ஃபிஷர் விலை குறியீட்டு எண் (Fisher’s price index number)
\({ P }_{ 01 }^{ F }=\left( \sqrt { \frac { \sum { { p }_{ 1 }{ q }_{ 10 } } \times \sum { { p }_{ 1 }{ q }_{ 1 } } }{ \sum { { p }_{ 0 }{ q }_{ 0 } } \times \sum { { p }_{ 0 }{ q }_{ 1 } } } } \right) \times 100=\left( \sqrt { \frac { 537\times 742 }{ 442\times 613 } } \right) \times 100=121.2684\)
காலமாற்றுச் சோதனை : p₀₁×p₁₀=1
\({ P }_{ 01 }\times { P }_{ 10 }=\sqrt { \left( \frac { \sum { { p }_{ 1 }{ q }_{ 0 } } \times \sum { { p }_{ 1 }{ q }_{ 1 } } \times \sum { { p }_{ 0 }{ q }_{ 1 } } \times \sum { { p }_{ 0 }{ q }_{ 0 } } }{ \sum { { p }_{ 0 }{ q }_{ 0 } } \times \sum { { p }_{ 0 }{ q }_{ 1 } } \times \sum { { p }_{ 1 }{ q }_{ 1 } } \times \sum { { p }_{ 1 }{ q }_{ 0 } } } \right) } \)
\({ P }_{ 01 }\times { P }_{ 10 }=\sqrt { \left( \frac { 537\times 742\times 613\times 442 }{ 442\times 613\times 742\times 537 } \right) } \)
P₀₁×P₁₀=1
காரணி மாற்றுச் சோதனை
\({ P }_{ 01 }\times { Q }_{ 01 }=\frac { \sum { { p }_{ 1 }{ q }_{ 1 } } }{ \sum { { p }_{ 0 }{ q }_{ 0 } } } \)
\({ P }_{ 01 }\times { P }_{ 01 }=\sqrt { \left( \frac { \sum { { p }_{ 1 }{ q }_{ 0 } } \times \sum { { p }_{ 1 }{ q }_{ 1 } } \times \sum { { p }_{ 1 }{ q }_{ 0 } } \times \sum { { p }_{ 1 }{ q }_{ 1 } } }{ \sum { { p }_{ 0 }{ q }_{ 0 } } \times \sum { { p }_{ 0 }{ q }_{ 1 } } \times \sum { { p }_{ 0 }{ q }_{ 0 } } \times \sum { { p }_{ 0 }{ q }_{ 1 } } } \right) } \)
\({ P }_{ 01 }\times { P }_{ 01 }=\sqrt { \left( \frac { 565\times 742\times 613\times 742 }{ 442\times 613\times 442\times 565 } \right) } \)
\({ P }_{ 01 }\times { P }_{ 01 }=\sqrt { \left( \frac { 742\times 742 }{ 442\times 442 } \right) } =\frac { 742 }{ 442 } \Rightarrow { P }_{ 01 }\times { P }_{ 01 }=\frac { \sum { { p }_{ 1 }{ q }_{ 1 } } }{ \sum { { p }_{ 0 }{ q }_{ 0 } } } \)
எனவே , ஃபிஷர் விலைக் குறியீட்டு எண்ணானது காலமாற்றுச் சோதனை, காரணி மாற்றுச் சோதனை ஆகியவற்றை நிறைவு செய்கிறது.

கூறின் அளவு n = 400 கடைகள்
கூறு சராசரி \(\bar { x } \) = 153.7 சோதனைகள்
கூறு திட்ட விலக்கம் SD s = 17.2 சோப்புகள்
முழுமைத் தொகுதியின் திட்டவிலக்கம் m = 146.3 சோப்புகள்
முழுமைத் தொகுதியின் திட்டவிலக்கம் கொடுக்கப்படாததால் கூறு திட்ட விலக்கம் s =σ என கொள்வோம்.
இன்மை கருதுகோள் : விளம்பர பிரச்சாரம் வெற்றியாக இல்லை. H₀ : μ = 146.3 (விளம்பரத்திற்கு முன்னும் பின்னும் வாராந்திர சோப்பு விற்பனையில் சிறப்பான வித்தியாசம் இல்லை)
மாற்று கருதுகோள் H₀ : μ> 146.3 (வலதுமுனை சோதனை) விளம்பர பிரச்சாரம் வெற்றிகரமானதாக உள்ளது)
மிகைகாண் நிலை ∝ = 0.05
கூறுபண்பளவை சோதனைக்கு ஏற்பக் கணக்கிடல்
\(Z=\frac { \bar { x } -\mu }{ \frac { \sigma }{ \sqrt { n } } } \sim N(0,1)\)
\(Z=\frac { 153.7-146.3 }{ \frac { 17.2 }{ \sqrt { 400 } } } \)
\(=\frac { 7.4 }{ 0.86 } =8.605\)
\(\therefore\) Z=8.605
கணக்கிடப்பட்ட மதிப்பு Z = 8.605 மற்றும் எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பு அல்லது அட்டவணை மதிப்பு Z_∝ = 1.645 ஆகியவற்றிலிருந்து 8.605 > 1.645 என பெறுகிறோம்.
கண்டறியப்பட்ட மதிப்பானது அட்டவணை மதிப்பை விட அதிகமாக உள்ளதால் Z>Z_∝ , 5% மிகைகாண் நிலையில் இன்மை கருதுகோள் H₀ மறுக்கப்படுகிறது. எனவே விளம்பர பிரச்சாரம் சோப்பு விற்பனையை அதிகரித்துள்ளது என கருதலாம்.

முன்நோக்கு இடைச்செருகலின் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த உள்ளதால் f(x)-ன் கடைசி நான்கு மதிப்புகளை கருத்தில் கொள்க.[ x = 3 -லிருந்து எடுத்துக்கொள்க].
முன்நோக்கு இடைச்செருகல் சூத்திரம்
y_(x=x0+nh)\(={ y }_{ 0 }+\frac { n }{ 1! } \triangle y_{ 0 }+\frac { n(n-1) }{ 2! } { \triangle }^{ 2 }{ y }_{ 0 }+\frac { n(n-1)(n-2) }{ 3! } { \triangle }^{ 0 }y_{ 0 }+....\)
x₀+nh=3.2, x₀=3, h=1
∴ n=\(\frac{1}{5}\)
வேறுபாட்டு அட்டவணை

y_(x=3.2) =\(16+\frac { 1 }{ 5 } (4)+\frac { \frac { 1 }{ 5 } \left( \frac { -4 }{ 5 } \right) }{ 2 } (0)+\frac { \frac { 1 }{ 5 } \left( \frac { -4 }{ 5 } \right) \left( \frac { -9 }{ 5 } \right) }{ 6 } \times 10\)
=16+0.8+0+0.48
=17.28

\(\int _{ a }^{ b } xdx\)=1 எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
\(\left[ x \right] _{ a }^{ b }\)=1
b-a=1  .....(1)
மேலும், \(\int _{ a }^{ b } xdx\)=1 எனவும் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
\(\left[ \frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } \right] _{ a }^{ b }\)=1
b²-a²=2
(b+a)(b-a)=2
b+a=2      ......(2)  [∵ b-a=1]
(1)+(2) ⇒ 2b=3
∴ b=\(\frac { 3 }{ 2 } \)
இப்போது, \(\frac { 3 }{ 2 } \)-a =1 [∵ (1) லிருந்து]
∴ a=\(\frac { 1 }{ 2 } \)

சமன்பாடுகள் முறையே,
2x+3y=7
3x+5y=9
இங்கு Δ=\(\left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 3 & 5 \end{matrix} \right| \)=1≠0
ஆதலால் கிரேமர் விதியை பயன்படுத்தலாம்.
இப்பொழுது, Δ_x=\(\left| \begin{matrix} 7 & 3 \\ 9 & 5 \end{matrix} \right| \)=8, Δ_y=\(\left| \begin{matrix} 2 & 7 \\ 3 & 9 \end{matrix} \right| \)=-3
∴ கிரேமரின் விதிப்படி, x=\(\frac { \triangle x }{ \triangle } =\frac { 8 }{ 1 } \)=8, y=\(\frac { \triangle y }{ \triangle } =\frac { -3 }{ 1 } \)=-3
∴ தீர்வு x=8, y=-3

\(\int { \frac { \cos2x }{ { \sin }^{ 2 }{ xcos }^{ 2 }x } dx } =\int { \left( { cosec }^{ 2 }x-{ \sec }^{ 2 }x \right) dx } \)
= −cot x − tan x + c
எளியச் சார்புகளாக  பிரித்தெழுத
\(\frac { \cos2x }{ { \sin }^{ 2 }{ x\cos }^{ 2 }x } =\frac { { \cos }^{ 2 }x{ -\sin }^{ 2 }x }{ { \sin }^{ 2 }x \cos^{ 2 }x } \)
\(=\frac { 1 }{ { { \sin }^{ 2 }x } } -\frac { 1 }{ { \cos }^{ 2 }x }\)
=cosec²x-sec²x

f(x) என்பது ஒரு அடர்த்தி சார்பு எனில்
\(\int _{ -\infty }^{ \infty }{ f(x) } dx=1\) என்பது நமக்குத் தெரியும் 
\(\int _{ 0 }^{ \infty }{ { ke }^{ -2x } } dx=1\)
\(k\int _{ 0 }^{ \infty }{ { { e }^{ -2x }dx=1 } } \)
\(k\left[ \cfrac { { e }^{ -2x } }{ -2 } \right] _{ 0 }^{ \infty }=1\)
\(\Rightarrow k=2\)
\(\\ E(X)=\int _{ -\infty }^{ \infty }{ xf(x)dx } \)
= \(\int _{ 0 }^{ \infty }{ xk{ e }^{ -2x }dx } \)
= \(2\int _{ 0 }^{ \infty }{ { xe }^{ -2x }dx } \)
= \(\\ 2\left\{ \left[ \cfrac { xe^{ -2x } }{ -2 } \right] _{ 0 }^{ \infty }-\int _{ 0 }^{ \infty }{ \cfrac { { e }^{ -2x } }{ -2 } dx } \right\} \left( \therefore \int { udv=uv-\int { vdu } } \right) \)
= \(\int _{ 0 }^{ \infty }{ { e }^{ -2x }dx } \)
= \(\cfrac { 1 }{ 2 } \)

நிரைகளின் எண்ணிக்கையை விட நிரல்களின் எண்ணிக்கை குறைவாக உள்ளதால், கொடுக்கப்பட்ட கணக்கானது சமச்சீரற்ற ஒதுக்கீடு கணக்காகும். இதனை சமச்சீராக மாற்ற எல்லா மதிப்புகளும் பூஜ்ஜியமுள்ள ஒப்புக்கான நிரலை உருவாக்கவும். மாற்றியமைக்கப்பட்ட ஒதுக்கீடு கணக்கானது

இங்கு 3 வேலையாட்களுக்கு 3 வேலைகளை ஒதுக்கவேண்டும்.
படி 1: ஒவ்வொரு நிரையிலும் பூச்சியம் இருப்பதால் படி 1 தேவையில்லை.
படி 2 : ஒவ்வொரு நிரலில் உள்ள மீச்சிறு மதிப்பை அந்த நிரலில் உள்ள அனைத்து மதிப்புகளிலிருந்தும் கழிக்க வேண்டும்.

படி 3 ஒதுக்கீடு (Assignment) :

ஒவ்வொரு நிரை மற்றும் நிரலில் சரியாக ஒரே ஒரு ஒதுக்கீடு உள்ளது. அனைத்து ஒதுக்கீடுகளும் செய்யப்பட்டுள்ளன. மூன்று நபர்களுக்கும் வேலைகள் ஒதுக்கப்பட்டுள்ளன. S என்ற வேலைக்கு எந்த நபரும் ஒதுக்கப்படவில்லை.

உகந்த ஒதுக்கீடு செலவு(சிறும செலவு) = ரூ 35

மாறிகளை பிரிக்க, நாம் பெறுவது
\(\frac { \sec^{ 2 }x }{ \tan x } dx+\frac { \sec^{ 2 }y }{ \tan y } dy\)
தொகையிட நாம் பெறுவது
\(\\ \int { \frac { \sec^{ 2 }x }{ \tan x } } +\int { \frac { \sec^{ 2 }y }{ \tan y } } dy\)
log tanx+log tany=log c
log(tanx tany)=log c
tanx tany=c

கொடுக்கப்பட்ட MR =35+7x-3x²
R =\(\int { (MR) } dx+k\)
=\(\int { (35+7x-3x^{ 2 } } )dx+k\)
R =35x+\(\frac { 7 }{ 2 } \)x²-x³+k
x=0 எனும்பொழுது R=0 ∴ k=0
R=35x+\(\frac { 7 }{ 2 } \)x²-x³
தேவையானச் சார்பு: p=\(\frac { R }{ x } \)
p=35+\(\frac { 7 }{ 2 } \)x-x²