Let I = \(\int _{ 1 }^{ 2 }{ \frac { log\quad x }{ { x }^{ 2 } } } dx\)

u = log x and dv = \(\frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } dx\quad ={ x }^{ -2 }dx\)
\(du=\frac { 1 }{ x } ;v=\frac { { x }^{ -2+1 } }{ { -2+1 } } =\frac { { x }^{ -1 } }{ -1 } =\frac { -1 }{ x } \)
Using integration by parts we get,
ഽu dv = uv - ഽv du
\(\therefore I=\int _{ 1 }^{ 2 }{ \frac { log\quad x }{ { x }^{ 2 } } } dx\)
= \({ \left[ -\frac { 1 }{ x } logx-\int { -\frac { 1 }{ x } .\frac { 1 }{ x } } dx \right] }_{ 1 }^{ 2 }\)
= \({ \left[ -\frac { 1 }{ x } logx+\int { \frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } } dx \right] }_{ 1 }^{ 2 }\)
= \({ \left[ -\frac { 1 }{ x } logx-\frac { 1 }{ x } \right] }_{ 1 }^{ 2 }\)
= \(-{ \left[ \frac { 1 }{ x } logx+\frac { 1 }{ x } \right] }_{ 1 }^{ 2 }\)
= \(-\left[ \left( \frac { 1 }{ 2 } log2+\frac { 1 }{ 2 } \right) -\left( 1log1+\frac { 1 }{ { 1 }^{ 1 } } \right) \right] \)
= \(-\left[ \frac { 1 }{ 2 } log2+\frac { 1 }{ 2 } -0-1 \right] \)
\(\left[ \because log1=0 \right] \)
= \(-\left[ \frac { 1 }{ 2 } log2-\frac { 1 }{ 2 } \right] \)
= \(\frac { 1 }{ 2 } -\frac { 1 }{ 2 } log2\)
= \(\frac { 1 }{ 2 } (1-log2)\)

\(I=\int { { e }^{ x } } \left( \frac { 1+sinxcosx }{ { cos }^{ 2 }x } \right) dx\)
= \(\int { { e }^{ x } } \left( \frac { 1 }{ { cos }^{ 2 }x } +\frac { sinxcosx }{ cosxcosx } \right) dx\)
I = ഽ e^x (sec² x + tan x) dx      ----(1)
Let f(x) = tan x
f^'(x) = sec² x dx
We know ഽe^x (f(x) + f'(x)) dx = e^x.f(x) +c
∴ I = ഽ e^x (f (x) + f' (x)) dx
= e^x. f(x) +c
= e^x tan x + c

\(\int { \frac { 1 }{ \sqrt { { 16x }^{ 2 }+25 } } } dx\)= \(\int { \frac { 1 }{ \sqrt { 16\left( { x }^{ 2 }+\frac { 25 }{ 16 } \right) } } } dx\)
= \(\frac { 1 }{ 4 } \int { \frac { dx }{ \sqrt { { { x }^{ 2 }+\left( \frac { 5 }{ 4 } \right) }^{ 2 } } } } \)
= \(\frac { 1 }{ 4 } \log { \left| x+\sqrt { { x }+{ \left( \frac { 5 }{ 4 } \right) }^{ 2 } } \right| } +c\)
= \(\frac { 1 }{ 4 } \log { \left| \frac { 4x+\sqrt { { 16x }^{ 2 }+25 } }{ 4 } \right| } +c\)
= \(\frac { 1 }{ 4 } \log { \left| 4x+\sqrt { { 16x }^{ 2 }+25 } \right| } -\frac { 1 }{ 4 } log4+c\)
= \(\frac { 1 }{ 4 } log\left| 4x+\sqrt { { 16x }^{ 2 }+25 } \right| +{ { c }_{ 1 } }\)
where   \({ { c }_{ 1 } }=-\frac { 1 }{ 4 } log4+c\)

Let I =  ഽ sin³ x cos x dx
Put t = sin x 
⇒ dt = cos x dx
∵ I = t³.dt = \(\frac { { t }^{ 4 } }{ 4 } +c\)
= \(\frac { { sin }^{ 4 }x }{ 4 } +c\)

Let \(I=\int { \frac { { sec }^{ 2 }x }{ 3+tanx } } dx\)
Put 3 + tan x = t
⇒ 0 + sec²x dx = dt
⇒ sec² x dx = dt
\(\therefore I={ \int { \frac { dt }{ t } } }\)
= log |t| + c
= log |3 + tan x| + c
[∵ t = 3 + tan x]

\(\int { \frac { { 8 }^{ 1+x }+{ 4 }^{ 1-x } }{ { 2 }^{ x } } } dx\)
= \(\int { \frac { { \left( { 2 }^{ 3 } \right) }^{ 1+x }+{ \left( { 2 }^{ 2 } \right) }^{ 1-x } }{ { 2 }^{ x } } } dx\)
= \(\int { \frac { { 2 }^{ 3+3x }+{ 2 }^{ 2-2x } }{ { 2 }^{ x } } } dx\)
= \(\int { \frac { { 2 }^{ 3+3x } }{ { 2 }^{ x } } } dx+\int { \frac { { 2 }^{ 2-2x } }{ { 2 }^{ x } } } +dx\)
= ഽ2^3+3x-xdx + ഽ 2^2-2x-x dx
= ഽ 2^2x+3 dx+ ഽ 2^2-3x dx
= \(\frac { { 2 }^{ 2x+3 } }{ 2log2 } +\frac { { 2 }^{ 2-3x } }{ -3log2 } +c\)
= \(\frac { { 2 }^{ 2x+3-1 } }{ log2 } -\frac { { 2 }^{ 2-3x } }{ 3log2 } +c\)
= \(\frac { { 2 }^{ 2x+2 } }{ log2 } -\frac { { 2 }^{ 2-3x } }{ 3log2 } +c\)

Given 
f' (x) = 3x² - \(\frac { 2 }{ { x }^{ 3 } } \)
We know f(x) = ∫ f'(x) dx
= \(\int { \left( { 3x }^{ 2 }-\frac { 2 }{ { x }^{ 3 } } \right) } \)
\(f\left( x \right) =3\left( \frac { { x }^{ 3 } }{ 3 } \right) -2\left( \frac { { -x }^{ -2 } }{ -2 } \right) +c\)
\(f\left( x \right) ={ x }^{ 3 }+\frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } +c....(1)\)
Also, f(1) = 0
\(0={ 1 }^{ 3 }+\frac { 1 }{ { 1 }^{ 2 } } +c\)
= 1 + 1 + c
c = -2
\(\therefore f\left( x \right) ={ x }^{ 3 }+\frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } -2\)

\(\int { \frac { { ({ a }^{ x }{ +b }^{ x }) }^{ 2 } }{ { a }^{ x }b^{ x } } dx } \) = \(\int { \frac { { a }^{ 2x }+{ b }^{ 2x }+{ 2a }^{ x }{ b }^{ x } }{ { 2a }^{ x }{ b }^{ x } } } \)
[∵ (a + b)² = a² + 2ab + b²]
= \(\int { \left( \frac { { a }^{ 2 }x }{ { a }^{ x }{ b }^{ x } } +\frac { { b }^{ 2x } }{ { a }^{ x }{ b }^{ x } } +\frac { 2{ a }^{ x }{ b }^{ x } }{ { a }^{ x }{ b }^{ x } } \right) } dx\)
= \(\int { \left( \frac { { a }^{ x } }{ { b }^{ x } } +\frac { { b }^{ x } }{ { a }^{ x } } +2 \right) dx } \)
= \(\int { \left( { \left( \frac { a }{ b } \right) }^{ x }+{ \left( \frac { b }{ a } \right) }^{ x }+2 \right) } dx\)
= \(\frac { { \left( \frac { a }{ b } \right) }^{ x } }{ { log }_{ e }\left( \frac { a }{ b } \right) } +\frac { { \left( \frac { b }{ a } \right) }^{ 2 } }{ { log }_{ e }\left( \frac { b }{ a } \right) } +2x+c\)

\(\int { \frac { cos2x-cos2\alpha }{ cosx-cos\alpha } } dx\)
= \(\frac { ({ 2cos }^{ 2 }x-1)-({ 2cos }^{ 2 }\alpha -1) }{ cos\quad x-cos\alpha } dx\)
= \(\frac { { 2cos }^{ 2 }x-cos^{ 2 }\alpha }{ cos\quad x-cos\alpha } \)

= \(2\int { (cos\quad x+cos\alpha )dx } \)
= \(2[sinx+cos\alpha .x]+c\)
= \(2sinx+2xcos\alpha +c\)

\(\int { \frac { { \left( { x }^{ 2 }+1 \right) }^{ 2 }-{ x }^{ 2 } }{ { x }^{ 2 }-x+1 } } dx=\int { \frac { { \left( { x }^{ 2 }+1 \right) }^{ 2 }-{ x }^{ 2 } }{ { x }^{ 2 }-x+1 } } \)

[∵ a² - b² = (a+b) (a-b)]
= ∫ (x² + 1 + x)dx
= \(\frac { { x }^{ 3 } }{ 3 } +x+\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } +c\)