\( x_0=0, x_1=1, x_2=3, x_3=4 .\)
\( y_0=-12, y_1=0, y_2=6, y_3=12 \text {. } \)
\( \mathrm{y}=\frac{\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\left(x-x_3\right)}{\left(x_0-x_1\right)\left(x_0-x_2\right)\left(x_0-x_3\right)} y_0 +\frac{\left(x-x_0\right)\left(x-x_2\right)\left(x-x_3\right)}{\left(x_1-x_0\right)\left(x_1-x_2\right)\left(x_1-x_3\right)} y_1  +\frac{\left(x-x_0\right)\left(x-x_1\right)\left(x-x_3\right)}{\left(x_2-x_0\right)\left(x_2-x_1\right)\left(x_2-x_3\right)} y_2  +\frac{\left(x-x_0\right)\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)}{\left(x_3-x_0\right)\left(x_3-x_1\right)\left(x_3-x_2\right)} y_3 \)
\( =\frac{(x-1)(x-3)(x-4)}{(-1)(-3)(-4)}(-12)  +\frac{(x-0)(x-3)(x-4)}{(1)(-2)(-3)}(0)  +\frac{(x-0)(x-1)(x-4)}{(3)(2)(-1)}(6)  +\frac{(x-0)(x-1)(x-3)}{(4)(3)(1)}(12) \)
\( y=(x-1)\left(x^2-7 x+12\right)-(x)\left(x^2-5 x+4\right)+x(x^2 -4 x+3) \)
\(=x^3-7 x^2+12 x-x^2+7 x-12-x^3+5 x^2-4 x  +x^3-4 x^2+3 x \)
\( =x^3-7 x^2+18 x-12 \)

\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & \boldsymbol{y} & \Delta \mathbf{y} & \Delta^2 \mathbf{y} & \Delta^3 \mathbf{y} & \Delta^4 \mathbf{y} \\ \hline 1 & 1 & & & & \\ \hline & & -2 & & & \\ \hline 2 & -1 & & 4 & & \\ \hline & & 2 & & -8 & \\ \hline 3 & 1 & & -4 & & 16 \\ \hline & & -2 & & 8 & \\ \hline 4 & -1 & & 4 & & \\ \hline & & 2 & & & \\ \hline 5 & 1 & & & & \\ \hline \end{array}\)
\( x_0+\mathrm{nh}=x, x_0=1, \mathrm{~h}=1 \Rightarrow \mathrm{n}=x-1 \)
\( \mathrm{y}=y_0+\frac{n}{1 !} \Delta y_0+\frac{n(\mathrm{n}-1)}{2 !} \Delta^2 y_0+ \)
\( \frac{n(\mathrm{n}-1)(\mathrm{n}-2)}{3 !} \Delta^3 y_0+\frac{n(\mathrm{n}-1)(\mathrm{n}-2)(\mathrm{n}-3)}{4 !} \Delta^4 y_0 \)
\( =1+\frac{(x-1)}{1 !}(-2)+\frac{(x-1)(x-2)}{2 !}(4) +\frac{(x-1)(x-2)(x-3)}{3 !}(-8) \)
\( =(1-2 x+2)+2\left(x^2-3 x+2\right)-\frac{4}{3}\left(x^2-3 x+2\right) \)
\( =1-2 x+2+2 x^2-6 x+4-\frac{4}{3}\left(x^3-6 x^2+11 x-6\right) +\frac{2}{3}\left(x^4-7 x^3+12 x^2-3 x^3+21 x^2-36 x+2 x^2-14 x+24\right) \)
\(=1-8 x+6+2 x^2-\frac{4 x^3}{3}+8 x^2-\frac{44}{3} x+8 +\frac{2}{3} x^4-\frac{20 x^3}{3}+\frac{70 x^2}{3}-\frac{100 x}{3}+16 \)
\(y=\frac{2 x^4}{3}-8 x^3+\frac{100 x^2}{3}-56 x+31 \)

\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \boldsymbol{x} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline \mathbf{u}_x & 560 & 556 & 520 & - & 385 \\ \hline \end{array}\)
நான்கு மதிப்புகள் மட்டும் கொடுக்கப்பட்டுள்ளதால் 
\( \Delta^4 \mathrm{u}_0=0 \)
\((\mathrm{E}-1)^4 \mathrm{u}_0=0 \)
\(\left(\mathrm{E}^4-4 \mathrm{E}^3+6 \mathrm{E}^2-4 \mathrm{E}+1\right) \mathrm{u}_0=0 \)
\( \mathrm{u}_4-4 \mathrm{u}_3+6 \mathrm{u}_2-4 \mathrm{u}_1+\mathrm{u}_0=0 \)
\( 385-4 \mathrm{u}_3+6(520)-4(556)+560=0 \)
\( 385-4 \mathrm{u}_3+3120-2224+560=0 \)
\( 4 \mathrm{u}_3=1841 \Rightarrow \mathrm{u}_3=460.25 \)

நான்கு மதிப்புகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளதால் f(x) ஒரு மூன்றாம் படி பல்லுறுப்புக் கோவை என எடுத்துக் கொள்வோம்.
\(\Delta^4 y_0 =0 \)
\((\mathrm{E}-1)^4 \mathrm{y}_0 =0 \)
\(\left(\mathrm{E}^4-4 \mathrm{E}^3+6 \mathrm{E}^2-4 \mathrm{E}+1\right) \mathrm{y}_0 =0 \)
\(\mathrm{y}_4-4 \mathrm{y}_3+6 \mathrm{y}_2-4 \mathrm{y}_1+\mathrm{y}_0 =0 \)
\(\mathrm{y}_4-4(18)+6 \mathrm{y}_2-4(11)+7 =0 \)
\(\mathrm{y}_4-72+6 \mathrm{y}_2-44+7 =0 \)
\(\mathrm{y}_4+6 \mathrm{y}_2 =109 \) ...(1)
\((\mathrm{E}-1)^4 \mathrm{y}_1 =0 \)
\(\left(\mathrm{E}^4-4 \mathrm{E}^3+6 \mathrm{E}^2-4 \mathrm{E}+1\right) \mathrm{y}_1 =0 \)
\(\mathrm{y}_5-4 \mathrm{y}_4+6 \mathrm{y}_3-4 \mathrm{y}_2+\mathrm{y}_1 =0 \)
\(32-4 \mathrm{y}_4+6(18)-4 \mathrm{y}_2+11 =0 \)
\(32-4 \mathrm{y}_4+108-4 \mathrm{y}_2+11 =0 \)
\(4 \mathrm{y}_2+4 \mathrm{y}_4 =151 \) ...(2)
சமன்பாடு (1) மற்றும் (2) ஆகியவற்றைத் தீர்க்க 
y₂ = 14.25, y₄ = 23.5

y=f(x) = x³+2x+1, x=1,2,3,4,5

x	y	Δy	Δ2y	Δ3y	Δ4y
1	4
		9
2	13		12
		21		6
3	34		18		0
		39		6
4	73		24
		63
5	136

\(\mathrm{f}(x)  =\mathrm{e}^{\mathrm{a} x} \)
\(\mathrm{f}(0) =\mathrm{e}^0=1 \)
\(\Delta f(x)  =\mathrm{f}(x+\mathrm{h})-\mathrm{f}(x)=\mathrm{e}^{\mathrm{a}(x+\mathrm{h})}-\mathrm{e}^{\mathrm{ax}} \)
\(\Delta \mathrm{f}(x)  =\mathrm{e}^{\mathrm{ax}}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{ah}}-1\right) \)
\(\Delta f(0)  =\mathrm{e}^{\mathrm{ah}}-1 \)
\(\Delta^2 f(x) =\Delta .[\Delta \mathrm{f}(x)] \)
\(=\Delta\left(\mathrm{e}^{\mathrm{ax}}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{ah}}-1\right)\right)\)
\( =\left(\mathrm{e}^{\mathrm{ah}}-1\right) \Delta \mathrm{e}^{\mathrm{ax}}=\left(\mathrm{e}^{\mathrm{ah}}-1\right) \Delta \mathrm{f}(x) \)
\(=\left(\mathrm{e}^{\mathrm{ah}}-1\right)\left(\mathrm{e}^{\mathrm{ah}}-1\right) \mathrm{e}^{\mathrm{ax}}\)
\(=\left(\mathrm{e}^{\mathrm{ah}}-1\right)\left(\mathrm{e}^{\mathrm{ah}}-1\right) \mathrm{e}^{\mathrm{ax}}\)
இங்கு \(1, \mathrm{e}^{\mathrm{ah}}-1,\left(\mathrm{e}^{\mathrm{ah}}-1\right)^2\) என்பன பெருக்குத் தொடரில் உள்ளன.
\(\therefore \quad f(0), \Delta f(0), \Delta^2 f(0)\) என்பன பெருக்குத் தொடரில் உள்ளன.

LHS = (E⁻¹Δ) x³ = Δ(x³)
= x³ -(x - h)³  [∵ E^-1f(x) = f(x - nh)]
இங்கு f(x) = x³
 [∵ h = 1]
= x³ - (x - 1)³
= x³ - (x³ - 3x² + 3x - 1)
[∵ (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³]
= x³ - x³ + 3x² - 3x + 1
= 3x² - 3x + 1 = RHS
எனவே நிறுவப்பட்டது.

y=x³-x²+x-1, x=0,1,2,3,4,5
முன்நோக்கு வேறுபாட்டின் அட்டவணை
x y Δy Δ²y Δ³y Δ⁴y Δ⁵y 0 -1               1         1 0   4           5   6     2 5   10   0       15   6   0 3 20   16   0       31   6     4 51   22           53         5 104          

Δ⁴U₀=(E-1)⁴U₀
=(E⁴-4E³+6E²-4E+1)U0
=E⁴U₀-4E³U₀+6E²U₀-4EU₀+U₀
=U₄-4U₃+6U₂-4U₁+U₀
=29-4(28)+6(21)-4(11)+1
=156-156=0

f(4)-f(3)=Δf(3) என்பது நாம் அறிந்த ஒன்று.
f(4)-f(3)=Δf(3)
=Δ[f(2)+Δf(2)]  [\(\because \) f(3)-f(2)=Δf(2)]
=Δf(2)+Δ²f(2)
=Δf(2)+Δ²[f(1)+Δf(1)]
⇒ f(4)=f(3)+Δf(2)+Δ²f(1)+Δ³f(1)

இங்கு x -ன் மதிப்புகள் சம பிரிவற்றவை. எனவே இலெக்ராஞ்சியின் சூத்திரத்தை பயன்படுத்தவும்.
x₀=5, x₁=6, x₂=9, x₃=11
y₀=12, y₁=13, y₂=14, y₃=16
y=f(x)=\(\frac { (x-{ x }_{ 1 })(x-{ x }_{ 2 })(x-{ x }_{ 3 }) }{ (x_{ 0 }-{ x }_{ 1 })({ x }_{ 0 }-{ x }_{ 2 })({ x }_{ 0 }-{ x }_{ 3 }) } \times { y }_{ 0 }+\frac { (x-{ x }_{ 0 })(x-{ x }_{ 2 })(x-{ x }_{ 3 }) }{ (x_{ 1 }-{ x }_{ 0 })({ x }_{ 1 }-{ x }_{ 2 })({ x }_{ 1 }-{ x }_{ 3 }) } \times { y }_{ 1 }+\frac { (x-{ x }_{ 0 })(x-{ x }_{ 1 })(x-{ x }_{ 3 }) }{ (x_{ 2 }-{ x }_{ 0 })({ x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 })({ x }_{ 2 }-{ x }_{ 3 }) } \times y_{ 2 }+\frac { (x-{ x }_{ 0 })(x-{ x }_{ 1 })(x-{ x }_{ 2 }) }{ (x_{ 3 }-{ x }_{ 0 })({ x }_{ 3 }-{ x }_{ 1 })({ x }_{ 3 }-{ x }_{ 2 }) } \times { y }_{ 3 }\)
=\(\frac { (x-6)(x-9)(x-11) }{ (5-6)(5-6)(5-11) } (12)+\frac { (x-5)(x-9)(x-11) }{ (6-5)(6-9)(6-9) } (13)+\frac { (x-5)(x-6)(x-11) }{ (9-5)(9-6)(9-11) } (14)+\frac { (x-5)(x-6)(x-9) }{ (11-5)(11-6)(11-9) } (16)\)
x = 10 என்க.
y(10)=f(10)=\(\frac { 4(1)(-1) }{ (-1)(-4)(-6) } (12)+\frac { (5)(1)(-1) }{ (1)(-3)(-5) } (13)+\frac { 5(4)(-1) }{ 4(3)(-2) } (14)+\frac { (5)(4)(1) }{ 6(5)(2) } (16)\)
=\(\frac { 1 }{ 6 } (12)-\frac { 13 }{ 3 } +\frac { 5(14) }{ 3\times 2 } +\frac { 4\times 16 }{ 12 } \)
=14.6663

வயது = x , காப்பீட்டுத்தொகை = y என்க.
இங்கு, நியூட்டனின் பின்நோக்கு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி y-ன் மதிப்பைக் காண்போம்.
y_(x=xn+nh)=\({ y }_{ n }+\frac { n }{ 1! } \triangle y_{ n }+\frac { n(n-1) }{ 2! } { \triangle }^{ 2 }{ y }_{ n }+\frac { n(n-1)(n-2) }{ 3! } { \triangle }^{ 0 }y_{ n }+....\)
x=63, ∴ x_n+nh=63, x_n=68.48, h=5 ⇒ -\(\frac{2}{5}\)

x	y	Δy	Δ2y	Δ3y	Δ4y
45	114.84
		-18.68
50	96.16		5.84
		-12.84		-1.84
55	83.32		4		0.68
		-8.84		-1.16
60	74.48		2.84
		-6
65	68.48

 y_(x=63)=68.48+\(\frac { \frac { -2 }{ 5 } }{ 1! } (-6)+\frac { \frac { -2 }{ 5 } \left( \frac { -2 }{ 5 } +1 \right) }{ 2! } 2.84+\frac { \frac { -2 }{ 5 } \left( \frac { -2 }{ 5 } +1 \right) \left( \frac { -2 }{ 5 } +2 \right) }{ 3! } (-1.16)+\frac { \frac { -2 }{ 5 } \left( \frac { -2 }{ 5 } +1 \right) \left( \frac { -2 }{ 5 } +2 \right) \left( \frac { -2 }{ 5 } +3 \right) }{ 4! } (0.68)\)
=68.48+2.4-0.3408+0.07424-0.028288
y(63)=70.585

x	1941	1951	1961	1971	1981	1991
y	20	24	29	36	46	51

 1946-ஆம் ஆண்டின் மக்கள்தொகையை கணக்கிடுவதற்கு (அதாவது x=1946 க்கு y -ன் மதிப்பை கணக்கட) நாம், நியூட்டனின் முன்நோக்கு இடைச்செருகல் சூத்திரத்தை பயன்படுத்துவோம்.
y_(x=x0+nh)=\({ y }_{ 0 }+\frac { n }{ 1! } \triangle y_{ 0 }+\frac { n(n-1) }{ 2! } { \triangle }^{ 2 }{ y }_{ 0 }+\frac { n(n-1)(n-2) }{ 3! } { \triangle }^{ 0 }y_{ 0 }+....\)
x=1946 ∴  x₀+nh=1946, x₀=1941, h=10
1941+n(10)=1946 ⇒ n=0.5

x	y	Δy	Δ2y	Δ3y	Δ4y	Δ5y
1941	20
		4
1951	24		1
		5		1
1961	29		2		0
		7		1		-9
1971	36		3		-9
		10		-8
1981	46		-5
		5
1991	51

 y_(x=1946)=\(20 +\frac { 0.5 }{ 1! } (4)+\frac { 0.5(0.5-1) }{ 2! } (1)+\frac { 0.5(0.5-1)(0.5-2) }{ 3! } (1)+\frac { 0.5(0.5-1)(0.5-2)(0.5-3) }{ 4! } (0)+\frac { 0.5(0.5-1)(0.5-2)(0.5-3)(0.5-4) }{ 5! } (-9)\)
=20+2-0.125+0.0625-0.24609
=21.69 இலட்சங்கள்

\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \mathbf{P} & \mathbf{T} & \nabla_{\mathbf{T}} & \nabla^2 \mathbf{T} & \nabla^3 \mathbf{T} & \nabla^4 \mathbf{T} & \nabla^5 \mathbf{T} \\ \hline 40 & 180 & & & & & \\ \hline & & 24 & & & & \\ \hline 50 & 204 & & -2 & & & \\ \hline & & 22 & & 4 & & \\ \hline 60 & 226 & & 2 & & -4 & \\ \hline & & 24 & & 0 & & 4 \\ \hline 70 & 250 & & 2 & & 0 & \\ \hline & & 26 & & 0 & & \\ \hline 80 & 276 & & 2 & & & \\ \hline & & 28 & & & & \\ \hline 90 & 304 & & & & & \\ \hline \end{array}\)
P = 84
நியூட்டனின் பின்நோக்கு இடைச்செருகல் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த 
_Pn = 90, h = 10
P_n + nh = 84
⇒ 90 + n(10) = 84
⇒ 10n = 84 - 90 = -6
n = -6/10 = -0.6
\( \mathrm{T}=T_n+\frac{n}{1 !} \nabla T+\frac{n(\mathrm{n}+1)}{2 !} \nabla^2 T +\frac{n(\mathrm{n}+1)(\mathrm{n}+2)}{3 !} \nabla^3 T +\frac{n(\mathrm{n}+1)(\mathrm{n}+2)(\mathrm{n}+3)}{4 !} \nabla^4 T+\ldots \)
\( \mathrm{T}=304+(-0.6)(28)+\frac{(-0.6)(0.4)}{2 !}(2) +\frac{(-0.6)(0.4)(1.4)}{3 !}(0) + \frac{(-0.6)(0.4)(1.4)(2.4)(3.4)}{5 !}(4) \)
\(=304-16.8-0.24-0.091392=286.96\)

\(\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \mathbf{y} & \Delta y & \Delta^2 y & \Delta^{\prime} y \\ \hline 12 & & & \\ \hline & 1 & & \\ \hline 13 & & 1 & \\ \hline & 2 & & 0 \\ \hline 15 & & 1 & \\ \hline & 3 & & \\ \hline 18 & & & \\ \hline \end{array}\)

\(\Delta \mathrm{f}(x) =\mathrm{f}(x+\mathrm{h})-\mathrm{f}(x)=\mathrm{f}(x+1)-\mathrm{f}(x) \quad[\because \mathrm{h}=1] \)
\( =(x+1)^2+2(x+1)+2-x^2-2 x-2 \)
\( =x^2+2 x+1+2 x+2+2-x^2-2 x-2 =2 x+3 \)