கொடுக்கப்பட்ட F₁P + F₂P = 8
நீள்வட்டத்தின் குவியங்களின் பண்புபடி 
F₁P + F₂P = 2a
\(\therefore 2a=8\) 
\(\Rightarrow a=4\) 
நீள்வட்டத்தின் குவியங்களின் பண்புபடி 
= F₁F₂ = 6
2ae = 6
\(\Rightarrow\) ae = 3
\(\therefore\) 4(e) = 3
\(\Rightarrow e=\cfrac { 3 }{ 4 } \) 

\(\therefore { b }^{ 2 }={ a }^{ 2 }(1-e^{ 2 })\) 
= \(16\left( 1-\left( \frac { 3 }{ 4 } \right) ^{ 2 } \right) =16\left( 1-\cfrac { 7 }{ 16 } \right) =7\) 
\(\therefore\) அவர் ஓடுகின்ற பாதை ஒரு நீள் வட்டம் மற்றும் அதனுடைய சமன்பாடு
\(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } +\cfrac { { y }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } } =1\)
\(\Rightarrow \cfrac { { x }^{ 2 } }{ 16 } +\cfrac { { y }^{ 2 } }{ 7 } =1\)

\(\overset { \rightarrow }{ B } =x\overset { \wedge }{ i } +y\overset { \wedge }{ j } +z\overset { \wedge }{ k } \) என்க.
கொடுக்கப்பட்ட \(\overset { \rightarrow }{ A } \times \overset { \rightarrow }{ B } =\overset { \rightarrow }{ C } \left| \begin{matrix} \overset { \wedge }{ i } \\ 1 \\ x \end{matrix}\begin{matrix} \overset { \wedge }{ j } \\ 1 \\ y \end{matrix}\begin{matrix} \overset { \wedge }{ k } \\ 1 \\ z \end{matrix} \right| =\overset { \wedge }{ j } -\overset { \wedge }{ k } \)
\(\Rightarrow \overset { \wedge }{ i } (z-y)-\overset { \wedge }{ j } (z-x)+\overset { \wedge }{ k } (y-x)\overset { \wedge }{ j } -\overset { \wedge }{ k } \)
இருபுறமும் ஒத்த உறுப்புகளை சமப்படுத்த கிடைப்பது 
z - y = 0      ....(1)
x - z = 1     .....(2)
y - x = -1     .....(3)
மேலும் \(\overset { \rightarrow }{ A } .\overset { \rightarrow }{ B } =3\Rightarrow \left( \overset { \wedge }{ i } +\overset { \wedge }{ j } +\overset { \wedge }{ k } \right) .\left( x\overset { \wedge }{ i } +y\overset { \wedge }{ j } +z\overset { \wedge }{ k } \right) =3\)
⇒ x + y + z = 3  ....(4)
தீர்க்க (1), (2), (3) மற்றும் (4) கிடைப்பது \(x=\frac { 5 }{ 3 } ,y=\frac { 2 }{ 3 } \) மற்றும் \(z=\frac { 2 }{ 3 } \)
\(\therefore \overset { \rightarrow }{ B } =\frac { 5 }{ 3 } \overset { \wedge }{ i } +\frac { 2 }{ 3 } \overset { \wedge }{ j } +\frac { 2 }{ 3 } \overset { \wedge }{ k } \)

∝, β என்க. x²+bx+ca=0 இன் மூலங்கள்.
∝+β=-b, ∝β=ca
மற்றும் ∝, ૪ என்பது x²+cx+ab=0 இன் மூலங்கள் என்க 
∝+૪=-c, ∝૪=ab
இனி, ∝²+b∝+ca =0 மற்றும் 
∝²+c∝+ab=0
⇒(b-c) ∝+a(c-b)=0⇒∝=a
மேலும்,∝β=ca மற்றும் ∝૪=ab
∴ β=c மற்றும் ૪=c
x²+bx+ca=0க்கு ∝=a ஒரு மூலம் ஆதலால் நமக்கு கிடைப்பது a²+ba+ca=0
⇒ a+b+c=0
ஆகையால், β+૪=b+c=-a மற்றும் β૪=bc எனவே β,૪ என்பது 
x²+ax+bc=0
என்ற சமன்பாட்டின் மூலங்கள் 

LHS = arg (1 + i) + arg (1 + i)
\(1+i=\sqrt { 2 } \left( \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } +\frac { i }{ \sqrt { 2 } } \right) \)
\(=\sqrt { 2 } \left( cos\frac { \pi }{ 4 } +isin\frac { \pi }{ 4 } \right) \)
\(\therefore arg(1+i)=\frac { \pi }{ 4 } \)
\(-1+i=\sqrt { 2 } \left( \frac { -1 }{ \sqrt { 2 } } +\frac { i }{ \sqrt { 2 } } \right) \)
\(=\sqrt { 2 } \left( cos3\frac { \pi }{ 4 } +isin3\frac { \pi }{ 4 } \right) \)
\(\therefore arg(-1+i)=3\frac { \pi }{ 4 } \)
∴ LHS = \(\frac { \pi }{ 4 } +\frac { 3\pi }{ 4 } =\frac { 4\pi }{ 4 } =\pi \)
RHS = arg[(1 + i) (-1 + i)]
= arg [-1 -i + i + i²]
= (-1 -i + i -1) = arg (-2)
= arg (2) - (1) = 2 arg (-1)
= 2 (cos ㅠ + i sin ㅠ) = ㅠ
∴ LHS = RHS

\({ sin }^{ -1 }\left( \frac { sinx+cosx }{ \sqrt { 2 } } \right) \)
\(\left[ \because \frac { -\pi }{ 4 } <x<\frac { \pi }{ 4 } \Rightarrow 0<x+\frac { \pi }{ 4 } <\frac { \pi }{ 2 } \right] \)
\(={ sin }^{ -1 }\left( \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } sinx+\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } cosx \right) \)
\(={ sin }^{ -1 }\left( sinxcos\frac { \pi }{ 4 } +cosxsin\frac { \pi }{ 4 } \right) \)
\(={ sin }^{ -1 }\left( sin\left( x+\frac { \pi }{ 4 } \right) \right) =x+\frac { \pi }{ 4 } \)

கொடுக்கப்பட்ட f(x)=ax²+bx+c
f(1)=0
⇒ a(1)2+b(1)+c=0
⇒ a+b+c=0    ...(1)
f(2)=-2
⇒ a(2²)+b(2)+c=-2
⇒ 4a+2b+c=-2 ...(2)
f(3)=-6
⇒a(3²)+b(3+c=-6
⇒ 9a+3b+c=-6     ...(3)
\(\Delta =\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \\ 9 & 3 & 1 \end{matrix} \right| =1\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix}-1\begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 9 & 1 \end{vmatrix}+1\begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 9 & 3 \end{vmatrix}\)
=1(2-3)-1(4-9)+1(12-18)
=-1+5-6=-2≠0
\({ \Delta }_{ 1 }=\left| \begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ -2 & 2 & 1 \\ -6 & 3 & 1 \end{matrix} \right| =0-1\left| \begin{matrix} -2 & 1 \\ -6 & 1 \end{matrix} \right| +1\begin{vmatrix} -2 & 2 \\ -6 & 3 \end{vmatrix}\)
=-1(-2+6)+1(-6+12)=-1(4)+1(6)=2
\({ \Delta }_{ 2 }=\left| \begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 4 & -2 & 1 \\ 9 & -6 & 1 \end{matrix} \right| =1\left| \begin{matrix} -2 & 1 \\ -6 & 1 \end{matrix} \right| +0+1\left| \begin{matrix} 4 & -2 \\ 9 & -6 \end{matrix} \right| \)
-1(-2+6)+1(-24+18)=4-6=-2
\({ \Delta }_{ 3 }=\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ 4 & 2 & -2 \\ 9 & 3 & -6 \end{matrix} \right| =1\begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 3 & -6 \end{vmatrix}-1\begin{vmatrix} 4 & -2 \\ 9 & -6 \end{vmatrix}\)
=1(-12+6)-1(-24+18)=-6+6=0
∴ கிராமரின் விதியை பயன்படுத்தி, 
\(a=\frac { { \Delta }_{ 1 } }{ \Delta } =\frac { 2 }{ -2 } =-1\)
\(b=\frac { { \Delta }_{ 2 } }{ \Delta } =\frac { -2 }{ -2 } =1\)
\(c=\frac { { \Delta }_{ 3 } }{ \Delta } =\frac { 0 }{ -2 } =0\)
\(\therefore f(x)=(-1){ x }^{ 2 }+1x+0\)
\(\Rightarrow f(x)={ x }^{ 2 }+x\)