A = \(\left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 3 & -6 \end{matrix} \right) \)என்க 
A -ன்  வரிசை 2 x 2, எனவே ρ(A) \(\le \) 2
\(\sim \)\(\left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 0 & -3 \end{matrix} \right) \) R₂ → R₂ -3R₁ 
அணியின் தரம்  ρ(A) = 2

\(A=\left( \begin{matrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{matrix} \right) \) என்க 
A -ன்  வரிசை 2 x 2, எனவே ρ(A) \(\le \) 2
\(\sim \left( \begin{matrix} 5 & 6 \\ 0 & -2 \end{matrix} \right) \)   R₂ ⟶ 5R₂ -7R₁ 
அணியின் தரம் ρ(A)=2

x + 4y + 3z = 2,
2x−6y + 6z = −3,
5x− 2y + 3z = −5
\(\Delta =\left| \begin{matrix} 1 & 4 & 3 \\ 2 & -6 & 6 \\ 5 & -2 & 3 \end{matrix} \right| \)
= \(1\left| \begin{matrix} -6 & 6 \\ -2 & 3 \end{matrix} \right| -4\left| \begin{matrix} 2 & 6 \\ 5 & 3 \end{matrix} \right| +3\left| \begin{matrix} 2 & -6 \\ 5 & -2 \end{matrix} \right| \)
= 1(-18 + 12) - 4(6 - 30) +3 (- 4 +30)
= 1(- 6) - 4(- 24) + 3(26)
= - 6 + 96 + 78 = 168 \(\neq \) 0
கிரேமரின் விதியைப் பயன்படுத்தலாம்.
\(\Delta x=\left| \begin{matrix} 2 & 4 & 3 \\ -3 & -6 & 6 \\ -5 & -2 & 3 \end{matrix} \right| \)
= \(2\left| \begin{matrix} -6 & 6 \\ -2 & 3 \end{matrix} \right| -4\left| \begin{matrix} -3 & 6 \\ -5 & 3 \end{matrix} \right| +3\left| \begin{matrix} -3 & -6 \\ -5 & -2 \end{matrix} \right| \)
= 2 (- 18 + 12) - 4(- 9 +30) + 3(6 -30)
= 2(- 6) - 4(21) + 3(- 24)
= -12-84-72 =-168
\(\Delta y=\left| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & -3 & 6 \\ 5 & -5 & 3 \end{matrix} \right| =1\left| \begin{matrix} -3 & 6 \\ -5 & 3 \end{matrix} \right| -2\left| \begin{matrix} 2 & 6 \\ 5 & 3 \end{matrix} \right| +3\left| \begin{matrix} 2 & -3 \\ 5 & -5 \end{matrix} \right| \)
= 1 (-9+30)-2(6-30)+3(- 10+ 15)
= 1(21) - 2(- 24) + 3(5)
= 21 + 48 + 15 = 84
\(\Delta z=\left| \begin{matrix} 1 & 4 & 2 \\ 2 & -6 & -3 \\ 5 & -2 & -5 \end{matrix} \right| \)
= \(1\left| \begin{matrix} -6 & -3 \\ -2 & -5 \end{matrix} \right| -4\left| \begin{matrix} 2 & -3 \\ 5 & -5 \end{matrix} \right| +2\left| \begin{matrix} 2 & -6 \\ 5 & -2 \end{matrix} \right| \)
= 1(30-6)-4(-10+ 15)+2(-4+30)
= 24 - 4(5) + 2(26)
= 24 - 20 + 52 = 56


தீர்வு  : {x,y,z} = \(\left\{ -1,\frac { 1 }{ 2 } ,\frac { 1 }{ 3 } \right\} \).

x + y + z = 6,
2x + 3y− z =5,
6x−2y− 3z = −7
\(\Delta =\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & -1 \\ 6 & -2 & -3 \end{matrix} \right| \)
= \(1\left| \begin{matrix} 3 & -1 \\ -2 & -3 \end{matrix} \right| -1\left| \begin{matrix} 2 & -1 \\ 6 & 3 \end{matrix} \right| +1\left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 6 & -2 \end{matrix} \right| \)
= 1(-9 -2) -1(-6 +6) + 1(-4 -18)
= 1(-11) -1(0) +1(-22)
= -11 -22 = -33 \(\neq \)0
\(\Delta \neq 0\) 
கிரேமரின் விதியைப் பயன்படுத்தலாம் 
\(\Delta x=\left| \begin{matrix} 6 & 1 & 1 \\ 5 & 3 & -1 \\ -7 & -2 & -3 \end{matrix} \right| \)
= \(6\left| \begin{matrix} 3 & -1 \\ -2 & -3 \end{matrix} \right| -1\left| \begin{matrix} 5 & -1 \\ -7 & -3 \end{matrix} \right| +1\left| \begin{matrix} 5 & 3 \\ -7 & -2 \end{matrix} \right| \)
= 6 (-9 -2) -1(-15 -7) + 1(-10 +21)
= 6 (-11) -1 (-22) + 1 (11)
= -66 + 22 + 11= - 33
\(\Delta y=\left| \begin{matrix} 1 & 6 & 1 \\ 2 & 5 & -1 \\ 6 & -7 & -3 \end{matrix} \right| \)
= \(1\left| \begin{matrix} 5 & -1 \\ -7 & -3 \end{matrix} \right| -6\left| \begin{matrix} 2 & -1 \\ 6 & -3 \end{matrix} \right| +1\left| \begin{matrix} 2 & 5 \\ 6 & -7 \end{matrix} \right| \)
= 1(-15 -7) -6(-6 +6) + 1(-14 -30)
= 1(-22) -6(0) + 1 (-44)
= -22 - 44 = - 66
\(\Delta z=\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 6 \\ 2 & 3 & 5 \\ 6 & -2 & -7 \end{matrix} \right| \)
= \(=1\left| \begin{matrix} 3 & 5 \\ -2 & -7 \end{matrix} \right| -1\left| \begin{matrix} 2 & 5 \\ 6 & -7 \end{matrix} \right| +6\left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 6 & -2 \end{matrix} \right| \)

= 1(-21 +10) -1(-14 -30) +6 (-4 -18)
=1(-11) -1(-44) +6(-22)
= -11 + 44 - 132 = - 99

\(\therefore\)  தீர்வு : {x,y,z} = {1,2,3}

சமன்பாடுகள்
x+y+z=1
3x-y-z=4
x+5y+5z=k
அணிச் சமன்பாடு ,
\(\left( \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & -1 \\ 1 & 5 & 5 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} 1 \\ 4 \\ k \end{matrix} \right) \)
AX =B 
விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணி 
(A ,B ) =\(\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & -1 & 4 \\ 1 & 5 & 5 & k \end{pmatrix}\quad \)
~\(\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -4 & -4 & 1 \\ 0 & 4 & 4 & k-1 \end{pmatrix}\quad { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 3 }-3{ R }_{ 1 }\\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-\quad { R }_{ 1 }\quad \)
~\(\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -4 & -4 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & k \end{pmatrix}\)\(\quad { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }+{ R }_{ 2 }\quad \)
சமன்பாடுகள் ஒருங்கமையற்றதாக இருக்க ,
\(\rho \)(A ,B ) \(\neq \) 2
ஃ k \(\neq \) 0

x ,y ,z  என்பன முறையே A ,B மற்றும் C  ஆகிய பொருட்களின் ஓரலகிற்கான தரகுத் தொகை என்க .
90x + 100y + 20z = 800
130x + 50y+ 40z = 900
60x + 100y + 30z = 850
அனைத்து சமன்பாடுகளையும் 10-ஆல் வகுக்க 
9x + 10y + 2z = 80
13x + 5y+ 4z = 90
6x + 10y + 3z = 85
\(\Delta =\begin{vmatrix} 9 & 10 & 2 \\ 13 & 5 & 4 \\ 6 & 10 & 3 \end{vmatrix}\)
= 9 (15 - 40) - 10 (39 - 24) + 2 (130 - 30)
= 9(- 25) -10(15) + 2(100)
= - 225 - 150 + 200
= -175\(\neq \)0
∴ கிரேமரின் விதியைப் பயன்படுத்தலாம் .
\({ \Delta }_{ x }=\begin{vmatrix} 80 & 10 & 2 \\ 90 & 5 & 4 \\ 85 & 10 & 3 \end{vmatrix}\)
= 80 (15 - 40) -10 (270 - 340) + 2 (900 - 425)
= -2000 + 700 + 950
=-350
\({ \Delta }_{ y }=\begin{vmatrix} 9 & 80 & 2 \\ 13 & 90 & 4 \\ 6 & 85 & 3 \end{vmatrix}\)
= 9(270 - 340) - 80(39 - 24) + 2(1105 - 540)
= - 630 - 1200 + 1130
=-700
\({ \Delta }_{ z }=\begin{vmatrix} 9 & 10 & 80 \\ 13 & 5 & 90 \\ 6 & 10 & 85 \end{vmatrix}\)
= 9(425 - 900) - 10(1105 - 540) + 80(130 - 30)
= - 4275 - 5650 + 8000 = -1925
\(x=\frac { { \Delta }_{ x } }{ { \Delta } } =\frac { -350 }{ -175 } =2\\ y=\frac { { \Delta }_{ y } }{ { \Delta } } =\frac { -700 }{ -175 } =4\\ z=\frac { { \Delta }_{ z } }{ { \Delta } } =\frac { -1925 }{ -175 } =11\\ \)
' A ' வின் ஓரலகிற்கான தரகுத் தொகை  Rs. 2
' B  ' வின் ஓரலகிற்கான தரகுத் தொகை  Rs. 4
' C ' வின்  ஓரலகிற்கான தரகுத் தொகை  Rs.11

சமன்பாடு 
2x+3y-z=5
3x-y+4z=2
x+7y-6z=k
அணி சமன்பாடு ,
 \(\left( \begin{matrix} 2 & 3 & -1 \\ 3 & -1 & 4 \\ 1 & 7 & -6 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} 5 \\ 2 \\ k \end{matrix} \right) \)
    AX =B 
விரிவுபடுத்தப்பட்டு அணி 
(A ,B ) = \(\begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 & 5 \\ 3 & -1 & 4 & 2 \\ 1 & 7 & -6 & k \end{pmatrix}\quad \)
\(\sim \begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 & 5 \\ 0 & -11 & 11 & -11 \\ 0 & 11 & -11 & 2k-5 \end{pmatrix}{ R }_{ 2 }\rightarrow 2{ R }_{ 2 }-{ 3R }_{ 1 }\\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad { R }_{ 3 }\rightarrow 2{ R }_{ 1 }-{ R }_{ 1 }\)
\(\sim \begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 & 5 \\ 0 & -11 & 11 & -11 \\ 0 & 0 & 0 & 2k-16 \end{pmatrix}{ R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }+{ R }_{ 2 }\)
சமன்பாடுகள் ஒருங்கமைவுள்ளதால் 
\(\rho \)(A ,B ) =3 ,\(\rho \)(A ) = 2
ஃ  2k -16 =0
2k = 16
k=8

மாறுதல் நிகழ்தகவு அணி 
        A    B 
T = \(\underset { B }{ A } \left( \begin{matrix} 0.65 & 0.35 \\ 0.45 & 0.55 \end{matrix} \right) \)
ஓராண்டிற்கு பிறகு பங்கீடுகள் 
 (0.15  0.85) \(\left( \begin{matrix} 0.65 & 0.35 \\ 0.45 & 0.55 \end{matrix} \right) \)
= (0.0975+ 0.3825+0.0525+0.4675)
= (0.48 0.52)
ஓராண்டிற்குப் பிறகு 'A ' -ன் பங்கீடு 48% மற்றும் 'B ' -ன் பங்கீடு 52%
(A B ) \(\left( \begin{matrix} 0.65 & 0.35 \\ 0.45 & 0.55 \end{matrix} \right) \)= (A B )
(0.65 A + 0.45B 0.35 A +0.55 B) = (A B)
0.65 A + 0.45 B = A
இதில் A + B = 1
0.65A + 0.45 (1 - A) = A மேலும் B = 1 - A
0.65A + 0.45-0.45A = A
0.2A + 0.45 = A
0.45 = A - 0.2A
0.45 = 0.8A
\(A=\frac { 0.45 }{0.8 } \) = 0.5625
∴ B = 1 - A =1-0.5625 = 0.4375
'A'ன் பங்கீடு 56.25% மற்றும் ‘B' ன் பங்கீடு 43.75% எனும்போது சமநிலை எட்டப்படும்.

(i ) மாறுதல் நிகழ்தகவு அணி 
              S    M 
T =\(\underset { { { M } } }{ S } \begin{pmatrix} .7 & .3 \\ .3 & .7 \end{pmatrix}\)
தொடக்க நிலை =(.6 .4)
ஓராண்டிற்கு பிறகு 
 (.6  .4) \(\begin{pmatrix} .7 & .3 \\ .3 & .7 \end{pmatrix}\) = (.42+.12   .18+.28)
= (.54  .46)
ஓராண்டிற்குப் பிறகு 54% பேர் புதிய போக்குவரத்து வசதியையும் , 46% பேர் மெட்ரோ ரயிலையும் பயன்படுத்துவர் .
(ii) சமநிலையில் ,
(S   M ) \(\begin{pmatrix} .7 & .3 \\ .3 & .7 \end{pmatrix}\) = (S   M )
(.7S  +.3M .3S + .7M ) = (S   M )
(.7S  +.3M) = S  [இதில் S +M =1,M =1-S]
.7S +.3(1-S )=S 
.7S +.3- 3S = S
0.3 = S -.4S 
0.3 = 0.6S 
  S  =3/6 =1/2 =0.5 மற்றும் M =1-0.5 =0.5
\(\therefore \) காலப்போக்கில் 50% பேர் புதிய போக்குவரத்து வசதியைப் பயன்படுத்துவர் .   

x ,y ,z என்பன முறையே வகை I ,II மற்றும் III ஆகியவற்றின் எடைகள் என்க.
எனவே , சமன்பாடுகள் 
x + 2y + 3z = 11
2x + 4y + 5z = 21
3x + 5y + 6z = 27
\(\Delta =\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 6 \end{vmatrix}\)
    = 1(24-25)-2(12-15)+3(10-12)
    = -1+6-6
    =-1\(\neq \)0
\(\therefore \) கிரேமரின் விதியை பயன்படுத்தலாம் .
\(\Delta _{ x }=\begin{vmatrix} 11 & 2 & 3 \\ 21 & 4 & 5 \\ 27 & 5 & 6 \end{vmatrix}\)
      = 11(24-25)-2(126-135) + 3(105-108)
       = -11+18-9 = -2
\(\Delta _{ y }=\begin{vmatrix} 1 & 11 & 3 \\ 2 & 21 & 5 \\ 3 & 27 & 6 \end{vmatrix}\)
      = 1(126 -135)-11(12-15)+3(54-63)
       = -9+33-27 =-3
\(\Delta _{ z }=\begin{vmatrix} 1 & 2 & 11 \\ 2 & 4 & 21 \\ 3 & 5 & 27 \end{vmatrix}\)
       = 1(108 -105)-2(54-63)+11(10-12)
       = 3+18-22 =-1
\(x=\cfrac { { \Delta }_{ x } }{ \Delta } =\cfrac { -2 }{ -1 } =2\)
\(y=\cfrac { { \Delta }_{ y } }{ \Delta } =\cfrac { -3 }{ -1 } =3\)
\(z=\cfrac { { \Delta }_{ z } }{ \Delta } =\cfrac { -1 }{ -1 } =1\)
தரங்கள்  I,II,மற்றும் III ஆகியவற்றின் எடைகள் முறையே 2,3 மற்றும் 1.

x ,y மற்றும் z என்பன முறையே 6% ,7% மற்றும் 8% பத்திரங்களில் இடப்பட்ட தொகை என்க.
x +y +z  = 5000
\(\frac { 6x }{ 100 } +\frac { 7y }{ 100 }+\frac { 8z }{ 100 } = 358\)
 6x +7y +8z  = 35800
\(\frac { 6x }{ 100 } +\frac { 7y }{ 100 }-\frac { 8z }{ 100 } = 70\)
  6x +7y -8z  = 7000
கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பிற்கான அணிச் சமன்பாடு 
\(\left( \begin{matrix}1 & 1& 1\\ 6&7&8\\ 6&7& -8\end{matrix} \right) \)\(\left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) \)=\(\left( \begin{matrix} 5000\\35800\\ 7000\end{matrix} \right) \)
      AX = B
விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணி 
(A,B)  = \(\left( \begin{matrix}1 & 1 & 1 &5000\\6&7&8&35800 \\ 6& 7& -8 &7000\end{matrix} \right) \)
~ \(\left( \begin{matrix}1 & 1 & 1 &5000\\0&1&2&5800 \\0& 1& -14 &-23000\end{matrix} \right) \) R₂ ⟶ R₂ - 6R₁
                                              R₃ ⟶ R₃ - 6R_1
~ \(\left( \begin{matrix}1 & 1 & 1 &5000\\0&1&2&5800 \\0& 1& -16 &-28800\end{matrix} \right) \) R₃ ⟶ R₃ - R₂
ρ(A,B ) = ρ(A) = 3 = (மாறிகளின் எண்ணிக்கை )
சமன்பாட்டு தொகுப்பானது ஒருங்கமைவுடையது மற்றும் ஒரேயொரு தீர்வைக் கொண்டது.
கடைசி சமான அணியின் மாற்றப்பட்ட அணிச் சமன்பாடு 
\(\left( \begin{matrix}1 & 1& 1\\0&1&2\\ 0&0& -16\end{matrix} \right) \) \(\left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) \)=\(\left( \begin{matrix} 5000\\5800\\ -28800\end{matrix} \right) \)
-16z  = -28800
z  = 1800
y +2z  = 5800
y = 5800-3600
y = 2200
x +y +z  = 5000
x +2200+1800 = 5000
x =1000
\(\therefore \quad \)6% , 7% மற்றும் 8% பத்திரங்களில் முதலீடு செய்யப்பட்ட தொகை முறையே  ரூ. 1000, ரூ. 2200 மற்றும் ரூ. 1800 ஆகும் .

x ,y ,z  என்பன X ,Y ,மற்றும் Z ஆகிய பொருட்களின் ஓர் அலகிற்கான விலையைக் குறிக்கட்டும் .
2x +3y-6z = 5000
3x-y+2z=2000
-x+3y+z =5500
கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பிற்கான அணிச் சமன்பாடு 
\(\left( \begin{matrix}2 & 3 & -6\\ 3&-1&2\\ -1& 3& 1\end{matrix} \right) \)\(\left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) \)=\(\left( \begin{matrix} 5000\\2000\\ 5500\end{matrix} \right) \)
               AX = B
விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணி 
(A,B)  = \(\left( \begin{matrix}2 & 3 & -6 &5000\\ 3&-1&2&2000\\ -1& 3& 1&5500\end{matrix} \right) \)
~ \(\left( \begin{matrix}2 & 3 & -6 &5000\\ 0&-11&22&-11,000\\ 0& 9& -4&16000\end{matrix} \right) \)R₂ ⟶ 2R₂ - 3R₁
                                                 R₃ ⟶ 2R₃ +R_1
~\(\left( \begin{matrix}2 & 3 & -6 &5000\\ 0&-1&2&-1,000\\ 0& 9& -4&16000\end{matrix} \right) \) \({ R }_{ 2 }\rightarrow \frac { { R }_{ 2 } }{ 11 } \)
~\(\left( \begin{matrix}2 & 3 & -6 &5000\\ 0&-1&2&-1,000\\ 0& 0& 14&7000\end{matrix} \right) \) R₃ ⟶R₃ +9R₂
ρ(A,B ) = ρ(A) = 3 = மாறிகளின் எண்ணிக்கை 
கடைசி சமான அணியின்  அணிச் சமன்பாடானது 
\(\left( \begin{matrix}2 & 3 & -6\\ 0&-1&2\\ 0&0& 14\end{matrix} \right) \)\(\left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) \)=\(\left( \begin{matrix} 5000\\-1000\\ 7000\end{matrix} \right) \)
2x+3y-6z = 5000   ....(1)
 -y +2z = -1000 .....(2)
14z = 7000 .....(3)
(3)\(\Rightarrow \) z =\(\frac { 7000 }{ 14 } \) = 500
-y + 1000 = -1000
-y = -2000
y = 2000
2x+3y-6z = 5000
2x + 6000-3000 = 5000
2x = 5000-3000
2x = 2000
x= 1000
தீர்வு :
X -ன் ஓர் அலகிற்கான  விலை ரூ .1000/-
Y -ன் ஓர் அலகிற்கான  விலை ரூ .2000/-
Z -ன் ஓர் அலகிற்கான  விலை ரூ .500/-

கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பிற்கான அணிச் சமன்பாடு 
\(\left( \begin{matrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & 5 & 7 \\ 2 & 1& -1 \end{matrix} \right) \)\(\left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) \)=\(\left( \begin{matrix} 9 \\ 52\\ 0\end{matrix} \right) \)
       AX =B 
விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணி 
(A ,B ) = \(\left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 5 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 7 \\ -1\end{matrix}\begin{matrix} 9 \\ 52 \\0 \end{matrix} \right) \)
~\(\left( \begin{matrix} 1 \\0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ -1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 5\\ -3\end{matrix}\begin{matrix} 9 \\ 34 \\-18\end{matrix} \right) \)R₂ ⟶ R₂ - 2R₁
                R₃ ⟶ R₃ - 2R₁
~\(\left( \begin{matrix} 1 \\0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 5\\ -4\end{matrix}\begin{matrix} 9 \\ 34 \\-20\end{matrix} \right) \)R₃ ⟶ 3R₃ - R2
இதுவே ஏறுபடிவ வடிவில் உள்ள கடைசி சமான அணியாகும் .
ρ(A,B ) = ρ(A)=3= (மாறிகளின் எண்ணிக்கை )
எனவே , சமன்பாட்டுத் தொகுப்பானது ஒருங்கமைவுடையது மற்றும் ஒரே ஒரு தீர்வைக் கொண்டது .
கடைசி சமான அணியின் மாற்றப்பட்ட அணிச் சமன்பாடு 
\(\left( \begin{matrix} 1 \\0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 5\\ -4\end{matrix}\right) \)\(\left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) \)=\(\left( \begin{matrix} 9 \\ 34\\ -20\end{matrix} \right) \)
x +y +z = 9
3y +5z = 34
-4z = -20
z =5
3y =34-25=9
y =3
x +3+5 = 9
 x =9 - 8 =1
\(\therefore \)  தீர்வு x =1,y =3, z =5.

A =\(\left( \begin{matrix} 1 \\ -2 \\ -1 \end{matrix}\begin{matrix} -2 \\ 4 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ -1 \\ 7 \end{matrix}\begin{matrix} 4 \\ -3 \\ 6 \end{matrix} \right) \) என்க
A -ன் வரிசை  3 x 4 , எனவே ρ(A) ≤ 3
   ∼\(\left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} -2 \\0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ 5 \\ 10 \end{matrix}\begin{matrix} 4 \\ 5 \\ 10\end{matrix} \right) \)R₂ ⟶ R₂ +2R₁
                                           R₃ ⟶ R₃ + R₁
∼ \(\left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} -2 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\5 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 4 \\ 5 \\ 0 \end{matrix} \right) \)R₃ ⟶ R₃- 2R₂
ஏறுபடிவ அணியில் உள்ள பூச்சியமற்ற நிரைகளின் எண்ணிக்கை 2 ஆகும். ∴ ρ(A)= 2.

\(A=\begin{pmatrix} -2 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & 4 & 7 \end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 & 7 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ -2 & 1 & 3 & 4 \end{pmatrix}{ R }_{ 3 }\leftrightarrow { R }_{ 3 }\)
\(\begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 & 7 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 7 & 11 & 18 \end{pmatrix}{ R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-2{ R }_{ 1 }\)
\(\begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 & 7 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 4 & 4 & 4 \end{pmatrix}{ R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-7{ R }_{ 2 }\)
அணியின் தரம் ρ(A)=3