\(\text { LHS }=\mathrm{V}(\mathrm{aX}) =\mathrm{E}[\mathrm{aX}-\mathrm{E}(\mathrm{aX})]^2 \)
\(=\mathrm{E}[\mathrm{aX}-\mathrm{aE}(\mathrm{X})]^2 \)
\( =\mathrm{E}[\mathrm{a}(\mathrm{X}-\mathrm{E}(\mathrm{X}))]^2 \)
\( =\mathrm{a}^2 \mathrm{E}(\mathrm{X}-\mathrm{E}(\mathrm{X}))^2 \)
\(=\mathrm{a}^2 \operatorname{Var}(\mathrm{X})=\mathrm{RHS}\) எனவே நிறுவப்பட்டது 

இது நிகழ்தகவு நிறை சார்பு என்பதால் 
\(\sum_{i=1}^{\infty} p\left(x_i\right) =1 \)
\(\mathrm{p}(1)+\mathrm{p}(2)+\mathrm{p}(3)+\mathrm{p}(4) =1 \)
\(\mathrm{k}+2 \mathrm{k}+3 \mathrm{k}+4 \mathrm{k} =1 \)
\(10 \mathrm{k} =1 \)
\(\mathrm{k}=\frac{1}{10} =0.1 \) எனவே நிறுவப்பட்டது.

x²+y²=a²
\(2x+2y\frac { dy }{ dx } =0\)
\(x+y\frac { dy }{ dx } =0\)

\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \boldsymbol{x} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline \mathbf{u}_x & 560 & 556 & 520 & - & 385 \\ \hline \end{array}\)
நான்கு மதிப்புகள் மட்டும் கொடுக்கப்பட்டுள்ளதால் 
\( \Delta^4 \mathrm{u}_0=0 \)
\((\mathrm{E}-1)^4 \mathrm{u}_0=0 \)
\(\left(\mathrm{E}^4-4 \mathrm{E}^3+6 \mathrm{E}^2-4 \mathrm{E}+1\right) \mathrm{u}_0=0 \)
\( \mathrm{u}_4-4 \mathrm{u}_3+6 \mathrm{u}_2-4 \mathrm{u}_1+\mathrm{u}_0=0 \)
\( 385-4 \mathrm{u}_3+6(520)-4(556)+560=0 \)
\( 385-4 \mathrm{u}_3+3120-2224+560=0 \)
\( 4 \mathrm{u}_3=1841 \Rightarrow \mathrm{u}_3=460.25 \)

\(\frac { { d }^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } -6\frac { dy }{ dx } +8y\)=0
துணைச் சமன்பாடு 
m²-6 m+8  =0
(m-4)(m-2)  =0
m  =2,4
மூலங்கள் மெய் மற்றும் வெவ்வேறானவை
\(\therefore \)நிரப்புச் சார்பு: \(A e^{m_1 x}+B e^{m_2 x}\)
\(\therefore \)தீர்வு : y=Ae^2x+Be^4x

\( \mathrm{p}=\mathrm{e}^{-x}, \mathrm{p}=0.5=\frac{1}{2} \)
\( \frac{1}{2}=\mathrm{e}^{-x} \Rightarrow \mathrm{e}^x=2 \)
\( x=\log _\epsilon 2\)
நுகர்வோர் உபரி 
\(C S  =\int_0^{x_0} f(x) d x-x_0 p_0 \)
\(=\int_0^{\log _e 2} e^{-x} d x-\frac{1}{2} \log _e 2\)
\( =-\left[e^{-x}\right]_0^{\log _ \in 2}-\frac{1}{2} \log _e 2 \)
\( =-\left[e^{-\log _e 2}-e^0\right]-\frac{1}{2} \log _e 2 \)
\(=-\left(\frac{1}{2}-1\right)-\frac{1}{2} \log _e 2=\frac{1}{2}-\frac{1}{2} \log _e 2 \)
\(=\frac{1}{2}\left[1-\log _e 2\right] \)
C.S.=\(\frac{1}{2}\)[1-log_e2] அலகுகள்

இறுதிநிலை வருவாய்ச் சார்பு 
\(\mathrm{MR} =20-5 x+3 x^2 \)
\(\frac{d R}{d x} =20-5 x+3 x^2 \)
வருவாய் சார்பு: \(\mathrm{R} =\int\left(20-5 \mathrm{x}+3 \mathrm{x}^2\right) d x \)
\(R =20 x-\frac{5 x^2}{2}+\frac{3 x^3}{3}+k \)
x  =0, R =0  எனில், k  =0 
\(\mathrm{R}  =20 x-\frac{5 x^2}{2}+x^3 \)

\(\int { \frac { dx }{ 1-25x^{ 2 } } } =\frac { 1 }{ 25 } \int { \frac { dx }{ \left( \frac { 1 }{ 5 } \right) ^{ 2 }-x^{ 2 } } } \)
=\(\frac { 1 }{ 25 } \left[ \frac { 1 }{ 2\left( \frac { 1 }{ 5 } \right) } \log\left| \frac { \frac { 1 }{ 5 } +x }{ \frac { 1 }{ 5 } -x } \right| \right] \)+c
=\(\frac { 1 }{ 10 } \log\left| \frac { 1+5x }{ 1-5x } \right| \)+c

காரணிகளாக மாற்றியமைக்க, 2x²-14x+24=(x-3)(2x-8)
\(\int { \frac { { 2x }^{ 2 }-14x+24 }{ x-3 } } \)=dx =\(\int { \frac { \left( x-3 \right) \left( 2x-8 \right) }{ x-3 } } dx\)
=\(\int { \left( 2x-8 \right) } dx\)
= x² - 8x + c

A =\(\left( \begin{matrix} 5 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & -4 \\ -2 & -4 & 8 \end{matrix} \right) \)என்க.
A-ன் வரிசை 3 x 3 ∴ ρ(A) ≤3
வரிசை மூன்று உடைய சிற்றணிக்கோவையை கருத, நாம் பெறுவது \(\left| \begin{matrix} 5 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & -4 \\ -2 & -4 & 8 \end{matrix} \right| \)=0
∴ மூன்றாம் வரிசைக் கொண்ட சிற்றணிக்கோவை பூச்சியமாவதால், ρ(A)≠ 3 ஆகும்.
இரண்டாம் வரிசை கொண்ட ஒரு சிற்றணிக்கோவையை கருத, நாம் பெறுவது \(\left| \begin{matrix} 5 & 3 \\ 1 & 2 \end{matrix} \right| \)=7≠ 0 ஆகும்.
⇒ பூச்சியமற்ற சிற்றணிக்கோவையின் வரிசை 2 ஆகும்.  ∴ ρ(A) =3

\(E(X) =\int_{-\infty}^{\infty} x f(x) d x \)
\( =\int_0^{\infty} x\left(2 e^{-2 x}\right) d x=2 \int_0^{\infty} x e^{-2 x} d x \)
\( =2\left\{\left[\frac{x \mathrm{e}^{-2 x}}{-2}\right]_0-\int_0^{\mathrm{e}^{-2 x}} \frac{\mathrm{d}}{-2} \mathrm{~d} x\right\} \)
\({\left[\because \int \mathrm{udv}=\mathrm{uv}-\int \mathrm{vdu}\right]} \)
\( \int_0^{\infty} \mathrm{e}^{-2 x} \mathrm{~d} x=\left[\frac{\mathrm{e}^{-2 x}}{-2}\right]_0^{\infty}=0+\frac{1}{2}\)
\( \therefore \mathrm{E}(\mathrm{X})=\frac{1}{2} \)

இது நிகழ்தகவு நிறை சார்பு என்பதால் 
\(\sum_{i=1}^{\infty} p\left(x_i\right) =1 \)
\(p(2)+p(4)+p(6)+p(8) =1 \)
\(2 k+4 k+6 k+k(8-2) =1 \)
\(2 k+4 k+6 k+6 k =1 \)
\(18 k =1 \)
\(k =\frac{1}{18}\) எனவே நிறுவப்பட்டது.

f(4)-f(3)=Δf(3) என்பது நாம் அறிந்த ஒன்று.
f(4)-f(3)=Δf(3)
=Δ[f(2)+Δf(2)]  [\(\because \) f(3)-f(2)=Δf(2)]
=Δf(2)+Δ²f(2)
=Δf(2)+Δ²[f(1)+Δf(1)]
⇒ f(4)=f(3)+Δf(2)+Δ²f(1)+Δ³f(1)

மாறிகளை பிரிக்க, நாம் பெறுவது
\(\frac { \sec^{ 2 }x }{ \tan x } dx+\frac { \sec^{ 2 }y }{ \tan y } dy\)
தொகையிட நாம் பெறுவது
\(\\ \int { \frac { \sec^{ 2 }x }{ \tan x } } +\int { \frac { \sec^{ 2 }y }{ \tan y } } dy\)
log tanx+log tany=log c
log(tanx tany)=log c
tanx tany=c

ஆதி வழிச்செல்லும் நேர்கோட்டுத் தொகுப்பைக் குறிக்கும் சமன்பாடு 
y = mx ⇒ \(\frac { dy }{ dx } = m \)
y=x\(\frac { dy }{ dx } \)

வட்டத்தின் சமன்பாடு, x²+y²=a²    .....(1)
y=0 என (1) -ல் பிரதியிட x²=a²
⇒ x=±a
கொடுக்கப்பட்ட வளைவரை ஆனது இரு அச்சுகளைப் பொறுத்து சமச்சீர் ஆகும். எனவே தேவைப்படும் பரப்பு = 4 [முதல் கால்பகுதியில் x = 0, x = a எனும் எல்லைக்குள் வரையறுக்கப்படும் அரங்கத்தின் பரப்பு]
=\(4\int _{ 0 }^{ a }{ y } dx\\ \)
=\(4\int _{ 0 }^{ a }{ \sqrt { a^{ 2 }-{ x }^{ 2 } } } dx=4\left[ \frac { x }{ 2 } \sqrt { a^{ 2 }-{ x }^{ 2 } } +\frac { { a }^{ 2 } }{ 2 } \sin^{ -1 }\frac { x }{ a } \right] _{ 0 }^{ a }\)
=\(\left[ 0+\frac { { a }^{ 2 } }{ 2 } \sin^{ -1 }\left( \frac { a }{ a } \right) \right] =4\left( \frac { { a }^{ 2 } }{ 2 } \sin^{ -1 }(1) \right) =4\frac { { a }^{ 2 } }{ 2 } \frac { \pi }{ 2 } \)
= πa²

\(\therefore \int _{ 0 }^{ \infty }{ f\left( x \right) dx } =0\int _{ 0 }^{ \infty }{ { x }^{ 2 } } { e }^{ -2x }dx\)
இங்கு  n = 2 and a = 2
\(\left[ \because \int _{ 0 }^{ \infty }{ { x }^{ n }{ e }^{ -ax }dx=\frac { n! }{ { a }^{ n+1 } } } \right] \)
\(\therefore \int _{ 0 }^{ \infty }{ f\left( x \right) dx } =\frac { 2! }{ { 2 }^{ 2+1 } } =\frac { 2! }{ { 2 }^{ 3 } } \)

\(\therefore \int _{ 0 }^{ \infty }{ f\left( x \right) } dx=\frac { 1 }{ 4 } \)

\(\int { \left( x+b \right) } dx\)
\(f(x)=\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } +bx+c...(1)\)
f(1) =5 என்பதை (A ) ல் பிரதியிட 
5 =\(\frac { 1 }{ 2 } \)+b+c
5(2) = 2b+2c+1
2b+2c =9 .....(1)
f(2) =13 என்பதை (1) ல் பிரதியிட 
13 =\(\frac { 4 }{ 2 } \) +2b+2c
13 = 2+2b+c
2b+c =11 ......(2)
(1),(2) ஆகியவற்றைத் தீர்க்க 
c=-2, 2b=13, b=\(\frac { 13}{ 2 } \)
f(x)=\(\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } +\frac { 13 }{ 2 } \)x-2

ஒரு பென்சிலின் விலை ரூ.x என்க
ஒரு அழிப்பானின் விலை ரூ.y என்க
∴ கொடுக்கப்பட்ட விவரங்களின் படி பின்வரும் சமன்பாடுகளைக் காணலாம்.
11x + 3y = 64
8x + 3y = 49
Δ=\(\left| \begin{matrix} 11 & 3 \\ 8 & 3 \end{matrix} \right| \)=9≠0. (தொகுப்பு ஒரே ஒரு தீர்வை பெற்றிருக்கும்)
Δx =\(\left| \begin{matrix} 64 & 3 \\ 49 & 3 \end{matrix} \right| \)=45, Δy =\(\left| \begin{matrix} 11 & 64 \\ 8 & 49 \end{matrix} \right| \)=27
∴ கிரேமரின் விதிப்படி
x =\(\frac { \triangle x }{ \triangle } =\frac { 45 }{ 9 } \)=5
y =\(\frac { \triangle y }{ \triangle } =\frac { 27 }{ 9 } \)=3
∴ ஒரு பென்சிலின் விலை ரூ.5 மற்றும் ஒரு அழிப்பானின் விலை ரூ.3 ஆகும்.

கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பிற்கான அணி சமன்பாடு
\(\left( \begin{matrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} 5 \\ 8 \end{matrix} \right) \)
A X =B

அணி A	விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணி [A,B]	அடிப்படை உருமாற்றம்
\(\\ \left( \begin{matrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right) \)	\(\left( \begin{matrix} 1 & 1 & 5 \\ 2 & 1 & 8 \end{matrix} \right) \)
~\(\left( \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \)	~\(\left( \begin{matrix} 1 & 1 & 5 \\ 0 & -1 & -2 \end{matrix} \right) \)	R2 ⟶ R2 - 2R1
ρ(A)=2	ρ([A,B])=2

ஏறுபடிவ அணியில் உள்ள பூச்சியமற்ற நிரைகளின் எண்ணிக்கை 2 ஆகும்.
ρ(A)=ρ([A,B])=2=மதிப்பிடவேண்டிய மாறிகளின் எண்ணிக்கை
∴ கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பு ஒருங்கமைவுடையது மேலும் ஒரே ஒரு தீர்வு உண்டு.
கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பினை \(\left( \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} 5 \\ -2 \end{matrix} \right) \)என எழுதலாம்.
⇒ x + y = 5 .........(1)
y = 2
∴ (1) ⇒ x + 2 = 5
x = 3
தீர்வு: x = 3, x = 2

\(\int _{ -\infty }^{ \infty }{ f(x) } dx=1\) என்பது நமக்குத் தெரியும் 
\(\int _{ -\infty }^{ \infty }{ ke^{ -|x| } } dx=1\)
\(k\int _{ -\infty }^{ \infty }{ e^{ -|x| } } dx=1\)
\(2k\int _{ -\infty }^{ \infty }{ e^{ -|x| } } dx=1\) ( ∴ e^{−| x |} ஒரு இரட்டை சார்பு))
\(2k\left[ \cfrac { { e }^{ -x } }{ -1 } \right] _{ 0 }^{ \infty }=1\) 
\(\therefore k = \frac {1}{2}\)
சமவாய்ப்பு மாறியின் சராசரி:
\(E(X)=\int _{ -\infty }^{ \infty }{ xf(x)dx } \)
\(E(X)=\int _{ -\infty }^{ \infty }{ xke^{ -|x| }dx } \)
= \(\cfrac { 1 }{ 2 } \int _{ -\infty }^{ \infty }{ xe^{ |x| }dx } \)
 ( ∵ xe^{−| x |} ஒரு ஒற்றைச் சார்பு))
= 0
\(E\left( { X }^{ 2 } \right) =\int _{ -\infty }^{ \infty }{ f(x)dx } \)
= \(\int _{ -\infty }^{ \infty }{ { x }^{ 2 }ke^{ -|x| }dx } \)
= \(\cfrac { 1 }{ 2 } \int _{ -\infty }^{ \infty }{ { x }^{ 2 }{ e }^{ |x| }dx } \)
= \(\int _{ 0 }^{ \infty }{ { x }^{ 2 }{ e }^{ -x }dx } \)
 ( ∵ x²e^{−| x |} ஒரு இரட்டைச் சார்பு))​​​​​​​
= \(\Gamma (3)\) \(\left( \because \Gamma (\alpha )=\int _{ 0 }^{ \infty }{ { e }^{ -x }dx,\alpha >0;\Gamma } \left( n-1 \right) ! \right) \)
= 2
\(V(X)=E\left( { X }^{ 2 } \right) -\left[ E\left( X \right) \right] \)
= 2-[0]²
= 2

இது நிகழ்தகவு நிறை சார்பு என்பதால் 
\(\sum_{i=1}^{\infty} p\left(x_i\right) =1 \)
\(\sum_{i=0}^{7} p\left(x_i\right) =1 \)
⇒ 0+k+2k+2k+3k+k²+2k²+7k²+k = 1
⇒ 10k²+9k = 1
⇒10k²+9k-1 = 0
(k+1)(10k-1) = 0 ⇒k = -1
⇒ k = \(\frac{1}{10}\)
\([\because p(x_i) \ge 0 ]\)
ii) \(P(X<6) =1-P(X \geq 6) \)
\( =1-[P(X=6)+P(X=7)] \)
\( =1-\left(2 k^2+7 k^2+k\right) \)
\( =1-\left(9 k^2+k\right) \)
\( =1-\left(\frac{9}{100}+\frac{1}{10}\right)=1-\frac{9}{100}-\frac{1}{10} \)
\( =\frac{100-9-10}{100}=\frac{81}{100} \)
\(P(X \geq 6)=P(X=6)+P(X=7) \)
\( =2 k^2+7 k^2+k=9 k^2+k \)
\( =\frac{9}{100}+\frac{1}{10}=\frac{9+10}{100}=\frac{19}{100} \)
P(0X<5) = P(X = 1)+P(X = 2)+P(X = 3)+P(X = 4)
= k+2k+2k+3k
\(8k=\left( \frac { 8 }{ 10 } \right) =\frac { 4 }{ 5 } \)
iii) சோதனை மற்றும் பிழை முறைப்படி x இன் குறைந்தபட்ச மதிப்பு 
\( P(X \leq 0)=0<\frac{1}{2} ; P(X \leq 1)=\frac{1}{10}<\frac{1}{2} \)
\(P(X \leq 2)=\frac{3}{10}<\frac{1}{2} ; P(X \leq 3)=\frac{5}{10}=\frac{1}{2} \)
\(P(X\le 4 ) =\frac { 8 }{ 10 } =\frac { 4 }{ 5 } >\frac { 1 }{ 2 } \)
\(\therefore P(X\le x )\frac { 1 }{ 2 } \) - க்கான x இன் குறைந்தபட்ச மதிப்பு 4 ஆகும் 

இங்கு x -ன் மதிப்புகள் சம பிரிவற்றவை. எனவே இலெக்ராஞ்சியின் சூத்திரத்தை பயன்படுத்தவும்.
x₀=5, x₁=6, x₂=9, x₃=11
y₀=12, y₁=13, y₂=14, y₃=16
y=f(x)=\(\frac { (x-{ x }_{ 1 })(x-{ x }_{ 2 })(x-{ x }_{ 3 }) }{ (x_{ 0 }-{ x }_{ 1 })({ x }_{ 0 }-{ x }_{ 2 })({ x }_{ 0 }-{ x }_{ 3 }) } \times { y }_{ 0 }+\frac { (x-{ x }_{ 0 })(x-{ x }_{ 2 })(x-{ x }_{ 3 }) }{ (x_{ 1 }-{ x }_{ 0 })({ x }_{ 1 }-{ x }_{ 2 })({ x }_{ 1 }-{ x }_{ 3 }) } \times { y }_{ 1 }+\frac { (x-{ x }_{ 0 })(x-{ x }_{ 1 })(x-{ x }_{ 3 }) }{ (x_{ 2 }-{ x }_{ 0 })({ x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 })({ x }_{ 2 }-{ x }_{ 3 }) } \times y_{ 2 }+\frac { (x-{ x }_{ 0 })(x-{ x }_{ 1 })(x-{ x }_{ 2 }) }{ (x_{ 3 }-{ x }_{ 0 })({ x }_{ 3 }-{ x }_{ 1 })({ x }_{ 3 }-{ x }_{ 2 }) } \times { y }_{ 3 }\)
=\(\frac { (x-6)(x-9)(x-11) }{ (5-6)(5-6)(5-11) } (12)+\frac { (x-5)(x-9)(x-11) }{ (6-5)(6-9)(6-9) } (13)+\frac { (x-5)(x-6)(x-11) }{ (9-5)(9-6)(9-11) } (14)+\frac { (x-5)(x-6)(x-9) }{ (11-5)(11-6)(11-9) } (16)\)
x = 10 என்க.
y(10)=f(10)=\(\frac { 4(1)(-1) }{ (-1)(-4)(-6) } (12)+\frac { (5)(1)(-1) }{ (1)(-3)(-5) } (13)+\frac { 5(4)(-1) }{ 4(3)(-2) } (14)+\frac { (5)(4)(1) }{ 6(5)(2) } (16)\)
=\(\frac { 1 }{ 6 } (12)-\frac { 13 }{ 3 } +\frac { 5(14) }{ 3\times 2 } +\frac { 4\times 16 }{ 12 } \)
=14.6663

f(x) -ல் ஐந்து மதிப்புகள் கொடுக்கப்பட்டிருந்தால், f(x) ஒரு நான்காம்படி பல்லுறுப்புக்கோவை என எடுத்துக் கொள்வோம். எனவே ஐந்தாம்நிலை வேறுபாடு பூச்சியமாகும்.
Δ⁵y_k=0 (ie) (E-1)⁵y_k=0
i.e., (E⁵-5E⁴+10E³-10E²+5E-1)yk=0
E⁵y_k-5E⁴y_k+10E³y_k-10E²y_k+5Ey_k-y_k=0   ....(1)
k = 0 என (1)-ல்  பிரதியிட
E⁵y₀-5E⁴y₀-10E²y₀+5Ey₀-y₀=0
y₅-5y₄+10y₃-10y₂+5y₁-y₀=0
y₅-5(350)+10y₃-10(260)+5(220)-200=0
y₅+10y₃=3450      .....(2)
k = 1 என (1)-ல்  பிரதியிட
E⁵y₁-5E⁴y₁-10E³y₁+5Ey³y₁-y₁=0
y₆-5y₅+10y₄-10y₃-y₁=0
430+5y₅+10(350)-10y₃+5(260)-220=0
5y₅+10y₃=5010     (3)
(3)-(2) ⇒ 4y₅=1560
y₅=390
(2)-ன் படி 390+10y₃=3450
10y₃=3450-390
y₃=306

சமன்நிலை விலையில், Q_d=Q_s
⇒ 29-2p-5\(\frac { dp }{ dt } +\frac { d^{ 2 }p }{ dt^{ 2 } } \) =5+4p
⇒ 24-6p-5\(\frac { dp }{ dt } +\frac { d^{ 2 }p }{ dt^{ 2 } } \)=0
⇒ \(\frac { d^{ 2 }p }{ dt^{ 2 } } -\frac { dp }{ dt } -6p\)=-24
(D²-5D-6)p=-24
துணைச் சமன்பாடு :
m²-5m-6=0
(m-6)(m+1)=0
⇒ m=6,-1
C.F=Ae^6t+Be^-t
P.I=\(\frac { 1 }{ \phi (D) } f(t)\)
=\(\frac { 1 }{ { D }^{ 2 }-5D-6 } (-24)e^{ 0t }\)
=\(\frac { -24 }{ -6 } \) (D-க்கு பதிலாக 0 வை பிரதியிட)
=4
பொதுத் தீர்வு p=C.F+P.I
=Ae^6t+Be^-t+4

\(\frac { dy }{ dx } =\frac { x-y }{ x+y } \)     .......(1)
இது ஒரு சமபடித்தான வகைக்கெழு சமன்பாடாகும்.
y =vx மற்றும் \(\frac { dy }{ dx } =v+x\frac { dv }{ dx } \) என பிரதியிட,
∴ (i) ⇒ v +\(x\frac { dv }{ dx } =\frac { x-vx }{ x+vx } \) =\(\frac { 1-v }{ 1+v } \)
\(x\frac { dv }{ dx } =\frac { 1-v }{ 1+v } -v\)
=\(\frac { 1-2v-{ v }^{ 2 } }{ 1+v } \)
\(\frac { 1+v }{ { v }^{ 2 }+2v-1 } dv=\frac { dx }{ x } \)
இருபுறமும் 2 ஆல் பெருக்க,
\(\frac { 2+2v }{ { v }^{ 2 }+2v-1 } dv=-2\frac { dx }{ x } \)
தொகையிட,
\(\int { \frac { 2+2v }{ { v }^{ 2 }+2v-1 } dv } =-2\int { \frac { dx }{ x } } \)
log(v²+2v-1)=-2log+logc
v²+2v-1=\(\frac { c }{ { x }^{ 2 } } \)
x²(v²+2v-1)=c
v=\(\frac { y }{ x } \) என்பதால்
x²\(\left[ \frac { { y }^{ 2 } }{ { x }^{ 2 } } +\frac { 2y }{ x } -1 \right] \)=c
∴ y²+2xy-x²=c என்பது தீர்வாகும்.

சமநிலையில் P_d = P_s 
\(20-5 x  =4 x+8 \)
\(12  =9 x \Rightarrow x=\frac{4}{3} \)
\(\mathrm{p} =20-\frac{20}{3}=\frac{40}{3}\)
நுகர்வோர் உபரி 
\(\mathrm{CS}=\int_0^{x_2} f(x) \mathrm{d} x-p_0 x_0\)
\(=\int_0^{4/3}(20-5 x) \mathrm{d} x-\frac{160}{9} \)
\( =\left[20 x-\frac{5 x^2}{2}\right]_0^{4 / 3}-\frac{160}{9}\)
\( =\frac{80}{3}-\frac{40}{9}-\frac{160}{9} \)
\( =\frac{80}{3}-\frac{200}{9} \)
\( =\frac{40}{9}\)அலகுகள் 
உற்பத்தியாளர் உபரி PS \(=p_0 x_0-\int_0^{x_0} g(x) \mathrm{d} x\)
\( =\frac{160}{9}-\int_0^{4 / 3}(4 x+8) \mathrm{d} x \)
\( =\frac{160}{9}-\left[\frac{4 x^2}{2}+8 x\right]_0^{4 / 3} \)
\( =\frac{160}{9}-\frac{32}{9}-\frac{32}{3} \)
\(=\frac{128}{9}-\frac{32}{3}\)
P.S=\(\frac{32}{9}\) அலகுகள்

\(\frac { EY }{ Ex } =\frac { -7x }{ (1-2x)(2+3x) } \)
\(\Rightarrow \frac { x }{ y } \frac { dy }{ dx } =\frac { -7x }{ (1-2x)(2+3x) } \)
\(\frac { 7 }{ (2x-1)(3x+2) } =\frac { A }{ 2x-1 } +\frac { B }{ 3x+2 } \) என்க.
7 = A(3x+2)+B(2x-1)
x - ன் கெழுக்களையும், மாறிலியையும் சமப்படுத்த 
0=3A-2B
-7=2A + B 
இவற்றைத் தீர்க்க A =-2, B =3
\(\int { \frac { dy }{ y } }=2\int { \frac { 1 }{ 2x-1 } dx-3\int { \frac { dx }{ 3x+2 } } } \)
log y + log c = log (1 -2) -log (2 + 3x )​​​​​​​
\(=\log cy=\log\left| \frac { 2x-1 }{ 3x+2 } \right| \)
\(cy =\frac { 1-2x }{ 2+3x } \)
\(x=2,y=\frac { 3 }{ 8 } \) எனில் 
\(\Rightarrow \frac { 3 }{ 8 } =c\left( \frac { 4-1 }{ 8 } \right) \)
\(\frac { 3 }{ 8 } =c\left( \frac { 3 }{ 8 } \right) =c=1\)
\(y=\left( \frac { 2x-1 }{ 3x+2 } \right) \)
\(\Rightarrow y= \frac { 2x-1 }{ 3x+2 }\)
y =\(\left( \frac { 2x-1 }{ 3x+2 } \right) \)

கணக்கின்படி MC =8+6x
C(x)=\(\int { (8+6x) } dx+{ k }_{ 1 }\)
=8x+3x²+k₁        .....(1)
x = 0 எனும் பொழுது  C = 0 ⇒ k₁=0
∴ C(x)=8x+3x²     .....(2)
மேலும் MR=24
R(x)=\(\int { MR } dx+{ k }_{ 2 }\)
=\(\int { 24 } dx+{ k }_{ 2 }\)
=24x+k₂
x = 0 எனில், வருவாய் = 0 ⇒ k₂=0
R(x)=24x  ...(3)
இலாபச்சார்பு P(x) = R(x) – C(x)
P(x)=24x–8x–3x²
=16x–3x²

a = 1, b = 3
\(h=\cfrac { b-a }{ n } =\cfrac { 3-1 }{ n } =\cfrac { 2 }{ n } \) மற்றும்  f(x) = 2x + 3
\(\therefore f(a+rh)=f\left( 1+r+r.\cfrac { 2 }{ n } \right) =f\left( 1+\cfrac { 2r }{ n } \right) \)
= \(2+\cfrac { 4r }{ n } +3=5+\cfrac { 4r }{ n } \)
\(\int _{ a }^{ b }{ f(x)dx } =\underset { n\rightarrow \infty \\ h\rightarrow 0 }{ lim } \sum _{ r=1 }^{ n }{ h.f\left( a+rh \right) } \)
\(\therefore \int _{ 1 }^{ 3 }{ (2x+3) } dx=\underset { n\rightarrow \infty }{ lim } \sum _{ r=1 }^{ n }{ \frac { 2 }{ n } } \left( 5+\frac { 4r }{ n } \right) \)
= \(\underset { n\rightarrow \infty }{ lim } \sum _{ r=1 }^{ n }{ \left( \frac { 10 }{ n } +\frac { 8r }{ { n }^{ 2 } } \right) } \)
= \(\underset { n\rightarrow \infty }{ lim } \left( \frac { 10 }{ n } .\sum _{ r=1 }^{ n }{ .1+\frac { 8 }{ { n }^{ 2 } } \cdot \sum _{ r=1 }^{ n }{ \cdot r } } \right) \)

\(\left[ \because \Sigma 1=n\& \sum _{ r=1 }^{ n }{ r } =\cfrac { n(n+1) }{ 2 } \right] \)
\(=\underset { n\rightarrow \infty }{ \lim } 10+\frac { 4 }{ n^ 2 } \left( n^2+ n \right) \)
\(=\underset { n\rightarrow \infty }{ \lim } [10+4+\frac { 4 }{ n } ] =14\)

\(\int { \frac { { 3x }^{ 2 }+6x+1 }{ \left( x+3 \right) \left( { x }^{ 2 }+1 \right) } } dx =\int { \left[ \frac { 1 }{ \left( x+3 \right) } \frac { 2x }{ \left( { x }^{ 2 }+1 \right) } \right] } dx\)
\(\int { \frac { dx }{ \left( x+3 \right) } +\int { \frac { 2x }{ \left( { x }^{ 2 }+1 \right) } } } dx\)
\(=\log\left| x+3 \right| +\log\left| { x }^{ 2 }+1 \right| +c\)
\(=\log\left| \left( x+3 \right) \left( { x }^{ 2 }+1 \right) \right| +c\)
\(=\log\left| { x }^{ 3 }+{ 3x }^{ 2 }+x+3 \right| +c\)
பகுதி பின்னமாக்கல் முறையில்
\(\frac { { 3x }^{ 2 }+6x+1 }{ \left( x+3 \right) \left( { x }^{ 2 }+1 \right) } =\frac { A }{ \left( x+3 \right) } +\frac { Bx+C }{ \left( { x }^{ 2 }+1 \right) }\)
\( \Rightarrow \frac { { 3x }^{ 2 }+6x+1 }{ \left( x+3 \right) \left( { x }^{ 2 }+1 \right) } =\frac { 1 }{ \left( x+3 \right) } +\frac { 2x }{ \left( { x }^{ 2 }+1 \right) } \).

மாறுதல் நிகழ்தகவு அணி 
        A    B 
T = \(\underset { B }{ A } \left( \begin{matrix} 0.65 & 0.35 \\ 0.45 & 0.55 \end{matrix} \right) \)
ஓராண்டிற்கு பிறகு பங்கீடுகள் 
 (0.15  0.85) \(\left( \begin{matrix} 0.65 & 0.35 \\ 0.45 & 0.55 \end{matrix} \right) \)
= (0.0975+ 0.3825+0.0525+0.4675)
= (0.48 0.52)
ஓராண்டிற்குப் பிறகு 'A ' -ன் பங்கீடு 48% மற்றும் 'B ' -ன் பங்கீடு 52%
(A B ) \(\left( \begin{matrix} 0.65 & 0.35 \\ 0.45 & 0.55 \end{matrix} \right) \)= (A B )
(0.65 A + 0.45B 0.35 A +0.55 B) = (A B)
0.65 A + 0.45 B = A
இதில் A + B = 1
0.65A + 0.45 (1 - A) = A மேலும் B = 1 - A
0.65A + 0.45-0.45A = A
0.2A + 0.45 = A
0.45 = A - 0.2A
0.45 = 0.8A
\(A=\frac { 0.45 }{0.8 } \) = 0.5625
∴ B = 1 - A =1-0.5625 = 0.4375
'A'ன் பங்கீடு 56.25% மற்றும் ‘B' ன் பங்கீடு 43.75% எனும்போது சமநிலை எட்டப்படும்.

தரப்பட்ட சமன்பாட்டு தொகுப்புக்குரிய அணிச் சமன்பாடானது
\(\left( \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & a \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} 6 \\ 10 \\ b \end{matrix} \right) \)
    A                        X       =         B

விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணி [A,B]	அடிப்படை உருமாற்றங்கள்
\(\left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ a \end{matrix}\begin{matrix} 6 \\ 10 \\ b \end{matrix} \right) \)
~\(\left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ a-1 \end{matrix}\begin{matrix} 6 \\ 4 \\ b-6 \end{matrix} \right) \)	R2 ⟶ R2 - R1 R3 ⟶ R3 - R1
~\(\left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ a-3 \end{matrix}\begin{matrix} 6 \\ 4 \\ b-10 \end{matrix} \right) \)	R3 ⟶ R3 - R2

கடைசி சமான அணி ஏறுபடிவ வடிவில் உள்ளது.
நிலை (i) தீர்வு இல்லை:
ρ(A) ≠ ρ([A,B]) எனில் தொகுப்பிற்கு தீர்வு இல்லை. a-3=0 மற்றும் b-10≠0 எனும்போது மட்டுமே ρ(A) ≠ ρ([A,B]) ஆகும்.
∴ a=3, b≠10 எனும்போது தொகுப்பிற்கு தீர்வு இல்லை.
நிலை (ii) ஒரே ஒரு தீர்வு:
ρ(A) = ρ([A,B])=மதிப்பிட வேண்டிய மாறிகளின் எண்ணிக்கை, எனில் தொகுப்பிற்கு எண்ணிக்கையற்ற தீர்வுகள் உண்டு.
இங்கு a-3≠0, எனில் ρ(A) = ρ([A,B])=3
∴ a≠3 மற்றும் b\(\in \)R எனில் தொகுப்பிற்கு ஒரே ஒரு தீர்வு உண்டு.
நிலை (iii) எண்ணிக்கையற்ற தீர்வுகள்:
ρ(A) = ρ([A,B]) < மதிப்பிட வேண்டிய மாறிகளின் எண்ணிக்கை, எனில் தொகுப்பிற்கு எண்ணிக்கையற்ற தீர்வுகள் உண்டு.
இங்கு a-3=0, b-10=0 எனில் ρ(A) = ρ([A,B])=2<3
எனவே a=3 மற்றும் b =10 எனும் போது தொகுப்பிற்கு எண்ணிக்கையற்ற தீர்வுகள் உண்டு.

x ,y மற்றும் z என்பன முறையே 6% ,7% மற்றும் 8% பத்திரங்களில் இடப்பட்ட தொகை என்க.
x +y +z  = 5000
\(\frac { 6x }{ 100 } +\frac { 7y }{ 100 }+\frac { 8z }{ 100 } = 358\)
 6x +7y +8z  = 35800
\(\frac { 6x }{ 100 } +\frac { 7y }{ 100 }-\frac { 8z }{ 100 } = 70\)
  6x +7y -8z  = 7000
கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பிற்கான அணிச் சமன்பாடு 
\(\left( \begin{matrix}1 & 1& 1\\ 6&7&8\\ 6&7& -8\end{matrix} \right) \)\(\left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) \)=\(\left( \begin{matrix} 5000\\35800\\ 7000\end{matrix} \right) \)
      AX = B
விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணி 
(A,B)  = \(\left( \begin{matrix}1 & 1 & 1 &5000\\6&7&8&35800 \\ 6& 7& -8 &7000\end{matrix} \right) \)
~ \(\left( \begin{matrix}1 & 1 & 1 &5000\\0&1&2&5800 \\0& 1& -14 &-23000\end{matrix} \right) \) R₂ ⟶ R₂ - 6R₁
                                              R₃ ⟶ R₃ - 6R_1
~ \(\left( \begin{matrix}1 & 1 & 1 &5000\\0&1&2&5800 \\0& 1& -16 &-28800\end{matrix} \right) \) R₃ ⟶ R₃ - R₂
ρ(A,B ) = ρ(A) = 3 = (மாறிகளின் எண்ணிக்கை )
சமன்பாட்டு தொகுப்பானது ஒருங்கமைவுடையது மற்றும் ஒரேயொரு தீர்வைக் கொண்டது.
கடைசி சமான அணியின் மாற்றப்பட்ட அணிச் சமன்பாடு 
\(\left( \begin{matrix}1 & 1& 1\\0&1&2\\ 0&0& -16\end{matrix} \right) \) \(\left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) \)=\(\left( \begin{matrix} 5000\\5800\\ -28800\end{matrix} \right) \)
-16z  = -28800
z  = 1800
y +2z  = 5800
y = 5800-3600
y = 2200
x +y +z  = 5000
x +2200+1800 = 5000
x =1000
\(\therefore \quad \)6% , 7% மற்றும் 8% பத்திரங்களில் முதலீடு செய்யப்பட்ட தொகை முறையே  ரூ. 1000, ரூ. 2200 மற்றும் ரூ. 1800 ஆகும் .

\(\mathrm{E}[\mathrm{X}-\mathrm{E}(\mathrm{X})]^2 =E(X-\bar{X})^2 \)
\( =E\left(X^2-2 X \bar{X}+(\bar{X})^2\right) \)
\( =\sum x^2 p_t-2 \bar{x} \sum x_i p_i+(\bar{x})^2 \sum p_i \)
\( =E\left(X^2\right)-2 \bar{x}(\bar{x})+(\bar{x})^2\)
\( =E\left(X^2\right)-2(\bar{x})^2+(\bar{x})^2 \)
\(=E\left(X^2\right)-(\bar{x})^2=\mathrm{E}\left(\mathrm{X}^2\right)-[\mathrm{E}(X)]^2\)
\(=\mathrm{V}(\mathrm{X}) \)

\(\Delta^2 y_0=(E-1)^2 y_0=\left(E^2-2 E+1\right) y_0=y_2-2 y_1+y_0\)

\(x^2+y^2 =\mathrm{a}^2 \)
\(2 x+2 \mathrm{y} \frac{d y}{d x} =0 \Rightarrow x \mathrm{~d} x+\mathrm{ydy}=0 \)

\(\mathrm{y} =\mathrm{ae}^x+\mathrm{be}^{-x} \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\mathrm{ae}^x-\mathrm{be}^{-x} \)
\(\frac{d^2 y}{d x^2} =\mathrm{ae}^x+\mathrm{be}^{-x}=\mathrm{y} \)
\(\frac{d^2 y}{d x^2}-\mathrm{y} =0 \)

\(\mathrm{CS}=\int^{x_2}_ 0 f(x) d x-x_0 p_0=\int^5_ 0\left(28-x^2\right) d x-15\)
\( =\left[28 x-\frac{x^3}{3}\right]_{10}^5-15 \)
\( =140-\frac{125}{3}-15=\frac{250}{3} \) அலகுகள்

\(\mathrm{R} =\int\left(35+7 x-3 x^2\right) d x \)
\( =35 x+\frac{7 x^2}{2}-\frac{3 x^3}{3}+k \)
x = 0 மற்றும் R = 0 எனில் k = 0
\(\mathrm{R}=35 x+\frac{7 x^2}{2}-x^3\)
சராசரி வருவாய்ச் சார்பு
\(\mathrm{AR}=\frac{R}{x}=35+\frac{7 x}{2}-x^2\)

பரப்பு \(=\int_1^2 \frac{d x}{x}=[\log x]_1^2\)
\( =\log 2-\log 1=\log 2\)ச.அலகுகள்

\(\left[ \because \int _{ 0 }^{ \infty }{ { x }^{ n }{ e }^{ -ax }dx=\frac { n! }{ { a }^{ n+1 } } } \right] \)
இங்கு n = 4,a = 1
\(\int _{ 0 }^{ \infty }{ x^{ 4 }{ e }^{ -x } } dx =\frac { 4! }{ { 1 }^{ 3 } }= 4! \)

\(\int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 3 } }{ \tan x } dx = [ \log \sec x ]^ \frac { \pi }{ 3 }_ 0\)
= log sec π/3 - log sec 0
= log2 - log1 = log 2

\(\int _{ 2 }^{ 4 }{ \frac { dx }{ x } } = { { \left[ \log x \right] }^{ 4 }_{ 2 } }\)
= log 4 - log 2 = log 4/2 = log 2

|adjA|= |A|^n-1
243 = 3^{n - 1}
3⁵ = 3^n-1
n - 1 = 5 ⇒ n = 6