A =\(\left( \begin{matrix} 1 & -3 & 4&7 \\ 9 & 1 & 2 &0 \end{matrix} \right) \)என்க 
~\(\left( \begin{matrix} 1 & -3 & 4&7 \\ 0& 28 & -34 &-63\end{matrix} \right) \) R₂ ⟶ R₂ - 9R₁
அணியின் தரம் \(\rho \)(A )=2

\(\mathrm{p} =50-2 x \)
\(x_0 =20 \)
\(\mathrm{p}_0 =50-40=10\)
நுகர்வோர் உபரி
\(C S  =\int_0^{x_0} f(x) \mathrm{d} x-x_0 p_0 \)
\(\text { CS }  =\int_0^{20}(50-2 x) \mathrm{d} x-200 \)
\(=\left[50 x-\frac{2 x^2}{2}\right]_0^{20}-200 \)
=1000-400-200=400 அலகுகள்

பரப்பு =\(\int _{ 1 }^{ 4 }{ ydx } \)
=\(\int _{ 1 }^{ 4 }{ (4x+3)dx } \)
=\(\left[ 2x^{ 2 }+3x \right] _{ 1 }^{ 4 }\)
= 32 + 12 - 2 - 3
= 39 சதுர அலகுகள்.

\(\int (2\cos x-3\sin x+4\sec^{ 2 }x-5cosec^{ 2 }x)dx \)
= 2sin x+3cos x+4tan x+5cot x+c

காரணிகளாக மாற்றியமைக்க, 2x²-14x+24=(x-3)(2x-8)
\(\int { \frac { { 2x }^{ 2 }-14x+24 }{ x-3 } } \)=dx =\(\int { \frac { \left( x-3 \right) \left( 2x-8 \right) }{ x-3 } } dx\)
=\(\int { \left( 2x-8 \right) } dx\)
= x² - 8x + c

அணி சமன்பாடு
\(\left( \begin{matrix} 3 & -2 \\ 6 & -4 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} 6 \\ 10 \end{matrix} \right) \)
AX=B

அணி A	விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணி [A,B]	அடிப்படை உருமாற்றம்
\(\left( \begin{matrix} 3 & -2 \\ 6 & -4 \end{matrix} \right) \)	\(\left( \begin{matrix} 3 & -2 & 6 \\ 6 & -4 & 10 \end{matrix} \right) \)
~\(\left( \begin{matrix} 3 & -2 \\ 0 & 0 \end{matrix} \right) \)	~\(\left( \begin{matrix} 3 & -2 & 6 \\ 0 & 0 & -2 \end{matrix} \right) \)	R2 ⟶ R2-2R1
ρ(A)=1	ρ([A,B])=2

∴  ρ([A,B])=2,  ρ(A)=1
 ρ(A) ≠ ρ([A,B])
∴  கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பு ஒருங்கமைவு அற்றது.

சமநிலையில் \(p_d=p_s\)
\(25-3 x  =5+2 x \)
\(20  =5 x \Rightarrow x=4 \)
p  =5+8=13
நுகர்வோர் உபரி
\(\text { CS }  =\int_0^{x_0} f(x) d x-p_0\)
\(=\int_0^4(25-3 x) d x- 52\)
\(=\left[25 x-\frac{3 x^2}{2}\right]_0^4\)
=100-24-52
=24 அலகுகள் 
உற்பத்தியாளர் உபரி 
\(\text { PS } =\mathrm{p}_0 x_0-\int_0^{x_0} f(x) d x \)
\(=52-\int_0^4(5+2 x) d x \)
\( =52-\left[5 x+x^2\right]_0^4 \)
= 52-[20+16] 
= 52-36=16 அலகுகள் 
C.S=24 அலகுகள், P.S=16 அலகுகள்

கொடுக்கப்பட்ட MR=a(x+b)^-2-c
R=\(\int { a(x+b)^{ -2 } } dx-c\int { dx } \)
R=\(\frac { a(x+b)^{ -1 } }{ -1 } \)-cx+k
R=\(-\frac { a }{ x+b } \)-cx+k
x = 0 எனும்பொழுது R = 0
∴ 0=\(-\frac { a }{ b } \)-c(0)+k
k =\(\frac { a }{ b } \)
R=\(-\frac { a }{ x+b } -cx+\frac { a }{ b } \)
\(=\frac { -ab+a(x+b) }{ b(x+b) } \)-cx
R=\(\frac { ax }{ b(x+b) } -cx\)
தேவைச் சார்பு: p=\(\frac { R }{ x } \)
p=\(\frac { a }{ b(x+b) } -c\)
p+c=\(\frac { a }{ b(x+b)\quad } \)
b(x+b)=\(\frac { a }{ p+c } \)
x =\(\frac { a }{ b(p+c) } -b\).

I=\(\int _{ 2 }^{ 5 }{ \frac { \sqrt { x } }{ \sqrt { x } +\sqrt { 7-x } } } \) dx என்க.        ......(1)
I=\(\int _{ 2 }^{ 5 }{ \frac { \sqrt { 2+5-x } }{ \sqrt { 2+5-x } +\sqrt { 7-(2+5-x) } } } dx\)   \(\left[ \because \int _{ 0 }^{ a }{ f(x)dx } \int _{ 0 }^{ a }{ (a-x)dx } \right] \)
I=\(\int _{ 2 }^{ 5 }{ \frac { \sqrt { 7-x } }{ \sqrt { 7-x } +\sqrt { x } } } dx\)   ....(2)
(1)+(2)⇒
2I=\(\int _{ 2 }^{ 5 }{ \left[ \frac { \sqrt { x } }{ \sqrt { x } +\sqrt { 7-x } } +\frac { \sqrt { 7-x } }{ \sqrt { 7-x } +\sqrt { x } } \right] } dx \)
=\(\int _{ 2 }^{ 5 }{ \left[ \frac { \sqrt { x } +\sqrt { 7-x } }{ \sqrt { x } +\sqrt { 7-x } } \right] } dx\)
=\(\int _{ 2 }^{ 5 }{ dx } =\left[ x \right] _{ 2 }^{ 5 }=3\)
∴ I=\(\frac { 3 }{ 2 } \)

\(\int { ​\frac { 3x^{ 2 }-2x+5 }{ (x-1)({ x }^{ 2 }+5) } dx } \)
\(\int { ​\frac { 3x^{ 2 }-2x+5 }{ (x-1)({ x }^{ 2 }+5) } } =\frac { A }{ x-1 } +\frac { BX+C }{ { x }^{ 2 }+5 } \)
\(3x^{ 2 }-2x+5\) \(=A(x ^ {2}+5)+(Bx +C )+(x-1)\) .......(1)
x=1 எனில் 
3-2 +5 =A (6)
6A =6 \(\Rightarrow \)A  = 1
x=0 எனில் 5 =5A -C  \(\Rightarrow \)C =0
(1) -ல்  x²  -ன் கெழுக்களை சமப்படுத்த 
\(3=A+B\Rightarrow B=2\)
\(\frac { 3x^{ 2 }-2x+5 }{ (x-1)\left( x^{ 2 }+5 \right) } =\frac { 1 }{ x-1 } +\frac { 2x }{ x^{ 2 }+5 } \)
\(\int \frac { 3x^{ 2 }-2x+5 }{ (x-1)\left( x^{ 2 }+5 \right) } dx=\int \frac { dx }{ x-1 } +\int \frac { 2x }{ x^{ 2 }+5 } dx\)
\(=\log |(x-1)|+\log \left| x^{ 2 }+5 \right| +c\)
\(=\log \left| (x-1)\left( x^{ 2 }+5 \right) \right| +c\)
\(=\log \left| x^{ 3 }-x^{ 2 }+5x-5 \right| +c\)
மாற்று முறை 
\(\int \frac { 3x^{ 2 }-2x+5 }{ (x-1)\left( x^{ 2 }+5 \right) } dx=\int \frac { 3x^{ 2 }-2x+5 }{ x^{ 3 }-x^{ 2 }+5x-5^{ 4 } } \)
\(t=x^{ 3 }-x^{ 2 }+5x-5\)
\(dt=\left( 3x^{ 2 }-2x+5 \right) dx\)
\(\int \frac { dt }{ t } =\log |t|+c\)
\(=\log \left| x^{ 3 }-x^{ 2 }+5x-5 \right| +c\)

(i ) மாறுதல் நிகழ்தகவு அணி 
              S    M 
T =\(\underset { { { M } } }{ S } \begin{pmatrix} .7 & .3 \\ .3 & .7 \end{pmatrix}\)
தொடக்க நிலை =(.6 .4)
ஓராண்டிற்கு பிறகு 
 (.6  .4) \(\begin{pmatrix} .7 & .3 \\ .3 & .7 \end{pmatrix}\) = (.42+.12   .18+.28)
= (.54  .46)
ஓராண்டிற்குப் பிறகு 54% பேர் புதிய போக்குவரத்து வசதியையும் , 46% பேர் மெட்ரோ ரயிலையும் பயன்படுத்துவர் .
(ii) சமநிலையில் ,
(S   M ) \(\begin{pmatrix} .7 & .3 \\ .3 & .7 \end{pmatrix}\) = (S   M )
(.7S  +.3M .3S + .7M ) = (S   M )
(.7S  +.3M) = S  [இதில் S +M =1,M =1-S]
.7S +.3(1-S )=S 
.7S +.3- 3S = S
0.3 = S -.4S 
0.3 = 0.6S 
  S  =3/6 =1/2 =0.5 மற்றும் M =1-0.5 =0.5
\(\therefore \) காலப்போக்கில் 50% பேர் புதிய போக்குவரத்து வசதியைப் பயன்படுத்துவர் .   

கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பிற்கான அணிச் சமன்பாடு 
\(\left( \begin{matrix} 1 & 1 & 1\\ 1& 2& 3\\ 1& 4& 9\end{matrix} \right) \)\(\left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) \)=\(\left( \begin{matrix} 3\\ 4\\ 6\end{matrix} \right) \)
AX =B 
விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணி 
(A ,B ) = \(\left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 9\end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ 4 \\6 \end{matrix} \right) \)
~  \(\left( \begin{matrix} 1 \\0 \\ 0\end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1\\ 3 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 8\end{matrix}\begin{matrix} 3 \\1 \\3 \end{matrix} \right) \)R₂ ⟶ R₂ - R₁
                      R₃ ⟶ R₃ - R_1
~  \(\left( \begin{matrix} 1 \\0 \\ 0\end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1\\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 2\end{matrix}\begin{matrix} 3 \\1 \\0 \end{matrix} \right) \)R₃ ⟶ R₃ -3 R₂
\(\therefore \quad \)ρ(A,B ) = ρ(A) = 3 = மாறிகளின் எண்ணிக்கை 
எனவே , கொடுக்கப்பட்ட  தொகுப்பானது ஒருங்கமைவுடையது மற்றும் ஒரேயொரு  தீர்வைக் கொண்டது .
கடைசி சமான அணியின்  அணிச் சமன்பாடானது 
\(\left( \begin{matrix} 1& 1 & 1 \\ 0& 1& 2\\ 0& 0& 2\end{matrix} \right) \)\(\left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) \)=\(\left( \begin{matrix} 3\\ 1\\ 0\end{matrix} \right) \)
2z =0 \(\Rightarrow \)z =0
y +2z =1\(\Rightarrow \)y =1
x +y +z =3\(\Rightarrow \) x =3-1 =2
தீர்வு x =2, y =1,z =0.

\(C^{\prime}(\mathrm{x}) =\frac{x^2}{200}+4 \)
\(\frac{d C}{d x} =\frac{x^2}{200}+4 \)
\(\mathrm{C} =\int\left(\frac{x^2}{200}+4\right) d x=\left[\frac{x^3}{600}+4 x\right]+k \)
\(x =0, \mathrm{C}=0\) எனில் \(\mathrm{k}=0 \)
\(\mathrm{C} =\frac{x^3}{600}+4 x \)
\(x =200 \) எனில் 
\(\mathrm{C} =13333.33+800=₹ 14133.33 \)
= ரூ.14,133.33

வட்டத்தின் சமன்பாடு, x²+y²=a²    .....(1)
y=0 என (1) -ல் பிரதியிட x²=a²
⇒ x=±a
கொடுக்கப்பட்ட வளைவரை ஆனது இரு அச்சுகளைப் பொறுத்து சமச்சீர் ஆகும். எனவே தேவைப்படும் பரப்பு = 4 [முதல் கால்பகுதியில் x = 0, x = a எனும் எல்லைக்குள் வரையறுக்கப்படும் அரங்கத்தின் பரப்பு]
=\(4\int _{ 0 }^{ a }{ y } dx\\ \)
=\(4\int _{ 0 }^{ a }{ \sqrt { a^{ 2 }-{ x }^{ 2 } } } dx=4\left[ \frac { x }{ 2 } \sqrt { a^{ 2 }-{ x }^{ 2 } } +\frac { { a }^{ 2 } }{ 2 } \sin^{ -1 }\frac { x }{ a } \right] _{ 0 }^{ a }\)
=\(\left[ 0+\frac { { a }^{ 2 } }{ 2 } \sin^{ -1 }\left( \frac { a }{ a } \right) \right] =4\left( \frac { { a }^{ 2 } }{ 2 } \sin^{ -1 }(1) \right) =4\frac { { a }^{ 2 } }{ 2 } \frac { \pi }{ 2 } \)
= πa²

\(\int \left( x^{ 3 }e^{ 3x } \right) dx\)
\(u=x^{ 3 }\)               
\(u^{ \prime }=3x^{ 2 }\)               
\(u^{ \prime \prime }=6x\)               
\(u^{ \prime \prime }=6\) 
\(\int dv\)\(=\int e^{ 3x }dx\)
v \(=\frac { e^{ 3x } }{ 3 } \)
 \(v_{ 1 }\)\(=\frac { e^{ 3x } }{ 9 } \)
\(v_{ 2 }\)\(=\frac { e^{ 3x } }{ 27 } \)
\(v_{ 3 }\)\(=\frac { e^{ 3x } }{ 81 } \)
\(\int udv\) \(=uv-u^{ \prime }v_{ 1 }^{ - }+u^{ \prime \prime }v_{ 2 }-u^{ \prime \prime }v_{ 3 }+...\)
\(\int x^{ 3 }e^{ 3xdx } =\frac { x^{ 3 }e^{ 5x } }{ 3 } -\frac { 3x^{ 2 }e^{ 3x } }{ 9 } +\frac { 6xe^{ 3x } }{ 27 } -\frac { 6e^{ 3x } }{ 81 } +c\)
\(=e^{ 3x }\left[ \frac { x^{ 3 } }{ 3 } -\frac { x^{ 2 } }{ 3 } +\frac { 2x }{ 9 } -\frac { 2 }{ 27 } \right] +c\)

f'(x)=\(\frac { 1 }{ x } \) 
f(x) = \(\int \frac { dx }{ x } \)
f(x)= log|x| +c
f(1) =\(\frac { \pi }{ 4 } \)
\(\frac { \pi }{ 4 } \)=log 1 +c
c=\(\frac { \pi }{ 4 } \)  (ஃlog 1 =0) 
f(x) = log|x| + \(\frac { \pi }{ 4 } \)

மாறுதல் நிகழ்தகவு அணி T=\(\left( \begin{matrix} 0.25 & 0.75 \\ 0.35 & 0.65 \end{matrix} \right) \)
சமநிலையில், (S F)\(\left( \begin{matrix} 0.25 & 0.75 \\ 0.35 & 0.65 \end{matrix} \right) \)= (S F)
இங்கு S + F = 1
0.25S +0.35F =S 
0.25 S + 0.35 (1 – S) = S
இதை தீர்க்க S =\(\frac { 0.35 }{ 1.10 } \)
⇒ S=0.318 மற்றும் F = 0.682
∴ ஆகாஷின் வெற்றி வாய்ப்பு சராசரி 31.8% ஆகும்.

x ,y என்பன முறையே இரண்டு கணக்குகளிலும் முதலீடு செய்யப்பட்ட தொகை என்க.
x + y = 8600   ..(1)
\(4\cfrac { 3 }{ 4 } \times \cfrac { x }{ 100 } +6\cfrac { 1 }{ 2 } \times \cfrac { y }{ 100 } =431.25\)
\(\Rightarrow \cfrac { 19x }{ 400 } +\cfrac { 13y }{ 3200 } =431.25\)
\(\Rightarrow \cfrac { 19x+26y }{ 400 } =431.25\)
19x + 26y = 172500
x + y = 8600
19x + 26y = 172500   ...(2)
\(\Delta =\left| \begin{matrix} 1 & 1 \\ 19 & 26 \end{matrix} \right| =1(26)-1(19)\)
= 26-19 =7 
\({ \Delta }x=\left| \begin{matrix} 8600 & 1 \\ 172500 & 26 \end{matrix} \right| =8600(26)-1(172500)\)
= 223600 - 172500 = 51100
\(\Delta y=\left| \begin{matrix} 1 & 8600 \\ 19 & 172500 \end{matrix} \right| =1(172500)-19(8600)\)
= 172500 - 163400 = 9100
\(x=\cfrac { \Delta x }{ \Delta } -\cfrac { 51100 }{ 7 } =7300\)
\(y=\cfrac { \Delta y }{ \Delta } =\cfrac { 9100 }{ 7 } =1300\)
\(\therefore\)  4\(\frac{3}{4}\)% -ல் முதலீடு செய்யப்பட்ட தொகை ரூ.7,300
6\(\frac{1}{2}\)% -ல் முதலீடு செய்யப்பட்ட தொகை ரூ.1300

\(\text { PS } =\mathrm{p}_0 x_0-\int_0^{x_0} g(x) d x \)
\( =24-\int_0^2\left(2 x^2+4\right) d x \)
\(=24-\left[\frac{2 x^3}{3}+4 x\right]_0^2=24-\left[\frac{16}{3}+8\right] \)
\(=16-\frac{16}{3}=\frac{32}{3} \) அலகுகள்

பரப்பு \(=\int_1^2 \frac{d x}{x}=[\log x]_1^2\)
\( =\log 2-\log 1=\log 2\)ச.அலகுகள்

\(\int _{ 2 }^{ 4 }{ \frac { dx }{ x } } = { { \left[ \log x \right] }^{ 4 }_{ 2 } }\)
= log 4 - log 2 = log 4/2 = log 2

\(\int { \frac { \sin2x }{ 2\sin x } } \)dx = \(\int { \frac { 2\sin \cos x }{ 2\sin x } } dx \)
= ∫cos x = ∫sin x + c

\(\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \\ 3 & 2 & k \end{matrix} \right| \) ≠0 
1(k + 2)-1(2k +3)+ 1(4-3) ≠ 0
k+ 2-2k-3+ 1 ≠ 0
-k ≠ 0 ⇒ k ≠ 0

A = \(\left( \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 9 \end{matrix} \right) \)
~ \(\left( \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & 8 \end{matrix} \right)R_2 \rightarrow R_2 - R_1\\ \quad \quad \quad \quad \quad R_3\rightarrow R_3 -R_1 \)
 

~ \(\left( \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix} \right)R_3 \rightarrow R_3 - 3R_2\)
ρ(A)= 3