} -1 \\ 0 \\ -2 \end{matrix}|\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
காஸ்ஸியன் நீக்கல் முறை மூலம் கிடைப்பது,
\(\overset { { R }_{ 2 }\rightarrow 2{ R }_{ 2 } - 3{ R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ -2 \\ -1 \end{matrix}\begin{matrix} { -1 } \\ 3 \\ -2 \end{matrix}|\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 2 }\leftrightarrow { R }_{ 3 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ -1 \\ -2 \end{matrix}\begin{matrix} { -1 } \\ { -2 } \\ { 3 } \end{matrix}|\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
இங்கு ρ(A) = ρ([A | B]) = 3 < 4, மதிப்பிட வேண்டிய மாறிகளின் எண்ணிக்கை.
∴ தொகுப்பு ஒருங்கமைவுடன் ஒரு சாராமாறிக் குடும்ப தீர்வுகளை கொண்டிருக்கும், ஆகையால் x₄ = t என்க.
ஏறுபடிவத்திலிருந்து சமன்பாடுகளை எழுத கிடைப்பது 
2x₁ - x₄ = 0
⇒ 2x₁ - x₄ = 0
⇒ 2x₁ = x₄
⇒ 2x - t
⇒ x₁ = \(\frac{t}{2}\)
4x₂ - 7x₄ = 0
⇒, 4x₂ = 7t ⇒ x₂=\(\frac{7t}{4}\)
-2x₃ + 3x₄ = 0 ⇒ 2x₃ = 3x₄
⇒x₃ = \(\frac{3t}{2}\)
x₁, x₂, x₃ மற்றும் x₄ மிகை முழுக்கள், ஆதலால், t = 4 என தேர்ந்தெடுக்க
∴ x₁=\(\frac{4}{2}=2\) 

x₄=t=4
ஆகையால் சமநிலைப்படுத்தப்பட்ட சமன்பாடு 
2C₂H₆ + 7O₂ ⟶ 6H₂O + 4CO₂

(x₁,y₁,z₁),(6,7,4) மற்றும் (x₂,y₂,z₂),(8,4,9) என்க.
இரண்டு புள்ளிகள் வழிச் செல்லும் நேர்கோட்டின் கார்டீசியன் சமன்பாடு 
\(\cfrac { x-{ { x }_{ 1 } } }{ { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } } =\cfrac { y-{ y }_{ 1 } }{ { y }_{ 2 }-{ y }_{ 1 } } =\cfrac { z-{ z }_{ 1 } }{ { z }_{ 2 }-{ z }_{ 1 } } \) 
\(\Rightarrow \cfrac { x-6 }{ 8-6 } =\cfrac { y-7 }{ 4-7 } =\cfrac { z-4 }{ 9-4 } \)
\(\Rightarrow \cfrac { x-6 }{ 2 } =\cfrac { y-7 }{ -3 } =\cfrac { z-4 }{ 5 } =s\)     ...(1) 
\(\cfrac { y-7 }{ -3 } =s\Rightarrow y-7=-3s\Rightarrow y=-3s+7\) 
\(\cfrac { z-4 }{ 5 } =s\Rightarrow z-4=5s\Rightarrow z=5s+4\) 
\(\therefore\)  கூட்டின் மீதுள்ள புள்ளி (2s+6,-3s+7,5s+4)..(2)
(1) மற்றும் xz தளத்தின் வெட்டுப்புள்ளி காண, y=0,என (2) ல் பிரதியிடு
 \(\therefore -3s+7=0\Rightarrow -3s=-7\Rightarrow s=\cfrac { 7 }{ 3 } \) 
\(s=\cfrac { 7 }{ 3 } \) என(2) ல் பிரதியிட வெட்டுப்புள்ளியானது
\(\left( 2\left( \cfrac { 7 }{ 3 } \right) +6,0,5\left( \cfrac { 7 }{ 3 } \right) +4 \right) \) 
\(\Rightarrow \left( \cfrac { 14 }{ 3 } +6,0,\cfrac { 35 }{ 3 } +4 \right) \) 
\(\Rightarrow \left( \cfrac { 14+18 }{ 3 } ,0,\cfrac { 35+12 }{ 3 } \right) \Rightarrow \left( \cfrac { 32 }{ 3 } ,0,\cfrac { 47 }{ 3 } \right) \)
(1) மற்றும் yz தளத்தின் வெட்டுப்புள்ளி காண,x=0 என (2) ல் பிரதியிடு
\(\therefore 2s+6=0\) 
\(\Rightarrow 2x=-6\) 
\(\Rightarrow s=-3\) 
\(\therefore (2)\rightarrow (2(-3)+6,(-3)+7,5(-3)+4)\)
= (0,16,-11)

i) x − y + 2z = 2,
2x + y + 4z = 7,
4x − y + z = 4
சமன்பாட்டு தொகுப்பின் அணி வடிவம் AX=B 
இங்கு \(A=\left[ \begin{matrix} 1 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & 4 \\ 4 & -1 & 1 \end{matrix} \right] ,X=\left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] \)மற்றும் \(B=\left[ \begin{matrix} 2 \\ 7 \\ 4 \end{matrix} \right] \)
விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணியை ஏறுபடி வடிவத்திற்கு உருமாற்றங்கள் செய்யக் கிடைப்பது [A|B]
\([A|B]=\left[ \begin{matrix} 1 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & 4 \\ 4 & -1 & 1 \end{matrix}|\begin{matrix} 2 \\ 7 \\ 4 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-2{ R }_{ 1 }\\ { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-4{ R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 3 & -7 \end{matrix}|\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ -4 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-{ R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -7 \end{matrix}|\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ -7 \end{matrix} \right] \)
இங்கு ρ(A) =3 மற்றும் ρ[A|B]=3
∴ ρ (A)=ρ[A|B] =3= மதிப்பிட வேண்டிய மாறிலிகளின் எண்ணிக்கை 
எனவே தொகுப்பு ஒருங்கமைவுடன் ஒரே ஒரு தீர்வை கொண்டிருக்கும்.
ஏறுபடிவத்திலுள்ள அணியிலிருந்து கிடைக்கும் சமான சமன்பாடுகளின் தொகுப்பானது.
x-y+2z=2    ...(1)
3y=3⇒y=1       ...(2)
-7z=-7⇒ z=\(\frac{-7}{-7}=1\) ...(3)
y=1 மற்றும்  z=1 என (1)ல் பிரதியிட,
x-1+2(1)=2
⇒ x-1+2=2
⇒ x+1=2
⇒ x=2-1=1
⇒ x=1
∴ x=1, y=1, z=1
ஆகையால், தீர்வு கணம் {1,1,1}
ii) 3x + y + z = 2,
x − 3y + 2z =1,
7x − y + 4z = 5
தொகுப்பின் அணி வடிவம் AX=B
இங்கு \(A=\left[ \begin{matrix} 3 & 1 & 1 \\ 1 & -3 & 2 \\ 7 & -1 & 4 \end{matrix} \right] ,X=\left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] ,B=\left[ \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{matrix} \right] \)
விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணியை [A|B] ஏறுபடி வடிவத்திற்கு உருமாற்றங்கள் செய்யக் கிடைப்பது,
\([A|B]=\left[ \begin{matrix} 3 & 1 & 1 \\ 1 & -3 & 2 \\ 7 & -1 & 4 \end{matrix}|\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 2 }\leftrightarrow { R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & -3 & 2 \\ 3 & 1 & 1 \\ 7 & -1 & 4 \end{matrix}|\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 5 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-3{ R }_{ 1 }\\ { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-7{ R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & -3 & 2 \\ 0 & 10 & -5 \\ 0 & 20 & -10 \end{matrix}|\begin{matrix} 1 \\ -1 \\ -2 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-2{ R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & -3 & 2 \\ 0 & 10 & -5 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}|\begin{matrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
இங்கு ρ(A)=2, மற்றும் ρ[A|B]=2[∵ அபூச்சிய நிரைகள் உள்ளன]. ஆகையால், ρ(A)=ρ[A|B]=2<3, கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பு ஒருங்கமைவுடன் தீர்வுகள் ஒரு சாராமாறிக் குடும்பமாக இருக்கும். ஆகையால் z=t, x∈R. ஏறுபடி வடிவத்திலுள்ள அணியிலிருந்து கிடைக்கும் சமான சமன்பாடுகளின் தொகுப்பு, 
x - 3y + 2z = 1       ...(1)
10y - 5z = - 1         ...(2)
z = t                       ...(3)
(2) லிருந்து 10y - 5t = 1
⇒ 10y = 5t - 1
⇒ y = \(\frac{1}{10}[5t-1]\)
மேலும், (1) லிருந்து, \(x-\frac{3}{10}[5t-1]+2t=1\)
\(\Rightarrow x=\frac { 3 }{ 10 } [5t-1]-2t+1=\frac { 15t-3-20t+10 }{ 10 } \)
\(\Rightarrow x=\frac { 1 }{ 10 } [-5t+7]\)
எனவே தீர்வு கணம் என்பது 
\(\{ \frac { 1 }{ 10 } (7-5t),\frac { 1 }{ 10 } (5t-1),t\} \)இங்கு t∈R
iii) 2x + 2y + z = 5,
x − y + z =1,
3x + y + 2z = 4
ஆகையால் தொகுப்பின் அணி AX = B இங்கு 
\(A=\left[ \begin{matrix} 2 & 2 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{matrix} \right] ,X=\left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] ,B=\left[ \begin{matrix} 5 \\ 1 \\ 4 \end{matrix} \right] \)
\([A|B]=\left[ \begin{matrix} 2 & 2 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{matrix}|\begin{matrix} 5 \\ 1 \\ 4 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 1 }\leftrightarrow { R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 4 & -1 \\ 0 & 4 & -1 \end{matrix}|\begin{matrix} 1 \\ 5 \\ 4 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-{ 2R }_{ 2 }\\ { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-3{ R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 4 & -1 \\ 0 & 4 & -1 \end{matrix}|\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ -1 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { R_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-{ R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 4 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}|\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ -4 \end{matrix} \right] \)
இங்கு ρ(A)=2[∵ 2 அபூச்சிய நிறைகள் உள்ளன]
மற்றும் ρ[A|B]=3[∵ 3 அபூச்சிய நிறைகள் உள்ளன]
இங்கு (A)≠p[A|B]
ஆகையால் கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பு ஒருங்கமைவு அற்றது மற்றும் தீர்வுகள் இல்லை.
iv) 2x − y + z = 2,
6x − 3y + 3z = 6,
4x − 2y + 2z = 4
தொகுப்பின் அணி வடிவம் AX = B இங்கு 
\(A=\left[ \begin{matrix} 2 & -1 & 1 \\ 6 & -3 & 3 \\ 4 & -2 & 2 \end{matrix} \right] \)
\(X=\left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] ,B=\left[ \begin{matrix} 2 \\ 6 \\ 4 \end{matrix} \right] \)
[A|B] என்ற விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணியில் தொடக்கநிலை நிரைச் செயலின் பயன்படுத்தக் கிடைப்பது,
\([A|B]=\left[ \begin{matrix} 2 & -1 & 1 \\ 6 & -3 & 3 \\ 4 & -2 & 2 \end{matrix}|\begin{matrix} 2 \\ 6 \\ 4 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-3{ R }_{ 1 }\\ { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-2{ R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 2 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}|\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
இங்கு ρ(A) = 1 [∵ ஒரே ஒரு அபூச்சிய நிரை]
மற்றும் ρ[A|B] = 1[∵ ஒரே ஒரு அபூச்சிய நிரை]
∵ ρ(A) = ρ[A|B] = 1<3, கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பு ஒருங்கமைவுடன் இரு சாராமாறிக் குடும்பமாக தீர்வுகள் இருக்கும்.
ஆகையால், z = t மற்றும் y=s  இங்கு s, t∈R. ஏறுபடி வடிவத்திலிருந்து கிடைக்கும் சமான சமன்பாடுகள்.
2x - y + z = 2         ....(1)
y = s                      ....(2)
z = t                       ....(3)
(2) மற்றும் (3) ஐ (1)ல் பிரதியிட கிடைப்பது,
2x - s + t = 2
⇒ 2x = s - t + 2
⇒ \(x=\frac{1}{2}[s-t+2]\)
∴ தீர்வு கணம்{\(\frac{1}{2}\)(s - t + 2), s, t}

v(3) = 64, v(6) = 133 மற்றும் v(9) = 208. ஆதலால் பின்வரும் நேரிய சமன்பாட்டுத் தொகுப்பைப் பெறுகிறோம்."
9a + 3b + c = 64,
36a + 6b + c = 133,
81a + 9b + c = 208
மேல் உள்ள நேரியச் சமன்பாட்டுத் தொகுப்பை காஸ்ஸியன் நீக்கல் முறையில் தீர்க்க உள்ளோம். விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணியை நிரை-ஏறுபடி வடிவத்திற்கு தொடக்கநிலை நிரை உருமாற்றங்கள் செயல்படுவதன் மூலம் நாம் பெறுவது,
[A|B] = \(\left[ \begin{matrix} 9 & 3 & 1 \\ 36 & 6 & 1 \\ 81 & 9 & 1 \end{matrix}|\begin{matrix} 64 \\ 133 \\ 208 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-4{ R }_{ 1 },{ R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-9{ R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 9 & 3 & 1 \\ 0 & -6 & -3 \\ 0 & -18 & -8 \end{matrix}|\begin{matrix} 64 \\ -123 \\ -368 \end{matrix} \right] \\ \overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }\div (-3),{ R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }\div (-2) }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 9 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 9 & 4 \end{matrix}|\begin{matrix} 64 \\ 41 \\ 184 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 3 }\rightarrow 2{ R }_{ 3 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 9 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 18 & 8 \end{matrix}|\begin{matrix} 64 \\ 41 \\ 368 \end{matrix} \right] \\ \overset { { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-9{ R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 9 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{matrix}|\begin{matrix} 64 \\ 41 \\ -1 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 3 }\rightarrow (-1){ R }_{ 3 }\\ }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 9 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}|\begin{matrix} 64 \\ 41 \\ 1 \end{matrix} \right] \)
ஏறுபடி வடிவத்திலிருந்து கிடைக்கும் சமான சமன்பாடுகள்
9a + 3b + c = 64, 2b + c = 41, c = 1
பின்னோக்கிப் பிரதியிடல் மூலம் நமக்குக் கிடைப்பது
c = 1, b = \(\frac { (41-c) }{ 2 } =\frac { (41-1) }{ 2 } \) = 20, a = \(\frac { 64-3b-c }{ 9 } =\frac { 64-60-1 }{ 9 } =\frac { 1 }{ 3 } \).
ஆதலால் v(t) = \(\frac { 1 }{ 3 } \)t² + 20t + 1
எனவே, v(15) = \(\frac { 1 }{ 3 } \)(225) + 20(15) + 1 = 75 + 300 + 1 = 376 மைல்கள்/வினாடி.