\( x_0=0, x_1=1, x_2=3, x_3=4 .\)
\( y_0=-12, y_1=0, y_2=6, y_3=12 \text {. } \)
\( \mathrm{y}=\frac{\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\left(x-x_3\right)}{\left(x_0-x_1\right)\left(x_0-x_2\right)\left(x_0-x_3\right)} y_0 +\frac{\left(x-x_0\right)\left(x-x_2\right)\left(x-x_3\right)}{\left(x_1-x_0\right)\left(x_1-x_2\right)\left(x_1-x_3\right)} y_1  +\frac{\left(x-x_0\right)\left(x-x_1\right)\left(x-x_3\right)}{\left(x_2-x_0\right)\left(x_2-x_1\right)\left(x_2-x_3\right)} y_2  +\frac{\left(x-x_0\right)\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)}{\left(x_3-x_0\right)\left(x_3-x_1\right)\left(x_3-x_2\right)} y_3 \)
\( =\frac{(x-1)(x-3)(x-4)}{(-1)(-3)(-4)}(-12)  +\frac{(x-0)(x-3)(x-4)}{(1)(-2)(-3)}(0)  +\frac{(x-0)(x-1)(x-4)}{(3)(2)(-1)}(6)  +\frac{(x-0)(x-1)(x-3)}{(4)(3)(1)}(12) \)
\( y=(x-1)\left(x^2-7 x+12\right)-(x)\left(x^2-5 x+4\right)+x(x^2 -4 x+3) \)
\(=x^3-7 x^2+12 x-x^2+7 x-12-x^3+5 x^2-4 x  +x^3-4 x^2+3 x \)
\( =x^3-7 x^2+18 x-12 \)

y=f(x) = x³+2x+1, x=1,2,3,4,5

x	y	Δy	Δ2y	Δ3y	Δ4y
1	4
		9
2	13		12
		21		6
3	34		18		0
		39		6
4	73		24
		63
5	136

\(\text { LHS } =(1+\Delta)(1-\nabla) \)
\( =(\mathrm{E})\left(1-\frac{E-1}{E}\right)=(\mathrm{E})\left(\frac{E-E+1}{E}\right) \)
\( =1=\mathrm{RHS} \)

வரைபடத்திலிருந்து x = 4.8 எனும்போது y = 6.8

\(\mathrm{f}(x)  =x^2+3 x\) மற்றும் h =1
\(\Delta \mathrm{f}(x) =\mathrm{f}(x+\mathrm{h})-\mathrm{f}(x)=\mathrm{f}(x+1)-\mathrm{f}(x) \)
\(=(x+1)^2+3(x+1)-\left(x^2+3 x\right) \)
\(=x^2+2 x+1+3 x+3-x^2-3 x \)
=2 x+4
எனவே நிறுவப்பட்டது 

y=x³-x²+x-1, x=0,1,2,3,4,5
முன்நோக்கு வேறுபாட்டின் அட்டவணை
x y Δy Δ²y Δ³y Δ⁴y Δ⁵y 0 -1               1         1 0   4           5   6     2 5   10   0       15   6   0 3 20   16   0       31   6     4 51   22           53         5 104          

\(\Delta \log (a x) =\log a(x+h)-\log a x \)
\( =\log \left(\frac{a x+a h}{a x}\right)=\log \left(\frac{a x}{a x}+\frac{a h}{a x}\right)\)
\( =\log \left(1+\frac{h}{x}\right) \)

 Δ\(\left[ \frac { 5x+12 }{ { x }^{ 2 }+5x+6 } \right] \)
பகுதி பின்னமாக பிரித்தல் முறைப்படி
\(\frac { 5x+12 }{ { x }^{ 2 }5x+6 } =\frac { A }{ x+3 } +\frac { B }{ x+2 } \)
A=\(\frac { 5x+12 }{ x+2 } [x=-3]=\frac { -15+12 }{ -1 } =\frac { -3 }{ -1 } \)=3
B=\(\frac { 5x+12 }{ x+3 } [x=-2]=\frac { 2 }{ 1 } \)=2
\(\therefore \frac { 5x+12 }{ { x }^{ 2 }5x+6 } =\left[ \frac { 3 }{ x+3 } +\frac { 2 }{ x+2 } \right] \)
\(\triangle \left[ \frac { 5x+12 }{ { x }^{ 2 }5x+6 } \right] =\triangle \left[ \frac { 3 }{ x+3 } +\frac { 2 }{ x+2 } \right] \)
=\(\left[ \frac { 3 }{ x+1+3 } -\frac { 3 }{ x+3 } \right] +\left\{ \frac { 2 }{ x+1+2 } -\frac { 2 }{ x+2 } \right\} \)
=\(3\left[ \frac { 3 }{ x+1+3 } -\frac { 3 }{ x+3 } \right] +2\left[ \frac { 1 }{ x+3 } -\frac { 1 }{ x+2 } \right] \)
=\(\left[ \frac { -3 }{ (x+4)(x+3) } -\frac { 2 }{ (x+3)(x+2) } \right] \)
=\(\frac { -5x-14 }{ (x+2)(x+3)(x+4) } \)

தேவையான நீராவியின் மதிப்பு அட்டவணையின் இறுதிப் புள்ளிக்கு அருகில் உள்ளதால், நியூட்டனின் பின்நோக்கு இடைச்செருகல் சூத்திரத்தை பயன்படுத்துவோம்.
y_(x=xn+nh)=\({ y }_{ n }+\frac { n }{ 1! } \triangle y_{ n }+\frac { n(n-1) }{ 2! } { \triangle }^{ 2 }{ y }_{ n }+\frac { n(n-1)(n-2) }{ 3! } { \triangle }^{ n }y_{ n }+....\)
x=175
∴ x_n+nh=175, x_n=180, h=10 ⇒ n=-0.5

x	y	Δy	Δ2y	Δ3y	Δ4y
140	3.685
		1.169
150	4.854		0.279
		1.448		0.047
160	6.032		0.326		0.002
		1.774		0.049
170	8.076		0.375
		2.149
180	10.225

 ∴ y_(x=175)=10.225+(-0.5)(2.149)+\(\frac { (-0.5)(0-5) }{ 2! } (0.375)+\frac { (-0.5)(0-5)(1.5) }{ 3! } (0.049)+\frac { (-0-5)(0.5)(1.5)(2.5) }{ 4! } (0.002)\)
=10.225-1.0745-0.046875-0.0030625-0.000078125
=9.10048438
=9.1

x என்பது மதிப்பெண்களையும் y என்பது மாணவர்களையும் குறிக்கட்டும்.
கூட்டு நிகழ்வெண் பரவலில் மாற்றம் செய்த பிறகு கிடைக்கும் வேறுபாடு அட்டவணை 

x	y	Δy	Δ2y	Δ3y	Δ4y
20-க்கும் குறைவாக	35
		62
40-க்கும் குறைவாக	103		3
		65		-18
60-க்கும் குறைவாக	168		-15		0
		50		-18
80-க்கும் குறைவாக	218		-33
		17
100-க்கும் குறைவாக	235

x = 70 என்பதால், நியூட்டனின் பின்நோக்கு இடைச்செருகல் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த
∴ x_n = 100 h = 20
∴ x_n + nh = 70 ⇒ 20n =  70 - 100 = -30
\( \mathrm{n}=\frac{-30}{20}=-1.5 \)
\( \mathrm{y}=y_n+\frac{n}{1 !} \nabla y_n+\frac{n(\mathrm{n}+1)}{2 !} \nabla^2 y_n +\frac{n(n+1)(\mathrm{n}+2)}{3 !} \nabla^3 y_n+\ldots \)
\(=235+(-1.5)(17)+ \frac{(-1.5)(-0.5)}{2 !}(-33) +\frac{(-1.5)(-0.5)(0.5)}{3 !}(-18) \)
= 235-25.5-12.375-1.125
= 196 மாணவர்கள் 

x	y = f(x)	Δy	Δ2y	Δ3y
0	1
		1
1	2		-2
		-1		12
2	1		10
		9
3	10

x₀ + nh = x ⇒ x₀ = 0, h = 1
\({ y }_{ (n=x) }={ y }_{ 0 }+\frac { n }{ 1! } =\triangle { y }_{ 0 }+\frac { n(n-1) }{ 2! } { \triangle }^{ 2 }{ y }_{ 0 }+\frac { n(n-1)(n-2) }{ 3! } { \triangle }^{ 3 }{ y }_{ 0 }+...\)
\(f (x)=1+\frac { n }{ 1! } (1)+\frac { n(n-1) }{ 2! } (-2)+\frac { n(n-1)(n-2) }{ 6 } (12)\)
⇒  1 + x + (x² - x)(-1) + x(x² - 3x + 2) (2)
⇒ 1 + x - x² + x + 2x³ - 6x² + 4x
⇒  1+ 6x - 7x² + 2x³
= 2x³ - 7x²+ 6x + 1.

1905 ஆம் ஆண்டின் மக்கள்தொகை காணல் அதாவது, x=1905-க்கு y-ன் மதிப்பு காணல்.
y-ன் தேவையான மதிப்பு அட்டவணையில் x-ன் ஆரம்ப மதிப்புக்கு அருகில் உள்ளது. எனவே நாம் நியூட்டனின் முன்நோக்கு இடைச்செருகல் சூத்திரத்தை பயன்படுத்துவோம்.
y_(x=x0+nh)=\({ y }_{ 0 }+\frac { n }{ 1! } \triangle y_{ 0 }+\frac { n(n-1) }{ 2! } { \triangle }^{ 2 }{ y }_{ 0 }+\frac { n(n-1)(n-2) }{ 3! } { \triangle }^{ 0 }y_{ 0 }+....\)
x = 1905 இடத்து y-ஐ காண வேண்டும். ∴ x₀+nh=1905, x₀=1891, h=10
1891+n(10)=1905 ⇒ n=1.4

x	y	Δy	Δ2y	Δ3y	Δ4y
1891	98752
		33533
1901	132285		2258
		35791		-10435
1911	168076		-8177		41376
		27614
1921	195690			30941
			22764
		50360
1931	246050

y_(x=1905)= 98752+(1.4)(33533)+\(\frac { (1.4)(0.4) }{ 2 } (2258)+\frac { (1.4)(0.4)(-0.6) }{ 6 } (-10435)+\frac { (1.4)(0.6)(-0.6)(-1.6) }{ 24 } (41358)\)
= 98752 + 46946.2 + 632.24 + 584.36 + 926.4192
= 1,47,841.2192

f(x) -ல் ஐந்து மதிப்புகள் கொடுக்கப்பட்டிருந்தால், f(x) ஒரு நான்காம்படி பல்லுறுப்புக்கோவை என எடுத்துக் கொள்வோம். எனவே ஐந்தாம்நிலை வேறுபாடு பூச்சியமாகும்.
Δ⁵y_k=0 (ie) (E-1)⁵y_k=0
i.e., (E⁵-5E⁴+10E³-10E²+5E-1)yk=0
E⁵y_k-5E⁴y_k+10E³y_k-10E²y_k+5Ey_k-y_k=0   ....(1)
k = 0 என (1)-ல்  பிரதியிட
E⁵y₀-5E⁴y₀-10E²y₀+5Ey₀-y₀=0
y₅-5y₄+10y₃-10y₂+5y₁-y₀=0
y₅-5(350)+10y₃-10(260)+5(220)-200=0
y₅+10y₃=3450      .....(2)
k = 1 என (1)-ல்  பிரதியிட
E⁵y₁-5E⁴y₁-10E³y₁+5Ey³y₁-y₁=0
y₆-5y₅+10y₄-10y₃-y₁=0
430+5y₅+10(350)-10y₃+5(260)-220=0
5y₅+10y₃=5010     (3)
(3)-(2) ⇒ 4y₅=1560
y₅=390
(2)-ன் படி 390+10y₃=3450
10y₃=3450-390
y₃=306

\(\Delta \mathrm{f}(x) =\mathrm{f}(x+\mathrm{h})-\mathrm{f}(x)=\mathrm{f}(x+1)-\mathrm{f}(x) \quad[\because \mathrm{h}=1] \)
\( =(x+1)^2+2(x+1)+2-x^2-2 x-2 \)
\( =x^2+2 x+1+2 x+2+2-x^2-2 x-2 =2 x+3 \)

\(\Delta^2 y_0=(E-1)^2 y_0=\left(E^2-2 E+1\right) y_0=y_2-2 y_1+y_0\)