\(\frac{d y}{d x}  =x y+x+y+1 \)
\(\frac{d y}{d x}  =x(y+1)+1(y+1)\)
\(\frac{d y}{d x}  =(1+x)(1+y) \)
\(\int \frac{d y}{1+y}  =\int(1+x) d x \)
log|1+y|=x+\(\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } \)+c

ஆதியைக் குவியமாகக் கொண்ட பரவளையத் தொகுப்பின் சமன்பாடு 
\((y-0)^2  =-4 a(x-a) \)
\(2 y y^{\prime} =-4 a \)
\(y y^{\prime}  =-2 a\)
(1) லிருந்து
\(y^2=-4 a x+4 a^2\)
(2) ஐ (3) ல் பிரதியிட
\( \mathrm{y}^2=2 x y y^{\prime}+y^2 y^{\prime 2} \)
\( \mathrm{y}=2 x y^{\prime}+y y^{\prime 2}\)
\(\mathrm{y}=2 x \frac{d y}{d x}+y\left(\frac{d y}{d x}\right)^2\)

y = அச்சை, ஆதியில் தொடும் வட்டக் குடும்பத்தின் சமன்பாடு 
\((x-0)^2+(y-a)^2  =a^2 \)
\(x^2+y^2+a^2-2 a y  =a^2 \)
\(x^2+y^2-2 a y  =0 \)
\(2 x+2 y \frac{d y}{d x}-2 a \frac{d y}{d x}  =0 \)
\(x+y \frac{d y}{d x}-a \frac{d y}{d x}  =0 \)
\(a  =x \frac{d x}{d y}+y\)
(1) - ல் பிரதியிட
\(x^2+\mathrm{y}^2-2 \mathrm{y}\left(x \frac{d x}{d y}+y\right) =0 \)
\(x^2+\mathrm{y}^2-2 \mathrm{y}^2-2 x \mathrm{y} \frac{d x}{d y} =0\)
\(x^2-\mathrm{y}^2 =2 x \mathrm{y} \frac{d x}{d y} \)
\(\frac{d x}{d y} =\frac{x^2-y^2}{2 x y}\)
\(\frac { dy }{ dx } = \frac{2 x y}{x^2-y^2}\)

\(\frac{1+x^2}{1+y}=x y \frac{d y}{d x}\)
\( \int \frac{\left(1+x^2\right) \mathrm{dx}}{x}=\int(1+y) y d y \)
\( \int \frac{d x}{x}+\int \frac{x^2 d x}{x}=\int\left(y+y^2\right) d y\)
\( \log x+\int x d x=\int\left(y+y^2\right) d y \)
\( \log x+\frac{x^2}{2}=\frac{y^2}{2}+\frac{y^3}{3}+c \)

x²+y²=a²
\(2x+2y\frac { dy }{ dx } =0\)
\(x+y\frac { dy }{ dx } =0\)

\(\frac{d^2 y}{d x^2}+y+\left(\frac{d y}{d x}-\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^{3 / 2}=0\)
\(\frac{d^2 y}{d x^2}+y=-\left(\frac{d y}{d x}-\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^{3 / 2}\)
இருபறமும் வர்க்கப்படுத்த
\(\left(\frac{d^2 y}{d x^2}+y\right)^2 =\left(\frac{d y}{d x}-\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^3 \)
வரிசை =3 ; படி =3

சமான நிலையில்  Q_d =Q_s
\(13-6 p+2 \frac{d p}{d t}+\frac{d^2 p}{d t^2}  =-3+2 p \)
\(\frac{d^2 p}{d t^2}+2 \frac{d p}{d t}-6 p-2 p  =-3-13 \)
\(\frac{d^2 p}{d t^2}+2 \frac{d p}{d t}-8 p  =-16\)
துணைச் சமன்பாடு
\(m^2+2 m-8  =0 \)
\((m+4)(m-2)  =0 \)
m =-4,2
நிரப்புச் சார்பு:
\(A e^{m, t}+B e^{m_1 t}=A e^{-4 t}+\mathrm{Be}^{2 x} \)
சிறப்புத் தொகை \(=\frac{1}{D^2+2 D-8}(-16) e^{0 r}\)
D = 0 எனப் பதிலிட 
P.I  = \(\frac {-16}{-8} = 2\)
தீர்வு : P = நிரப்புச் சார்பு + சிறப்புத் தொகை 
p=Ae^-4t+Be^2t+2

\(\frac { { d }^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } -2k\frac { dy }{ dx } +{ k }^{ 2 }y\)=0
துணைச் சமன்பாடு 
m²- 2mk+ k²= 0
(m - k)² =0
m = k, k 
மூலங்கள் மெய் மற்றும் சமம் 
ஃ நிரப்புச் சார்பு = (Ax+B)e^mx
ஃ தீர்வு : y=(Ax+B)e^kx

(D²+2D+3)y=0
துணைச் சமன்பாடு 
m² + 2m +3= 0
a = 1, b = 2, c = 3
\(m = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)
\(=\frac{-2 \pm \sqrt{4-12}}{2}=\frac{-2 \pm \sqrt{-8}}{2} \)
\(=\frac{-2 \pm i 2 \sqrt{2}}{2}=-1 \pm i \sqrt{2} \)
\(\alpha =-1, \beta=\sqrt{2}\)
மூலங்கள் \(\alpha \pm i \beta\) என்ற வடிவில் உள்ளதால் நிரப்புச் சார்பு : \(e^{\omega x}(A \cos \beta x+B \sin \beta x)\)
தீர்வு : \(\mathrm{y}=\mathrm{e}^{-x}(A \cos \sqrt{2} x+B \sin \sqrt{2} x)\)

\(\frac { dy }{ dx } +\frac { y }{ x } \)=xe^x
இது \(\frac{d y}{d x}+P y=\mathrm{Q}\) என்ற அமைப்பில் உள்ளது
இங்கு,\(\mathrm{P} =\frac{1}{x}, \mathrm{Q}=x \mathrm{e}^x \)
\(\int P d x =\int \frac{d x}{x}=\log x \)
தொ.கா.\( =e^{\int P d x}=\mathrm{e}^{\log x}=x \)
\(y e^{\int P d x} =\int Q e^{\int P d x} d x+c \)
\(\mathrm{y} x =\int x^2 e^x d x+c \)
\(\begin{array}{|c|c|} \hline \mathrm{u}=x^2 & \int d v=\int e^x d x \\ u^{\prime}=2 x & \mathrm{v}=\mathrm{e}^x \\ u^{\prime \prime}=2 & \mathrm{v}_1=\mathrm{e}^x \\ & \mathrm{v}_2=\mathrm{e}^x \\ \hline \end{array}\)
\( x y=\mathrm{uv}-u^{\prime} \mathrm{v}_1+u^{\prime\prime} \mathrm{v}_2 \)
\( x y=x^2 \mathrm{e}^x-2 x \mathrm{e}^x+2 \mathrm{e}^x+\mathrm{c} \)
xy=e^x(x²-2x+2)+c

\(\frac { dy }{ dx } =\frac { 3x-2y }{ 2x-3y } \)
y=vx மற்றும் \(\frac { dy }{ dx } =v+x\frac { dv }{ dx } \) என (1) –ல் பிரதியிட,
\(v+x \frac{d v}{d x} =\frac{3 x-2 v x}{2 x-3 v x}=\frac{3-2 v}{2-3 v}\)
\(x \frac{d v}{d x} =\frac{3-2 v}{2-3 v}-v \)
\(x \frac{d v}{d x} =\frac{3-2 v-2 v+3 v^2}{2-3 v} \)
\(x \frac{d v}{d x} =-\left(\frac{3 v^2-4 v+3}{3 v-2}\right) \)
\(\left(\frac{2(3 v-2)}{3 v^2-4 v+3}\right) d v =-2 \frac{d x}{x} \)
\(\int\left(\frac{6 v-4}{3 v^2-4 y+3}\right) d v =-2 \int \frac{d x}{x} \)
\(\log \left(3 v^2-4 v+3\right) =-2 \log x+\log c \)
\(\log \left(\frac{3 y^2}{x^2}-\frac{4 y}{x}+3\right) =\log \left(\frac{c}{x^2}\right) \)
\(\frac{3 y^2-4 x y+3 x^2}{x^2} =\frac{c}{x^2} \)
\(3 y^2-4 x y+3 x^2 =\mathrm{c} \)

\(x \frac{d y}{d x}-y =\sqrt{x^2+y^2} \)
\(x \frac{d y}{d x} =y+\sqrt{x^2+y^2} \)
\(\frac{d y}{d x} =\frac{y+\sqrt{x^2+y^2}}{x} \)
y=vx மற்றும் \(\frac { dy }{ dx } =v+x\frac { dv }{ dx } \) என (1) –ல் பிரதியிட,
\( v+x \frac{d v}{d x}=\frac{v x+\sqrt{x^2+v^2 x^2}}{x} \)
\( v+x \frac{d v}{d x}=x \frac{\left(v+\sqrt{1+v^2}\right)}{x} \)
\(v+x \frac{d v}{d x}=v+\sqrt{1+v^2} \)
\( x \frac{d v}{d x}=\sqrt{1+v^2} \)
\( \int \frac{d v}{\sqrt{1+v^2}}=\int \frac{d x}{x} \)
\( \log \left(v+\sqrt{1+v^2}\right)=\log x+\log c \)
\( \log \left(\frac{y}{x}+\sqrt{1+\frac{y^2}{x^2}}\right)=\log c x \)
\( \frac{y+\sqrt{x^2+y^2}}{x}=c x \)
\( y+\sqrt{x^2+y^2}=c x^2 \)

\(x^2 \mathrm{y} \mathrm{d} x-\left(x^3+\mathrm{y}^3\right) \mathrm{dy}=0\)
\(x^2 \mathrm{y} \mathrm{d} x=\left(x^3+\mathrm{y}^3\right) \mathrm{dy}\)
\(\frac{d y}{d x}=\frac{x^2 y}{x^3+y^3}\)
y =vx  மற்றும் \(\frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x}\) என பிரதியிட,
\(v+x \frac{d v}{d x} =\frac{x^2(v x)}{x^3+v^3 x^3} \)
\(x \frac{d v}{d x}  =\frac{v}{1+v^3}-v \)
\(x \frac{d v}{d x}  =\frac{v-v-v^4}{1+v^3} \)
\(\int \frac{\left(1+v^3\right)}{v^4} d v  =-\int \frac{d x}{x}\)
\(\int \frac{d v}{v^4}+\int \frac{v^3 d v}{v^4} =-\log x+\mathrm{c} \)
\(\int v^{-4} d v+\int \frac{d v}{v} =-\log x+\mathrm{c} \)
\(\frac{v^{-3}}{-3}+\log v+\log x =\mathrm{c} \)
\(-\frac{1}{3 v^3}+\log v x =\mathrm{c} \)
\(-\frac{1}{3 y^3}+\log y =\mathrm{c}\)
logy=\(\frac { { x }^{ 3 } }{ 3{ y }^{ 2 } } \)+c

(3D²+D-14)y=13e^2x
துணைச் சமன்பாடு 
3m² + m - 14 = 0
3m² -6m + 7m - 14 = 0
\(3 \mathrm{~m}(\mathrm{~m}-2)+7(\mathrm{~m}-2) =0 \)
\((3 \mathrm{~m}+7)(\mathrm{m}-2) =0 \)
\(\mathrm{~m} =-7 / 3,2\)
நிரப்புச் சார்பு:
\(A e^{m_1 x}+B e^{m_2 x}=\mathrm{Ae}^{-7 x / 3}+\mathrm{Be}^{2 x}\)
சிறப்புத் தொகை \(=\frac{1}{3 D^2+D-14} 13 e^{2 x}\)
[D -க்கு பதிலாக 2 -ஐ பதிலிட
\(\left.3 \mathrm{D}^2+\mathrm{D}-14=0\right]\)
சிறப்புத் தொகை \(= x \frac{1}{6 D+1} 13 e^{2 x}\)
D=2 எனப் பதிலிட
\( \text { P.I }= \frac{x}{13}\left(13 e^{2 x}\right)=x e^{2 x}\)
தீர்வு:  \(\mathrm{y}= \mathrm{C} . \mathrm{F}+\mathrm{P} . \mathrm{I}\)
\(=\mathrm{Ae}^{-4 x / 3}+\mathrm{Be}^{2 x}+x \mathrm{e}^{2 x}\)
y=\(Ae^{ 2x }+Be^{ \frac { -7 }{ 3 } x }+xe^{ 2x }\)

\(\frac { dy }{ dx } \)+y tanx=cos³x
இது \(\frac{d y}{d x}+P y=\mathrm{Q}\) என்ற அமைப்பில் உள்ளது
இங்கு, \(\mathrm{P} =\tan x, \mathrm{Q}=\cos ^3 x \)
\(\int P d x =\int \tan x d x=\log \sec x \)
தொ.கா.
\(=e^{\int P(x)}=\mathrm{e}^{\text {log sec } x}=\sec x\)
தீர்வு :
 \( y e^{\int P d x}=\int Q e^{\int Pd x} d x+c \)
\( y \sec x=\int \cos ^3 x \cdot \sec x d x+c \)
\( =\int \cos ^3 x \frac{1}{\cos x} d x+c \)
\( =\int \cos ^2 x d x+c \)
\( =\int \frac{1+\cos 2 x}{2} d x+c \)
\( y \sec x=\frac{1}{2}\left(x+\frac{\sin 2 x}{2}\right)+c \)