கூறு	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	மொத்தம்
சராசரி	383	508	505	582	557	337	514	614	707	753	5460
வீச்சு	95	128	100	91	68	65	148	28	37	80	840

\(\overset { = }{ X } =\frac { \sum { \bar { X } } }{ 10 } =\frac { 5460 }{ 10 } =546\quad \quad \bar { R } =\frac { \sum { R } }{ n } =\frac { 840 }{ 10 } =84\)
\(\bar { X } \) வரைபட கட்டுப்பாடு வரம்புகள்
\(UCL=\overset { = }{ X } +{ A }_{ 2 }\bar { R } =546+0.483(84)=586.57\)
\(CL=\overset { = }{ X } =546\)
\(LCL=\overset { = }{ X } -{ A }_{ 2 }\bar { R } =546-0.483(84)=505.43\)
வீச்சு கட்டுப்பாடு வரம்புகள்
\(UCL={ D }_{ 4 }\bar { R } =2.004(84)=168.336\)
\(CL=\bar { R } =84\)
\(LCL={ D }_{ 3 }\bar { R } =0(84)=0\)

\(E\left( X \right) =\underset { x }{ \Sigma } x{ P }_{ X }\left( x \right) \)
= (0 × 0.2) + (1 × 0.1) + (2 × 0.4) + (3 × 0.3)
= 1.8
\(E\left( X^{ 2 } \right) =\underset { x }{ \Sigma } x^{ 2 }{ P }_{ X }\left( x \right) \)
=(0² × 0.2) + (1² × 0.1) + (2² × 0.4) + (3² × 0.3)
= 4.4
E(X + 2X²) = 3E(X) + 2E(X²)
= (3 × 1.8) + (2 × 4.4)
= 14.2

நிரல்களின் எண்ணிக்கையும், நிரைகளின் எண்ணிக்கையும் சமமாக உள்ளது. எனவே கொடுக்கப்பட்ட கணக்கானது சமச்சீரான ஒதுக்கீடு கணக்காகும்.

படி 1:
ஒவ்வொரு நிரையிலும் உள்ள மீச்சிறு மதிப்பை அந்த நிரையில் உள்ள எல்லா மதிப்பிலும் கழிக்க வேண்டும்.


படி 2:
ஒவ்வொரு நிரலிலும் உள்ள மீச்சிறு மதிப்பை அந்த நிரலில் உள்ள எல்லா மதிப்பிலும் கழிக்க வேண்டும்.

நேர்க்கோடுகளின் எண்ணிக்கை < நிரைகளின் எண்ணிக்கை, நேர்க்கோடுகள் வெட்டாத மதிப்புகளின் மீச்சிறு மதிப்பு 1. எனவே, அவற்றுடன் 1ஐ கழிக்க மற்றும் இரு கோடுகள் வெட்டும் மதிப்புடன் எனவே, 1ஐ கூட்டுக.

அனைத்து ஒதுக்கீடுகளும் செய்யப்பட்டு உள்ளன.
உகந்த ஒதுக்கீடு மற்றும் மொத்த நேரம்

கூறு அளவு n = 50 ஊழியர்கள்
மொத்த ஊதியம்  Σx=2250
கூறு சராசரி   
முழுமைத் தொகுதி சராசரி μ=52
முழுமைத் தொகுதி மாறுபாட்டளவை σ²=25
முழுமைத் தொகுதி திட்ட விலக்கம் SD =σ=25
இன்மை கருதுகோள் H₀:μ=52
மாற்று கருதுகோள் H₁:μ≠52 (இரு முனை)
மிகைகாண் நிலை  α =0.01
கூறுபண்பளவை சோதனை \(Z=\frac { \bar { x } -\mu }{ \frac { \sigma }{ \sqrt { n } } } \sim N(0,1)\)
\(Z=\frac { 51-52 }{ \frac { 5 }{ \sqrt { 50 } } } =\frac { -1 }{ 0.7071 } =-1.4142\)
மாற்று கருதுகோள் இருமுனை சோதனையாகும், எனவே |Z|= 1.4142 எனப் பெறுகிறோம்.
தீர்மான மதிப்பு 1% மிகைகாண் நிலையில் \({ Z }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }\)=2.58
முடிவு: கணக்கிடப்பட்ட மதிப்பானது அட்டவணை மதிப்பைவிட குறைவாக உள்ளது Z>\({ Z }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }\), 1% மிகைகாண் நிலையில் இன்மை கருதுகோள் H₀ ஏற்றுக் கொள்ளப்படுகிறது.
எனவே கூறு சராசரிக்கும் தொகுதி சராசரி μ= 52, திட்ட விலக்கம் σ = 5 -க்கும் குறிப்பிடத்தக்க வித்தியாசம் இல்லை என்பதால் m = 49 என்பது நிராகரிக்கப்படுகிறது.

கொடுக்கப்பட்ட போக்குவரத்து அட்டவணை 

அதாவது, மொத்த இருப்புகள் = மொத்த தேவைகள் = 17. எனவே கொடுக்கப்பட்ட கணக்கானது சமநிலை போக்குவரத்து கணக்காகும்.
முதல் ஒதுக்கீடு :

இரண்டாம் ஒதுக்கீடு :

மூன்றாம் ஒதுக்கீடு : 

நான்காம் ஒதுக்கீடு :

இறுதி ஒதுக்கீடு :

அனைத்து ஒதுக்கீடுகளும் ஒரே அட்டவணையில் கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளது 

∴ போக்குவரத்து விவரம் :
O₁ → D₁, O₁ → D₂, O₂ → D₄, O₃ → D₃  O₃ → D₁ , O₃ → D₄
மொத்த போக்குவரத்து செலவு
= 1(2) + 5(3) + 1(1) + 6(5) + 3(15) + 1(9)
= 2 + 15 + 1 + 30 + 45 + 9 = Rs. 102

கூறெடுப்பு சார்ந்த பிழைகள் (Sampling Errors) :
கூறுகளை வாய்ப்பு முறையில் தெரிவு செய்வதிலும், அவற்றின் விவரங்களை சேகரிப்பதிலும் ஏற்படும் பிழைகள் கூறெடுப்பு சார்ந்த பிழைகள் எனப்படும். இப்பிழைகள் கூறினைத் தேர்ந்தெடுக்கும் முறையினை உள்ளடக்கியதாகும். இப்பிழை தற்செயலாகவும், சார்பற்றதாகவும், பாரபட்சம் இல்லாமலும் ஏற்படலாம். கூறெடுப்பு சார்ந்த பிழைகள் ஏற்படுவதற்கு முக்கிய காரணங்கள் பின்வருமாறு
(a) குறைபாடுள்ள உத்தியின் மூலம் சரியான கூறுக்கு பதில், தகுதியற்ற கூறு தேர்வு செய்யப்படும் போது.
(b) ஆய்வாளர் கூறெடுத்தலின் போது உகந்த உறுப்பு கிடைக்காதபோது அதற்கு பதிலாக தமக்கு தேவையான உறுப்பினைத் தெரிவு செய்யும்போது.
(c) நில அளவீடுகளின்போது எல்லைக்கோட்டினைக் கூறில் தேர்ந்தெடுப்பதா அல்லது தவிர்ப்பதா என்பது ஒவ்வொரு ஆய்வாளரைப் பொறுத்ததாகும். இவ்வாறு கூறெடுப்பது, தவறான வரையறை கொண்ட மாதிரி அலகுகள் (Faulty demarcation of sampling) எனப்படுகிறது.

p என்பது சரியான பதிலைக் கணிப்பதாகும் p =\(\frac { 1 }{ 2 } \) ⇒ q =\(\frac { 1 }{ 2 } \)
பத்து வினாக்களில் சரியான பதிலைக் கணிப்பதற்கான நிகழ்தகவு
P(X = x) = p(x) =\({ n }_{ C_{ x } }\)p^xq^n-x =10Cx\(\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) ^{ x }\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) ^{ 10-x }\)
சரியான 6 பதில்களை கணிப்பதற்கான நிகழ்தகவு
P(x ≥ 6) = P(6)+P(7)+P(8)+P(9)+P(10)
=\(\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) ^{ 10 }\)[10C₆ + 10C₇ + 10C₈ + 10C₉ + 10C₁₀]
=\(\frac { 1 }{ 1024 } \)[210+120+45+10+1]
=\(\frac { 193 }{ 512 } \).

நிறை = x என்க. மாணவர்களின் எண்ணிக்கை = y என்க. கூட்டு நிகழ்வெண் பரவலில் மாற்றம் செய்த பிறகு கிடைக்கும் வேறுபாட்டு அட்டவணை.

x	y	Δy	Δ2y	Δ3y	Δ4y
40-க்குக் குறைவான	250
		120
60	370		-20
		100		-10
80	470		-30		20
		70		10
100	540		-20
		50
120	590

70 க்கு கீழ் நிறை கொண்ட மாணவர்களின் எண்ணிக்கையை காண நாம் முன்நோக்கு இடைவெளி சூத்திரத்தை பயன்படுத்துவோம்.
y_(x=x0+nh)=\({ y }_{ 0 }+\frac { n }{ 1! } \triangle y_{ 0 }+\frac { n(n-1) }{ 2! } { \triangle }^{ 2 }{ y }_{ 0 }+\frac { n(n-1)(n-2) }{ 3! } { \triangle }^{ 0 }y_{ 0 }+....\) 
x= 70 இடத்து y-ஐ காண வேண்டும்  
∴  x₀+nh=70, x₀=40, h=20
40+N(20)=70 ⇒ N=1.5
∴ Y_(x=70)=250+1.5(120)+\(\frac { (1.5)(0.5) }{ 2! } (-20)+\frac { (1.5)(0.5)(-0.5) }{ 3! } (-10)+\frac { (1.5)(0.5)(-0.5)(-1.5) }{ 4! } (20)\)
=250+180-7.5-0.625+0.46875
=423.59
=424
60-க்கும் 70-க்கும் இடைப்பட்ட நிறை கொண்ட மாணவர்களின் எண்ணிக்கை
=y(70)-y(60)=424-370=54

f(x) -ல் ஐந்து மதிப்புகள் கொடுக்கப்பட்டிருந்தால், f(x) ஒரு நான்காம்படி பல்லுறுப்புக்கோவை என எடுத்துக் கொள்வோம். எனவே ஐந்தாம்நிலை வேறுபாடு பூச்சியமாகும்.
Δ⁵y_k=0 (ie) (E-1)⁵y_k=0
i.e., (E⁵-5E⁴+10E³-10E²+5E-1)yk=0
E⁵y_k-5E⁴y_k+10E³y_k-10E²y_k+5Ey_k-y_k=0   ....(1)
k = 0 என (1)-ல்  பிரதியிட
E⁵y₀-5E⁴y₀-10E²y₀+5Ey₀-y₀=0
y₅-5y₄+10y₃-10y₂+5y₁-y₀=0
y₅-5(350)+10y₃-10(260)+5(220)-200=0
y₅+10y₃=3450      .....(2)
k = 1 என (1)-ல்  பிரதியிட
E⁵y₁-5E⁴y₁-10E³y₁+5Ey³y₁-y₁=0
y₆-5y₅+10y₄-10y₃-y₁=0
430+5y₅+10(350)-10y₃+5(260)-220=0
5y₅+10y₃=5010     (3)
(3)-(2) ⇒ 4y₅=1560
y₅=390
(2)-ன் படி 390+10y₃=3450
10y₃=3450-390
y₃=306

\(\frac { { d }^{ 2 }x }{ dt^{ 2 } } -3\frac { dx }{ dt } +2x\)=0
(D²-3D+2)x=0 இங்கு D=\(\frac { d }{ dt } \) மற்றும் D²=\(\frac { { d }^{ 2 } }{ dt^{ 2 } } \)
துணைச் சமன்பாடு: m²-3m+2=0
(m-1)(m-2)=0
m=1,2
நிரப்புச் சார்பு : C.F=Ae^t+Be^2t
பொதுத் தீர்வு: x=Ae^t+Be^2t          ....(1)
t= 0 மற்றும் x = 0 எனில்,
(i) ⇒ 0=A+B              .....(2)
(1) -ல் t-ஐ பொறுத்து வகைக் காண,
\(\frac { dx }{ dt } \)=Ae^t+2Be^2t
t=0 மற்றும் \(\frac { dx }{ dt } \)=1 எனில்,
A+2B=1        (3)
A+B=0 மற்றும் A+2B=1-ஐ தீர்க்க, நாம் பெறுவது A = –1, B = 1 ஆகும்.
∴ (1) ⇒ x=-e^t+e^2t
=e^2t-e^t
வகை II : f (x) e^ax = அதாவது, \(\phi \)(D)y=e^ax
P.I=\(\frac { 1 }{ \phi (D) } e^{ ax }\)
D = a எனும்பொழுது \(\phi \)(D)≠0 எனில், D- க்கு பதிலாக a யை பிரதியிடவும்.
D = a எனும்பொழுது \(\phi \)(D) = 0 எனில்
P.I=x\(\frac { 1 }{ \phi '(D) } e^{ ax }\)
D = a எனும்பொழுது \(\phi \)'(D) ≠0 எனில் Dக்கு பதிலாக a-ஐப் பிரதியிடவும்.
D = a எனும்பொழுது \(\phi \)'(D)=0 எனில்
P.I=x²\(\frac { 1 }{ \phi "(D) } e^{ ax }\\ \\ \) இவ்வாறாக தொடரலாம்.

சமநிலையில்,தேவைச் சார்பு = அளிப்புச் சார்பு 
\(\mathrm{p}_{\mathrm{d}}  =\mathrm{p}_{\mathrm{s}} \)
\(\frac{8}{x+1}-2 =\frac{x+3}{2} \)
\(\frac{8}{x+1}-\frac{x+3}{2}  =2 \)
\(\frac{16-\left(x^2+3 x+x+3\right)}{2(x+1)}  =2 \)
\(16-x^2-4 x-3  =4 x+4 \)
\(x^2+8 x-9 =0 \)
(x+9)(x-1) =0
(x என்பது குறை எண்ணாக இருக்க முடியாது)
x ன் ஒரே மதிப்பு =1
\(p_{\mathrm{d}}=\frac{8}{2}-2=4-2=2\)
நுகர்வோர் உபரி
\(\mathrm{CS}=\int_0^{x_0} f(x) d x-x_0 p_0\)
\(=\int_0^1\left[\frac{8}{x+1}-2\right] d x-2 \)
\(=8[\log (x+1)]_0^1-[2 x]_0^1-2 \)
\(=8[\log 2-\log 1]-2(1-0)-2 \)
=(8 log 2-4)  அலகுகள்
உற்பத்தியாளர் உபரி
\(\text { PS }  =x_0 p_0-\int_0^{x_0} g(x) \mathrm{dx} \)
\(=2-\frac{1}{2} \int_0^1(x+3) \mathrm{d} x \)
\(=2-\frac{1}{2}\left[\frac{x^2}{2}+3 x\right]_0^1 \)
\(=2-\frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}+3\right]=2-\frac{7}{4}=\frac{1}{4}\) 
C.S=-(8log 2-4) அலகுகள், P.S=\(\frac{1}{4}\) அலகுகள்

\(\int _{ 1 }^{ 4 }{ f(x) } dx=\int _{ 1 }^{ 3 }{ f(x) } dx+\int _{ 3 }^{ 4 }{ f(x) } dx\)
=\(\int _{ 1 }^{ 3 }{ (7x+3) } dx+\int _{ 3 }^{ 4 }{ 8x } dx\)
=\(\left[ \frac { 7x^{ 2 } }{ 2 } +3x \right] _{ 1 }^{ 3 }+\left[ \frac { 8x^{ 2 } }{ 2 } \right] _{ 3 }^{ 4 }\)
=\(\frac { 63 }{ 2 } +9-\frac { 13 }{ 2 } \)+64-36
=62

\(\int { \frac { 1 }{ x\left( { x }^{ 2 }+1 \right) } } dx\)
\(=\log { \left| x \right| } -\frac { 1 }{ 2 } \log { \left| { x }^{ 2 }+1 \right| } +c\quad \)
\(\left[ \because t={ x }^{ 2 }+1\Rightarrow dt=2x\quad dx\ \therefore \int { \frac { 2x\ dx }{ { x }^{ 2 }+1 } } =\int { \frac { dt }{ t } =\log { \left| t \right| =\log { \left| { x }^{ 2 }+1 \right| } } } \right] \)
\(\frac { 1 }{ x\left( { x }^{ 2 }+1 \right) } =\frac { A }{ x } +\frac { Bx+C }{ { x }^{ 2 }+1 } \)
\(\Rightarrow 1=A\left( { x }^{ 2 }+1 \right) +\left( Bx+C \right) (x)\)
\(x=0\Rightarrow 1=A\)
(1) ல் x² ன் கெழுக்களைச் சமப்படுத்த 
0 = A + B ⇒ B = -1
(1) ல் x ன் கெழுக்களைச் சமப்படுத்த 
0 = C ⇒ C = 0
\(=\int { \left( \frac { A }{ x } +\frac { Bx+C }{ { x }^{ 2 }+1 } \right) } dx\)
\(=\int { \left( \frac { 1 }{ x } +\frac { -x+0 }{ { x }^{ 2 }+1 } \right) } dx\)
\(=\int { \frac { 1 }{ x } } dx-\int { \frac { x }{ { x }^{ 2 }+1 } } dx\)
\(\int \frac {dx }{x (x^2+1}=\int \frac {dt }{x} -\frac { 1 }{ 2 } \int { \frac { 2x }{ { x }^{ 2 }+1 } }dx \) 
​​​​​​​= log|x|-\(\frac{1}{2}\)log|x²+1|+c

x ,y ,z  என்பன X ,Y ,மற்றும் Z ஆகிய பொருட்களின் ஓர் அலகிற்கான விலையைக் குறிக்கட்டும் .
2x +3y-6z = 5000
3x-y+2z=2000
-x+3y+z =5500
கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பிற்கான அணிச் சமன்பாடு 
\(\left( \begin{matrix}2 & 3 & -6\\ 3&-1&2\\ -1& 3& 1\end{matrix} \right) \)\(\left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) \)=\(\left( \begin{matrix} 5000\\2000\\ 5500\end{matrix} \right) \)
               AX = B
விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணி 
(A,B)  = \(\left( \begin{matrix}2 & 3 & -6 &5000\\ 3&-1&2&2000\\ -1& 3& 1&5500\end{matrix} \right) \)
~ \(\left( \begin{matrix}2 & 3 & -6 &5000\\ 0&-11&22&-11,000\\ 0& 9& -4&16000\end{matrix} \right) \)R₂ ⟶ 2R₂ - 3R₁
                                                 R₃ ⟶ 2R₃ +R_1
~\(\left( \begin{matrix}2 & 3 & -6 &5000\\ 0&-1&2&-1,000\\ 0& 9& -4&16000\end{matrix} \right) \) \({ R }_{ 2 }\rightarrow \frac { { R }_{ 2 } }{ 11 } \)
~\(\left( \begin{matrix}2 & 3 & -6 &5000\\ 0&-1&2&-1,000\\ 0& 0& 14&7000\end{matrix} \right) \) R₃ ⟶R₃ +9R₂
ρ(A,B ) = ρ(A) = 3 = மாறிகளின் எண்ணிக்கை 
கடைசி சமான அணியின்  அணிச் சமன்பாடானது 
\(\left( \begin{matrix}2 & 3 & -6\\ 0&-1&2\\ 0&0& 14\end{matrix} \right) \)\(\left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) \)=\(\left( \begin{matrix} 5000\\-1000\\ 7000\end{matrix} \right) \)
2x+3y-6z = 5000   ....(1)
 -y +2z = -1000 .....(2)
14z = 7000 .....(3)
(3)\(\Rightarrow \) z =\(\frac { 7000 }{ 14 } \) = 500
-y + 1000 = -1000
-y = -2000
y = 2000
2x+3y-6z = 5000
2x + 6000-3000 = 5000
2x = 5000-3000
2x = 2000
x= 1000
தீர்வு :
X -ன் ஓர் அலகிற்கான  விலை ரூ .1000/-
Y -ன் ஓர் அலகிற்கான  விலை ரூ .2000/-
Z -ன் ஓர் அலகிற்கான  விலை ரூ .500/-

பொருள்கள்	விலை		நிறைகள்	P=\(\frac {P _ 1}{P_0}\times 100\)	PV
	2012	2015
அரிசி	250	280	10	112	1120
கோதுமை	70	85	5	121.43	607.15
சோளம்	150	170	6	113.33	679.98
எண்ணெய்	25	35	4	140	560
பருப்பு	85	90	3	105.88	317.64
மொத்தம்			28		3284.77

வாழ்க்கை குறியீட்டு எண் \(=\frac{\sum P V}{\sum V}=\frac{3284.77}{28}=117.31\)

நீலபந்து பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு : \(P=\frac { 1 }{ 4 } =0.25\)
மொத்த சோதனைகள் ; N =30
சோதனைகளின் மதிப்பு = சோதனைகளின் எண்ணிக்கை X நிகழ்தகவு
= N x p 
= 30 x 0.25 = 7.50
எனவே, நீலப்பந்தைப் பெறுவதற்கான எதிர்பார்க்கத்தக்க மதிப்பு தோராயமாக 8 ஆகும்.

அதாவது, மொத்த இருப்புகள் = மொத்த தேவைகள் . எனவே கொடுக்கப்பட்ட கணக்கானது சமநிலை போக்குவரத்து கணக்காகும்.
கொடுக்கப்பட்ட போக்குவரத்து அட்டவணை

மீச்சிறு செலவு 1 ஆனது சிற்றறைகள் (O₁, D₁), (O₃, D₄) –இல் உள்ளது.
நாம் சிற்றறை (O1, D1) தேர்ந்தெடுப்போம்.
(6,4) இன் சிறும மதிப்பு = 4 அலகுகளை  இங்கு ஒதுக்கீடு செய்க.

குறைக்கப்பட்ட போக்குவரத்து அட்டவணை

மீச்சிறு செலவு 1 ஆனது சிற்றறை (O₃, D₄)-ல் உள்ளது.
(10,6) இன் சிறும மதிப்பு = 6 அலகுகளை  இங்கு ஒதுக்கீடு செய்க.

குறைக்கப்பட்ட போக்குவரத்து அட்டவணை

மீச்சிறு செலவு 2 ஆனது சிற்றறைகள் (O₁, D₂), (O₂, D₃), (O₃, D₂), (O₃, D₃)-ல் உள்ளது.
நாம் சிற்றறை (O1, D2) தேர்ந்தெடுப்போம். (2,6) இன் சிறும மதிப்பு = 2 அலகுகளை  இங்கு ஒதுக்கீடு செய்க.
குறைக்கப்பட்ட போக்குவரத்து அட்டவணை

மீச்சிறு செலவு 2 ஆனது சிற்றறைகள் (O₂, D₃), (O₃, D₂), (O₃, D₃) -ல் உள்ளது.
நாம் சிற்றறை (O2, D3) தேர்ந்தெடுப்போம். (8,8) இன் சிறும மதிப்பு = 8 அலகுகளை  இங்கு ஒதுக்கீடு செய்க.

குறைக்கப்பட்ட போக்குவரத்து அட்டவணை

குறைக்கப்பட்ட போக்குவரத்து அட்டவணை மற்றும் இறுதி ஒதுக்கீடு

அனைத்து ஒதுக்கீடுகளும் ஒரே அட்டவணையில் கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளன (O₃, D₂)

போக்குவரத்து விவரம்
O₁⟶ D₁, O₁⟶ D₂, O₂⟶ D₃, O₃⟶ D₂, O₃⟶ D₄
மொத்த போக்குவரத்து செலவு
= (4×1)+ (2×2)+(8×2)+(4×2)+(6×1)
= 4+4+16+8+6
= ரூ.38.

ஈருறுப்புப் பரவலின் நிகழ்தகவு அடர்த்தி சார்பு p(x)=\({ n }_{ C_{ x } }\)p^x /q^n-x
ஈருறுப்புப் பரவலின் சராசரி np மற்றும் மாறுபாடு npq என்பதாகும்.
np = 2      .......(1)
npq =\(\frac { 4 }{ 3 } \)     .....(2)
\(\frac { (2) }{ (1) } \Rightarrow \frac { \frac { 4 }{ 3 } }{ 2 } =\frac { 4 }{ 6 } =\frac { 2 }{ 3 } \)
q=\(\frac { 2 }{ 3 } \) மற்றும் p = 1 - \(\frac { 2 }{ 3 } =\frac { 1 }{ 3 } \)
P(X=5) =6C₅\(\left( \frac { 1 }{ 3 } \right) ^{ 5 }\left( \frac { 2 }{ 3 } \right) ^{ 6-5 }\) =0.01646

கொடுக்கப்பட்ட 2 இலக்க எண்களைக் கொண்ட சமவாய்ப்பு அட்டவணையிலிருந்து 1550 முதல் 8000 வரையிலான 4 இலக்கம் கொண்ட 10 மாதிரிகளை தேர்ந்தெடுக்க முதலில் இரண்டு இலக்க எண்களை மற்ற இரண்டிலக்க எண்களும் இணைந்து 4-இலக்க எண்களாக மாற்ற வேண்டும். அதாவது, அட்டவணையின் 5-வது மற்றும் 6-வது நிரல்களை நிழலிட்டவாறு இணைத்து முதல் ஐந்து மாதிரியையும் 8வது மற்றும் 9வது நிரல்களை இணைத்து அடுத்த ஐந்து மாதிரிகளையும் கொண்டு தேவையான 10 மாதிரிகளைத் தேர்ந்தெடுக்கலாம். கீழ்கண்ட அட்டவணையில் இரு நிரல்களை இணைத்து தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட சமவாய்ப்பு மாறிகளைக் காணலாம்.

எனவே, தேவையான 10 மாதிரிகளை கீழ்க்கண்டவாறு எழுதலாம்.

5901	4310	5032	5194	1899
7259	7435	4362	1758	5308

f(4)-f(3)=Δf(3) என்பது நாம் அறிந்த ஒன்று.
f(4)-f(3)=Δf(3)
=Δ[f(2)+Δf(2)]  [\(\because \) f(3)-f(2)=Δf(2)]
=Δf(2)+Δ²f(2)
=Δf(2)+Δ²[f(1)+Δf(1)]
⇒ f(4)=f(3)+Δf(2)+Δ²f(1)+Δ³f(1)

\(\frac { dy }{ dx } -\frac { y }{ x } = x \)
இது \(\frac{d y}{d x}+P y=\mathrm{Q}\) என்ற அமைப்பில் உள்ளது
இங்கு, P=-1 / x, Q =x
\(\int P d x=-\int \frac{d x}{x}=-\log x \)
தொ. கா\(=e^{\int P d x}=\mathrm{e}^{-\log x}=1 / x\)
தீர்வு :
\(y e^{\int P d x} =\int Q e^{\int P d x} d x+c \)
\(\frac{y}{x} =\int x \frac{1}{x} d x+c \)
\(\mathrm{y} / x =x+\mathrm{c}\)
\(\frac { y }{ x } \)=x+c

வட்டத்தின் சமன்பாடு, x²+y²=a²    .....(1)
y=0 என (1) -ல் பிரதியிட x²=a²
⇒ x=±a
கொடுக்கப்பட்ட வளைவரை ஆனது இரு அச்சுகளைப் பொறுத்து சமச்சீர் ஆகும். எனவே தேவைப்படும் பரப்பு = 4 [முதல் கால்பகுதியில் x = 0, x = a எனும் எல்லைக்குள் வரையறுக்கப்படும் அரங்கத்தின் பரப்பு]
=\(4\int _{ 0 }^{ a }{ y } dx\\ \)
=\(4\int _{ 0 }^{ a }{ \sqrt { a^{ 2 }-{ x }^{ 2 } } } dx=4\left[ \frac { x }{ 2 } \sqrt { a^{ 2 }-{ x }^{ 2 } } +\frac { { a }^{ 2 } }{ 2 } \sin^{ -1 }\frac { x }{ a } \right] _{ 0 }^{ a }\)
=\(\left[ 0+\frac { { a }^{ 2 } }{ 2 } \sin^{ -1 }\left( \frac { a }{ a } \right) \right] =4\left( \frac { { a }^{ 2 } }{ 2 } \sin^{ -1 }(1) \right) =4\frac { { a }^{ 2 } }{ 2 } \frac { \pi }{ 2 } \)
= πa²

\(\int \left( \frac { 1 }{ \sin ^{ 2 } x\cos ^{ 2 } x } \right) dx=\int \frac { \sin ^{ 2 } x+\cos ^{ 2 } x }{ \sin ^{ 2 } x\cos ^{ 2 } x } d\)
\(=\int \left( \frac { \sin ^{ 2 } x }{ \sin ^{ 2 } x\cos ^{ 2 } x } +\frac { \cos ^{ 2 } x }{ \sin ^{ 2 } x\cos ^{ 2 } x } \right) dx\)
\(=\int \left( \sec ^{ 2 } x+{ cosec }^{ 2 }x \right) dx\)
\(=\tan x-\cot x+c\)

சமன்பாடு 
2x + 3y = 7,
3x + 5y = 9
இங்கு \(\triangle =\left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 3 & 5 \end{matrix} \right| =1\)\(\neq 0\)
\(\therefore \) கிரேமரின் விதியைப் பயன்படுத்தலாம் 
\({ \triangle }_{ x }=\left| \begin{matrix} 7 & 3 \\ 9 & 5 \end{matrix} \right| =8\)  \({ \triangle }_{ y }=\left| \begin{matrix} 2 & 7 \\ 3 & 9 \end{matrix} \right| =-3\)
\(x=\frac { { \triangle }_{ X } }{ \triangle } =\frac { 8 }{ 1 } =8\)   \(y=\frac { { \triangle }_{ y } }{ \triangle } =\frac { -3 }{ 1 } =-3\)
\(\therefore \) தீர்வு  x = 8, y = −3

அடிப்படை காலத்துடன் ஒப்பிடுகையில் தற்போதைய காலத்திற்கு நுகர்வோர்கள் மற்றும் சேவைகளின் விலையில் ஏற்படும் மாற்றங்களின் விளைவுகளை ஆய்வு செய்ய வாழ்க்கைத் தர குறியீட்டு எண் கட்டமைக்கப்பட்டுள்ளது. ஏதேனும் இரண்டு காலத்திற்கு இடையே வாழ்க்கைத் தர குறியீட்டு எண்ணின் மாற்றம் என்பது இரு காலங்களில் அதே வாழ்க்கைத் தரத்தை பராமரிக்க அவசியமான வருமான மாற்றமே ஆகும். எனவே வாழ்க்கைத் தர குறியீட்டு எண், அதே வாழ்க்கைத் தரத்தை பராமரிக்கக் கூடிய சராசரி வருமான அதிகரிப்பை அளவிடக் கூடியதாகும். மேலும், மக்களின் நுகர்வு பழக்கம் பரவலாக வேறுபடுகிறது. (பணக்காரர், ஏழை, நடுத்தர வர்க்கம்) மேலும் இடத்திற்கு இடம் வேறுபடுகிறது. விலையில் ஏற்படும் மாற்றங்களானது பல்வேறு வகைப்பட்ட மக்களை பாதிக்கிறது, இதன் விளைவாக பொது விலைக் குறியீட்டு எண்கள், வெவ்வேறு வர்க்க மக்களின் வாழ்க்கை செலவில் மாற்றங்களின் விளைவுகளை எதிரொலிக்க தவறுகிறது. எனவே, வாழ்க்கை தர குறியீட்டு எண் ஆனது பல்வேறு மக்கள் நுகரும் பொருள்களின் பொதுவான விலையில் ஏற்படும் மாற்றங்களை அளவிடப் பயன்படுகிறது. நுகர்வோர் விலைக் குறியீட்டெண்ணானது வாழ்க்கைக் குறியீட்டு செலவு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது.

(i) மீச்சிறுவின் மீப்பெரு மதிப்பு 

(2000, 3500, 4000) ன் மீப்பெரு மதிப்பு = 4000 எனவே பயிர் C மிக சிறந்த பயிர் ஆகும்.
(ii) மீப்பெருவின் மீச்சிறு

(8000, 5000, 5000) ன் மீச்சிறு மதிப்பு = 5000, பயிர் B மற்றும் பயிர் C சிறந்த பயிர் ஆகும்.

\(\mathrm{E}(\mathrm{X}) =\sum_x x P_x(x) \)
=0+0.1+0.8+0.9=1.8
∴∴ எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பு 1.8

ஒரு சமவாய்ப்பு சோதனை இரண்டு விளைவுகளை ஏற்படுத்தும். அவ்விளைவானது இரு வகைப்படும் அவை வெற்றி (S) மற்றும் தோல்வி (F) ஆகும். அதனுடைய நிகழ்தகவுகள் முறையே p மற்றும் q எனக் குறிக்கப்படும். அது பெர்னோலி சோதனை (அல்லது முயற்சி) என்று அழைக்கப்படும்

நிறைகள் :
1. தனிப்பட்ட நபரின் விருப்பு, வெறுப்பு தவிர்க்கப்படுகிறது
2. இது சிக்கனமான முறையாகும் ஏனெனில், பொருள் விரையம், காலவிரையம் மற்றும் அதிக உழைப்பு விரையமாவதை தவிர்க்கிறது.

x₀=3, x₁ = 7, x₂ = 11, x₃ = 19, x = 15
y₀ = 42, y₁ = 43, y₂ = 47, y₃ = 60
\(y= \frac{\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\left(x-x_3\right)}{\left(x_0-x_1\right)\left(x_0-x_2\right)\left(x_0-x_3\right)} y_0 +\frac{\left(x-x_0\right)\left(x-x_2\right)\left(x-x_3\right)}{\left(x_1-x_0\right)\left(x_1-x_2\right)\left(x_1-x_3\right)} y_1 +\frac{\left(x-x_0\right)\left(x-x_1\right)\left(x-x_3\right)}{\left(x_2-x_0\right)\left(x_2-x_1\right)\left(x_2-x_3\right)} y_2 +\frac{\left(x-x_0\right)\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)}{\left(x_3-x_0\right)\left(x_3-x_1\right)\left(x_3-x_2\right)} y_3 \)
\(= \frac{(8)(4)(-4)}{(-4)(-8)(-16)}(42)+\frac{(12)(4)(-4)}{(4)(-4)(-12)}(43) +\frac{(12)(8)(-4)}{(8)(4)(-8)}(47)+\frac{(12)(8)(4)}{(16)(12)(8)}(60)\)
\(= \frac{42}{4}-43+\frac{47(3)}{2}+15 = 10.5-43+70.5+15=53 \)

\( \frac{d y}{d x}=\mathrm{y} \sin 2 x \)
\( \int \frac{d y}{y}=\int \sin 2 x d x \)
\( \log \mathrm{y}=-\frac{\cos 2 x}{2}+c \)

\(\mathrm{MR} =6=3 x^2-x^3 \)
\(\mathrm{R} =\int\left(6-3 x^2-x^3\right) d x \)
\(\mathrm{R} =6 x-\frac{3 x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+k \)
x  =0,R=0 எனில்  k=0
\(\mathrm{R}  =6 x-x^3-\frac{x^4}{4} \)
\(\mathrm{p}  =\frac{R}{x}=6-x^2-\frac{x^3}{4} \)

\(I=\int { \cfrac { dx }{ 2-3x-{ 2x }^{ 2 } } } \)= \(-\cfrac { 1 }{ 2 } \int { \cfrac { dx }{ { x }^{ 2 }+\frac { 3 }{ 2 } x-1 } } \)
\(=-\cfrac { 1 }{ 2 } \int { \cfrac { dx }{ \left( x+\frac { 3 }{ 4 } \right) ^{ 2 }-1-\frac { 9 }{ 16 } } } \)
= \(-\cfrac { 1 }{ 2 } \int { \cfrac { dx }{ \left( x+\frac { 3 }{ 4 } \right) ^{ 2 }-\frac { 25 }{ 16 } } } \)
= \(\cfrac { 1 }{ 2 } \int { \cfrac { dx }{ \left( \frac { 5 }{ 4 } \right) ^{ 2 }-\left( x+\frac { 3 }{ 4 } \right) ^{ 2 } } } \)
= \(\left[ \because \int { \cfrac { dx }{ { a }^{ 2 }-{ x }^{ 2 } } =\cfrac { 1 }{ 2a } log\left( \cfrac { a+x }{ a-x } \right) } +c \right] \)
= \(\cfrac { 1 }{ 2 } \left[ \cfrac { 1 }{ 2\times \frac { 5 }{ 4 } } log\left[ \cfrac { \frac { 5 }{ 4 } +x+\frac { 3 }{ 4 } }{ \frac { 5 }{ 4 } -x\frac { 3 }{ 4 } } - \right] \right] +c\)

= \(\cfrac { 1 }{ 5 } log\left[ \cfrac { 2+x }{ 1-2x } \right] +c\)

x,y அலகுகள் தொழிலாளர் அலகு, மூலதனம் அலகு ஆகியவற்றின் விலையைக் குறிக்கட்டும்.
3x + 2y = 62
4x +y = 56
\(\Delta =\left| \begin{matrix} 3 & 2 \\ 4 & 1 \end{matrix} \right| =3(1)-4(2)=3-8=-5\not =0\)
∴ கிரேமரின் விதியைப் பயன்படுத்தலாம் 
\(\Delta x=\left| \begin{matrix} 62 & 2 \\ 56 & 1 \end{matrix} \right| =62(1)-56(2)=62-112=-50\)

\({ \Delta }_{ y }=\left| \begin{matrix} 3 & 62 \\ 4 & 56 \end{matrix} \right| =3(56)-4(62)\)
= 168 - 248 = -80

\(\therefore\) தொழிலாளருக்கான ஒரு அலகு செலவு ரூ.10 மற்றும் முதலீட்டிற்கான ஒரு அலகு செலவு ரூ.16

சராசரி = \(\lambda=n p=15 \times \frac{40}{100}=6\)

\(x^2+y^2 =\mathrm{a}^2 \)
\(2 x+2 \mathrm{y} \frac{d y}{d x} =0 \Rightarrow x \mathrm{~d} x+\mathrm{ydy}=0 \)

y = mx + c 
\(\frac{d y}{d x}=\mathrm{m} \)  மற்றும் \(\frac{d^2 y}{d x^2}=0\)

பரப்பு \( =\int_c^d x d y=\int_1^2 y d y \)
\(=\left[\frac{y^2}{2}\right]_1^2=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2} \) ச.அலகுகள்

\(\text { PS } =\mathrm{p}_0 x_0-\int_0^{x_0} g(x) d x \)
\( =24-\int_0^2\left(2 x^2+4\right) d x \)
\(=24-\left[\frac{2 x^3}{3}+4 x\right]_0^2=24-\left[\frac{16}{3}+8\right] \)
\(=16-\frac{16}{3}=\frac{32}{3} \) அலகுகள்

 \(\Gamma \)8 = 7! = 5040

\(\int _{ 0 }^{ 1 }{ (2x+1) } dx ={ { \left[ \frac { { 2x }^{ 2 } }{2 }+ x \right] }^{ 1 }_{ 0 } }\) 
=1+1=2

\(\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \\ 3 & 2 & k \end{matrix} \right| \) ≠0 
1(k + 2)-1(2k +3)+ 1(4-3) ≠ 0
k+ 2-2k-3+ 1 ≠ 0
-k ≠ 0 ⇒ k ≠ 0