(D²-4D-1)y=e^-3x
துணைச் சமன்பாடு:
m²-4m-1=0
(m-2)²-4-1=0
(m-2)²=5
m-2=\(\pm \sqrt { 5 } \)
m=\(\\ 2\pm \sqrt { 5 } \)
C.F=\(Ae^{ (2\pm \sqrt { 5 } )x }+Be^{ 2-\sqrt { 5 } )x }\)
PI=\(\frac { 1 }{ \phi (D) } f(x)\)
=\(\frac { 1 }{ { D }^{ 2 }-4D-1 } e^{ -3x }\)
=\(\frac { 1 }{ (-3)^{ 2 }-4(-3)-1 } e^{ -3x }\) (D க்கு பதிலாக –3ஐ பிரதியிட)
=\(\frac { 1 }{ 9+12-1 } e^{ -3x }\)
=\(\frac { e^{ -3x } }{ 20 } \)
பொதுத் தீர்வு: y=C.F+P.I
y=\(Ae^{ (2\pm \sqrt { 5 } )x }+Be^{ 2-\sqrt { 5 } )x }+\frac { e^{ -3x } }{ 20 } \)

\(\frac { dy }{ dx } +\frac { y }{ x } \)y=x³
இது \(\frac { dy }{ dx } +\frac { 1 }{ x } y\)=Q என்ற வடிவில் உள்ளது.
இங்கு P=\(\frac { 1 }{ x } \), Q=x³
\(\int { P } dx=\int { \frac { 1 }{ x } } dx=logx\)
I.F=\(e^{ \int { pdx } }=e^{ logx }=x\)
தேவையான தீர்வு : y(I.F)=\(\int { Q(I.F)dx } +c\)
yx=\(\int { { x }^{ 3 }.xdx } +c\)
=\(\int { { x }^{ 4 }dx } +c\)
=\(\frac { { x }^{ 5 } }{ 5 } \)+c
∴ yx=\(\frac { { x }^{ 5 } }{ 5 } \)+c

y =\(\frac { a }{ x } \)+b   .....(1)
x -ஐ பொறுத்து வகைப்படுத்தக் கிடைப்பது
\(\frac { dy }{ dx } =\frac { -a }{ { x }^{ 2 } } \)
x²\(\frac { dy }{ dx } \)=-a
மீண்டும் x -ஐ பொறுத்து வகைப்படுத்தக் கிடைப்பது
\({ x }^{ 2 }\frac { { d }^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } +2x\frac { dy }{ dx } \)=0
⇒ \({ x }\frac { { d }^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } +2\frac { dy }{ dx } \)=0
இதுவே தேவையான வகைக்கெழுச் சமன்பாடாகும்.

(9D²-12D+4)y=0
துணைச் சமன்பாடு:
(3m-2)²=0
(3m-2)(3m-2)=0 ⇒ m=\(\frac { 2 }{ 3 } ,\frac { 2 }{ 3 } \)
மூலங்கள் மெய் மற்றும் சமம்
நிரப்புச் சார்பு: C.F=(Ax+B)e^2/3x
பொதுத் தீர்வு: y=(Ax+B)e^2/3x

\(x \frac{d y}{d x}-y =\sqrt{x^2+y^2} \)
\(x \frac{d y}{d x} =y+\sqrt{x^2+y^2} \)
\(\frac{d y}{d x} =\frac{y+\sqrt{x^2+y^2}}{x} \)
y=vx மற்றும் \(\frac { dy }{ dx } =v+x\frac { dv }{ dx } \) என (1) –ல் பிரதியிட,
\( v+x \frac{d v}{d x}=\frac{v x+\sqrt{x^2+v^2 x^2}}{x} \)
\( v+x \frac{d v}{d x}=x \frac{\left(v+\sqrt{1+v^2}\right)}{x} \)
\(v+x \frac{d v}{d x}=v+\sqrt{1+v^2} \)
\( x \frac{d v}{d x}=\sqrt{1+v^2} \)
\( \int \frac{d v}{\sqrt{1+v^2}}=\int \frac{d x}{x} \)
\( \log \left(v+\sqrt{1+v^2}\right)=\log x+\log c \)
\( \log \left(\frac{y}{x}+\sqrt{1+\frac{y^2}{x^2}}\right)=\log c x \)
\( \frac{y+\sqrt{x^2+y^2}}{x}=c x \)
\( y+\sqrt{x^2+y^2}=c x^2 \)

\(\frac { { d }^{ 2 }x }{ dt^{ 2 } } -3\frac { dx }{ dt } +2x\)=0
(D²-3D+2)x=0 இங்கு D=\(\frac { d }{ dt } \) மற்றும் D²=\(\frac { { d }^{ 2 } }{ dt^{ 2 } } \)
துணைச் சமன்பாடு: m²-3m+2=0
(m-1)(m-2)=0
m=1,2
நிரப்புச் சார்பு : C.F=Ae^t+Be^2t
பொதுத் தீர்வு: x=Ae^t+Be^2t          ....(1)
t= 0 மற்றும் x = 0 எனில்,
(i) ⇒ 0=A+B              .....(2)
(1) -ல் t-ஐ பொறுத்து வகைக் காண,
\(\frac { dx }{ dt } \)=Ae^t+2Be^2t
t=0 மற்றும் \(\frac { dx }{ dt } \)=1 எனில்,
A+2B=1        (3)
A+B=0 மற்றும் A+2B=1-ஐ தீர்க்க, நாம் பெறுவது A = –1, B = 1 ஆகும்.
∴ (1) ⇒ x=-e^t+e^2t
=e^2t-e^t
வகை II : f (x) e^ax = அதாவது, \(\phi \)(D)y=e^ax
P.I=\(\frac { 1 }{ \phi (D) } e^{ ax }\)
D = a எனும்பொழுது \(\phi \)(D)≠0 எனில், D- க்கு பதிலாக a யை பிரதியிடவும்.
D = a எனும்பொழுது \(\phi \)(D) = 0 எனில்
P.I=x\(\frac { 1 }{ \phi '(D) } e^{ ax }\)
D = a எனும்பொழுது \(\phi \)'(D) ≠0 எனில் Dக்கு பதிலாக a-ஐப் பிரதியிடவும்.
D = a எனும்பொழுது \(\phi \)'(D)=0 எனில்
P.I=x²\(\frac { 1 }{ \phi "(D) } e^{ ax }\\ \\ \) இவ்வாறாக தொடரலாம்.

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டை  \(\frac { dy }{ dx } +\frac { 2x }{ { x }^{ 2 }+1 } y=\frac { 4x^{ 2 } }{ { x }^{ 2 }+1 } \) என்றவாறு மாற்றி அமைக்கலாம்.
இது \(\frac { dy }{ dx } \)+Py=Q என்ற வடிவில் உள்ளது.
இங்கு P=\(\frac { 2x }{ { x }^{ 2 }+1 } \), Q=\(\frac { 4x^{ 2 } }{ { x }^{ 2 }+1 } \)
\(\int { P } dx=\int { \frac { 2x }{ { x }^{ 2 }+1 } } dx\)=log(x²+1)
I.F=\({ e }^{ \int { p } dx }=e^{ log({ x }^{ 2 }+1) }\)=x2+1
தேவையான தீர்வு: y(I.F)=\(\int { Q } (I.F)\)dx+c
y(x²+1)=\(\int { \frac { 4x^{ 2 } }{ x^{ 2 }+1 } } \\ \)(x²+1)dx+c
y(x²+1)=\(\frac { 4x^{ 3 } }{ 3 } \)+c

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டை \(\frac { dy }{ dx } +\frac { 1 }{ cos^{ 2 }x } y=\frac { tanx }{ cos^{ 2 }x } \) என எழுதலாம்.
அதாவது, \(\frac { dy }{ dx } \)+y sec²x=tanxsec²x
இது \(\frac { dy }{ dx } \)+Py=Q என்ற வடிவில் உள்ளது.
இங்கு P=sec²x, Q=tanxsec²x
\(\int { P } dx=\int { sec^{ 2 }x } dx=tanx\)
I.F=\(e^{ \int { p.dx } }=e^{ tanx }\)
தேவையான தீர்வு: y(I.F)=\(\int { Q(I.F)dx } +c\)
yetanx=\(\int { \tan x \sec^{ 2 } } xe^{ \tan x }dx+c\)
tanx-=t என்க.
sec²xdx=dt
∴ ye^tanx=\(\int { te^{ t } } dt+c\)
=\(\\ \int { td } (e^{ t })+c\)
=te^t-e^t+c
=tanxe^tanx-e^tanx+c
ye^tanx=e^tanx(tanx-1)+c

\(\left(4 \mathrm{D}^2+16 \mathrm{D}+15\right) \mathrm{y}=4 e^2\)
துணைச் சமன்பாடு
\(4 m^2+16 m+15  =0 \)
\(4 m^2+6 m+10 m+15  =0 \)
\(2 m(2 m+3)+5(2 m+3)  =0 \)
\((2 m+3)(2 m+5)  =0 \)
\(m  =\frac{-3}{2}, \frac{-5}{2}\)
நிரப்புச் சார்பு:
\(A e^{m_1 x}+B e^{m_2 x} =A e^{-3 x / 2}+B e^{-5 x / 2} \)
\(\text { P.I } =\frac{1}{4 D^2+16 D+15} 4 e^{-3 x / 2}\)
[D -க்கு பதிலாக - 3/2 -ஐ பதிலிட
\(\left.4 \mathrm{D}^2+16 \mathrm{D}+15=0\right]\)
சிறப்புத் தொகை \(=x \frac{1}{8 D+16} 4 e^{-3 x / 2}\)
\(=x \frac{1}{8(\mathrm{D}+2)} 4 e^{-3 x / 2} \)
\( =\frac{x}{2} \frac{1}{(D+2)} e^{-3 x / 2}\)
D -க்கு பதிலாக - 3/2 -ஐ பதிலிட,
\(=\frac{x}{2} \frac{1}{\left(\frac{-3}{2}+2\right)} e^{-3 x / 2} =x e^{-3 x / 2}\)
தீர்வு: y = நிரப்புச் சார்பு + சிறப்புத் தொகை
\(=\mathrm{Ae}^{-3 x / 2}+\mathrm{Be}^{-5 x / 2}+x \mathrm{e}^{-3 x / 2}\)
y=\(Ae^{ \frac { -3 }{ 2 } x }+Be^{ \frac { -5 }{ 2 } x }+4xe^{ \frac { 3 }{ 2 } x }\)

\(\left(D^2-10 D+25\right) y=4 e^{5 x}+5\)
துணைச் சமன்பாடு
\(m^2-10 m+25  =0 \)
\((m-5)^2  =0 \)
m =5,5
நிரப்புச் சார்பு:
\((\mathrm{A} x+\mathrm{B}) \mathrm{e}^{\mathrm{mx}}=(\mathrm{A} x+\mathrm{B}) \mathrm{e}^{5 x}\)
சிறப்புத் தொகை  1: P.I \(=\frac{1}{D^2-10 D+25} 4 e^{5 x}\)
\(\text { P. } I_1=\frac{1}{(\mathrm{D}-5)^2} 4 e^{5 x}\)
[D -க்கு பதிலாக 5 -ஐ பதிலிட
D =5 எனில் (D - 5)² = 0
\( \text { P.I } \mathrm{I}_1=x \frac{1}{2(D-5)} 4 e^{5 x}\)
D=5 எனில் , D-5=0
\(\text { P. } I_1  =\frac{x^2}{2}\left(4 e^{5 x}\right) \)
\( =2 x^2 \mathrm{e}^{5 x}\)
சிறப்புத் தொகை 2:P.I \(=\frac{1}{D^2-10 D+25}(5)\)
\(=\frac{1}{D^2-10 D+25}\left(5 e^{0 x}\right)\)
D -க்கு பதிலாக 0 -ஐ பதிலிட
\(P . I_2=\frac{5}{25}=1 / 5\)
தீர்வு : y  = நிரப்புச் சார்பு + சிறப்புத் தொகை 1 + சிறப்புத் தொகை 2
y=(Ax+B)e^5x+2xe^5x+\(\frac { 1 }{ 5 } \)

y²dx+(xy+x²)dy=0
(xy+x²)dy=-y²dx
\(\frac { dy }{ dx } =\frac { -{ y }^{ 2 } }{ xy+{ x }^{ 2 } } \)            .....(1)
இது ஒரே படியுள்ள x, y- இல் அமைந்த சமபடித்தான வகைக்கெழு சமன்பாடாகும்.
y=vx மற்றும் \(\frac { dy }{ dx } =v+x\frac { dv }{ dx } \) என பிரதியிட,
∴ (1) ஆனது
\(v+x\frac { dv }{ dx } =\frac { -{ v }^{ 2 }{ x }^{ 2 } }{ xvx+{ x }^{ 2 } } \)
=\(\frac { -{ v }^{ 2 } }{ v+1 } \)
\(x\frac { dv }{ dx } =\frac { -v^{ 2 } }{ v+1 } -v\)
=\(\frac { -{ v }^{ 2 }-{ v }^{ 2 }-v }{ v+1 } \)
\(x\frac { dv }{ dx } =\frac { -(v+2v^{ 2 }) }{ 1+v } \)
மாறிகளை பிரிக்கக் கிடைப்பது,
\(\frac { 1+v }{ v(1+2v) } dv=\frac { -dx }{ x } \)
\(\frac { (1+2v)-v }{ v(1+2v)dv } dv=\frac { -dx }{ x } \)  (∵ 1+v=1+2v-v)
\(\frac { 1 }{ v } -\frac { 1 }{ 1+2v } dv=\frac { -dx }{ x } \)
இருபுறமும் தொகையிட, நாம் பெறுவது
\(\int { \left( \frac { 1 }{ v } -\frac { 1 }{ 1+2v } \right) dv } =-\int { \frac { dx }{ x } } \)
logv-\(\frac{1}{2}\)log(1+2v)=-logx+logc
\(log\left( \frac { v }{ \sqrt { 1+2v } } \right) =log\left( \frac { c }{ x } \right) \)
\(\frac { v }{ \sqrt { 1+2v } } =\frac { c }{ x } \)
v=\(\frac { y }{ x } \) என பிரதியிட,
\(\frac { \frac { y }{ x } }{ \sqrt { 1+\frac { 2y }{ x } } } =\frac { c }{ x } \)
\(\frac { y\sqrt { x } }{ \sqrt { x+2y } } =c\)
\(\frac { { y }^{ 2 }x }{ x+2y } = k \)
இங்கு k=c²

P(x,y) என்ற ஏதேனும் ஒரு புள்ளியில் வளைவரைக்கு வரையப்பட்ட செங்கோட்டின் சாய்வு=\(\frac { dx }{ dy } \)
Q, (1,0) என்க.
∴ செங்கோடு PQ -ன் சாய்வு =\(\frac { { y }_{ 2 }-{ y }_{ 1 } }{ { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } } \)
அதாவது, \(\frac { y-0 }{ x-1 } =\frac { y }{ x-1 } \)
∴ \(-\frac { dx }{ dy } =\frac { y }{ x-1 } \Rightarrow \frac { dx }{ dy } =\frac { y }{ 1-x } \)
அதாவது, (1-x)dx=ydy
\(\int { (1-x) } dx=\int { y } dy+c\)
\(x-\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } =\frac { { y }^{ 2 } }{ 2 } +c\)          .....(1)
இது (1, 2) வழிச் செல்கிறது.
\(1-\frac { 1 }{ 2 } =\frac { 4 }{ 2 } +c\)
c =\(\frac { 1 }{ 2 } -2=\frac { 3 }{ 2 } \)
c =\(-\frac { 3 }{ 2 } \)  என (1) -ல் பிரதியிட,
\(x-\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } =\frac { { y }^{ 2 } }{ 2 } -\frac { 3 }{ 2 } \)
2x-x²=y²-3
⇒ y²=2x-x²+3 என்பது வளைவரையின் சமன்பாடாகும்.

\(\frac { dy }{ dx } \)+2y tanx=sinx 
இது \(\frac{d y}{d x}+P y=\mathrm{Q}\) என்ற அமைப்பில் உள்ளது
இங்கு, \(\mathrm{P} =2 \tan x, \mathrm{Q}=\sin x \)
\(\int P d x =2 \int \tan x d x=2 \log \sec x\)
தொ.கா, \(=e^{\int P d x}=\mathrm{e}^{2 \log \cos x} \)
\(=e^{\log \sec ^2 x}=\sec ^2 x \)
தீர்வு:
\(y e^{\int Pdx } =\int Q e^{\int P d x} d x+c \)
\(y \sec ^2 x =\int \sin x \sec ^2 x d x+c \)
\( =\int \frac{\sin x}{\cos x} \frac{1}{\cos x} d x+c \)
\( =\int \sec x \tan x d x+c \)
\(y \sec ^2 x  =\sec x+c\)
y=0 மற்றும் \(x=\frac{\pi}{3}\) எனில்,
\(0  =2+c \Rightarrow c=-2 \)
\(\therefore y \sec ^2 x  =\sec x-2\)

\(\frac { dy }{ dx } \)+y tanx=cos³x
இது \(\frac{d y}{d x}+P y=\mathrm{Q}\) என்ற அமைப்பில் உள்ளது
இங்கு, \(\mathrm{P} =\tan x, \mathrm{Q}=\cos ^3 x \)
\(\int P d x =\int \tan x d x=\log \sec x \)
தொ.கா.
\(=e^{\int P(x)}=\mathrm{e}^{\text {log sec } x}=\sec x\)
தீர்வு :
 \( y e^{\int P d x}=\int Q e^{\int Pd x} d x+c \)
\( y \sec x=\int \cos ^3 x \cdot \sec x d x+c \)
\( =\int \cos ^3 x \frac{1}{\cos x} d x+c \)
\( =\int \cos ^2 x d x+c \)
\( =\int \frac{1+\cos 2 x}{2} d x+c \)
\( y \sec x=\frac{1}{2}\left(x+\frac{\sin 2 x}{2}\right)+c \)

\(\mathrm{y} =\mathrm{c} x+\mathrm{c}-\mathrm{c}^3 \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\mathrm{c} \)
\(\therefore \mathrm{y} =x \frac{d y}{d x}+\frac{d y}{d x}-\left(\frac{d y}{d x}\right)^3 \)

\(\mathrm{y} =\mathrm{ae}^x+\mathrm{be}^{-x} \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\mathrm{ae}^x-\mathrm{be}^{-x} \)
\(\frac{d^2 y}{d x^2} =\mathrm{ae}^x+\mathrm{be}^{-x}=\mathrm{y} \)
\(\frac{d^2 y}{d x^2}-\mathrm{y} =0 \)