குழுக்கள்	உணவு	எரிபொருள்	ஆடை	வாடகை	இதர	மொத்தம்
குறியீட்டு எண்கள்	2450	1240	3250	3750	4190
எடை	48	20	12	15	10	105
PV	117600	24800	39000	56250	4190	279550

வாழ்க்கை குறியீட்டு எண் \(=\frac{\sum P V}{\sum V}=\frac{279550}{105}=2662.38\)

இங்கே, அடிப்படை ஆண்டு அளவு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. எனவே மொத்த செலவு முறையைப் பயன்படுத்தலாம்.

பொருள்கள்	விலை		அளவு (q0)	p0q0	p1q0
	அடிப்படை ஆண்டு	நடப்பு ஆண்டு
அரிசி	32	48	25	800	1200
சர்க்கரை	25	42	10	250	420
எண்ணெய்	54	85	6	324	510
காப்பி	250	460	1	250	460
தேயிலை	175	275	2	350	550
			மொத்தம்	1974	3140

வாழ்க்கை குறியீட்டு எண் = \(\frac { \sum { { p }_{ 1 }{ q }_{ 0 } } }{ \sum { { p }_{ 0 }{ q }_{ 0 } } } \times 100=\frac { 3140 }{ 1974 } \times 159.0679\)

இரத்த சிவப்பு அணுக்களின் எண்ணிக்கை சமவாய்ப்பு மாறி X என்க .
சராசரி λ = 8 சிவப்பு அணுக்கள் / ஒரு சதுரத்திற்கு P (ஒரு சதுரத்தில் சரியாக 5 சிவப்பணுக்கள்)
=P(X = 5) =\(\frac { { e }^{ -\lambda }{ \lambda }^{ x } }{ x! } =\frac { e^{ -8 }8^{ 5 } }{ 5! } \)
=\(\frac { 0.000335\times 32768 }{ 120 } \)
=0.0916
ஒரு சதுரத்தில் சரியாக 5 சிவப்பணுக்கள் இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு 0.0916. அதாவது ஒரு சதுரத்தில் சரியாக 5 சிவப்பணுக்கள் இருப்பதற்கான வாய்ப்பு 9.16% ஆகும்.

இங்கு μ என்பது உதிரிபாகங்களின் முழுமைத்தொகுதி சராசரி உயரம் ஆகும்.
μ -ஐ மதிப்பீடு செய்வதற்கான 95% எல்லைகள்
\(\bar { x } -{ Z }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }\frac { \sigma }{ \sqrt { n } } <\mu \bar { x } +{ Z }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }\frac { \sigma }{ \sqrt { n } } \)
இங்கு \(\sigma =1.6,{ Z }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }=1.96,\bar { x } =90\)மற்றும் n=64
திட்டப்பிழை \(S.E=\frac { \sigma }{ \sqrt { n } } =\frac { 1.6 }{ \sqrt { 64 } } =0.2\)
எனவே, 90-(1.96 x 0.2)\(\le \mu \le\)90+(1.96 x 0.2)
(89.61 \(\le \mu \le\) 90.39)
உதிரிபாகங்களின் முழுமைத்தொகுதி சராசரி உயரங்களின் உண்மை மதிப்பு (89.61, 90.39) என்ற 95% நம்பிக்கை இடைவெளியில் உள்ளது. எனவே 95% நம்பிக்கை இடைவெளியில் உள்ள உதிரிப்பாகங்களை வாடிக்கையாளர்கள் ஏற்றுக்கொள்வார்கள்.

பேருந்து தாமதமாக வருவதற்கான நிகழ்தகவு p எனக்குறிக்கப்படுகின்றது,
அதன் மதிப்பு p = 1-0.8 = 0.2
பேருந்து சரியாக இயக்கப்படுவதற்கான நிகழ்தகவு q = 0.8
n = 10
ஈருறுப்பு பரவல் p(x)=10C_x(0.2)^x(0.8)^10-x
(i) சரியாக ஒரு பேருந்து தாமதமாக இயக்கப்படுவதற்கான நிகழ்தகவு
P(x=1) = 10C₁ pq⁹
= 10C₁(0.2)(0.8)⁹
 (ii) குறைந்தபட்சம் ஒரு பேருந்து தாமதமாக இயக்கப்படுவதற்கான நிகழ்தகவு
= 1 - தாமதமாக எந்த ஒரு பேருந்தும் இயக்கப்படவில்லை
= 1 - p(x=0)
= 1- (0.8)¹⁰

x₁, x₂, ...x_n என்ற எண்ணத்தக்க மெய்‌ மதிப்புகளை உடைய தனித்த சமவாய்ப்பு மாறி X -ன்‌ நிகழ்தகவுகள்‌ p(x₁), p(x₂), p(x₃) ... P(x_n)..., எனில்‌, இதன்‌ தனித்த திரள்‌ பரவல்‌ சார்பு அல்லது பரவல்‌ சார்பு பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது.
அனைத்து x ∈ R -க்கு, \( F_x(x)=\mathrm{P}(\mathrm{X} \leq x), \)
அதாவது, \(F_x(x)=\sum_{x<x_i} p\left(x_i\right)\) தொடர்ச்சியான சமவாய்ப்பு மாறி X இன்‌ நிகழ்தகவு அடர்த்திச்‌ சார்பு f_x(x)எனில்‌, சார்பு F_x(x) பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது,
\(F_X(x)=\mathrm{P}[\mathrm{X} \leq x]=\int_{-\infty}^x f(t) d t,-\infty<x<\infty\)
இது தொடர்ச்சியான சமவாய்ப்பு மாறி X - இன்‌ பரவல்‌ சார்பு அல்லது (சில நேரங்கள்‌) திரள்‌ பரவல்‌ சார்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது, 

\(\int _{ -\infty }^{ \infty }{ f(x)dx=1 } \) என்பதை நாம் அறிவோம்.
\(\int _{ 0 }^{ 1 }{ axdx=1\Rightarrow a\int _{ 0 }^{ 1 }{ xdx } } =1\)
\(\Rightarrow a\left( \cfrac { { x }^{ 2 } }{ 2 } \right) _{ 0 }^{ 1 }=1\)
\(\Rightarrow \frac { a }{ 2 } \left( 1-0 \right) =1\)
\(\Rightarrow a=2\)
\(P\left[ x\le \cfrac { 1 }{ 2 } \right] =\int _{ -\infty }^{ \frac { 1 }{ 2 } }{ f(x)dx } \)
= \(\int _{ 0 }^{ \frac { 1 }{ 2 } }{ axdx } \)
= \(\int _{ 0 }^{ \frac { 1 }{ 2 } }{ 2xdx } \)
= \(\cfrac { 1 }{ 4 } \)

(ii) கொடுக்கப்பட்ட MC=2+5e^x 
C=\(\int { MC } dx+k\)
=\(\int { (2+5{ e }^{ x }) } dx+k\)
=2x+5e^x+k
சராசரி விலை =\(\frac { C }{ x } =\frac { 2x+{ 5e }^{ x }+95 }{ x } \)
AC=\(2+\frac { 4e^{ x } }{ x } +\frac { 95 }{ x } \).

A =\(\left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{matrix}\begin{matrix} -1 \\ 1 \\ 3 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ -2 \\ -7 \end{matrix} \right) \)என்க 
A -ன்  வரிசை 3 x 4, எனவே ρ(A) ≤ 3
∼\(\left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} -1 \\ 3 \\ 6 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ -8 \\ -16 \end{matrix} \right) \)R₂ ⟶ R₂ -2R₁ 
                               R₃ ⟶ R₃ - 3R₁
∼\(\left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} -1 \\ 3 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ -8 \\ 0\end{matrix} \right) \)R₃ ⟶ R₃- 2R₂
ஏறுபடிவ அணியில் உள்ள பூச்சியமற்ற நிரைகளின் எண்ணிக்கை 3 ஆகும். ∴ ρ(A)= 3.

\(\frac { dy }{ dx } +\frac { y }{ x } \)y=x³
இது \(\frac { dy }{ dx } +\frac { 1 }{ x } y\)=Q என்ற வடிவில் உள்ளது.
இங்கு P=\(\frac { 1 }{ x } \), Q=x³
\(\int { P } dx=\int { \frac { 1 }{ x } } dx=logx\)
I.F=\(e^{ \int { pdx } }=e^{ logx }=x\)
தேவையான தீர்வு : y(I.F)=\(\int { Q(I.F)dx } +c\)
yx=\(\int { { x }^{ 3 }.xdx } +c\)
=\(\int { { x }^{ 4 }dx } +c\)
=\(\frac { { x }^{ 5 } }{ 5 } \)+c
∴ yx=\(\frac { { x }^{ 5 } }{ 5 } \)+c

\({\eta}_d =\frac{p}{x^3} \Rightarrow \frac{-p}{x} \frac{d x}{d p}=\frac{p}{x^3} \)
\(\frac{-d x}{d p} =\frac{1}{x^2} \)
\(\int x^2 d x =-\int d p \)
\(\frac{x^3}{3} =-\mathrm{p}+\mathrm{k} \)
\(\mathrm{p} =2, x=3\) எனில் 
\(9 =-2+\mathrm{k} \Rightarrow \mathrm{k}=11 \)
\(\mathrm{p} =11-\frac{x^3}{3} \)

y=|x+3| =\(\begin{cases} x+3, & x\ge -3 \\ -(x+3), & x<-3 \end{cases}\)
தேவைப்படும் பரப்பு =\(\int _{ -6 }^{ 0 }{ y } dx\)
=\(\int _{ -6 }^{ -3 }{ y } dx+\int _{ -3 }^{ 0 }{ y } dx\)
=\(\int _{ -6 }^{ -3 }{ -(x+3)dx } +\int _{ -3 }^{ 0 }{ (x+3) } dx\)
=\(\left[ \frac { (x+3)^{ 2 } }{ 2 } \right] _{ -6 }^{ -3 }+\left[ \frac { (x+3)^{ 2 } }{ 2 } \right] _{ -3 }^{ 0 }\)
\(=\left[ 0-\frac { 9 }{ 2 } \right] +\left[ \frac { 9 }{ 2 } -0 \right] \)=9 சதுர அலகுகள்

\(\int { \left( { x }^{ 2 }-2x+5 \right) } { e }^{ -x }dx =\int { udv } \)
= uv − u'v₁ + u''v₂ − u'''v₃ + ...
= (x² − 2x + 5)(−e^−x )− (2x − 2)e^−x + 2(−e^−x )+ c
= e^−x (−x² −5)+ c

அடுத்தடுத்து வகையிட	மீண்டும் மீண்டும் தொகையிட
u = x2 − 2x + 5 u' = 2x − 2 u'' = 2	dv = e−xdx  v = − e−x v1= e-x v2= -e-x

\(\int { \frac { 7x-1 }{ { x }^{ 2 }-5x+6 } dx } =\int { \left[ \frac { 20 }{ x-3 } -\frac { 13 }{ x-2 } \right] dx } \)
\(=20\int { \frac { dx }{ x-3 } -13\int { \frac { dx }{ x-2 } } } \)
\(=20\log\left| x-3 \right| -13\log\left| x-2 \right| +c\)
பகுதி பின்னமாக்கல் முறையில்,
\(\frac { 7x-1 }{ { x }^{ 2 }-5x+6 } =\frac { A }{ x-3 } +\frac { B }{ x-2 }\)
\( \Rightarrow \frac { 7x-1 }{ { x }^{ 2 }-5x+6 } =\frac { 20 }{ x-3 } -\frac { 13 }{ x-2 } \)

ஒரு பென்சிலின் விலை ரூ.x என்க
ஒரு அழிப்பானின் விலை ரூ.y என்க
∴ கொடுக்கப்பட்ட விவரங்களின் படி பின்வரும் சமன்பாடுகளைக் காணலாம்.
11x + 3y = 64
8x + 3y = 49
Δ=\(\left| \begin{matrix} 11 & 3 \\ 8 & 3 \end{matrix} \right| \)=9≠0. (தொகுப்பு ஒரே ஒரு தீர்வை பெற்றிருக்கும்)
Δx =\(\left| \begin{matrix} 64 & 3 \\ 49 & 3 \end{matrix} \right| \)=45, Δy =\(\left| \begin{matrix} 11 & 64 \\ 8 & 49 \end{matrix} \right| \)=27
∴ கிரேமரின் விதிப்படி
x =\(\frac { \triangle x }{ \triangle } =\frac { 45 }{ 9 } \)=5
y =\(\frac { \triangle y }{ \triangle } =\frac { 27 }{ 9 } \)=3
∴ ஒரு பென்சிலின் விலை ரூ.5 மற்றும் ஒரு அழிப்பானின் விலை ரூ.3 ஆகும்.

கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பிற்கான அணி சமன்பாடு
\(\left( \begin{matrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} 5 \\ 8 \end{matrix} \right) \)
A X =B

அணி A	விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணி [A,B]	அடிப்படை உருமாற்றம்
\(\\ \left( \begin{matrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right) \)	\(\left( \begin{matrix} 1 & 1 & 5 \\ 2 & 1 & 8 \end{matrix} \right) \)
~\(\left( \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \)	~\(\left( \begin{matrix} 1 & 1 & 5 \\ 0 & -1 & -2 \end{matrix} \right) \)	R2 ⟶ R2 - 2R1
ρ(A)=2	ρ([A,B])=2

ஏறுபடிவ அணியில் உள்ள பூச்சியமற்ற நிரைகளின் எண்ணிக்கை 2 ஆகும்.
ρ(A)=ρ([A,B])=2=மதிப்பிடவேண்டிய மாறிகளின் எண்ணிக்கை
∴ கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பு ஒருங்கமைவுடையது மேலும் ஒரே ஒரு தீர்வு உண்டு.
கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பினை \(\left( \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} 5 \\ -2 \end{matrix} \right) \)என எழுதலாம்.
⇒ x + y = 5 .........(1)
y = 2
∴ (1) ⇒ x + 2 = 5
x = 3
தீர்வு: x = 3, x = 2

சராசரி = np = 4, மாறுபாடு = npq = 4/3
\(\Rightarrow 4 q =\frac{4}{3} \Rightarrow q=\frac{1}{3} \)
\(p=1-q =1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3} \)
\(n p =4 \Rightarrow n\left(\frac{2}{3}\right)=4 \Rightarrow n=6 \)
\(P(X \geq 5) =P(X=5)+P(X=6) \)
\( =6 C_5\left(\frac{2}{3}\right)^5\left(\frac{1}{3}\right)+6 C_6\left(\frac{2}{3}\right)^6 \)
\( =\frac{2^5}{3^6}[6+2]=4\left(\frac{2}{3}\right)^6 \)

\( \mathrm{p}=\frac{2}{100}, \lambda=\mathrm{np}=50\left(\frac{2}{100}\right)=1 \)
\(P(X \leq 2) =\mathrm{P}(\mathrm{X}=0)+\mathrm{P}(\mathrm{X}=1)+\mathrm{P}(\mathrm{X}=2) \)
\(=\mathrm{e}^{-1}+\mathrm{e}^{-1}(1)+\frac{e^{-1}(1)}{2 !} \)
\( =e^{-1}\left[2+\frac{1}{2}\right]=2.5 \mathrm{e}^{-1}\)

துணைச் சமன்பாடு: \( \mathrm{m}^2-\mathrm{m}=0 \)
\( \mathrm{~m}(\mathrm{~m}-1)=0 \Rightarrow \mathrm{m}=0,1 \)
\(\mathrm{C} . \mathrm{F}=\mathrm{Ae}^{0 \mathrm{x}}+\mathrm{Be}^{\mathrm{tx}}=\mathrm{A}+\mathrm{Be}^x\)

சிறப்புத் தொகை \( =\frac{2 e^{4 x}}{(\mathrm{D}-4)^2}\)
D = 4 எனில்,\((\mathrm{D}-4)^2 =0\)
D = 4 எனில்,\(2(\mathrm{D}-4) =0\)
சிறப்புத் தொகை \(=\frac{x^2 2 e^{4 x}}{2}=x^2 e^{4 x}\)

\(\mathrm{CS}=\int^{x_2}_ 0 f(x) d x-x_0 p_0=\int^5_ 0\left(28-x^2\right) d x-15\)
\( =\left[28 x-\frac{x^3}{3}\right]_{10}^5-15 \)
\( =140-\frac{125}{3}-15=\frac{250}{3} \) அலகுகள்

\(\int _{ 0 }^{ 4 }{ \left( \sqrt { x } +\frac { 1 }{ \sqrt { x } } \right) } \)dx \(=\int _{ 0 }^{ 4 }{ \left( { x ^ {1/2}} +{ x^{ -1/2} } \right) } dx \)
\(= \left [ \frac {x^{3/2}}{3/2} + \frac{x^{1/2}}{1/2} \right]^4_0\)
\(=2 \left [ \frac {4^{3/2}}{3} + 4^{1/2}\right]\)
\(=2 \left [ \frac {8}{3} + 2\right] = \frac{28}{3}\)

\(\int _{ 0 }^{ 1 }{ (2x+1) } dx ={ { \left[ \frac { { 2x }^{ 2 } }{2 }+ x \right] }^{ 1 }_{ 0 } }\) 
=1+1=2

\(\overset { = }{ X } =\frac { \sum { \bar { X } } }{ 10 } =\frac { 442 }{ 10 } =44.2\)
\(\bar { R } =\frac { \sum { R } }{ n } =\frac { 58 }{ 10 } =5.8\)
\(UCL=\overset { = }{ X } +{ A }_{ 2 }\bar { R } \)
=44.2+0.483(5.8)=47.00
\(CL=\overset { = }{ X } =44.2\)
\(LCL=\overset { = }{ X } -{ A }_{ 2 }\bar { R } =44.2-0.483(5.8)=41.39\)
மேலே சுட்டிக் காட்டப்பட்ட விளக்கப்படம், மூன்று கட்டுப்பாட்டு கோடுகள் புள்ளிகளால் குறிக்கப்படுகிறது. நான்கு புள்ளிகள் கட்டுப்பாட்டு வரம்புகளிலிருந்து வெளியேறுவதால், செயல்முறையானது கட்டுப்பாட்டில் இல்லை என்று சொல்லலாம்

கூறின் அளவு n = 400
கூறு சராசரி \(\bar x \)= 67.47
முழுமைத்தொகுதி சராசரி μ = 67.39
முழுமைத்தொகுதி திட்டவிலக்கம் S.D σ = 1.30
இன்மை கருதுகோள் H₀:μ = 67.39
மாற்று கருதுகோள் H₁:μ ≠ 67.39
கூறுபண்பளவை சோதனை
\(\mathrm{Z}  =\frac{\bar{x}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \sim \mathrm{N}(0,1)} \)
\(\mathrm{Z}  =\frac{67.47-67.39}{\frac{1.30}{\sqrt{400}}}=\frac{0.08}{0.065} \)
\(|\mathrm{Z}|  =1.2308\)
மறுக்கும் அளவு 5 % மிகைகாண் நிலை 
\(Z_{a / 2}=1.96 \)
|Z|=1.2308<1.96
முடிவு: கணக்கிடப்பட்ட மதிப்பானது அட்டவணை மதிப்பை விட குறைவாக உள்ளது. அதாவது, Z <  Z_α/2 .5% மிகைகாண் நிலையில் இன்மை கருதுகோள் H₀ ஏற்றுக் கொள்ளப்படுகிறது.
எனவே கூறானது முழுமைத் தொகுதியிலிருந்து எடுக்கப்பட்டதாகும்,

பொருள்கள்	விலை		அளவு		p0q0	p0q1	p1q0	p1q1
	2000 (p0)	2010 (p1)	2000(q0)	2010 (q1)
அரிசி	38	35	6	7	228	266	210	245
கோதுமை	12	18	7	10	84	120	126	180
வாடகை	10	15	10	15	100	150	150	225
எரிபொருள்	25	30	12	16	300	400	360	480
இதரசெலவுகள்	30	33	8	10	240	300	264	330
மொத்தம்					952	1236	1110	1460

லாஸ்பியரின் விலைக் குறியீட்டு எண்
\({ P }_{ 01 }^{ L }=\frac { \sum { { p }_{ 1 }{ q }_{ 0 } } }{ \sum { { p }_{ 0 }{ q }_{ 0 } } } \times 100=\frac { 1110 }{ 952 } \times 100=116.60\)
சராசரியாக, 2000 ஆம் ஆண்டுடன் ஒப்பிடுகையில் 2010 ஆம் ஆண்டில் பொருள்களின் விலை 16.60% அதிகரித்துள்ளது.
பாசியின் விலைக் குறியீட்டு எண்
\({ P }_{ 01 }^{ P }=\frac { \sum { { p }_{ 1 }{ q }_{ 1 } } }{ \sum { { p }_{ 0 }{ q }_{ 1 } } } \times 100=\frac { 1460 }{ 1236 } \times 100=118.12\)
சராசரியாக, 2000 ஆம் ஆண்டுடன் ஒப்பிடுகையில் 2010 ஆம் ஆண்டில் பொருள்களின் விலை 18.12% அதிகரித்துள்ளது.
ஃபிஷர் விலைக் குறியீட்டு எண்
\({ P }_{ 01 }^{ F }=\sqrt { \frac { \sum { { p }_{ 1 }{ q }_{ 0 } } \times \sum { { p }_{ 1 }{ q }_{ 1 } } }{ \sum { { p }_{ 0 }{ q }_{ 0 } } \times \sum { { p }_{ 0 }{ q }_{ 1 } } } } \times 100=\sqrt { \frac { 1110\times 1460 }{ 952\times 1236 } } \times 100=117.36\)
சராசரியாக, 2000 ஆம் ஆண்டுடன் ஒப்பிடுகையில் 2010 ஆம் ஆண்டில் பொருள்களின் விலை 17.36% அதிகரித்துள்ளது.

இங்கு நிரல்களின் எண்ணிக்கையும் நிரைகளின் எண்ணிக்கையும் சமமாக உள்ளன. எனவே, கொடுக்கப்பட்ட கணக்கானது சமச்சீரான ஒதுக்கீடு கணக்காகும். தற்போது அதன் தீர்வைக் காணலாம்.
படி 1:
ஒவ்வொரு நிரையில் உள்ள மீச்சிறு மதிப்பை அந்த நிரையில் உள்ள அனைத்து மதிப்புகளிலிருந்தும் கழிக்க வேண்டும்.

ஒவ்வொரு நிரை மற்றும் நிரலிலும் குறைந்தபட்சம் ஒரு பூஜ்ஜியமாவது உள்ளதா என்பதை சோதிக்க. அவ்வாறு இல்லையெனில் படி 2-க்கு செல்லவும்.
படி 2:
படி (1)-ல் கிடைத்த அணியில், ஒவ்வொரு நிரலில் உள்ள மீச்சிறு மதிப்பை அந்த நிரலில் உள்ள அனைத்து மதிப்புகளிலிருந்தும் கழிக்க வேண்டும்.

ஒவ்வொரு நிரை மற்றும் நிரலிலும் குறைந்தபட்சம் ஒரு பூஜ்ஜியம் உள்ளதால் ஒதுக்கீடுகளை செய்யலாம்.
படி 3 (ஒதுக்கீடு): (Assignment):
ஒவ்வொரு நிரையாக ஒரே ஒரு பூஜ்யம் உள்ளதா என சோதிக்கவும். முதல் நிரை A-ல் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட பூஜ்ஜியங்கள் உள்ளன. நிரை B-ல் ஒரே ஒரு பூஜ்ஜியம் உள்ளது. அந்த பூஜ்யத்தை 口 -ஆல் குறியிடுக. 口 குறியிட்ட நிரலில் உள்ள மற்ற அனைத்து பூஜ்யங்களையும் × -ஆல் குறியிடுக.

நிரை C-ல் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட பூஜ்ஜியங்கள் உள்ளன. அந்த பூஜ்யத்தை 口-ஆல் குறியிடுக. 口 குறியிட்ட நிரலில் உள்ள மற்ற அனைத்து பூஜ்யங்களையும் × -ஆல் குறியிடுக.

நிரை D-ல் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட பூஜ்ஜியங்கள் உள்ளன. அந்த பூஜ்யத்தை 口-ஆல் குறியிடுக. 口 குறியிட்ட நிரலில் உள்ள மற்ற அனைத்து பூஜ்யங்களையும் × -ஆல் குறியிடுக.

நிரை E-ல் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட பூஜ்ஜியங்கள் உள்ளன. எனவே அடுத்து நாம் நிரலில் ஒதுக்கீடு செய்யலாம். நிரல் 1 ஒதுக்கீடு உள்ளது. நிரல் இரண்டில் ஒரே ஒரு பூஜ்ஜியம் உள்ளதால். அந்த பூஜ்யத்தை 口-ஆல் குறியிடுக. 口 குறியிட்ட நிரலில் உள்ள மற்ற அனைத்து பூஜ்யங்களையும் × -ஆல் குறியிடுக.

நிரல் 3 மற்றும் நிரல் 4-ல் ஒதுக்கீடு உள்ளது. எனவே 5-வது நிரலில் ஒரே ஒரு பூஜ்யம் உள்ளது. அந்த பூஜ்யத்தை 口-ஆல் குறியிடுக. குறியிட்ட நிரையில் உள்ள மற்ற அனைத்து பூஜ்யங்களையும் × -ஆல் குறியிடுக.

அனைத்து ஒதுக்கீடுகளும் செய்யப்பட்டுள்ளன.
உகந்த ஒதுக்கீடு மற்றும் மொத்த சிறும செலவு:

உகந்த ஒதுக்கீடு மொத்த செலவு(சிறும செலவு) = ரூ. 9

(i) கணக்கின்படி
கூறு அளவு : n =900, கூறு சராசரி \(\bar { x } \) = 3.4 செ.மீ,
கூறு திட்டவிலக்கம் SD s = 2.61 செ.மீ
முழுமைத்தொகுதி சராசரி μ= 3.25 செ.மீ, முழுமைத் தொகுதியின் திட்ட விலக்கம் SD σ = 2.61 செ.மீ
இன்மை கருதுகோள் H₀ : μ = 3.25 செ.மீ சராசரி  μ= 3.25 மற்றும் செ.மீ SD σ = 2.61 செ.மீ உடைய முழுமைத் தொகுதியிலிருந்து கூறு எடுக்கப்பட்டிருக்கிறது.
மாற்று கருதுகோள்: H₁:μ≠3.25 செ.மீ (இருமுனைச் சோதனை l) அதாவது சராசரி μ = 3.25 செ.மீ மற்றும் திட்ட விலக்கம் σ = 2.61 செ.மீ கொண்ட முழுமைத் தொகுதியிலிருந்து கூறு எடுக்கப்படவில்லை.
கூறுபண்பளவை சோதனைக்கு ஏற்பக் கணக்கிடல்
\(Z=\frac { 3.4-3.25 }{ \frac { 2.61 }{ \sqrt { 900 } } } =\frac { 0.15 }{ 0.087 } =1.724\)
\(\therefore\)Z=1.724
கணக்கிடப்பட்ட ∴ Z=1.724 மற்றும் அட்டவணை மதிப்பு \({ Z }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }=1.96\)
இவற்றை ஒப்பிடுகையில் \(Z<{ Z }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }\\ \)அதாவது 1.724 < 1.96
முடிவு: கணக்கிடப்பட்ட 5% மதிப்பானது, அட்டவணை மதிப்பை விட குறைவாக உள்ளது. அதாவது 5% மிகைகாண் நிலையில் \(Z<{ Z }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }\\ \) ஆக உள்ளதால். இன்மை கருதுகோள் ஆனது ஏற்றுக்கொள்ளப்படுகிறது.
எனவே , சராசரி μ = 3.25 செ.மீ மற்றும் திட்ட விலக்கம், σ = 2.61 செ.மீ. உடைய முழுமைத் தொகுதியிலிருந்து கூறானது எடுக்கப்பட்டது என முடிவு செய்யப்படுகிறது.
(ii) நம்பிக்கை எல்லைகள் (Confidence limits)
முழுமைத் தொகுதியின் சராசரி μ விற்கான 95% நம்பிக்கை எல்லைகள்:
\(\bar { x } -{ Z }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }SE\le \mu \le \bar { x } +{ Z }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }SE\)
\(3.4-(1.96\times 0.087)\le \mu \le 3.4+(1.96\times 0.087)\)
\(3.229\le \mu \le 3.571\)
முழுமைத் தொகுதியின் சராசரி μ விற்கான 98% நம்பிக்கை எல்லைகள்:
\(\bar { x } -{ Z }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }SE\le \mu \le \bar { x } +{ Z }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }SE\)
\(3.4-(2.33\times 0.087)\le \mu \le 3.4+(2.33\times 0.087)\)
\(3.197\le \mu \le 3.603\)
எனவே , μ- இன் 95% நம்பிக்கை இடைவெளி (3.229,3.571) மற்றும் 98% நம்பிக்கை இடைவெளி (3.197,3.603) ஆகும்.

x	1941	1951	1961	1971	1981	1991
y	20	24	29	36	46	51

 1946-ஆம் ஆண்டின் மக்கள்தொகையை கணக்கிடுவதற்கு (அதாவது x=1946 க்கு y -ன் மதிப்பை கணக்கட) நாம், நியூட்டனின் முன்நோக்கு இடைச்செருகல் சூத்திரத்தை பயன்படுத்துவோம்.
y_(x=x0+nh)=\({ y }_{ 0 }+\frac { n }{ 1! } \triangle y_{ 0 }+\frac { n(n-1) }{ 2! } { \triangle }^{ 2 }{ y }_{ 0 }+\frac { n(n-1)(n-2) }{ 3! } { \triangle }^{ 0 }y_{ 0 }+....\)
x=1946 ∴  x₀+nh=1946, x₀=1941, h=10
1941+n(10)=1946 ⇒ n=0.5

x	y	Δy	Δ2y	Δ3y	Δ4y	Δ5y
1941	20
		4
1951	24		1
		5		1
1961	29		2		0
		7		1		-9
1971	36		3		-9
		10		-8
1981	46		-5
		5
1991	51

 y_(x=1946)=\(20 +\frac { 0.5 }{ 1! } (4)+\frac { 0.5(0.5-1) }{ 2! } (1)+\frac { 0.5(0.5-1)(0.5-2) }{ 3! } (1)+\frac { 0.5(0.5-1)(0.5-2)(0.5-3) }{ 4! } (0)+\frac { 0.5(0.5-1)(0.5-2)(0.5-3)(0.5-4) }{ 5! } (-9)\)
=20+2-0.125+0.0625-0.24609
=21.69 இலட்சங்கள்

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டை \(\frac { dy }{ dx } +\frac { 1 }{ cos^{ 2 }x } y=\frac { tanx }{ cos^{ 2 }x } \) என எழுதலாம்.
அதாவது, \(\frac { dy }{ dx } \)+y sec²x=tanxsec²x
இது \(\frac { dy }{ dx } \)+Py=Q என்ற வடிவில் உள்ளது.
இங்கு P=sec²x, Q=tanxsec²x
\(\int { P } dx=\int { sec^{ 2 }x } dx=tanx\)
I.F=\(e^{ \int { p.dx } }=e^{ tanx }\)
தேவையான தீர்வு: y(I.F)=\(\int { Q(I.F)dx } +c\)
yetanx=\(\int { \tan x \sec^{ 2 } } xe^{ \tan x }dx+c\)
tanx-=t என்க.
sec²xdx=dt
∴ ye^tanx=\(\int { te^{ t } } dt+c\)
=\(\\ \int { td } (e^{ t })+c\)
=te^t-e^t+c
=tanxe^tanx-e^tanx+c
ye^tanx=e^tanx(tanx-1)+c

MR=\(\frac { dy }{ dq } =\frac { { q }^{ 2 }+3y^{ 2 } }{ 2qy } \)      ....(1)
y=vq மற்றும் \(\frac { dy }{ dq } =v+q\frac { dv }{ dq } \) என (1) -இல் பிரதியிட,
(1) ⇒ v+\(q\frac { dv }{ dq } =\frac { { q }^{ 2 }+3v^{ 2 }{ q }^{ 2 } }{ 2qvq } \)
=\(\frac { 1+3v^{ 2 } }{ 2v } \)
\(q\frac { dv }{ dq } =\frac { 1+3{ v }^{ 2 } }{ 2v } -v\)
=\(\frac { 1+3v^{ 2 }-2{ v }^{ 2 } }{ 2v } \)
=\(\frac { 1+{ v }^{ 2 } }{ 2v } \)
\(\frac { 2v }{ 1+{ v }^{ 2 } } dv=\frac { dq }{ q } \)
தொகையிட,
\(\int { \frac { 2v }{ 1+{ v }^{ 2 } } dv } =\int { \frac { dq }{ q } } \)
log(1+v²)=logq+logc
1+v²=cq
v=\(\frac { y }{ q } \) என பிரதியிட,
1+\(\frac { { y }^{ 2 } }{ { q }^{ 2 } } \)=cq
q²+y²=cq³         ....(2)
வெளியீடு 1 அலகு இருக்கும் பொழுது வருவாய் ரூ.5 எனில்
1+25=c ⇒ c =26 (2) லிருந்து
∴ q²+y²=26q³ என்பது மொத்த வருவாய் சார்பு ஆகும்.

\(\int { \frac { 1 }{ x\left( { x }^{ 2 }+1 \right) } } dx\)
\(=\log { \left| x \right| } -\frac { 1 }{ 2 } \log { \left| { x }^{ 2 }+1 \right| } +c\quad \)
\(\left[ \because t={ x }^{ 2 }+1\Rightarrow dt=2x\quad dx\ \therefore \int { \frac { 2x\ dx }{ { x }^{ 2 }+1 } } =\int { \frac { dt }{ t } =\log { \left| t \right| =\log { \left| { x }^{ 2 }+1 \right| } } } \right] \)
\(\frac { 1 }{ x\left( { x }^{ 2 }+1 \right) } =\frac { A }{ x } +\frac { Bx+C }{ { x }^{ 2 }+1 } \)
\(\Rightarrow 1=A\left( { x }^{ 2 }+1 \right) +\left( Bx+C \right) (x)\)
\(x=0\Rightarrow 1=A\)
(1) ல் x² ன் கெழுக்களைச் சமப்படுத்த 
0 = A + B ⇒ B = -1
(1) ல் x ன் கெழுக்களைச் சமப்படுத்த 
0 = C ⇒ C = 0
\(=\int { \left( \frac { A }{ x } +\frac { Bx+C }{ { x }^{ 2 }+1 } \right) } dx\)
\(=\int { \left( \frac { 1 }{ x } +\frac { -x+0 }{ { x }^{ 2 }+1 } \right) } dx\)
\(=\int { \frac { 1 }{ x } } dx-\int { \frac { x }{ { x }^{ 2 }+1 } } dx\)
\(\int \frac {dx }{x (x^2+1}=\int \frac {dt }{x} -\frac { 1 }{ 2 } \int { \frac { 2x }{ { x }^{ 2 }+1 } }dx \) 
​​​​​​​= log|x|-\(\frac{1}{2}\)log|x²+1|+c

வெற்றியின் எதிர்பார்த்தல் எண்ணிக்கை :
\(E\left( X \right) =\underset { x }{ \Sigma } x{ P }_{ x }(x)\)
= \(\left( 0\times \cfrac { 6 }{ 11 } \right) +\left( 1\times \cfrac { 9 }{ 22 } \right) +\left( 2\times \cfrac { 1 }{ 22 } \right) \)
= \(\cfrac { 11 }{ 2 } \) = 0.5
எனவே, வெற்றியின் எதிர்பார்த்தல் எண்ணிக்கை 0.5 ஆகும். (தோராயமாக ஒரு வெற்றி)

(5,7,12,15) -இன் மீப்பெரு மதிப்பு =15 எனவே சிறந்த செயல்பாடு A4 ஆகும்.

சாலை விபத்துகளின் எண்ணிக்கையை சமவாய்ப்பு மாறி X என்க.
சராசரி \(=\lambda=4\)
\(\mathrm{P}(\mathrm{X}=x)=\frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x !}\)
(i) \(\mathrm{P}(\mathrm{X}=0)=\frac{e^{-4} 4^0}{0 !}=0.0183\)
விபத்து இல்லாத நாட்கள்
\(=0.0183 \times 100=1.83 \sim 2\) நாட்கள்
(ii) \(P  (X \geq 2)=1-P(X<2)\)
\( =1-[P(X=0)+P(X=1)] \)
\(=1-\left[\frac{e^{-4} 4^0}{0 !}+\frac{e^{-4} 4^1}{1 !}\right] \)
\(=1-e^{-4}[1+4]=1-(0.0183)(5) \)
=1-0.0915=0.9085
குறைந்தபட்சம் 2 விபத்துகள் ஏற்படும் நாள்கள் 
\(=0.9085 \times 100=90.85 \sim 91 \)நாட்கள்
(iii) \(P(X \leq 3)=P(X=0)+P(X=1)  +P(X=2)  +P(X=3) \)
\( =\frac{e^{-4} 4^0}{0 !}+\frac{e^{-4} 4^1}{1 !}+\frac{e^{-4} 4^2}{2 !}+\frac{e^{-4} 4^3}{3 !}\)
\( =e^{-4}\left[1+4+8+\frac{32}{3}\right] \)
=0.0183(23.67)=0.433
அதிகபட்சம் 3 விபத்துகள் ஏற்படும் நாட்கள் \(=0.433 \times 100 \simeq 43\) நாட்கள்

கொடுக்கப்பட்ட போக்குவரத்து அட்டவணை 

மொத்த தேவைகள் = மொத்த இருப்புகள் = 21
எனவே கொடுக்கப்பட்ட கணக்கானது சமநிலை போக்குவரத்து கணக்காகும்.
முதல் ஒதுக்கீடு :

இரண்டாம் ஒதுக்கீடு :

மூன்றாம் ஒதுக்கீடு:

நான்காம் ஒதுக்கீடு:

ஐந்தாம் ஒதுக்கீடு :

இறுதி ஒதுக்கீடு :

போக்குவரத்து விவரம்
P → A, P → Q,Q → B, Q → C, Q → D, R → D, R → E
மொத்த போக்குவரத்து செலவு 
\( =(3 \times 2)+(1 \times 11)+(2 \times 4)+(4 \times 7)+ (2 \times 2)+(3 \times 8)+(6 \times 12) \)
= 6 + 11 + 8 + 28 + 4 + 24 + 72 = ரூ. 153 

ஒரு பகடையை உருட்டும் போது எண் 3 அல்லது 4 கிடைக்கப்பெறுவது வெற்றியாக கருதப்படுகிறது.
கூறுகளின் எண்ணிக்கை n = 9000; வெற்றிகளின் எண்ணிக்கை = 3240
மாதிரி விகித சமம் =p=\(\frac{3240}{9000}\)=0.36
முழுமைத் தொகுதி விகித சமம் ஒரு பகடை உருட்டும் போது எண் 3 அல்லது 4 கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவு =P (3 அல்லது 4)
\(=\frac { 1 }{ 6 } +\frac { 1 }{ 6 } =\frac { 2 }{ 6 } =\frac { 1 }{ 3 } =0.3333\)
எனவே Q = 1–P=1– 0.3333 = 0.6667
மாதிரி விகித சமத்திற்கான திட்டப்பிழை
\(S.E=\sqrt { \frac { PQ }{ N } } =\sqrt { \frac { (0.3333)(0.6667) }{ 9000 } } =0.00496\)
மாதிரி விகித சமத்திற்கான திட்டப்பிழை S.E=0.00496

\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & y & \Delta y & \Delta^2 y & \Delta^3 y & \Delta^4 y \\ \hline 80 & 5026 & & & & \\ \hline & & 648 & & & \\ \hline 85 & 5674 & & 40 & & \\ \hline & & 688 & & -2 & \\ \hline 90 & 6362 & & 38 & & 4 \\ \hline & & 726 & & 2 & \\ \hline 95 & 7088 & & 40 & & \\ \hline & & 766 & & & \\ \hline 100 & 7854 & & & & \\ \hline \end{array}\)
\( x_0=80, \mathrm{~h}=5, \quad x_0+\mathrm{nh}=82 \)
\(5 \mathrm{n}=2 \Rightarrow \mathrm{n}=\frac{2}{5}=0.4 \)
\( \mathrm{y}=y_0+\frac{n}{1 !} \Delta y_0+\frac{n(\mathrm{n}-1)}{2 !} \Delta^2 y_0 +\frac{n(\mathrm{n}-1)(\mathrm{n}-2)}{3 !} \Delta^3 y_0 +\frac{n(\mathrm{n}-1)(\mathrm{n}-2)(\mathrm{n}-3)}{4 !} \Delta^4 y_0 \)
\(y=5026+\frac{0.4}{1 !}(648)+\frac{(0.4)(-0.6)}{2 !}(40) +\frac{(0.4)(-0.6)(-1.6)}{3 !}(-2) +\frac{(0.4)(-0.6)(-1.6)(-2.6)}{4 !}(4) \)
\(=5026+259.2-4.8-0.128-0.1664 =5280.1056 \)
\( x_{\mathrm{n}}=100, \mathrm{~h}=5, x_{\mathrm{n}}+\mathrm{nh}=91 \)
\( \Rightarrow 5 \mathrm{n}=-9 \Rightarrow \mathrm{n}=-1.8 \)
\( \mathrm{y}=y_n+\frac{n}{1 !} \nabla y_n+\frac{n(\mathrm{n}+1)}{2 !} \nabla^2 y_n +\frac{n(\mathrm{n}+1)(\mathrm{n}+2)}{3 !} \nabla^3 y_n +\frac{n(\mathrm{n}+1)(\mathrm{n}+2)(\mathrm{n}+3)}{4 !} \nabla^4 y_n \)
\( y=7854+\frac{(-1.8)}{1 !}(766)+\frac{(-1.8)(-0.8)}{2 !} 40 +\frac{(-1.8)(-0.8)(0.2)}{3 !}(2) +\frac{(-1.8)(-0.8)(0.2)(1.2)}{4 !}(4) \)
\(=7854-1378.8+28.8+0.096+0.0576 \)
\( =6504.1536=6504 \)

கொடுக்கப்பட்டுள்ள விவரங்களுக்கு முன்நோக்கு வேறுபாட்டின் அட்டவணை

x	y	Δy	Δ2y	Δ3y
0	0
		0.174
10	0.174		-0.001
		0.173		-0.004
20	0.347		-0.002
		0.171
30	0.518

சமான நிலையில்  Q_d =Q_s
\(13-6 p+2 \frac{d p}{d t}+\frac{d^2 p}{d t^2}  =-3+2 p \)
\(\frac{d^2 p}{d t^2}+2 \frac{d p}{d t}-6 p-2 p  =-3-13 \)
\(\frac{d^2 p}{d t^2}+2 \frac{d p}{d t}-8 p  =-16\)
துணைச் சமன்பாடு
\(m^2+2 m-8  =0 \)
\((m+4)(m-2)  =0 \)
m =-4,2
நிரப்புச் சார்பு:
\(A e^{m, t}+B e^{m_1 t}=A e^{-4 t}+\mathrm{Be}^{2 x} \)
சிறப்புத் தொகை \(=\frac{1}{D^2+2 D-8}(-16) e^{0 r}\)
D = 0 எனப் பதிலிட 
P.I  = \(\frac {-16}{-8} = 2\)
தீர்வு : P = நிரப்புச் சார்பு + சிறப்புத் தொகை 
p=Ae^-4t+Be^2t+2

\(\int _{ 0 }^{ \infty }{ e^{ -\frac { x }{ 2 } } } \)dx =\(-2\left[ e^{ -\frac { x }{ 2 } } \right] _{ 0 }^{ \infty }\)
= -2[0-1] = 2