\(\mathrm{p}=\frac{36}{x+4}, \mathrm{p}=6 \)
\(6=\frac{36}{x+4} \Rightarrow x+4=\frac{36}{6}=6 \)
x=6-4=2
நுகர்வோர் உபரி
\(\text { CS }  =\int_0^{\pi_0} f(x) d x-p_0 x_0 \)
\(=\int_0^2 \frac{36}{x+4} d x-12 \)
\(=36[\log (x+4)]_0^2-12 \)
\(=36[\log 6-\log 4]-12 \)
\(=36 \log \frac{6}{4}-12 \)
\(=\left[36 \log \frac{3}{2}-12\right] \)
C.S=36log\(\frac{3}{2}\)-12 அலகுகள்

\( \mathrm{p}=3 x+5 x^2, x=4 \)
\( \mathrm{p}=12+80=92\)
உற்பத்தியாளர் உபரி
\(\text { PS }  =x_0 p_0-\int_0^{x_0} g(x) d x \)
\(=368-\int_0^4\left(3 x+5 x^2\right) d x \)
\(=368-\left[\frac{3 x^2}{2}+\frac{5 x^3}{3}\right]_0^4 \)
\(=368-\left[24+\frac{320}{3}\right]\)
\(=344-\frac{320}{3}=\frac{712}{3}\)
P.S=237.3 அலகுகள்

\(p =122-5 x-2 x^2 \)
\(p_0 =122-30-72=20\)
நுகர்வோர் உபரி
\(C S  =\int_0^{x_0} f(x) d x-x_0 p_0 \)
\(=\int_0^6\left(122-5 x-2 x^2\right) d x-120 \)
\(=\left[122 x-\frac{5 x^2}{2}-\frac{2 x^3}{3}\right]_0^6-120\)
= 732 - 90-144- 120
C.S.=378 அலகுகள்

\(\mathrm{p} =50-2 x \)
\(x_0 =20 \)
\(\mathrm{p}_0 =50-40=10\)
நுகர்வோர் உபரி
\(C S  =\int_0^{x_0} f(x) \mathrm{d} x-x_0 p_0 \)
\(\text { CS }  =\int_0^{20}(50-2 x) \mathrm{d} x-200 \)
\(=\left[50 x-\frac{2 x^2}{2}\right]_0^{20}-200 \)
=1000-400-200=400 அலகுகள்

இறுதிநிலை வருவாய்ச் சார்பு MR =14-6x+9x²
வருவாய்ச் சார்பு \(\mathrm{R} =\int\left(14-6 \mathrm{x}+9 \mathrm{x}^2\right) d x \)
\(\mathrm{R} =14 x-\frac{6 x^2}{2}+\frac{9 x^3}{3}+k \)
x = 0, R = 0 எனில்  k  =0
\(\mathrm{R}  =14 x-3 x^2+3 x^3 \)
தேவை சார்பு: \(\mathrm{p}  =\frac{R}{x} \)
\( =14-3 x+3 x^2\)

இறுதிநிலை வருவாய்ச் சார்பு
\(\mathrm{MR} =10+3 x-x^2 \)
\(\frac{d R}{d x} =10+3 x-x^2 \)
\(\int d R =\int\left(10+3 x-\mathrm{x}^2\right) d x \)
\(\mathrm{R} =10 x+\frac{3 x^2}{2}-\frac{x^3}{3}+k \)
\(x =0, \mathrm{R}=0 \) எனில் \(\mathrm{k}=0 \)
வருவாய் சார்பு: R =10x+\(\frac { 3x^{ 2 } }{ 2 } -\frac { x^{ 3 } }{ 3 } \),
தேவை சார்பு : P +10+\(\frac { 3x }{ 2 } -\frac { { x }^{ 2 } }{ 3 } \)

இறுதிநிலை வருவாய்ச் சார்பு
\(R^{\prime}(\mathrm{x})=1500-4 x-3 x^2\)
வருவாய்ச் சார்பு: \(\mathrm{R}=\int\left(1500-4 \mathrm{x}-3 \mathrm{x}^2\right) d x\)
\(=1500 x-\frac{4 x^2}{2}-\frac{3 x^3}{3}+k\)
x  =0, R=0 எனில்,  k =0
வருவாய்ச் சார்பு: \(\mathrm{R}=1500 x-2 x^2-x^3\)
சராசரி  வருவாய்ச் சார்பு:
\(\mathrm{AR}=\frac{R}{x}=1500-2 x-x^2\)

y - 2x - 4 = 0

x	0	-2
y	4	0

 

y - 2x - 4 = 0
⇒ y-4 = 2x
⇒
பரப்பு  =\(\int _{ 1 }^{ 3 }{ -xdy } \)
\(=\int _{ 1 }^{ 3 }{ -\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) (y-4)dy } \)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \int _{ 1 }^{ 3 }{ (4-y)dy } =\frac { 1 }{ 2 } { \left[ 4y-\frac { { y }^{ 2 } }{ 2 } \right] }_{ 1 }^{ 3 }\)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \left[ \left( 12-\frac { 9 }{ 2 } \right) -\left( 4-\frac { 1 }{ 2 } \right) \right] \)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \left[ 4-8 \right] = 2\)
= 2 ச.அலகுகள்

\( \mathrm{MR}=\frac{2}{x+3}-\frac{2 x}{(\mathrm{x}+3)^2}+5\)
\( \mathrm{R}=\int\left(\frac{2}{x+3}-\frac{2 x}{(x+3)^2}+5\right) d x \)
\( =2 \log (x+3)-2 \int \frac{x d x}{(x+3)^2}+5 x+k \)
\( \frac{x}{(x+3)^2}=\frac{x+3-3}{(x+3)^2} \)
\( =\frac{x+3}{(x+3)^2}-\frac{3}{(x+3)^2} \)
\(\mathrm{R}=2 \log |x+3|-2 \int \frac{x+3}{(x+3)^2} d x +6 \int \frac{d x}{(x+3)^2}+5 x+k \)
\(\mathrm{R}=2 \log |x+3|-2 \int \frac{d x}{(x+3)} +6 \int(x+3)^{-2} d x+5 x+k \)
\( =2 \log |x+3|-2 \log |x+3| +6 \frac{(x+3)^{-1}}{-1}+5 x+k \)
\(\mathrm{R}=\frac{-6}{(x+3)}+5 x+k \)
 x=0, R=0 எனில், k=2 
\( \mathrm{R}=\frac{-6}{x+3}+5 x+2 \)
\(=\frac{-6+2 x+6}{x+3}+5 x\)
\(R =\frac { 2 }{ x+3 } +5\)
தேவைச் சார்பு P= R/x  =\(\frac { 2 }{ x+3 } +5\)  எனவே நிறுவப்பட்டது.

y² = 4 என்பது வலப்புறம் திறந்த பரவளையத்தைக் குறிக்கிறது.இது x - அச்சைப் பொறுத்து சமச்சீரானது.

⇒ y = \(2\sqrt { a } \sqrt { x } \) .
∴ பரப்பு  \(=2\int _{ 0 }^{ a }{ ydx } \)
\(=2\int _{ 0 }^{ a }{ 2\sqrt { a } \sqrt { x } dx } \)
\(=4\sqrt { a } \int _{ 0 }^{ a }{ \sqrt { x } dx } =4\sqrt { a } \int _{ 0 }^{ a }{ { x }^{ \frac { 1 }{ 2 } }dx } \)
\(=4\sqrt { 3 } { \left[ \frac { { x }^{ \frac { 3 }{ 2 } } }{ \frac { 3 }{ 2 } } \right] }_{ 0 }^{ a }=4\sqrt { a } \times \frac { 2 }{ 3 } { \left( { x }^{ \frac { 3 }{ 2 } } \right) }_{ 0 }^{ a }\)
\(=8\frac { \sqrt { a } }{ 3 } \left( { a }^{ \frac { 2 }{ 3 } }-0 \right) \)
\(=\frac { 8 }{ 3 } { a }^{ 2 }\) 
\(=\frac { 8{ a }^{ 2 } }{ 3 } \) ச.அலகுகள்

y²=27x³ என்பது ஓர் அரை முப்படிப் பரவளையம் 
பரப்பு \(=\int_c^d x d y \)
\(x^3  =\frac{y^2}{27} \Rightarrow x=\frac{y^{2 / 3}}{3}\)
பரப்பு \(=\frac{1}{3} \int_1^2 y^{2 / 3} d y=\frac{1}{3}\left[\frac{y^{5 / 3}}{5 / 3}\right]_1^2\)
\(=\frac{1}{5}\left[2^{5 / 3}-1\right] \)
\(\frac { 1 }{ 5 } \left[ (2)^{ \frac { 5 }{ 3 } }-1 \right] \) ச.அலகுகள்

y =8x²-4x+6 என்பது மேல் நோக்கித் திறந்த பரவளையம் 
பரப்பு \(=\int_0^b y d x \)
\( =\int_0^2\left(8 x^2-4 x+6\right) d x \)
\(=\left[\frac{8 x^3}{3}-\frac{4 x^2}{2}+6 x\right]_0^2 \)
\(=\frac{64}{3}-8+12-0=\frac{64}{3}+4 \)
\( =\frac{76}{3} \)
\(=\frac{76}{3}\) சதுர அலகுகள் 

சமநிலையில் \(p_d=p_s\)
\(25-3 x  =5+2 x \)
\(20  =5 x \Rightarrow x=4 \)
p  =5+8=13
நுகர்வோர் உபரி
\(\text { CS }  =\int_0^{x_0} f(x) d x-p_0\)
\(=\int_0^4(25-3 x) d x- 52\)
\(=\left[25 x-\frac{3 x^2}{2}\right]_0^4\)
=100-24-52
=24 அலகுகள் 
உற்பத்தியாளர் உபரி 
\(\text { PS } =\mathrm{p}_0 x_0-\int_0^{x_0} f(x) d x \)
\(=52-\int_0^4(5+2 x) d x \)
\( =52-\left[5 x+x^2\right]_0^4 \)
= 52-[20+16] 
= 52-36=16 அலகுகள் 
C.S=24 அலகுகள், P.S=16 அலகுகள்

\(\frac{d C}{d x} =100-10 x+0.1 x^2 \)
\(\mathrm{C} =\int\left(100-10 \mathrm{x}+0.1 \mathrm{x}^2\right) d x \)
\(\mathrm{C} =\left[100 x-\frac{10 x^2}{2}+\frac{0.1 x^3}{3}\right]+k \)
\(\mathrm{k} =500 \) எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது 
\(\mathrm{C} =100 x-5 x^2+\frac{0.1 x^3}{3}+500 \)
\(\mathrm{AC} =\frac{C}{x}=100-5 x+\frac{0.1 x^2}{3}+\frac{500}{x}\)
\( =100-5 x+\frac{x^2}{30}+\frac{500}{x} \)

P= 1000, r= 0.05, N = 5 வருடங்கள் 
தவணைப் பங்கீட்டின் மொத்தத் தொகை 
\(=1000 \int_0^5 e^{0.05 t} d t=1000\left[\frac{e^{0.05 t}}{0.05}\right]_0^5 \)
\(=\frac{1000}{0.05}\left[e^{0.25}-e^0\right] \)
\(=20000[1.284-1]=₹ 5680\)
= ரூ.5,680