\(\int { \frac { dx }{ \sqrt { { 9x }^{ 2 }-7 } } } \)
\(=\int { \frac { dx }{ \sqrt { 9\left( { x }^{ 2 }-\frac { 7 }{ 9 } \right) } } } \)
\(=\frac { 1 }{ 3 } \int { \frac { dx }{ \sqrt { { x }^{ 2 }{ \left( \frac { \sqrt { 7 } }{ 3 } \right) }^{ 2 } } } } \)
\(\left[ \because \int { \frac { dx }{ \sqrt { { x }^{ 2 }+{ a }^{ 2 } } } =\log { \left| x+\sqrt { { x }^{ 2 }+{ a }^{ 2 } } \right| +c } } \right] \)
\(=\frac { 1 }{ 3 } \log { \left| x+\sqrt { { x }^{ 2 }-\frac { 7 }{ 9 } } \right| } +c\)
\(=\frac { 1 }{ 3 } \log { \left| x+\sqrt { \frac { { 9x }^{ 2 }-7 }{ 3 } } \right| } +c\)
\(=\frac { 1 }{ 3 } \log { \left| 3x+\sqrt { { 9x }^{ 2 }-7 } \right| } +c\)

\(\int { \frac { { e }^{ x }dx }{ { e }^{ 2x }-9 } } dx\)
\(=\int { \frac { { e }^{ x }dx }{ { \left( { e }^{ x } \right) }^{ 2 }-9 } } \)
\( { e }^{ x }=t\Rightarrow { e }^{ x }dx=dt\)
\(\therefore I=\int { \frac { dt }{ { t }^{ 2 }-9 } } =\int { \frac { dt }{ { t }^{ 2 }-{ 3 }^{ 2 } } } \)
\(=\frac { 1 }{ 2\times 3 } \log { \left| \frac { t-3 }{ t+3 } \right| } +c\)
\(\left[ \because \int { \frac { dx }{ { x }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } } =\frac { 1 }{ 2a } \log { \left| \frac { x-a }{ x+a } \right| } +c \right] \)
\(=\frac { 1 }{ 6 } \log { \left| \frac { { e }^{ x }-3 }{ { e }^{ x }+3 } \right| } +c\)

\(\int (2\cos x-3\sin x+4\sec^{ 2 }x-5cosec^{ 2 }x)dx \)
= 2sin x+3cos x+4tan x+5cot x+c

\(\int \frac { { x }^{ 3 } }{ x+2 } dx\)

\(x^{ 3 }=(x+2)\left( x^{ 2 }-2x+4 \right) -8\)
\(\int \frac { x^{ 3 } }{ x+2 } dx=\int \left( x^{ 2 }-2x+4 \right) dx-8\int \frac { dx }{ x+2 }\)
\(=\frac { x^{ 3 } }{ 3 } -\frac { 2x^{ 2 } }{ 2 } +4x-8\log |x+2|+c\)
\(=\frac { x^{ 3 } }{ 3 } -x^{ 2 }+4x-8\log |x+2|+c\)

\(\int \frac { x^{ 4 }-x^{ 2 }+2 }{ x-1 } dx\)
\(=\int \frac { x^{ 2 }\left( x^{ 2 }-1 \right) }{ x-1 } dx+2\int \frac { dx }{ x-1 } \)
\(=\int \frac { x^{ 2 }(x+1)(x-1) }{ x-1 } dx+2\log |x-1|+c\)
\(=\int \left( x^{ 3 }+x^{ 2 } \right) dx+2\log |x-1|+c\)
\(=\frac { x^{ 4 } }{ 4 } +\frac { x^{ 3 } }{ 3 } +2\log |x-1|+c\)

\(\int (3+x)(2-5x)dx\quad =\int \left( 6-15x+2x-5x^{ 2 } \right) dx\)
\(=\int \left( 6-13x-5x^{ 2 } \right) dx\)
\(=6x-\frac { 13x^{ 2 } }{ 2 } -\frac { 5x^{ 3 } }{ 3 } +c\)

\(\int _{ 0 }^{ 1 }{ f\left( x \right) } dx=2\) \(\Rightarrow \int _{ 0 }^{ 1 }{ cx } dx=2\)
\(\Rightarrow c{ \left[ \frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } \right] }_{ 0 }^{ 1 }=2\)
\(\Rightarrow \frac { c }{ 2 } \left( 1/2-0 \right) =2\) ⇒ c = 4

\(\int _{ 0 }^{ 3 }{ \frac { { e }^{ x } }{ 1+{ e }^{ x } } } dx\)
t = 1+ e^x
⇒ dt = e^x dx
இங்கு  x = 0, t = 1+e⁰ = 1+1=2
x = 3, t = 1+e³
\(\int _{ 0 }^{ 3 }{ \frac { { e }^{ x } }{ 1+{ e }^{ x } } } dx=\int _{ 2 }^{ 1+{ e }^{ 3 } }{ \frac { dt }{ t } } ={ { \left[ log\quad t \right] }_{ 2 } }^{ 1+{ e }^{ 3 } }\)
= log (1+e³) - log2
\(=\log { \left( \frac { 1+{ e }^{ 3 } }{ 2 } \right) } \)

\(\int _{ 1 }^{ 2 }{ \frac { x \ dx }{ { x }^{ 2 }+1 } } \)
\( t={ { x }^{ 2 }+1 }\)
\(\Rightarrow dt=2x\ dx\)
\(\Rightarrow \frac { dt }{ 2 } =x\ dx\)
\(\therefore \int _{ 1 }^{ 2 }{ \frac { x \ dx }{ { x }^{ 2 }+1 } } =\frac { 1 }{ 2 } \int _{ 2 }^{ 5 }{ \frac { dt }{ t } } \)
\(=\frac { 1 }{ 2 } { { \left[ \log { \left| t \right| } \right] }_{ 2 } }^{ 5 }\)
\(=\frac { 1 }{ 2 } [\log 5-\log 2 ]=\frac { 1 }{ 2 } \log { \left( \frac { 5 }{ 2 } \right) } \)
இங்கு  \(x=1,t={ { 1 }^{ 2 } }+1=2\)
\(x=2,t={ 2 }^{ 2 }+1=5\)

\(\int { { e }^{ x }\left[ \frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } -\frac { 2 }{ { x }^{ 3 } } \right] } dx\)
\(f\left( x \right) =\frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } ={ x }^{ -2 }\)
\(\int { { e }^{ x } } \left[ f\left( x \right) +f^{ ' }\left( x \right) \right] dx = e^x f (x)+c \)
\(\int { e }^{ x }(\frac {1}{x^2}-\frac {2}{x^3})dx \)
\(={ e }^{ x }\frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } +c\)

\( \int\left(\frac{e^{3 \log x}}{x^{4}+1}\right) d x =\int \frac{e^{\log x^{3}}}{x^{4}+1} d x \)
\(=\int \frac{x^{3}}{x^{4}+1} d x \)
\(= \frac{1}{4} \int \frac{d t}{t} =\frac{1}{4} \log t+c \)
= 1/4 log |x⁴+1| + c

\(f^{ \prime }(x)\)\(={ e }^{ x }\)
\(f(x)\)\(=\int e^{ x }dx\)
\(=e^{ x }+c\)
\(f(0)\)=2
\(2=e^{ 0 }+c\Rightarrow c=2-1=1\)
f(x)=e^x+1

\(\int \sqrt { x } \left( x^{ 3 }-2x+3 \right) dx=\int x^{ \frac { 1 }{ 2 } }\left( x^{ 3 }-2x+3 \right) dx\)
\(=\int \left( x^{ 3+\frac { 1 }{ 2 } }-2x^{ 1+\frac { 1 }{ 2 } }+3x^{ \frac { 1 }{ 2 } } \right) dx\)
\(=\int \left( x^{ \frac { 7 }{ 2 } }-2x^{ \frac { 3 }{ 2 } }+3x^{ \frac { 1 }{ 2 } } \right) dx\)
\(=\frac { x^{ \frac { 9 }{ 2 } } }{ \frac { 9 }{ 2 } } -\frac { 2x^{ \frac { 5 }{ 2 } } }{ \frac { 5 }{ 2 } } +\frac { 3x^{ \frac { 3 }{ 2 } } }{ \frac { 3 }{ 2 } } +c\)
\(=\frac { 2x^{ \frac { 9 }{ 2 } } }{ 9 } -\frac { 4x^{ \frac { 5 }{ 2 } } }{ 5 } +2x^{ \frac { 3 }{ 2 } }+c\)

\(\int { \frac { 1 }{ x\left( { x }^{ 2 }+1 \right) } } dx\)
\(=\log { \left| x \right| } -\frac { 1 }{ 2 } \log { \left| { x }^{ 2 }+1 \right| } +c\quad \)
\(\left[ \because t={ x }^{ 2 }+1\Rightarrow dt=2x\quad dx\ \therefore \int { \frac { 2x\ dx }{ { x }^{ 2 }+1 } } =\int { \frac { dt }{ t } =\log { \left| t \right| =\log { \left| { x }^{ 2 }+1 \right| } } } \right] \)
\(\frac { 1 }{ x\left( { x }^{ 2 }+1 \right) } =\frac { A }{ x } +\frac { Bx+C }{ { x }^{ 2 }+1 } \)
\(\Rightarrow 1=A\left( { x }^{ 2 }+1 \right) +\left( Bx+C \right) (x)\)
\(x=0\Rightarrow 1=A\)
(1) ல் x² ன் கெழுக்களைச் சமப்படுத்த 
0 = A + B ⇒ B = -1
(1) ல் x ன் கெழுக்களைச் சமப்படுத்த 
0 = C ⇒ C = 0
\(=\int { \left( \frac { A }{ x } +\frac { Bx+C }{ { x }^{ 2 }+1 } \right) } dx\)
\(=\int { \left( \frac { 1 }{ x } +\frac { -x+0 }{ { x }^{ 2 }+1 } \right) } dx\)
\(=\int { \frac { 1 }{ x } } dx-\int { \frac { x }{ { x }^{ 2 }+1 } } dx\)
\(\int \frac {dx }{x (x^2+1}=\int \frac {dt }{x} -\frac { 1 }{ 2 } \int { \frac { 2x }{ { x }^{ 2 }+1 } }dx \) 
​​​​​​​= log|x|-\(\frac{1}{2}\)log|x²+1|+c

\(\int \left( x^{ 5 }e^{ x^{ 2 } } \right) dx=\int \left( x^{ 2 } \right) ^{ 2 }xe^{ x^{ 2 } }dx=\int \left( x^{ 2 } \right) ^{ 2 }e^{ x^{ 2 } }xdx\)
\(t=x^{ 2 }\)
dt \(=2xdx\Rightarrow xdx=\frac { dt }{ 2 } \)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \int t^{ 2 }e^{ t }dt\)
u=t              
u' =2t          
u''=2
\(\int dv=\int e^{ t }dt\)
\(v=e^{ t }\)
\(v_{ 1 }=e^{ t }\)
\(v_{ 2 }=e^{ t }\)
\(\int u dv\) =\(uv-u^{ \prime }v_{ 1 }+u^{ '' }v_{ 2 }\)
\(\int t^{ 2 }e^{ t }dt\)=\(=t^{ 2 }e^{ t }-2te^{ t }+2e^{ t }+c\)
\(\int x^{ 5 }e^{ x^{ 2 } }dx\)=\(\frac { 1 }{ 2 } \left[ x^{ 4 }e^{ x^{ 2 } }-2x^{ 2 }e^{ x^{ 2 } }+2e^{ x^{ 2 } } \right] +c\)
\(=\frac { 1 }{ 2 } e^{ x^{ 3 } }\left[ x^{ 4 }-2x^{ 2 }+2 \right] +c\)