\(\int { \frac { 1 }{ { 2x }^{ 2 }-9 } } dx\)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \int { \frac { dx }{ { x }^{ 2 }-\frac { 9 }{ 2 } } } \)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \int { \frac { dx }{ { x }^{ 2 }-{ \left( \frac { 3 }{ \sqrt { 2 } } \right) }^{ 2 } } } \)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \times \frac { 1 }{ 2\left( \frac { 3 }{ \sqrt { 2 } } \right) } \log { \left| \frac { x-\frac { 3 }{ \sqrt { 2 } } }{ x+\frac { 3 }{ \sqrt { 2 } } } \right| } +c\)
\(\left[ \because \int { \frac { dx }{ { x }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } } =\frac { 1 }{ 2a } \log { \left| \frac { x-a }{ x+a } \right| } \right] +c\)
\(=\frac { 1 }{ \frac { 12 }{ \sqrt { 2 } } } \log { \left| \frac { \sqrt { 2x } -3 }{ \sqrt { 2x } +3 } \right| } +c\)

\(=\frac { 1 }{ 6\times \sqrt { 2 } } \log { \left| \frac { \sqrt { 2x } -3 }{ \sqrt { 2x } +3 } \right| } +c\)

\(\int { \frac { \cos2x }{ { \sin }^{ 2 }{ xcos }^{ 2 }x } dx } =\int { \left( { cosec }^{ 2 }x-{ \sec }^{ 2 }x \right) dx } \)
= −cot x − tan x + c
எளியச் சார்புகளாக  பிரித்தெழுத
\(\frac { \cos2x }{ { \sin }^{ 2 }{ x\cos }^{ 2 }x } =\frac { { \cos }^{ 2 }x{ -\sin }^{ 2 }x }{ { \sin }^{ 2 }x \cos^{ 2 }x } \)
\(=\frac { 1 }{ { { \sin }^{ 2 }x } } -\frac { 1 }{ { \cos }^{ 2 }x }\)
=cosec²x-sec²x

\(\int { { \sin }^{ 2 }xdx } = \int { \frac { 1 }{ 2 } \left( 1-\cos2x \right) dx } \)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \left[ \int { dx-\int { \cos2xdx } } \right] \)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \left[ x-\frac { \sin2x }{ 2 } \right] +c\)
எளியச் சார்புகளாக பிரித்தெழுத
cos2x = 1− 2sin² x 
\(\therefore \sin^{ 2 }x=\frac { 1 }{ 2 } (1-\cos2x)\)

\(\int (3+x)(2-5x)dx\quad =\int \left( 6-15x+2x-5x^{ 2 } \right) dx\)
\(=\int \left( 6-13x-5x^{ 2 } \right) dx\)
\(=6x-\frac { 13x^{ 2 } }{ 2 } -\frac { 5x^{ 3 } }{ 3 } +c\)

\( \int\left( 9x^{ 2 }-\frac { 4 }{ { x }^{ 2 } } \right) ^{ 2 } = \int \left( 81x^{ 4 }-72+\frac { 16 }{ x^{ 4 } } \right) dx\)
\(=\int \left( 81x^{ 4 }-72+16x^{ -4 } \right) dx\)
\(=\frac { 81x^{ 5 } }{ 5 } -72x+\frac { 16x^{ -3 } }{ -3 } +c\)
\(=\frac { 81x^{ 5 } }{ 5 } -\frac { 16 }{ 3x^{ 3 } } -72x+c\)

I = \(\int _{ 0 }^{ 3 }{ \frac { xdx }{ \sqrt { x+1 } +\sqrt { 5x+1 } } } \)
\(I=\int _{ 0 }^{ 3 }{ \cfrac { x\left( \sqrt { x+1 } -\sqrt { 5x+1 } \right) }{ \left( \sqrt { x+1 } +\sqrt { 5x+1 } \right) \left( \sqrt { x+1 } -\sqrt { 5x+1 } \right) } } \)
= \(\int _{ 0 }^{ 3 }{ \cfrac { x\left( \sqrt { x+1 } -\sqrt { 5x+1 } \right) dx }{ \left( x+1 \right) -\left( 5x+1 \right) } } \)
\(\left[ \because \left( a+b \right) \left( a-b \right) ={ a }^{ 2 }-{ b }^{ 2 } \right] \)

= \(-\cfrac { 1 }{ 4 } \int _{ 0 }^{ 3 }{ \left( \sqrt { x+1 } -\sqrt { 5x+1 } \right) dx } \)
=  \(-\cfrac { 1 }{ 4 } \left[ \cfrac { \left( x+1 \right) ^{ \cfrac { 3 }{ 2 } } }{ \cfrac { 3 }{ 2 } } -\cfrac { \left( 5x+1 \right) ^{ \cfrac { 3 }{ 2 } } }{ 5\left( \cfrac { 3 }{ 2 } \right) } \right] _{ 0 }^{ 3 }\)
= \(-\cfrac { 1 }{ 4 } \left[ \cfrac { 2 }{ 3 } \left( x+1 \right) ^{ \frac { 3 }{ 2 } }-\cfrac { 1 }{ 15 } \left( 5x+1 \right) ^{ \frac { 3 }{ 2 } } \right] _{ 0 }^{ 3 }\)
= \(-\cfrac { 1 }{ 2 } \left[ \cfrac { 1 }{ 3 } \left( x+1 \right) ^{ \cfrac { 3 }{ 2 } }-\cfrac { 1 }{ 15 } \left( 5x+1 \right) ^{ \cfrac { 3 }{ 2 } } \right] _{ 0 }^{ 3 }\)
= \(-\cfrac { 1 }{ 2 } \left[ \cfrac { 1 }{ 3 } (4)^{ \cfrac { 3 }{ 2 } }-\cfrac { 1 }{ 15 } \left( 16 \right) ^{ \cfrac { 3 }{ 2 } } - \left[1- \frac {1}{5}\right] \right] \)
= \(-\cfrac { 1 }{ 6 } \left[ 8-\cfrac { 64 }{ 5 } -1 + \cfrac { 1 }{ 5 }\right] \)
= \(-\cfrac { 1 }{ 6 } \left[ -\cfrac { 28 }{ 5 } \right] =\cfrac { 14 }{ 15 } \)
\(\therefore\) \(I=\cfrac { 14 }{ 15 } \)

\(I=\int _{ 0 }^{ 1 }{ \sqrt { x(x-1) } dx } \)
= \(\int _{ 0 }^{ 1 }{ \sqrt { { x }^{ 2 }-xdx } } \)
= \(\int _{ 0 }^{ 1 }{ \sqrt { { x }^{ 2 }-x+\cfrac { 1 }{ 4 } -\cfrac { 1 }{ 4 } dx } } \)
= \(\int _{ 0 }^{ 1 }{ \sqrt { \left( x-\cfrac { 1 }{ 2 } \right) ^{ 2 }-\left( \cfrac { 1 }{ 2 } \right) ^{ 2 }dx } } \)
\(\left[ \because \int { \sqrt { { x }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } dx } =\cfrac { x }{ 2 } \sqrt { { x }^{ 2 } } -\cfrac { { a }^{ 2 } }{ 2 } \log\left| x+\sqrt { { x }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } \right| \right] \)
= \(\left[ \cfrac { x-\frac { 1 }{ 2 } }{ 2 } \sqrt { { x }^{ 2 }-x } -\cfrac { 1 }{ 8 } \log|x-\cfrac { 1 }{ 2 } +\sqrt { { x }^{ 2 }-x } \right] _{ 0 }^{ 1 }\)
= \(\left[ \cfrac { 1-\frac { 1 }{ 2 } }{ 2 } \sqrt { 0 } -\cfrac { 1 }{ 8 } \log|1-\cfrac { 1 }{ 2 } +0| \right] -\left[ 0-\cfrac { 1 }{ 8 } \log|-\cfrac { 1 }{ 2 } | \right] \)
= \(0-\cfrac { 1 }{ 8 } \log\left| \cfrac { 1 }{ 2 } \right| +\cfrac { 1 }{ 8 } \log\left| \cfrac { 1 }{ 2 } \right| \)
= 0

t = x² + 3x + 7
⇒ dt = (2x + 3)
இங்கு  x = -1, t = (-1)² +3(-1)+7 = 1-3 + 7= 5
x = 1, t = 1² +3(1)+7 = 11
\(\int _{ -1 }^{ 1 }{ \frac { 2x+3 }{ { x }^{ 2 }+3x+7 } } dx=\int _{ 5 }^{ 11 }{ \frac { dt }{ t } } ={ \left( \log { t } \right) }_{ 5 }^{ 11 }\)
\(=\log { 11 } -\log { 5 } \)
\(=\log { \left( \frac { 11 }{ 5 } \right) } \)

\(\int \left( \frac { 1 }{ \sin ^{ 2 } x\cos ^{ 2 } x } \right) dx=\int \frac { \sin ^{ 2 } x+\cos ^{ 2 } x }{ \sin ^{ 2 } x\cos ^{ 2 } x } d\)
\(=\int \left( \frac { \sin ^{ 2 } x }{ \sin ^{ 2 } x\cos ^{ 2 } x } +\frac { \cos ^{ 2 } x }{ \sin ^{ 2 } x\cos ^{ 2 } x } \right) dx\)
\(=\int \left( \sec ^{ 2 } x+{ cosec }^{ 2 }x \right) dx\)
\(=\tan x-\cot x+c\)

f'(x)=\(\frac { 1 }{ x } \) 
f(x) = \(\int \frac { dx }{ x } \)
f(x)= log|x| +c
f(1) =\(\frac { \pi }{ 4 } \)
\(\frac { \pi }{ 4 } \)=log 1 +c
c=\(\frac { \pi }{ 4 } \)  (ஃlog 1 =0) 
f(x) = log|x| + \(\frac { \pi }{ 4 } \)

I = ഽ(x +1)² log x dx
u = log x dv = (x+1)²dx
\(du=\cfrac { 1 }{ x } dx\quad v=\cfrac { \left( x+1 \right) ^{ 3 } }{ 3 } \)
\(I=\int { udv } =uv-\int { vdu } \)
\(I=\int { \left( x+1 \right) ^{ 2 }\log xdx } \)
= \(\cfrac { (x+1)^{ 3 } }{ 3 } \log x-\int { \cfrac { \left( x+1 \right) ^{ 3 } }{ 3 } .\cfrac { 1 }{ x } dx } \)
= \(\cfrac { \left( x+1 \right) ^{ 3 } }{ 3 } \log x-\cfrac { 1 }{ 3 } \int { \cfrac { { x }^{ 3 }+{ 3x }^{ 2 }+3x+1 }{ x } } \)
= \(\cfrac { \left( x+1 \right) ^{ 3 } }{ 3 } \log x-\cfrac { 1 }{ 3 } \int { \left( { x }^{ 2 }+3x+3+\cfrac { 1 }{ x } \right) dx } \)
= \(\cfrac { \left( x+1 \right) ^{ 3 } }{ 3 } \log x-\cfrac { 1 }{ 3 } \left[ \cfrac { { x }^{ 3 } }{ 3 } +\cfrac { { 3x }^{ 2 } }{ 2 } +3x+\log|x| \right] +c\)
\(=\left[ \left( x+1 \right) ^{ 3 }\log x-\cfrac { { x }^{ 3 } }{ 3 } -\cfrac { { 3x }^{ 2 } }{ 2 } -3x-log|x| \right] +c\)
\(=\frac { 1 }{ 3 } \left[ (x+1)^{ 3 }\log x-\frac { { x }^{ 3 } }{ 3 } -\frac { 3{ x }^{ 2 } }{ 2 } -3x-\log|x|+c \right] \)

\(\int _{ a }^{ b }{ f\left( x \right) } dx=\lim _{ x\rightarrow \infty \\ h\rightarrow 0 }{ \sum _{ r=1 }^{ n }{ h\ f(a+rh) } } \)
இங்கு  a = 0, b = 1 \(h=\frac { b-a }{ n } =\frac { 1-0 }{ n } =\frac { 1 }{ n } \) மற்றும் f(x) = x + 4
f (a + rh) = \(f\left( 0+\frac { r }{ n } \right) =f\left( \frac { r }{ n } \right) \)
\(=\frac { r }{ n } +4\)
\(\therefore \int _{ 0 }^{ 1 }{ \left( x+4 \right) } dx=\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \sum _{ r=1 }^{ n }{ \frac { 1 }{ n } } } \left( \frac { r }{ n } +4 \right) \)
\(=\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \sum _{ r=1 }^{ n }{ \left( \frac { r }{ { n }^{ 2 } } +\frac { 4 }{ n } \right) } } \)
\(=\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \left( \frac { 1 }{ { n }^{ 2 } } \sum _{ r=1 }^{ n }{ r } +\frac { 4 }{ n } \sum _{ r=1 }^{ n }{ 1 } \right) } \)

\(\left( \sum _{ r=1 }^{ n }{ 1=n)\sum _{ r=1 }^{ n }{ r } =\frac { n(n+2) }{ 2 } } \right) \)

\(=\lim _{ n\rightarrow \infty }{[ \frac { 1}{ 2 }+\frac { 1 }{ n } } +4]\)
\(=\frac { 1 }{ 2 } +4 =\frac { 9 }{ 2 } \)

\(\int _{ 0 }^{ \infty }{ { x }^{ 2 }e^{ -x^{ 3 } } } dx\)=\(\int _{ 0 }^{ \infty }{ e^{ -t }\frac { dt }{ 3 } } \)
=\(\frac { 1 }{ 3 } [-e^{ -t }]_{ 0 }^{ \infty }\)
=\(\frac { -1 }{ 3 } [0-1]\)
=\(\frac { 1 }{ 3 } \)

\(\int { \left[ \frac { 1 }{ \log x } -\frac { 1 }{ (\log x)^{ 2 } } \right] } dx\)=\(\int { \left[ \frac { 1 }{ z } -\frac { 1 }{ { z }^{ 2 } } \right] { e }^{ z } } \)
=\(\int { e^{ z } } \)[f(z)+f'(z)]dz
= e^zf(z)+c
= e^z\(\left[ \frac { 1 }{ z } \right] \)+c
=\(\frac { x }{ \log x } \)+c

\(\left[ \because \int _{ 0 }^{ \infty }{ { x }^{ n }{ e }^{ -ax }dx=\frac { n! }{ { a }^{ n+1 } } } \right] \)
இங்கு n = 4,a = 1
\(\int _{ 0 }^{ \infty }{ x^{ 4 }{ e }^{ -x } } dx =\frac { 4! }{ { 1 }^{ 3 } }= 4! \)

 \(\Gamma \)8 = 7! = 5040

\(\int _{ 0 }^{ 4 }{ \left( \sqrt { x } +\frac { 1 }{ \sqrt { x } } \right) } \)dx \(=\int _{ 0 }^{ 4 }{ \left( { x ^ {1/2}} +{ x^{ -1/2} } \right) } dx \)
\(= \left [ \frac {x^{3/2}}{3/2} + \frac{x^{1/2}}{1/2} \right]^4_0\)
\(=2 \left [ \frac {4^{3/2}}{3} + 4^{1/2}\right]\)
\(=2 \left [ \frac {8}{3} + 2\right] = \frac{28}{3}\)

\(\int _{ 2 }^{ 3 }{ f(5-x) } dx-\int _{ 2 }^{ 3 }{ f(x) } dx\)
\(\int _{ 2 }^{ 3 }{ f(5-x) } dx-\int _{ 2 }^{ 3 }{ f(2+3-x) } dx\)
\(​​\left[∵ \int _{ 0 }^{ a }{ f(x) } dx=\int _{ 0 }^{ a }{ f(a+b-x)dx } \right] \)

\(\int _{ -\frac { \pi }{ 2 } }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ \cos x } dx=2\int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ \cos x } dx\)
( cos x ஒரு இரட்டைச் சார்பு)
\(= [\sin x]^{\pi/2}_ 0 = 2[1-0]= 2\)