y = \(2\left( \frac { dy }{ dx } \right) ^{ 2 }+4x\frac { 1 }{ \left( \frac { dx }{ dy } \right) } \)
\(y\frac { dy }{ dx } =2\left( \frac { dy }{ dx } \right) ^{ 3 }+4x\)
∴ வரிசை=2, படி=3

(i) மீச்சிறுவின் மீப்பெரு மதிப்பு 

(2000, 3500, 4000) ன் மீப்பெரு மதிப்பு = 4000 எனவே பயிர் C மிக சிறந்த பயிர் ஆகும்.
(ii) மீப்பெருவின் மீச்சிறு

(8000, 5000, 5000) ன் மீச்சிறு மதிப்பு = 5000, பயிர் B மற்றும் பயிர் C சிறந்த பயிர் ஆகும்.

(i) ஒரு கன செ.மீ இல் உள்ள நுண்ணுயிர்களின் எண்ணிக்கை.
(ii) தட்டச்சு செய்யப்பட்ட ஒரு பக்கத்தில் உள்ள தட்டச்சுப்பிழைகளின் எண்ணிக்கை.
(iii) ஒரு வினாடியில் ஏற்படும் மின்னலின் எண்ணிக்கை.

\(\mathrm{n} =1000, \bar{x}=120 \mathrm{lbs} \)
\(\hat{\sigma} =\mathrm{s}=30 \mathrm{lbs}, \varphi=119 \mathrm{lbs} \)
\(\mathrm{S} . \mathrm{E} =\frac{\hat{\sigma}}{\sqrt{n}}=\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{30}{\sqrt{1000}} =\frac{30}{31.623}=0.9487 \)

\(F\left( x \right) =\int _{ -\infty }^{ x }{ f\left( t \right) } dt\)
= \(\int _{ 100 }^{ x }{ \cfrac { 100 }{ { t }^{ 2 } } dt,x\ge 100 } \)
= \(\left[ \cfrac { 100 }{ -t } \right] ^{ x }_{ 100 },x\ge 100\)
\(F\left( x \right) =\left[ 1-\cfrac { 100 }{ x } \right] x\ge 100\)
 

நான்கு மதிப்புகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளதால் f(x) ஒரு மூன்றாம் படி பல்லுறுப்புக் கோவை என எடுத்துக் கொள்வோம்.
\(\Delta^4 y_0 =0 \)
\((\mathrm{E}-1)^4 \mathrm{y}_0 =0 \)
\(\left(\mathrm{E}^4-4 \mathrm{E}^3+6 \mathrm{E}^2-4 \mathrm{E}+1\right) \mathrm{y}_0 =0 \)
\(\mathrm{y}_4-4 \mathrm{y}_3+6 \mathrm{y}_2-4 \mathrm{y}_1+\mathrm{y}_0 =0 \)
\(\mathrm{y}_4-4(18)+6 \mathrm{y}_2-4(11)+7 =0 \)
\(\mathrm{y}_4-72+6 \mathrm{y}_2-44+7 =0 \)
\(\mathrm{y}_4+6 \mathrm{y}_2 =109 \) ...(1)
\((\mathrm{E}-1)^4 \mathrm{y}_1 =0 \)
\(\left(\mathrm{E}^4-4 \mathrm{E}^3+6 \mathrm{E}^2-4 \mathrm{E}+1\right) \mathrm{y}_1 =0 \)
\(\mathrm{y}_5-4 \mathrm{y}_4+6 \mathrm{y}_3-4 \mathrm{y}_2+\mathrm{y}_1 =0 \)
\(32-4 \mathrm{y}_4+6(18)-4 \mathrm{y}_2+11 =0 \)
\(32-4 \mathrm{y}_4+108-4 \mathrm{y}_2+11 =0 \)
\(4 \mathrm{y}_2+4 \mathrm{y}_4 =151 \) ...(2)
சமன்பாடு (1) மற்றும் (2) ஆகியவற்றைத் தீர்க்க 
y₂ = 14.25, y₄ = 23.5

\( \mathrm{p}=7+x, x=5 \)
\( \mathrm{p}=7+5=12\)
உற்பத்தியாளர் உபரி
\(\text { PS }  =x_0 p_0-\int_0^{x_0} g(x) \mathrm{d} x \)
\(=60-\int_0^5(7+x) \mathrm{d} x \)
\(=60-\left[7 x+\frac{x^2}{2}\right]_0^5=60-\left(35+\frac{25}{2}\right) \)
\(=25-\frac{25}{2}=\frac{25}{2} \)
P.S=\(\frac{25}{2}\) அலகுகள்

\(\int { \sqrt { { x }^{ 2 }+x+1 } } dx\)
\(=\int { \sqrt { { x }^{ 2 }+x+\frac { 1 }{ 4 } -\frac { 1 }{ 4 } +1 } } dx\)
\(=\int { \sqrt { { \left( x+\frac { 1 }{ 2 } \right) }^{ 2 }+1-\frac { 1 }{ 4 } } } dx\)
\(\int { \sqrt { { \left( x+\frac { 1 }{ 2 } \right) }^{ 2 }+{ \left( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \right) }^{ 2 } } } dx\)
\(\left[ \because \int { \sqrt { { x }^{ 2 }+{ a }^{ 2 } } dx=\frac { x }{ 2 } \sqrt { { x }^{ 2 }+{ a }^{ 2 } } } +\frac { { a }^{ 2 } }{ 2 } \log { \left| x+\sqrt { { x }^{ 2 }+{ a }^{ 2 } } \right| +c } \right] \)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \left( x+\frac { 1 }{ 2 } \right) \sqrt { { x }^{ 2 }+x+1 } +\frac { 3 }{ 4(2) } \log { \left| \left( x+\frac { 1 }{ 2 } \right) +\sqrt { { x }^{ 2 }+x+1 } \right| } +c\)
\(=\frac { x+\frac { 1 }{ 2 } }{ 2 } \sqrt { { x }^{ 2 }+x+1 } +\frac { 3 }{ 8 } \log { \left| \left( x+\frac { 1 }{ 2 } \right) +\sqrt { { x }^{ 2 }+x+1 } \right| } +c\)

\(A=\left( \begin{matrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{matrix} \right) \) என்க 
A -ன்  வரிசை 2 x 2, எனவே ρ(A) \(\le \) 2
\(\sim \left( \begin{matrix} 5 & 6 \\ 0 & -2 \end{matrix} \right) \)   R₂ ⟶ 5R₂ -7R₁ 
அணியின் தரம் ρ(A)=2

பொருள்கள்	2002		2012		p0q0	p0q1	p1q0	p1q1
	விலை	அளவு	விலை	அளவு
A	10	20	16	10	200	100	320	160
B	12	34	18	42	408	504	612	756
C	15	30	20	26	450	390	600	520
மொத்தம்					1058	994	1532	1436

லாஸ்பியரின் விலைக் குறியீட்டு எண்
\({ P }_{ 01 }^{ L }=\frac { \sum { { p }_{ 1 }{ q }_{ 0 } } }{ \sum { { p }_{ 0 }{ q }_{ 0 } } } \times 100=\frac { 1532 }{ 1058 } \times 100=144.8\)
பாசியின் விலைக் குறியீட்டு எண்
\({ P }_{ 01 }^{ P }=\frac { \sum { { p }_{ 1 }{ q }_{ 1 } } }{ \sum { { p }_{ 0 }{ q }_{ 1 } } } \times 100=\frac { 1436 }{ 994 } \times 100=144.47\)

சராசரி μ = 800 மற்றும் திட்டவிலக்கம் σ = 100, நாள் ஒன்றுக்கு கொள்முதல் செய்யப்படும் பாலின் அளவு 800 லிட்டருக்கும், 1000 லிட்டருக்கும் இடையில் இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு
P(800 < X < 1000) 
\(=P\left(\frac{800-800}{100}<z<\frac{1000-800}{100}\right)\)
= P(0 < Z < 2) = 0.4772
எனவே பாலின் அளவு 800 லிட்டருக்கும், 1000 லிட்டருக்கும் இடையில் கொள்முதல் செய்யும் சங்கங்களின் சதவீதம் 47.72 ஆகும்.

(i) மீச்சிறுவின் மீப்பெரு

(5, 7, 9, 8)இன் மீப்பெரு மதிப்பு = 9, எனவே A₃ சிறந்த செயல் ஆகும்.
(ii) மீப்பெருவின் மீச்சிறு

(14, 11, 11, 13) - இன் மீச்சிறு மதிப்பு = 11
எனவே A₂ மற்றும் A₃  சிறந்த செயல் ஆகும்.

இது நிகழ்தகவு நிறை சார்பு என்பதால் 
\(\sum_{i=1}^{\infty} p\left(x_i\right) =1 \)
\(p(2)+p(4)+p(6)+p(8) =1 \)
\(2 k+4 k+6 k+k(8-2) =1 \)
\(2 k+4 k+6 k+6 k =1 \)
\(18 k =1 \)
\(k =\frac{1}{18}\) எனவே நிறுவப்பட்டது.

முதலாவதாக முழுமை தொகுதிலுள்ள 8585 குழந்தைகளுக்கும் கொடுக்கப்பட்ட அலைவெண் அட்டவணையைப் பயன்படுத்தி வரிசை எண் குறிப்பிட வேண்டும். உயரம் 105 செ.மீ இல் 2 குழந்தைகள் உள்ளதால், இவ்விரு குழந்தைகளுக்கு 1, 2 என எண்கள் குறிப்பிடவேண்டும். 107 செ.மீ. உயரமுள்ள அடுத்த நான்கு குழந்தைகளுக்கு 3, 4, 5 மற்றும் 6 ஆகிய வரிசை எண்களை குறிக்க வேண்டும். இதேபோல் மற்ற உயரங்கள் கொண்ட குழந்தைகளுக்கும் தொடர் வரிசை எண்களைக் கொண்டு குறியிட வேண்டும். கடைசியாக 145 செ .மீ.உயரமுள்ள குழுவில் இரண்டு குழந்தைகளுக்கு 8584 மற்றும் 8585 ஆகிய எண்களை குறியீடாக வழங்கலாம்.

உயரம் (செ.மீ.)	குழந்தைகளின் எண்ணிக்கை	குவிவு நிகழ்வெண்(f)
105	2	2
107	4	6
109	14	20
111	41	61
113	83	144
115	169	313
117	394	707
119	669	1376
121	990	2366
123	1223	3589
125	1329	4918
127	1230	6148
129	1063	7211
131	646	7857
133	392	8249
135	202	8451
137	79	8530
139	32	8562
141	16	8578
143	5	8583
145	2	8585
Total	8585

முழுமைத் தொகுதியின் அளவு நான்கிலக்க எண் ஆதலால் நமக்கு தேவையான 10மாதிரிகளை   அட்டவணையிலிருந்து பெறலாம். அட்டவணையின் முதல் நிரலிருந்து தொடங்கி முழுமை தொகுதியின் அளவான 8585-க்கு மிகாமல் எண்களை தேர்வு செய்து கீழ்கண்டவாறு நிழலிடப்படுகிறது.

டிப்பெட்டின் சமவாய்ப்பு எண் அட்டவணை
2952	6641	3992	9792	7969	5911	3170	5624
4167	9524	1545	1396	7203	5356	1300	2693
2670	7483	3408	2762	3563	1089	6913	7991
0560	5246	1112	6107	6008	8125	4233	8776
2754	9143	1405	9025	7002	6111	8816	6446

2952 என்ற எண் குறியிட்டுள்ள குழந்தையின் உயரத்தை காண வேண்டுமாயின் குவிவு நிகழ்வெண் நிரலில் 2952- க்கு அடுத்த அதிககுவிவு நிகழ்வெண் 3589-க்கு உரிய உயரமான 123 செ.மீட்டரை தேர்வு செய்யவும். இதேபோல் மற்ற எண்களுக்கு உரிய குழந்தையின் உயரத்தை கண்டு தேவையான 10 குழந்தைகள் மற்றும் அவர்களின் உயரங்கள் மாதிரியை கீழ்கண்ட அட்டவணையை உள்ளவாறு காணலாம்.

குழந்தைகளின் குறியீட்டு எண்	2952	4167	2670	0560	2754
குழந்தைகள் உயரம் (செ.மீ)	123	125	123	117	123
குழந்தைகளின் குறியீட்டு எண்	6641	7483	5246	3996	1545
குழந்தைகள் உயரம் (செ.மீ)	129	131	127	125	121

\(\mathrm{f}(x)  =x^2+3 x\) மற்றும் h =1
\(\Delta \mathrm{f}(x) =\mathrm{f}(x+\mathrm{h})-\mathrm{f}(x)=\mathrm{f}(x+1)-\mathrm{f}(x) \)
\(=(x+1)^2+3(x+1)-\left(x^2+3 x\right) \)
\(=x^2+2 x+1+3 x+3-x^2-3 x \)
=2 x+4
எனவே நிறுவப்பட்டது 

y =\(\frac { a }{ x } \)+b   .....(1)
x -ஐ பொறுத்து வகைப்படுத்தக் கிடைப்பது
\(\frac { dy }{ dx } =\frac { -a }{ { x }^{ 2 } } \)
x²\(\frac { dy }{ dx } \)=-a
மீண்டும் x -ஐ பொறுத்து வகைப்படுத்தக் கிடைப்பது
\({ x }^{ 2 }\frac { { d }^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } +2x\frac { dy }{ dx } \)=0
⇒ \({ x }\frac { { d }^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } +2\frac { dy }{ dx } \)=0
இதுவே தேவையான வகைக்கெழுச் சமன்பாடாகும்.

செலவு சேமிப்பு S(t) =\(\int _{ 0 }^{ t }{ 20000t } dt\)
=10000t²
மொத்த செலவை ஈடுசெய்வதற்கான காலம்
10000t²=640000
t²=64
t=8
8 ஆண்டுகளில் இயந்திரத்தின் செலவை ஈடு செய்யலாம்.

\(\int \left( e^{ x }+1 \right) ^{ 2 }e^{ x }dx\)\(=\int \left( e^{ 2x }+2e^{ x }+1 \right) e^{ x^{ 2 } }dx\)
\(=\int \left( e^{ 3x }+2e^{ 2x }+e^{ x } \right) dx\)
\(=\frac { e^{ 3x } }{ 3 } +\frac { 2e^{ 2x } }{ 2 } +e^{ x }+c\)
\(=\frac { e^{ 3x } }{ 3 } +e^{ 2x }+e^{ x }+c\)
 

x என்பது ஒரு மணி நேர குதிரை சவாரிக்கான மணிநேர வாடகை மற்றும் 'y' என்பது ஒரு மணி நேர கிவாட் பைக் சவாரிக்கான மணி நேர வாடகை என்க,
3x + 4y = 780
2x+ 3y = 560
\(\Delta =\left| \begin{matrix} 3 & 4 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right| =3(3)-2(4)=9-8=1\neq 0\)
∴ கிரேமரின் விதியைப் பயன்படுத்தலாம் 
\(\Delta x=\left| \begin{matrix} 780 & 4 \\ 560 & 3 \end{matrix} \right| =780(30-4(560)\)
= 2340 - 2240 = 100
\(\Delta y=\left| \begin{matrix} 3 & 780 \\ 2 & 560 \end{matrix} \right| =39560)-2(780)\)
= \(1680 - 1560\) = 120
\(\therefore x=\cfrac { \Delta x }{ \Delta } =\cfrac { 100 }{ 1 } =100\)
\(y=\cfrac { \Delta y }{ \Delta } =\cfrac { 120 }{ 1 } =120\)
\(\therefore\)  குதிரை சவாரிக்கான மணிநேர வாடகை ரூ.100 மற்றும் கிவாட் பைக் சவாரிக்கான மணி நேர வாடகை ரூ.120

\(P(|X| \leq 2)  =P(-2 \leq X \leq 2) \)
\( =P(X=-2)+P(X=0) \)
\( =\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2} \)

\(\mathrm{n}=1600, X=99 \) 
\(\mu=100, \sigma=15\)
இன்மை கருதுகோள் \(\mathrm{H}_0: \mu=100\)
மாற்று கருதுகோள் \(\mathrm{H}_1: \mu \neq 100\)
கூறுபண்பளவை சோதனை:
\(Z  =\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \sim N(0,1) \)
\( =\frac{99-100}{\frac{15}{\sqrt{1600}}}=-2.67\)
|Z| =2.67>1.96
மிகைகாண் நிலை \(\alpha=0.05\)
முடிவு: கணக்கிடப்பட்ட மதிப்பானது அட்டவணை மதிப்பை விட அதிகமாக  உள்ளது. அதாவது, Z <  Z_α/2 5% மிகைகாண் நிலையில் இன்மை கருதுகோள் H₀ ஏற்றுக் கொள்ளப்படுகிறது.
எனவே கூறானது முழுமைத் தொகுதியிலிருந்து எடுக்கப்பட்டதல்ல

சராசரி μ மற்றும் மாறுபாட்டளவை σ² ஆகியவற்றைப் பண்பளவைகளாகக் கொண்ட x என்ற சமவாய்ப்பு மாறி இயல்நிலைப் பரவலைப் பெற்றிருக்கிறது எனில் அதன் நிகழ்தகவு அடர்த்திச் சார்பு f(x : μ, σ)
\(=\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} \exp \left\{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2\right\} \begin{gathered} -\infty<x<\infty, \\ -\infty<\mu<\infty, \\ \sigma>0 \end{gathered}\) என்று வரையறுக்கப்படுகிறது.

கூறின் அளவு n =100, கூறின் சராசரி \(\bar { x } \) = 390 பக்கங்கள் ,
முழுமைத்தொகுதி சராசரி μ = 400 பக்கங்கள்
முழுமைத்தொகுதி திட்ட விலக்கம் SD σ = 20 பக்கங்கள்
பெருங்கூறானதால் Z சோதனையை பயன்படுத்துகிறோம்.
இன்மை கருதுகோள்:
நிறுவனம் தயாரித்த பேனாவின் (எழுதும்) ஆயுளின் கூறு சராசரிக்கும், முழுமைத்தொகுதி சராசரிக்கும் குறிப்பாக வித்தியாசம் இல்லை. H₀:μ=400 என்க.
மாற்று கருதுகோள் : நிறுவனம் தயாரித்த பேனாவின் எழுதும் ஆயுளின் கூறு சராசரிக்கும் முழுமைத் தொகுதி சராசரிக்கும். குறிப்பிடத்தக்க வித்தியாசம் உள்ளது. H₁ : μ ≠ 400 (இருமுனை சோதனை)
மிகைகாண் நிலை ∝=1% =0.01
கூறுபண்பளவை சோதனைக்கேற்ப கணக்கிடல் 
\(Z=\frac { \bar { x } -\mu }{ \frac { \sigma }{ \sqrt { n } } } \sim N(0,1);Z=\frac { 390-400 }{ \frac { 20 }{ \sqrt { 100 } } } =\frac { -10 }{ 2 } =-5,\therefore |Z|=5\)
\({ Z }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }\)=2.58
கண்டறியப்பட்ட மதிப்பு |Z|=5 மற்றும் எதிர்பார்க்கும் மதிப்பு (அல்லது) அட்டவணை மதிப்பு \({ Z }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }\)=2.58, கணக்கிடப்பட்ட மதிப்பை அட்டவணை மதிப்போடு ஒப்பிடும்போது Z>\({ Z }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }\) அதாவது 5>2.58.
முடிவு: கணக்கிடப்பட்ட Z –இன் மதிப்பானது, அட்டவணை மதிப்பு \({ Z }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }\) விட அதிகமாக உள்ளதால், Z>\({ Z }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }\) முதல் 1%மிகைகாண் நிலையில், இன்மை கருதுகோள் H₀ நிராகரிக்கப்படுகிறது. எனவே μ≠400 என தீர்மானித்து நிறுவனத்தின் கூற்றை 1% நிலையில் நிராகரிக்கலாம்.

கொடுக்கப்பட்ட போக்குவரத்து அட்டவணை 

அதாவது, மொத்த அளிப்புகள் = மொத்த தேவைகள் கொடுக்கப்பட்ட கணக்கானது சமநிலை போக்குவரத்து கணக்காகும்.
முதல் ஒதுக்கீடு :

இரண்டாம் ஒதுக்கீடு :

மூன்றாம் ஒதுக்கீடு:

நான்காம் ஒதுக்கீடு :

இறுதி ஒதுக்கீடு :

போக்குவரத்து விவரம் :
O₁⟶ D₁, O₁⟶ D₃, O₂⟶ D₃, O₃⟶ D₂
மொத்த போக்குவரத்து செலவு
\( =(15 \times 9)+(10 \times 5)+(35 \times 4) +(15 \times 7)+(25 \times 6) \)
= 135 + 50 + 140 + 105 + 150 = Rs. 580

கொடுக்கப்பட்ட போக்குவரத்து அட்டவணை 

அதாவது, மொத்த அளிப்புகள் = மொத்த தேவைகள் கொடுக்கப்பட்ட கணக்கானது சமநிலை போக்குவரத்து கணக்காகும்.
முதல் ஒதுக்கீடு :

இரண்டாம் ஒதுக்கீடு:

மூன்றாம் ஒதுக்கீடு:

நான்காம் ஒதுக்கீடு:

ஐந்தாம் ஒதுக்கீடு:

இறுதி ஒதுக்கீடு :

போக்குவரத்து விவரம் :
O₁⟶ D₁, O₁⟶ D₂, O₂⟶ D₃, O₃⟶ D₂, O₃⟶ D₄
மொத்த போக்குவரத்து செலவு
\( = (30 \times 6)+(5 \times 5)+(28 \times 11)+ (7 \times 9)+(25 \times 7)+(25 \times 13) \)
= 180 + 25 + 308 + 63 + 175 + 325  
= Rs. 1076

எளிய சராசரியின் மூலம் பருவகால குறியீட்டை கணக்கிடுதல்
மாதங்கள் ஜன பிப் மார்ச் ஏப் மே ஜூன் ஜூலை ஆகஸ்ட் செப் அக் நவம் டிசம் ஆண்டு 2001 15 41 25 31 29 47 41 19 35 38 40 30 2002 20 21 27 19 17 25 29 31 35 39 30 44 2003 18 16 20 28 24 25 30 34 30 38 37 39 மாதாந்திர
 மொத்தம் 53 78 72 78 70 97 100 84 100 115 107 113 மாதாந்திர
சராசரி 17.67 26 24 26 23.33 32.33 33.33 28 33.33 38.33 35.67 37.67
மொத்த சராசரி = \(\frac { 355.66 }{ 12 } \) = 29.64
பருவகால குறியீடு (ஜனவரி) = \(\frac { 17.67 }{ 29.64 } \times 100\) = 59.62;
பருவகால குறியீடு (பிப்ரவரி) = \(\frac { 26 }{ 29.64 } \times 100\) = 87.72;
இதேபோல் மற்ற பருவகாலக் குறியீட்டு மதிப்புகள் பெற முடியும்.
மாதங்கள் ஜன பிப் மார்ச் ஏப் மே ஜூன் ஜூலை ஆகஸ்ட் செப் அக் நவம் டிசம் பருவகால
குறியீட்டு 59.62 87.72 80.97 87.72 78.71 109.08 112.45 94.47 112.45 129.32 120.34 127.09

x	1941	1951	1961	1971	1981	1991
y	20	24	29	36	46	51

 1946-ஆம் ஆண்டின் மக்கள்தொகையை கணக்கிடுவதற்கு (அதாவது x=1946 க்கு y -ன் மதிப்பை கணக்கட) நாம், நியூட்டனின் முன்நோக்கு இடைச்செருகல் சூத்திரத்தை பயன்படுத்துவோம்.
y_(x=x0+nh)=\({ y }_{ 0 }+\frac { n }{ 1! } \triangle y_{ 0 }+\frac { n(n-1) }{ 2! } { \triangle }^{ 2 }{ y }_{ 0 }+\frac { n(n-1)(n-2) }{ 3! } { \triangle }^{ 0 }y_{ 0 }+....\)
x=1946 ∴  x₀+nh=1946, x₀=1941, h=10
1941+n(10)=1946 ⇒ n=0.5

x	y	Δy	Δ2y	Δ3y	Δ4y	Δ5y
1941	20
		4
1951	24		1
		5		1
1961	29		2		0
		7		1		-9
1971	36		3		-9
		10		-8
1981	46		-5
		5
1991	51

 y_(x=1946)=\(20 +\frac { 0.5 }{ 1! } (4)+\frac { 0.5(0.5-1) }{ 2! } (1)+\frac { 0.5(0.5-1)(0.5-2) }{ 3! } (1)+\frac { 0.5(0.5-1)(0.5-2)(0.5-3) }{ 4! } (0)+\frac { 0.5(0.5-1)(0.5-2)(0.5-3)(0.5-4) }{ 5! } (-9)\)
=20+2-0.125+0.0625-0.24609
=21.69 இலட்சங்கள்

1905 ஆம் ஆண்டின் மக்கள்தொகை காணல் அதாவது, x=1905-க்கு y-ன் மதிப்பு காணல்.
y-ன் தேவையான மதிப்பு அட்டவணையில் x-ன் ஆரம்ப மதிப்புக்கு அருகில் உள்ளது. எனவே நாம் நியூட்டனின் முன்நோக்கு இடைச்செருகல் சூத்திரத்தை பயன்படுத்துவோம்.
y_(x=x0+nh)=\({ y }_{ 0 }+\frac { n }{ 1! } \triangle y_{ 0 }+\frac { n(n-1) }{ 2! } { \triangle }^{ 2 }{ y }_{ 0 }+\frac { n(n-1)(n-2) }{ 3! } { \triangle }^{ 0 }y_{ 0 }+....\)
x = 1905 இடத்து y-ஐ காண வேண்டும். ∴ x₀+nh=1905, x₀=1891, h=10
1891+n(10)=1905 ⇒ n=1.4

x	y	Δy	Δ2y	Δ3y	Δ4y
1891	98752
		33533
1901	132285		2258
		35791		-10435
1911	168076		-8177		41376
		27614
1921	195690			30941
			22764
		50360
1931	246050

y_(x=1905)= 98752+(1.4)(33533)+\(\frac { (1.4)(0.4) }{ 2 } (2258)+\frac { (1.4)(0.4)(-0.6) }{ 6 } (-10435)+\frac { (1.4)(0.6)(-0.6)(-1.6) }{ 24 } (41358)\)
= 98752 + 46946.2 + 632.24 + 584.36 + 926.4192
= 1,47,841.2192

y²dx+(xy+x²)dy=0
(xy+x²)dy=-y²dx
\(\frac { dy }{ dx } =\frac { -{ y }^{ 2 } }{ xy+{ x }^{ 2 } } \)            .....(1)
இது ஒரே படியுள்ள x, y- இல் அமைந்த சமபடித்தான வகைக்கெழு சமன்பாடாகும்.
y=vx மற்றும் \(\frac { dy }{ dx } =v+x\frac { dv }{ dx } \) என பிரதியிட,
∴ (1) ஆனது
\(v+x\frac { dv }{ dx } =\frac { -{ v }^{ 2 }{ x }^{ 2 } }{ xvx+{ x }^{ 2 } } \)
=\(\frac { -{ v }^{ 2 } }{ v+1 } \)
\(x\frac { dv }{ dx } =\frac { -v^{ 2 } }{ v+1 } -v\)
=\(\frac { -{ v }^{ 2 }-{ v }^{ 2 }-v }{ v+1 } \)
\(x\frac { dv }{ dx } =\frac { -(v+2v^{ 2 }) }{ 1+v } \)
மாறிகளை பிரிக்கக் கிடைப்பது,
\(\frac { 1+v }{ v(1+2v) } dv=\frac { -dx }{ x } \)
\(\frac { (1+2v)-v }{ v(1+2v)dv } dv=\frac { -dx }{ x } \)  (∵ 1+v=1+2v-v)
\(\frac { 1 }{ v } -\frac { 1 }{ 1+2v } dv=\frac { -dx }{ x } \)
இருபுறமும் தொகையிட, நாம் பெறுவது
\(\int { \left( \frac { 1 }{ v } -\frac { 1 }{ 1+2v } \right) dv } =-\int { \frac { dx }{ x } } \)
logv-\(\frac{1}{2}\)log(1+2v)=-logx+logc
\(log\left( \frac { v }{ \sqrt { 1+2v } } \right) =log\left( \frac { c }{ x } \right) \)
\(\frac { v }{ \sqrt { 1+2v } } =\frac { c }{ x } \)
v=\(\frac { y }{ x } \) என பிரதியிட,
\(\frac { \frac { y }{ x } }{ \sqrt { 1+\frac { 2y }{ x } } } =\frac { c }{ x } \)
\(\frac { y\sqrt { x } }{ \sqrt { x+2y } } =c\)
\(\frac { { y }^{ 2 }x }{ x+2y } = k \)
இங்கு k=c²

p=1000, r=0.1, N=5
மொத்த தொகை=\(\int _{ 0 }^{ 5 }{ 10000e^{ 0.1t } } dt\)
=\(\frac { 10000 }{ 0.1 } \left( { e }^{ 0.1t } \right) _{ 0 }^{ 5 }\)
=100000[e^0.1x5-e⁰]
=100000(e^0.5-1)
=100000[0.6487]
=ரூ.64,870

\(\int { \frac { { xe }^{ x } }{ (1+x)^{ 2 } } } \)dx
=\(\\ \int { { e }^{ x }\left[ \frac { 1 }{ 1+x } +\frac { -1 }{ (1+x)^{ 2 } } \right] } \)dx
=\(\int { e^{ x } } \)[f(x)+f'(x)]dx
= e^xf(x)+c
=\(\frac { e^{ x } }{ 1+x } \)+c

பகுதி பின்னமாக்கல் முறையில், \(\frac { x }{ (1+x)^{ 2 } } =\frac { A }{ 1+x } =\frac { B }{ (1+x)^{ 2 } } \) ⇒\(\frac { x }{ (1+x)^{ 2 } } =\frac { 1 }{ 1+x } =\frac { -1 }{ (1+x)^{ 2 } } \)

f(x)=\(\frac { 1 }{ 1+x } \). ∴ f'(x)=\(\frac { -1 }{ (1+x)^{ 2 } } \)

u = (log x2)  வகையிட \(du=(2 \log x )(\frac { 1 }{ x } dx)\)

dv = dx. தொகையிட v = x

\(\int { { \left( \log x \right) }^{ 2 } } dx= \int { udv } \)
= uv − \(\int { } \)vdu
= x (log x)² − 2\(\int { } \) logxdx...(*)
\(=x(\log x)^{ 2 }-2\int { udv } \)
\(=x(\log x)^{ 2 }-2[uv-\int { udv } ]\)
\(=x(logx)^{ 2 }-2[xlogx-\int { dx] } \)
\(=x(logx)^{ 2 }-2xlogx+x+c\)
\(=x[(log{ ) }^{ 2 }-log{ x }^{ 2 }+2]+c\)

(*)-ல் உள்ள \(\int { logx } \)dx -க்கு
u = (log x)  வகையிட \(du=\frac { 1 }{ x } dx\)	dv = dx. தொகையிட v = x

தரப்பட்ட சமன்பாட்டு தொகுப்புக்குரிய அணிச் சமன்பாடானது
\(\left( \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & a \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} 6 \\ 10 \\ b \end{matrix} \right) \)
    A                        X       =         B

விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணி [A,B]	அடிப்படை உருமாற்றங்கள்
\(\left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ a \end{matrix}\begin{matrix} 6 \\ 10 \\ b \end{matrix} \right) \)
~\(\left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ a-1 \end{matrix}\begin{matrix} 6 \\ 4 \\ b-6 \end{matrix} \right) \)	R2 ⟶ R2 - R1 R3 ⟶ R3 - R1
~\(\left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ a-3 \end{matrix}\begin{matrix} 6 \\ 4 \\ b-10 \end{matrix} \right) \)	R3 ⟶ R3 - R2

கடைசி சமான அணி ஏறுபடிவ வடிவில் உள்ளது.
நிலை (i) தீர்வு இல்லை:
ρ(A) ≠ ρ([A,B]) எனில் தொகுப்பிற்கு தீர்வு இல்லை. a-3=0 மற்றும் b-10≠0 எனும்போது மட்டுமே ρ(A) ≠ ρ([A,B]) ஆகும்.
∴ a=3, b≠10 எனும்போது தொகுப்பிற்கு தீர்வு இல்லை.
நிலை (ii) ஒரே ஒரு தீர்வு:
ρ(A) = ρ([A,B])=மதிப்பிட வேண்டிய மாறிகளின் எண்ணிக்கை, எனில் தொகுப்பிற்கு எண்ணிக்கையற்ற தீர்வுகள் உண்டு.
இங்கு a-3≠0, எனில் ρ(A) = ρ([A,B])=3
∴ a≠3 மற்றும் b\(\in \)R எனில் தொகுப்பிற்கு ஒரே ஒரு தீர்வு உண்டு.
நிலை (iii) எண்ணிக்கையற்ற தீர்வுகள்:
ρ(A) = ρ([A,B]) < மதிப்பிட வேண்டிய மாறிகளின் எண்ணிக்கை, எனில் தொகுப்பிற்கு எண்ணிக்கையற்ற தீர்வுகள் உண்டு.
இங்கு a-3=0, b-10=0 எனில் ρ(A) = ρ([A,B])=2<3
எனவே a=3 மற்றும் b =10 எனும் போது தொகுப்பிற்கு எண்ணிக்கையற்ற தீர்வுகள் உண்டு.

\(\mathrm{P}(\mathrm{Z} >2.18)+\mathrm{P}(\mathrm{Z}<-1.75) \)
\(=0.5-\mathrm{P}(0<\mathrm{Z}<2.18)+0.5-\mathrm{P}(0<\mathrm{Z}<1.75) \)
=0.5-0.4854+0.5-0.4599=0.0547

\( \mathrm{p}=\frac{2}{100}, \lambda=\mathrm{np}=50\left(\frac{2}{100}\right)=1 \)
\(P(X \leq 2) =\mathrm{P}(\mathrm{X}=0)+\mathrm{P}(\mathrm{X}=1)+\mathrm{P}(\mathrm{X}=2) \)
\(=\mathrm{e}^{-1}+\mathrm{e}^{-1}(1)+\frac{e^{-1}(1)}{2 !} \)
\( =e^{-1}\left[2+\frac{1}{2}\right]=2.5 \mathrm{e}^{-1}\)

சிறப்புத் தொகை \(=\frac{e^{\mathrm{a x}}}{(D-a)^2}\)
D=a எனில், (D-a)²=0 
D=a எனில், 2(D-a)=0
சிறப்புத் தொகை \(=\frac{x^2}{2} e^{a x}\)

\(\mathrm{MC} =100 \sqrt{x} \)
\(\mathrm{C}  =100 \int x^{1 / 2} d x=100\left[\frac{x^{3 / 2}}{3 / 2}\right]+k \)
\(\mathrm{C}  =\frac{200}{3} x^{\mathrm{M} / 2}+k\)
x =0 மற்றும் C=0 எனில்,k=0
\(\mathrm{C} =\frac{200}{3} x^{3 / 2}\)
சராசரி செலவுச் சார்பு
\(\mathrm{AC}=\frac{C}{x}=\frac{200}{3} x^{1 / 2}\)

\(\int _{ 0 }^{ 4 }{ \left( \sqrt { x } +\frac { 1 }{ \sqrt { x } } \right) } \)dx \(=\int _{ 0 }^{ 4 }{ \left( { x ^ {1/2}} +{ x^{ -1/2} } \right) } dx \)
\(= \left [ \frac {x^{3/2}}{3/2} + \frac{x^{1/2}}{1/2} \right]^4_0\)
\(=2 \left [ \frac {4^{3/2}}{3} + 4^{1/2}\right]\)
\(=2 \left [ \frac {8}{3} + 2\right] = \frac{28}{3}\)

\(\int _{ -\frac { \pi }{ 2 } }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ \cos x } dx=2\int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ \cos x } dx\)
( cos x ஒரு இரட்டைச் சார்பு)
\(= [\sin x]^{\pi/2}_ 0 = 2[1-0]= 2\)

\([ A,\ B ]=\left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 3 & 2 \\ 5 & 5 & 9& 4 \end{matrix} \right) \)
~ \(\left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & -3 & -3 & 0 \\ 0 & -5 & -6 & -1 \end{matrix} \right)R_2 \rightarrow R_2 - 2R_1\\ \quad \quad \quad \quad \quad R_3\rightarrow R_3 -5R_1 \)
~ \(\left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 1\\ 0 & -3 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & -3 & -3 \end{matrix} \right)R_3 \rightarrow 3R_3 - 5R_2\)
ρ(A, B ) = ρ(A) = 3
சமன்பாட்டுத் தொகுப்பிற்கு ஒரே ஒரு தீர்வு உண்டு