\(y=c(x-c)^2\)
\(\frac{d y}{d x}=2 c(x-c) \)
\(\frac {(1)}{(2)} \Rightarrow \frac{y}{\frac{d y}{d x}}=\frac{c(x-c)^2}{2 c(x-c)} \)
\(\frac{y}{\frac{d y}{d x}}=\frac{x-c}{2} \)
\( \frac{2 y}{\frac{d y}{d x}}=x-c \Rightarrow c=x-\frac{2 y}{\frac{d y}{d x}}\)
(1) - ல் பிரதியிட
\(\mathrm{y}  =\left(x-\frac{2 y}{\frac{d y}{d x}}\right)\left(\frac{2 y}{\frac{d y}{d x}}\right)^2 \)
\(y\left(\frac{d y}{d x}\right)^3  =4 \mathrm{y}^2\left(x \frac{d y}{d x}-2 y\right)^2\)
\(\left( \frac { dy }{ dx } \right) ^{ 3 }-4xy\frac { dy }{ dx } +8y^{ 2 }\)

(D²-3D-4)=0
துணைச் சமன்பாடு :
m²-3m-4
⇒ (m-4)(m+1)=0
m=-1,4
மூலங்கள் மெய் மற்றும் வெவ்வேறானவை.
∴ நிரப்புச் சார்பு: CF=Ae^-x+Be^4x
பொதுத் தீர்வு : y=Ae^-x+Be^4x

\(x \frac{d y}{d x}+2 y=x^4\)
x - ல் வகுக்க
\(\frac{d y}{d x}+\frac{2 y}{x}  =x^3 \)
\(\mathrm{P}=2 / x, \mathrm{Q}  =x^3 \)
\(\int P d x  =2 \int \frac{d x}{x}=2 \log x =\log x^2 \)
தொ.கா. \(=e^{\int P d x}=e^{\log x^2}=x^2 \)
\(y e^{\int P d x}  =\int Q e^{\int P d x} d x+c \)
\(\mathrm{y} x^2  =\int x^3 x^2 d x+c \)
\(x^2 \mathrm{y}  =\int x^5 d x+c \)
\(x^2 \mathrm{y}  =\frac{x^6}{6}+c\)
x²y=\(\frac { { x }^{ 6 } }{ 6 } \)+c

\((x-y) \frac{d y}{d x} =x+3 y \)
\(\frac{d y}{d x} =\frac{x+3 y}{x-y} \)
y=vx மற்றும் \(\frac { dy }{ dx } =v+x\frac { dv }{ dx } \) என (1) –ல் பிரதியிட,
\(v+x \frac{d v}{d x} =\frac{x+3 v x}{x-v x} \)
\(x \frac{d v}{d x} =\frac{1+3 v}{1-v}-v \)
\(x \frac{d v}{d x} =\frac{1+3 v-v+v^2}{1-v} \)
\(x \frac{d v}{d x} =\frac{1+2 v+v^2}{1-v} \)
\(x \frac{d v}{d x} =\frac{(1+v)^2}{1-v} \)
\( \int \frac{(1-v)}{(1+v)^2} d v=\int \frac{d x}{x} \)
\( \int \frac{d v}{(1+v)^2}-\int \frac{v d v}{(1+v)^2}=\log x+\log c \)
\( \int \frac{d v}{(1+v)^2}-\int \frac{1+v-1}{(1+v)^2} d v=\log c x \)
\( \int \frac{d v}{(1+v)^2}-\int \frac{1+v}{(1+v)^2} d v+\int \frac{d v}{(1+v)^2}=\log c x \)
\( 2 \int(1+v)^{-2} d v-\int \frac{d v}{1+v}=\log c x \)
\( 2\left[\frac{(1+v)^{-1}}{-1}\right]-\log (1+v)=\log c x \)
\( \frac{-2}{1+\frac{y}{x}}=\log c x+\log (1+\mathrm{v}) \)
\( \frac{-2}{\frac{x+y}{x}}=\log \mathrm{c} x\left(1+\frac{y}{x}\right) \)
\( e^{-2 x / x+y}=c x\left(\frac{x+y}{x}\right) \)
\(\mathrm{c}(x+\mathrm{y})=e^{-2 x /(x+y)} \)
\(x+\mathrm{y}=\frac{1}{c} e^{-2 x /(x+y)} \)
\(x+\mathrm{y}=k e^{-2 x(x+y)} \) இங்கு \(k=\frac{1}{c} \)

(i) y=mx+c        .....(1)
m மட்டுமே மாறத்தக்க மாறிலி என்பதால், ஒருமுறை வகைப்படுத்த கிடைப்பது
\(\frac { dy }{ dx } \)=m        .....(2)
(1) மற்றும் (2) -லிருந்து m-ஐ நீக்குவதால் கிடைக்கும் வகைக்கெழுச் சமன்பாடு
y =x\(\frac { dy }{ dx } \)+c
x\(\frac { dy }{ dx } \)-y+c=0 இதுவே தேவையான முதல் வரிசை வகைக்கெழுச் சமன்பாடு.

(ii) c மாறத்தக்க மாறிலி
சமன்பாடு (1) -ஐ வகைப்படுத்த கிடைப்பது \(\frac { dy }{ dx } \)=m
இந்த சமன்பாட்டில் c நீக்கப்பட்டிருப்பதால், தேவையான வகைக்கெழுச் சமன்பாடு \(\frac { dy }{ dx } \)=m ஆகும்.

(iii) இங்கு m,c ஆகிய இரண்டுமே மாறத்தக்க மாறிலிகள் என்பதால், சமன்பாடு (1) -ஐ இருமுறை வகைப்படுத்த கிடைப்பது
\(\frac { dy }{ dx } \)=m
\(\frac { { d }^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } \)=0
இந்த சமன்பாட்டில் m, c இரண்டுமே நீக்கப்பட்டிருப்பதால் தேவையான வகைக்கெழுச் சமன்பாடு \(\frac { { d }^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } \)=0 ஆகும்.

\( \frac{d y}{d x}=\mathrm{ae}^y \)
\(\int \frac{d y}{e^y}=a \int d x \)
\( \int \mathrm{e}^{-y} d y=\mathrm{a} x+\mathrm{c} \)
\(-\mathrm{e}^{-y}=\mathrm{a} x+\mathrm{c} \)
\( \mathrm{a} x+\mathrm{e}^{-y}+\mathrm{c}=0 \)

\(\frac { dy }{ dx } \)+2y=x³
வரிசை = 1; படி = 1

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டை \(\frac { ydx-xdy }{ { y }^{ 2 } } \)-3x²\({ e }^{ { x }^{ 3 } }\)dx=0 என எழுதலாம்.
தொகையிட, \(\int { \frac { ydx-xdy }{ { y }^{ 2 } } } -\int { 3x^{ 2 }e^{ { x }^{ 3 } } } dx\)=c
\(\int { d\left( \frac { x }{ y } \right) } -\int { { e }^{ t } } dt = c \)   (இங்கு t=x³ மற்றும் dt=3x² dx)
\(\frac { x }{ y } \)-e^t=c
\(\frac { x }{ y } \)-\({ e }^{ { x }^{ 3 } }\)=c

y=e^x(acosx+bsinx)    ......(1)
(1) -ஐ x -ஐ பொறுத்து வகைப்படுத்த, பெறுவது
\(\frac { dy }{ dx } \)=e^x(acosx+bsinx)+e^x(-asinx+bcosx)
=y+e^x(-asinx+bcosx)  ((1) -லிருந்து )
⇒ \(\frac { dy }{ dx } \)-y=e^x(-asinx+bcosx)    ....(2)
மீண்டும் வகைப்படுத்த கிடைப்பது
\(\frac { { d }^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } -\frac { dy }{ dx } \)=e^x(-asinx+bcosx)+e^x(-acosx-bsinx)
\(\frac { { d }^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } -\frac { dy }{ dx } \)=e^x(-asinx+bcosx)-e^x(acosx+bsinx)
\(\frac { { d }^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } -\frac { dy }{ dx } \)=\(\left( \frac { dy }{ dx } -y \right) \) 
((1) மற்றும் (2) லிருந்து)
⇒ \(\frac { { d }^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } -2\frac { dy }{ dx } \)+2y=0 என்பது தேவையான வகைக்கெழுச் சமன்பாடாகும்.

y = அச்சை, ஆதியில் தொடும் வட்டக் குடும்பத்தின் சமன்பாடு 
\((x-0)^2+(y-a)^2  =a^2 \)
\(x^2+y^2+a^2-2 a y  =a^2 \)
\(x^2+y^2-2 a y  =0 \)
\(2 x+2 y \frac{d y}{d x}-2 a \frac{d y}{d x}  =0 \)
\(x+y \frac{d y}{d x}-a \frac{d y}{d x}  =0 \)
\(a  =x \frac{d x}{d y}+y\)
(1) - ல் பிரதியிட
\(x^2+\mathrm{y}^2-2 \mathrm{y}\left(x \frac{d x}{d y}+y\right) =0 \)
\(x^2+\mathrm{y}^2-2 \mathrm{y}^2-2 x \mathrm{y} \frac{d x}{d y} =0\)
\(x^2-\mathrm{y}^2 =2 x \mathrm{y} \frac{d x}{d y} \)
\(\frac{d x}{d y} =\frac{x^2-y^2}{2 x y}\)
\(\frac { dy }{ dx } = \frac{2 x y}{x^2-y^2}\)

(x - α)² + (y - β)² = r² ...(1)
'x' - ஐப் பொறுத்து வகைப்படுத்த,
2 (x - α)² + (y - β)\(\frac { dy }{ dx } \) = r²
⇒ (x - α) + (y - β)\(\frac { dy }{ dx } \) = 0....(2)
'x' - ஐப் பொறுத்து மீண்டும் வகைப்படுத்த,
1+(y-β) \(\frac { d^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } +\frac { dy }{ dx } .\frac { dy }{ dx } \) = 0
⇒ 1+(y-β) \(\frac { d^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } +\left( \frac { dy }{ dx } \right) ^{ 2 }\)= 0
⇒ y-β = \(\frac { -1\left( 1+\left( \frac { dy }{ dx } \right) ^{ 2 } \right) }{ \frac { d^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } } \) 
(2) ல் பிரதியிட
(x-α) = \(\frac { dy }{ dx } \left( \frac { 1+\left( \frac { dy }{ dx } \right) ^{ 2 } }{ \frac { d^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } } \right)= 0 \)  
(x-α) = \(\left( \frac { 1+\left( \frac { dy }{ dx } \right) ^{ 2 }\frac { dy }{ dx } }{ \frac { d^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } } \right) \)
(1) ல் பிரதியிட 
\(\frac { \left\{ 1+\left( \frac { dy }{ dx } \right) ^{ 2 }\left( \frac { dy }{ dx } \right) ^{ 2 } \right\} }{ \left( \frac { d^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } \right) ^{ 2 } } +\frac { \left\{ 1+\left( \frac { dy }{ dx } \right) ^{ 2 } \right\} ^{ 2 } }{ \left( \frac { d^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } \right) ^{ 2 } } = r ^ 2\)
⇒ \(\left[ 1+\left( \frac { dy }{ dx } \right) ^{ 2 } \right] \left[ \left( \frac { dy }{ dx } \right) ^{ 2 }+1 \right] ={ r }^{ 2 }\left( \frac { d^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } \right) \)
⇒ \(\left[ 1+\left( \frac { dy }{ dx } \right) ^{ 2 } \right] ^{ 3 }\)
= \({ r }^{ 2 }\left( \frac { d^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } \right) ^{ 2 }\)

\(\frac { dy }{ dx } \)+ycosx=2cosx
இது \(\frac { dy }{ dx } + Py = Q \) என்ற அமைப்பில் உள்ளது.
இங்கு,\( \mathrm{P}=\cos x, \mathrm{Q}=2 \cos x \)
\( \int P d x=\int \cos x d x=\sin x \)
\( y e^{\int P d x}=\int Q e^{\int P d x} d x+c \)
\( \text { ye } \sin x=\int(2 \cos x) e^{\sin x} d x+c \)
\( \text { ye }{ }^{\sin x}=2 \int \cos x e^{\sin x} d x+c \)
\( \mathrm{t}=\sin x, \mathrm{dt}=\cos x \mathrm{~d} x \)
\( \mathrm{ye}^{\sin x}=2 \int e^t d t+c \)
\( y e^{\operatorname{tin} x}=2 \mathrm{e}^t+\mathrm{c} \)
\( \text { ye } e^{\sin x}=2 \mathrm{e}^{\sin x}+\mathrm{c} \)
ye^sinx=2e^sinx+c

\(\left(D^2+D-6\right) y=e^{3 x}+e^{-3 x}\)
துணைச் சமன்பாடு
\(\mathrm{m}^2+\mathrm{m}-6  =0 \)
\((\mathrm{~m}+3)(\mathrm{m}-2)  =0 \)
\(\mathrm{~m}  =-3,2\)
நிரப்புச் சார்பு: \(A e^{m_1 x}+B e^{m_2 x}=\mathrm{Ae}^{-3 x}+\mathrm{Be}^{2 x}\)
சிறப்புத் தொகை 1: P.I \(I_1=\frac{1}{D^2+D-6} e^{3 x}\)
(D -க்கு பதிலாக 3 -ஐ பதிலிட)
\(\text { P.I } I_1=\frac{1}{9+3-6} e^{3 x}=\frac{e^{3 x}}{6}\)
சிறப்புத் தொகை 2:
\(\text { P.I } I_2=\frac{1}{D^2+D-6} e^{-3 x}\)
(D -க்கு பதிலாக -3 -ஐ பதிலிட)
\( \text { P. } I_2=\frac{1}{9-3-6} e^{-3 x} \)
[D = -3 எனில் \(\left(D^2+D-6\right)=0 \text { ] }\)
\( \therefore \text { P.I } I_2=x \frac{1}{2 D+1} e^{-3 x} \)
\( =x\left(\frac{1}{-6+1}\right) e^{-3 x}=\frac{-x}{5} e^{-3 x}\)
தீர்வு : C.F = P.I₁ + P.I₂
y=Ae^-3x+Be^2x+\(\frac { { e }^{ 3x } }{ 6 } -\frac { x }{ 5 } \)e^-3x

\(\frac { dy }{ dx } =\frac { x-y }{ x+y } \)     .......(1)
இது ஒரு சமபடித்தான வகைக்கெழு சமன்பாடாகும்.
y =vx மற்றும் \(\frac { dy }{ dx } =v+x\frac { dv }{ dx } \) என பிரதியிட,
∴ (i) ⇒ v +\(x\frac { dv }{ dx } =\frac { x-vx }{ x+vx } \) =\(\frac { 1-v }{ 1+v } \)
\(x\frac { dv }{ dx } =\frac { 1-v }{ 1+v } -v\)
=\(\frac { 1-2v-{ v }^{ 2 } }{ 1+v } \)
\(\frac { 1+v }{ { v }^{ 2 }+2v-1 } dv=\frac { dx }{ x } \)
இருபுறமும் 2 ஆல் பெருக்க,
\(\frac { 2+2v }{ { v }^{ 2 }+2v-1 } dv=-2\frac { dx }{ x } \)
தொகையிட,
\(\int { \frac { 2+2v }{ { v }^{ 2 }+2v-1 } dv } =-2\int { \frac { dx }{ x } } \)
log(v²+2v-1)=-2log+logc
v²+2v-1=\(\frac { c }{ { x }^{ 2 } } \)
x²(v²+2v-1)=c
v=\(\frac { y }{ x } \) என்பதால்
x²\(\left[ \frac { { y }^{ 2 } }{ { x }^{ 2 } } +\frac { 2y }{ x } -1 \right] \)=c
∴ y²+2xy-x²=c என்பது தீர்வாகும்.

P(x,y) என்ற ஏதேனும் ஒரு புள்ளியில் வளைவரைக்கு வரையப்பட்ட செங்கோட்டின் சாய்வு=\(\frac { dx }{ dy } \)
Q, (1,0) என்க.
∴ செங்கோடு PQ -ன் சாய்வு =\(\frac { { y }_{ 2 }-{ y }_{ 1 } }{ { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } } \)
அதாவது, \(\frac { y-0 }{ x-1 } =\frac { y }{ x-1 } \)
∴ \(-\frac { dx }{ dy } =\frac { y }{ x-1 } \Rightarrow \frac { dx }{ dy } =\frac { y }{ 1-x } \)
அதாவது, (1-x)dx=ydy
\(\int { (1-x) } dx=\int { y } dy+c\)
\(x-\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } =\frac { { y }^{ 2 } }{ 2 } +c\)          .....(1)
இது (1, 2) வழிச் செல்கிறது.
\(1-\frac { 1 }{ 2 } =\frac { 4 }{ 2 } +c\)
c =\(\frac { 1 }{ 2 } -2=\frac { 3 }{ 2 } \)
c =\(-\frac { 3 }{ 2 } \)  என (1) -ல் பிரதியிட,
\(x-\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } =\frac { { y }^{ 2 } }{ 2 } -\frac { 3 }{ 2 } \)
2x-x²=y²-3
⇒ y²=2x-x²+3 என்பது வளைவரையின் சமன்பாடாகும்.

சிறப்புத் தொகை \(\text { P.I } =\frac{1}{3 D^2+D-14}\left(13 \mathrm{e}^{2 x}\right) \)
D=2 எனில், \(3 \mathrm{D}^2+\mathrm{D}-14=0\)
\( =x\left(\frac{1}{6 D+1}\right) 13 e^{2 x} \)
\( =\frac{13 x e^{2 x}}{13}=x \mathrm{e}^{2 x}\)

\(x^2+y^2 =\mathrm{a}^2 \)
\(2 x+2 \mathrm{y} \frac{d y}{d x} =0 \Rightarrow x \mathrm{~d} x+\mathrm{ydy}=0 \)

\(\alpha=-2, \beta=1\)
மூலங்கள் \(-2 \pm \mathrm{i}\)
மூலங்களின் கூடுதல்
\(=-2+\mathrm{i}+(-2-\mathrm{i})=-4\)
மூலங்களின் பெருக்கல்
\(=(-2+i)(-2-i)=4-i^2=5 \)
\(y_2+4 y_1+5 =0\)

தொகையீட்டுக் காரணி 
\(\text { I.F } =\sec ^2 x \)
\(e^{\int P d x} =\sec ^2 x \)
\(\int \mathrm{P} d x =\log \sec ^2 x \)
\(\mathrm{P} =\frac{d}{d x}\left(\log \sec ^2 x\right)\)
\(=\frac{1}{\sec ^2 x}(2 \sec x \cdot \sec x \tan x) \)
\(\mathrm{P} =2 \tan x \)

சிறப்புத் தொகை \( =\frac{2 e^{4 x}}{(\mathrm{D}-4)^2}\)
D = 4 எனில்,\((\mathrm{D}-4)^2 =0\)
D = 4 எனில்,\(2(\mathrm{D}-4) =0\)
சிறப்புத் தொகை \(=\frac{x^2 2 e^{4 x}}{2}=x^2 e^{4 x}\)

\(\mathrm{m}^2+4 =0 \Rightarrow \mathrm{m}^2=-4 \Rightarrow \mathrm{m} ± 2i \)
\(\alpha  =0, \ \beta=2\)
நிரப்புச் சார்பு : \(\mathrm{A} \cos 2 x+\mathrm{B} \sin 2 x\)

\(\mathrm{y} =\mathrm{ae}^x+\mathrm{be}^{-x} \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\mathrm{ae}^x-\mathrm{be}^{-x} \)
\(\frac{d^2 y}{d x^2} =\mathrm{ae}^x+\mathrm{be}^{-x}=\mathrm{y} \)
\(\frac{d^2 y}{d x^2}-\mathrm{y} =0 \)