\(\mathrm{MR} =6=3 x^2-x^3 \)
\(\mathrm{R} =\int\left(6-3 x^2-x^3\right) d x \)
\(\mathrm{R} =6 x-\frac{3 x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+k \)
x  =0,R=0 எனில்  k=0
\(\mathrm{R}  =6 x-x^3-\frac{x^4}{4} \)
\(\mathrm{p}  =\frac{R}{x}=6-x^2-\frac{x^3}{4} \)

\(\mathrm{p}=\frac{36}{x+4}, \mathrm{p}=6 \)
\(6=\frac{36}{x+4} \Rightarrow x+4=\frac{36}{6}=6 \)
x=6-4=2
நுகர்வோர் உபரி
\(\text { CS }  =\int_0^{\pi_0} f(x) d x-p_0 x_0 \)
\(=\int_0^2 \frac{36}{x+4} d x-12 \)
\(=36[\log (x+4)]_0^2-12 \)
\(=36[\log 6-\log 4]-12 \)
\(=36 \log \frac{6}{4}-12 \)
\(=\left[36 \log \frac{3}{2}-12\right] \)
C.S=36log\(\frac{3}{2}\)-12 அலகுகள்

\(p =122-5 x-2 x^2 \)
\(p_0 =122-30-72=20\)
நுகர்வோர் உபரி
\(C S  =\int_0^{x_0} f(x) d x-x_0 p_0 \)
\(=\int_0^6\left(122-5 x-2 x^2\right) d x-120 \)
\(=\left[122 x-\frac{5 x^2}{2}-\frac{2 x^3}{3}\right]_0^6-120\)
= 732 - 90-144- 120
C.S.=378 அலகுகள்

இறுதிநிலை வருவாய்ச் சார்பு 
\(\mathrm{MR} =20-5 x+3 x^2 \)
\(\frac{d R}{d x} =20-5 x+3 x^2 \)
வருவாய் சார்பு: \(\mathrm{R} =\int\left(20-5 \mathrm{x}+3 \mathrm{x}^2\right) d x \)
\(R =20 x-\frac{5 x^2}{2}+\frac{3 x^3}{3}+k \)
x  =0, R =0  எனில், k  =0 
\(\mathrm{R}  =20 x-\frac{5 x^2}{2}+x^3 \)

x-2y-12=0
x=2y+12


தேவைப்படும் பரப்பு
=\(\int _{ 2 }^{ 5 }{ xdy } \)
=\(\int _{ 2 }^{ 5 }{ \left[ 2y+12 \right] } dy=\left[ y^{ 2 }+12y \right] _{ 2 }^{ 5 }\)
=(25+60)-(4+24)=57 சதுர அலகுகள்.

(ii) கொடுக்கப்பட்ட MC=2+5e^x 
C=\(\int { MC } dx+k\)
=\(\int { (2+5{ e }^{ x }) } dx+k\)
=2x+5e^x+k
சராசரி விலை =\(\frac { C }{ x } =\frac { 2x+{ 5e }^{ x }+95 }{ x } \)
AC=\(2+\frac { 4e^{ x } }{ x } +\frac { 95 }{ x } \).

\(\mathrm{MR} =275-x-0.3 x^2 \)
\(\mathrm{R} =\int_{10}^{20}\left(275-x-0.3 x^2\right) d x \)
\(\mathrm{R} =\left[275 x-\frac{x^2}{2}-\frac{0.3 x^3}{3}\right]_{10}^{20}\)
மொத்த வருவாய்
R =5500-200-800-(2750-50-100)
=4500-2600=₹ 1900
= ரூ.1,900

இறுதிநிலை வருவாய் சார்பு
\(\mathrm{MR} =\frac{4}{(2 \mathrm{x}+3)^2}-1 \)
\(\frac{d R}{d x} =\frac{4}{(2 \mathrm{x}+3)^2}-1 \)
\(\mathrm{R} =\int\left[4(2 \mathrm{x}+3)^{-2}-1\right] d x \)
\(=\frac{4(2 \mathrm{x}+3)^{-1}}{-1(2)}-x+k \)
\(\mathrm{R} =\frac{-2}{2 x+3}-x+k \)
\(x =0, \mathrm{R}=0 \) எனில், \(\mathrm{k}=\frac{2}{3}\)
\(\mathrm{R} =\frac{-2}{2 x+3}-x+\frac{2}{3} \)
\(\mathrm{R} =\frac{-2}{2 x+3}+\frac{2}{3}-x \)
\(=\frac{-6+4 x+6}{6 x+9}-x=\frac{4 x}{6 x+9}-x\)
சராசரி வருவாய்ச் சார்பு 
\(\mathrm{AR}=\frac{R}{x}=\frac{4}{6 x+9}-1\) எனவே நிறுவப்பட்டது.

\(\mathrm{MC} =300 x^{2 / 5} \)
\(\frac{d C}{d x} =300 x^{2 / 5} \)
\(\mathrm{C} =300 \int x^{2 / 5} d x=300\left[\frac{x^{7 / 5}}{7 / 5}\right]+k \)
\(\mathrm{k} =0 \) எனக் கொடுக்கப்பட்டது
\(\mathrm{C}  =\frac{1500}{7}\left(x^{7 / 5}\right)\)
\(AC = \mathrm{C/x }  =\frac{1500}{7}\left(\frac{x^{7 / 5}}{x }\right)\)
AC =\(\frac { 1500 }{ 7 } x^{ \frac { 7 }{ 5 } }\)

y² = 4 என்பது வலப்புறம் திறந்த பரவளையத்தைக் குறிக்கிறது.இது x - அச்சைப் பொறுத்து சமச்சீரானது.

⇒ y = \(2\sqrt { a } \sqrt { x } \) .
∴ பரப்பு  \(=2\int _{ 0 }^{ a }{ ydx } \)
\(=2\int _{ 0 }^{ a }{ 2\sqrt { a } \sqrt { x } dx } \)
\(=4\sqrt { a } \int _{ 0 }^{ a }{ \sqrt { x } dx } =4\sqrt { a } \int _{ 0 }^{ a }{ { x }^{ \frac { 1 }{ 2 } }dx } \)
\(=4\sqrt { 3 } { \left[ \frac { { x }^{ \frac { 3 }{ 2 } } }{ \frac { 3 }{ 2 } } \right] }_{ 0 }^{ a }=4\sqrt { a } \times \frac { 2 }{ 3 } { \left( { x }^{ \frac { 3 }{ 2 } } \right) }_{ 0 }^{ a }\)
\(=8\frac { \sqrt { a } }{ 3 } \left( { a }^{ \frac { 2 }{ 3 } }-0 \right) \)
\(=\frac { 8 }{ 3 } { a }^{ 2 }\) 
\(=\frac { 8{ a }^{ 2 } }{ 3 } \) ச.அலகுகள்

y =8x²-4x+6 என்பது மேல் நோக்கித் திறந்த பரவளையம் 
பரப்பு \(=\int_0^b y d x \)
\( =\int_0^2\left(8 x^2-4 x+6\right) d x \)
\(=\left[\frac{8 x^3}{3}-\frac{4 x^2}{2}+6 x\right]_0^2 \)
\(=\frac{64}{3}-8+12-0=\frac{64}{3}+4 \)
\( =\frac{76}{3} \)
\(=\frac{76}{3}\) சதுர அலகுகள் 

கூடுதல் அலகு பொருள்களை உற்பத்தி செய்வதற்கான மொத்த நேரம் 
\( =1800 \int_{500}^{900} x^{-0.4} d x=1800\left[\frac{x^{0.6}}{0.6}\right]_{500}^{900} \)
\(=\frac{1800}{0.6}\left[(900)^{0.6}-(500)^{0.6}\right] \)
\(=3000(59.22-41.63) \)
\( =3000(17.59)=52770 \)
= 52,770 அலகுகள்

தொடக்க நிலையில் தங்கத்தின் அளவு (t=0 எனும்போது (2000-ஆம் ஆண்டு))
p₀=2,547 மெட்ரிக் டன்கள்.
2000 முதல் 2013 வரை தங்கத்தின் மொத்த உற்பத்தி=\(\int _{ 0 }^{ 13 }{ 2547e^{ 0.006t } } dt\)
=\(\frac { 2547 }{ 0.006 } \left[ e^{ 0.006t } \right] _{ 0 }^{ 13 }\)
=424500(e^0.078-1)
=34,426.95 மெட்ரிக் டன்கள் (தோராயமாக).

p=1000, r=0.1, N=5
மொத்த தொகை=\(\int _{ 0 }^{ 5 }{ 10000e^{ 0.1t } } dt\)
=\(\frac { 10000 }{ 0.1 } \left( { e }^{ 0.1t } \right) _{ 0 }^{ 5 }\)
=100000[e^0.1x5-e⁰]
=100000(e^0.5-1)
=100000[0.6487]
=ரூ.64,870

\(\mathrm{D}(x) =\mathrm{S}(x) \)
\(25-2 x =\frac{10+x}{4} \)
\(100-8 x =10+x\)
\(9 x =90 \Rightarrow x=10 \)
\(\mathrm{p} =25-20=5 \)

\(\mathrm{CS}=\int^{x_2}_ 0 f(x) d x-x_0 p_0=\int^5_ 0\left(28-x^2\right) d x-15\)
\( =\left[28 x-\frac{x^3}{3}\right]_{10}^5-15 \)
\( =140-\frac{125}{3}-15=\frac{250}{3} \) அலகுகள்

இலாபச் சார்பு \(\mathrm{P} =\int(M R-M C) d \)
\(=\int(54-9 x) d x \)
\( =\left[54 x-\frac{9 x^2}{2}\right]+k \)

\(\mathrm{D}(x) =\mathrm{S}(x) \)
\(16-x^2 =2 x^2+4 \)
\(12 =3 x^2 \Rightarrow x^2=4 \Rightarrow x=2 \)