(D²-4D-1)y=e^-3x
துணைச் சமன்பாடு:
m²-4m-1=0
(m-2)²-4-1=0
(m-2)²=5
m-2=\(\pm \sqrt { 5 } \)
m=\(\\ 2\pm \sqrt { 5 } \)
C.F=\(Ae^{ (2\pm \sqrt { 5 } )x }+Be^{ 2-\sqrt { 5 } )x }\)
PI=\(\frac { 1 }{ \phi (D) } f(x)\)
=\(\frac { 1 }{ { D }^{ 2 }-4D-1 } e^{ -3x }\)
=\(\frac { 1 }{ (-3)^{ 2 }-4(-3)-1 } e^{ -3x }\) (D க்கு பதிலாக –3ஐ பிரதியிட)
=\(\frac { 1 }{ 9+12-1 } e^{ -3x }\)
=\(\frac { e^{ -3x } }{ 20 } \)
பொதுத் தீர்வு: y=C.F+P.I
y=\(Ae^{ (2\pm \sqrt { 5 } )x }+Be^{ 2-\sqrt { 5 } )x }+\frac { e^{ -3x } }{ 20 } \)

y=e^x(acosx+bsinx)    ......(1)
(1) -ஐ x -ஐ பொறுத்து வகைப்படுத்த, பெறுவது
\(\frac { dy }{ dx } \)=e^x(acosx+bsinx)+e^x(-asinx+bcosx)
=y+e^x(-asinx+bcosx)  ((1) -லிருந்து )
⇒ \(\frac { dy }{ dx } \)-y=e^x(-asinx+bcosx)    ....(2)
மீண்டும் வகைப்படுத்த கிடைப்பது
\(\frac { { d }^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } -\frac { dy }{ dx } \)=e^x(-asinx+bcosx)+e^x(-acosx-bsinx)
\(\frac { { d }^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } -\frac { dy }{ dx } \)=e^x(-asinx+bcosx)-e^x(acosx+bsinx)
\(\frac { { d }^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } -\frac { dy }{ dx } \)=\(\left( \frac { dy }{ dx } -y \right) \) 
((1) மற்றும் (2) லிருந்து)
⇒ \(\frac { { d }^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } -2\frac { dy }{ dx } \)+2y=0 என்பது தேவையான வகைக்கெழுச் சமன்பாடாகும்.

y=ae^4x+be^-x      .....(1)
\(\frac { dy }{ dx } \)=4ae^4x-be^-x      ....(2)
மற்றும் \(\frac { { d }^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } \)=16ae^4x+be^-x         ....(3)
(1)+(2) ⇒ y+\(\frac { dy }{ dx } \)=5ae^4x
(2)+(3) ⇒ \(\frac { dy }{ dx } +\frac { { d }^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } \)=20ae^4x
=4(5ae^4x)
=\(4\left( y+\frac { dy }{ dx } \right) \)
\(\frac { dy }{ dx } +\frac { { d }^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } =4y+4\frac { dy }{ dx } \)
⇒ \(\frac { { d }^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } -3\frac { dy }{ dx } -4y\)=0 என்பது தேவையான வகைக்கெழுச் சமன்பாடாகும்.

\(\frac { { d }^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } +3\left( \frac { dy }{ dx } \right) ^{ 2 }+4y\)
உச்சவரிசை வகைக்கெழு \(\frac { { d }^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } \) ஆகும்.
∴ வரிசை=2
உச்சவரிசை \(\frac { { d }^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } \) -ன்படி 1 ஆகும்.
∴ படி=1

(9D²-12D+4)y=0
துணைச் சமன்பாடு:
(3m-2)²=0
(3m-2)(3m-2)=0 ⇒ m=\(\frac { 2 }{ 3 } ,\frac { 2 }{ 3 } \)
மூலங்கள் மெய் மற்றும் சமம்
நிரப்புச் சார்பு: C.F=(Ax+B)e^2/3x
பொதுத் தீர்வு: y=(Ax+B)e^2/3x

(D²-3D-4)=0
துணைச் சமன்பாடு :
m²-3m-4
⇒ (m-4)(m+1)=0
m=-1,4
மூலங்கள் மெய் மற்றும் வெவ்வேறானவை.
∴ நிரப்புச் சார்பு: CF=Ae^-x+Be^4x
பொதுத் தீர்வு : y=Ae^-x+Be^4x

(i) y=mx+c        .....(1)
m மட்டுமே மாறத்தக்க மாறிலி என்பதால், ஒருமுறை வகைப்படுத்த கிடைப்பது
\(\frac { dy }{ dx } \)=m        .....(2)
(1) மற்றும் (2) -லிருந்து m-ஐ நீக்குவதால் கிடைக்கும் வகைக்கெழுச் சமன்பாடு
y =x\(\frac { dy }{ dx } \)+c
x\(\frac { dy }{ dx } \)-y+c=0 இதுவே தேவையான முதல் வரிசை வகைக்கெழுச் சமன்பாடு.

(ii) c மாறத்தக்க மாறிலி
சமன்பாடு (1) -ஐ வகைப்படுத்த கிடைப்பது \(\frac { dy }{ dx } \)=m
இந்த சமன்பாட்டில் c நீக்கப்பட்டிருப்பதால், தேவையான வகைக்கெழுச் சமன்பாடு \(\frac { dy }{ dx } \)=m ஆகும்.

(iii) இங்கு m,c ஆகிய இரண்டுமே மாறத்தக்க மாறிலிகள் என்பதால், சமன்பாடு (1) -ஐ இருமுறை வகைப்படுத்த கிடைப்பது
\(\frac { dy }{ dx } \)=m
\(\frac { { d }^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } \)=0
இந்த சமன்பாட்டில் m, c இரண்டுமே நீக்கப்பட்டிருப்பதால் தேவையான வகைக்கெழுச் சமன்பாடு \(\frac { { d }^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } \)=0 ஆகும்.

(3D²-D-14)y=\(4-13{ e }^{ \frac { -7 }{ 3 } x }\)
துணைச் சமன்பாடு :
3m²-+m-14=0
(3m+7)(m-2)=0
m=\(\frac { -7 }{ 3 } \),2
C.F =\(Ae^{ \frac { -7 }{ 3 } ,2 } + Be^ {2x}\)
⇒ PI=\(\frac { 1 }{ \phi (D) } f(x)=\frac { 1 }{ 3D^{ 2 }+D-14 } \left( 4-13{ e }^{ \frac { -7 }{ 3 } x } \right) \)
=\(\frac { 1 }{ 3{ D }^{ 2 }+D-14 } (4)+\frac { 1 }{ 3D^{ 2 }+D-14 } \left( -13{ e }^{ \frac { -7 }{ 3 } x } \right) \)
=PI₁+PI₂
P.I₁=\(\frac { 1 }{ 3{ D }^{ 2 }+D-14 } 4e^{ 0x }\)
=\(\frac { 1 }{ 0+0-14 } 4e^{ 0x }\)  (D -க்கு பதிலாக 0 என பிரதியிட)
P.I₁=\(\frac { -4 }{ 14 } \)
P.I₂=\(\frac { 1 }{ 3D^{ 2 }+D-14 } \times (-13)e^{ \frac { -7 }{ 3 } x }\)
D -க்கு பதிலாக \(\frac { -7 }{ 3 } \) என பிரதியிட, 3D²+D-14=0
∴ P.I₂=\(x\frac { 1 }{ 6D+1 } \left( -13{ e }^{ \frac { -7 }{ 3 } x } \right) \)
D -க்கு பதிலாக \(\frac { -7 }{ 3 } \) என பிரதியிட,
∴ P.I₂=\(x\frac { 1 }{ 6\left( \frac { -7 }{ 3 } \right) +1 } \left( -13{ e }^{ \frac { -7 }{ 3 } x } \right) \)
=\(x\frac { 1 }{ -13 } \left( -13{ e }^{ \frac { -7 }{ 3 } x } \right) \\ \)=\(xe^{ \frac { -7 }{ 3 } x }\)
பொதுத் தீர்வு: y=C.F+P.I₁+P.I₂
y=\(Ae^{ \frac { -7 }{ 3 } x }+Be^{ 2x }-\frac { 2 }{ 7 } +xe^{ \frac { -7 }{ 3 } x }\)

(D²-2D+1)y=e^2x+e^x
துணைச் சமன்பாடு:
m²-2m+1=0
⇒ (m-1)(m-1)=0
m=1,1
C.F=(Ax+B)e^x
PI=\(\frac { 1 }{ \phi (D) } f(x)=\frac { 1 }{ { D }^{ 2 }-2D+1 } \)(e^2x+e^x)
இங்கு, P.I₁=\(\frac { 1 }{ { D }^{ 2 }-2D+1 } \)e^2x
=\(\frac { 1 }{ 4-4+1 } \)e^2x (D க்கு பதிலாக 2 ஐ பிரதியிட)
=e^2x
மற்றும் P.I₂ =\(\frac { 1 }{ { D }^{ 2 }-2D+1 } \)ex
=\(\frac { 1 }{ (D-1)^{ 2 } } \)
D க்கு 1-ஐ பிரதியிட (D-1)²=0
∴ P.I₂=x.\(\frac { 1 }{ 2(D-1) } \)ex
D க்கு பதிலாக 1-ஐ பிரதியிட, 2(D–1) = 0
P.I₂=x²\(\frac{1}{2}\)ex
பொதுத் தீர்வு: y=C.F+P.I₁+P.I₂
y=(Ax+B)ex+e^2x+\(\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } \)e^x

\(\frac { dy }{ dx } =\frac { x-y }{ x+y } \)     .......(1)
இது ஒரு சமபடித்தான வகைக்கெழு சமன்பாடாகும்.
y =vx மற்றும் \(\frac { dy }{ dx } =v+x\frac { dv }{ dx } \) என பிரதியிட,
∴ (i) ⇒ v +\(x\frac { dv }{ dx } =\frac { x-vx }{ x+vx } \) =\(\frac { 1-v }{ 1+v } \)
\(x\frac { dv }{ dx } =\frac { 1-v }{ 1+v } -v\)
=\(\frac { 1-2v-{ v }^{ 2 } }{ 1+v } \)
\(\frac { 1+v }{ { v }^{ 2 }+2v-1 } dv=\frac { dx }{ x } \)
இருபுறமும் 2 ஆல் பெருக்க,
\(\frac { 2+2v }{ { v }^{ 2 }+2v-1 } dv=-2\frac { dx }{ x } \)
தொகையிட,
\(\int { \frac { 2+2v }{ { v }^{ 2 }+2v-1 } dv } =-2\int { \frac { dx }{ x } } \)
log(v²+2v-1)=-2log+logc
v²+2v-1=\(\frac { c }{ { x }^{ 2 } } \)
x²(v²+2v-1)=c
v=\(\frac { y }{ x } \) என்பதால்
x²\(\left[ \frac { { y }^{ 2 } }{ { x }^{ 2 } } +\frac { 2y }{ x } -1 \right] \)=c
∴ y²+2xy-x²=c என்பது தீர்வாகும்.