\(\Delta \nabla =\Delta-\nabla \)
\(\text { LHS } =\Delta \nabla=(\mathrm{E}-1) \frac{(\mathrm{E}-1)}{E}=\frac{(\mathrm{E}-1)^2}{E} \)
\(\text { RHS } =\Delta-\nabla=E-1-\left(\frac{E-1}{E}\right) \)
\( =\frac{E^2-E-E+1}{E} \)
\( =\frac{E^2-2 E+1}{E}=\frac{(\mathrm{E}-1)^2}{E} \)
LHS = RHS

\(\mathrm{f}(x)  =\mathrm{e}^{\mathrm{a} x} \)
\(\mathrm{f}(0) =\mathrm{e}^0=1 \)
\(\Delta f(x)  =\mathrm{f}(x+\mathrm{h})-\mathrm{f}(x)=\mathrm{e}^{\mathrm{a}(x+\mathrm{h})}-\mathrm{e}^{\mathrm{ax}} \)
\(\Delta \mathrm{f}(x)  =\mathrm{e}^{\mathrm{ax}}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{ah}}-1\right) \)
\(\Delta f(0)  =\mathrm{e}^{\mathrm{ah}}-1 \)
\(\Delta^2 f(x) =\Delta .[\Delta \mathrm{f}(x)] \)
\(=\Delta\left(\mathrm{e}^{\mathrm{ax}}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{ah}}-1\right)\right)\)
\( =\left(\mathrm{e}^{\mathrm{ah}}-1\right) \Delta \mathrm{e}^{\mathrm{ax}}=\left(\mathrm{e}^{\mathrm{ah}}-1\right) \Delta \mathrm{f}(x) \)
\(=\left(\mathrm{e}^{\mathrm{ah}}-1\right)\left(\mathrm{e}^{\mathrm{ah}}-1\right) \mathrm{e}^{\mathrm{ax}}\)
\(=\left(\mathrm{e}^{\mathrm{ah}}-1\right)\left(\mathrm{e}^{\mathrm{ah}}-1\right) \mathrm{e}^{\mathrm{ax}}\)
இங்கு \(1, \mathrm{e}^{\mathrm{ah}}-1,\left(\mathrm{e}^{\mathrm{ah}}-1\right)^2\) என்பன பெருக்குத் தொடரில் உள்ளன.
\(\therefore \quad f(0), \Delta f(0), \Delta^2 f(0)\) என்பன பெருக்குத் தொடரில் உள்ளன.

வரைபடத்திலிருந்து x = 350 எனும்போது y = ரூ.2,900

f(x) -ல் ஐந்து மதிப்புகள் கொடுக்கப்பட்டிருந்தால், f(x) ஒரு நான்காம்படி பல்லுறுப்புக்கோவை என எடுத்துக் கொள்வோம். 
\( \Delta^5 \mathrm{y}_0=0 \Rightarrow(\mathrm{E}-1)^5 \mathrm{y}_0=0 \)
\(\left(\mathrm{E}^5-5 \mathrm{E}^4+10 \mathrm{E}^3-10 \mathrm{E}^2+5 \mathrm{E}-1\right) \mathrm{y}_0= 0 \)
\( \mathrm{E}^5 \mathrm{y}_0-5 \mathrm{E}^4 \mathrm{y}_0+10 \mathrm{E}^3 \mathrm{y}_0-10 \mathrm{E}^2 \mathrm{y}_0+5 \mathrm{Ey}_0-\mathrm{y}_0=0 \)
\( \mathrm{y}_5-5 \mathrm{y}_4+10 \mathrm{y}_3-10 \mathrm{y}_2+5 \mathrm{y}_1-\mathrm{y}_0=0 \)
\( 501-5(467)+10 \mathrm{y}_3-10(421)+5(391)-363=0 \)
\( 501-2335+10 \mathrm{y}_3-4210+1955-363=0 \)
\( 10 \mathrm{y}_3=4452 \Rightarrow y_3=445.2 \)
= 445.2 இலட்சங்கள்

Δ\(\left[ \frac { 1 }{ (x+1)(x+2) } \right] \)
பகுதிப் பின்ன முறையைப் பயன்படுத்த 
\(\frac { 1 }{ (x+1)(x+2) } =\frac { A }{ x+1 } +\frac { B }{ x+2 } \)
⇒ 1 = A (x + 2) + B (x + 1)
x = -1, எனில்  1 = A
x = -2, எனில் 1 = - B ⇒ B = -1.
∴ \(\frac { 1 }{ (x+1)(x+2) } =\frac { 1 }{ x+1 } +\frac { 1 }{ x+2 } \)
\(\therefore \triangle \left[ \frac { 1 }{ (x+1)(x+2) } \right] =\triangle \left[ \frac { 1 }{ x+1 } -\frac { 1 }{ x+2 } \right] \)
∴ \(\left( \frac { 1 }{ x+2 } -\frac { 1 }{ x+1 } \right) -\left( \frac { 1 }{ x+3 } -\frac { 1 }{ x+2 } \right) \) 
\( =\frac{x+3-x-2}{(x+2)(x+3)}-\left[\frac{x+2-x-1}{(x+1)(x+2)}\right] \)
\(=\frac{1}{(x+2)(x+3)}-\frac{1}{(x+1)(x+2)} \)
\( =\frac{(x+1)-(x+3)}{(x+1)(x+2)(x+3)} \)
\(=\frac{-2}{(x+1)(x+2)(x+3)} \)

y=x³-x²+x-1, x=0,1,2,3,4,5
முன்நோக்கு வேறுபாட்டின் அட்டவணை
x y Δy Δ²y Δ³y Δ⁴y Δ⁵y 0 -1               1         1 0   4           5   6     2 5   10   0       15   6   0 3 20   16   0       31   6     4 51   22           53         5 104          

\(\Delta \log (a x) =\log a(x+h)-\log a x \)
\( =\log \left(\frac{a x+a h}{a x}\right)=\log \left(\frac{a x}{a x}+\frac{a h}{a x}\right)\)
\( =\log \left(1+\frac{h}{x}\right) \)

\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \mathbf{P} & \mathbf{T} & \nabla_{\mathbf{T}} & \nabla^2 \mathbf{T} & \nabla^3 \mathbf{T} & \nabla^4 \mathbf{T} & \nabla^5 \mathbf{T} \\ \hline 40 & 180 & & & & & \\ \hline & & 24 & & & & \\ \hline 50 & 204 & & -2 & & & \\ \hline & & 22 & & 4 & & \\ \hline 60 & 226 & & 2 & & -4 & \\ \hline & & 24 & & 0 & & 4 \\ \hline 70 & 250 & & 2 & & 0 & \\ \hline & & 26 & & 0 & & \\ \hline 80 & 276 & & 2 & & & \\ \hline & & 28 & & & & \\ \hline 90 & 304 & & & & & \\ \hline \end{array}\)
P = 84
நியூட்டனின் பின்நோக்கு இடைச்செருகல் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த 
_Pn = 90, h = 10
P_n + nh = 84
⇒ 90 + n(10) = 84
⇒ 10n = 84 - 90 = -6
n = -6/10 = -0.6
\( \mathrm{T}=T_n+\frac{n}{1 !} \nabla T+\frac{n(\mathrm{n}+1)}{2 !} \nabla^2 T +\frac{n(\mathrm{n}+1)(\mathrm{n}+2)}{3 !} \nabla^3 T +\frac{n(\mathrm{n}+1)(\mathrm{n}+2)(\mathrm{n}+3)}{4 !} \nabla^4 T+\ldots \)
\( \mathrm{T}=304+(-0.6)(28)+\frac{(-0.6)(0.4)}{2 !}(2) +\frac{(-0.6)(0.4)(1.4)}{3 !}(0) + \frac{(-0.6)(0.4)(1.4)(2.4)(3.4)}{5 !}(4) \)
\(=304-16.8-0.24-0.091392=286.96\)

\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \boldsymbol{x} & \boldsymbol{y} & \Delta \boldsymbol{y} & \Delta^2 y & \Delta^3 y & \Delta^4 y \\ \hline 30 & 15.9 & & & & \\ \hline & & -1 & & & \\ \hline 35 & 14.9 & & 0.2 & & \\ \hline & & -0.8 & & -0.2 & \\ \hline 40 & 14.1 & & 0 & & 0.2 \\ \hline & & -0.8 & & 0 & \\ \hline 45 & 13.3 & & 0 & & \\ \hline & & -0.8 & & & \\ \hline 50 & 12.5 & & & & \\ \hline \end{array}\)
x = 32 எனும்போது நியூட்டனின் பின்நோக்கு இடைச்செருகல் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த 
x₀ = 30 h = 5
∴ x₀ + nh = 32 ⇒ 30 + n(5) = 32 [∵ h = 5]
⇒ 5n = 2
⇒ n = 2/5 = 0.4
\( \mathrm{y}=y_n+\frac{n}{1 !} \nabla y_n+\frac{n(\mathrm{n}+1)}{2 !} \nabla^2 y_n +\frac{n(n+1)(\mathrm{n}+2)}{3 !} \nabla^3 y_n+\ldots \)
\(y= 15.9+0.4(-1)+\frac{(0.4)(-0.6)}{2 !}(0.2) +\frac{(0.4)(-0.6)(-1.6)}{3 !}(-0.2) +\frac{(0.4)(-0.6)(-1.6)(-2.6)}{4 !}(0.2) \)
=  15.9-0.4-0.024-0.0128-0.00832
\(=  15.45488 \approx 15.45\)

x என்பது மதிப்பெண்களையும் y என்பது மாணவர்களையும் குறிக்கட்டும்.
கூட்டு நிகழ்வெண் பரவலில் மாற்றம் செய்த பிறகு கிடைக்கும் வேறுபாடு அட்டவணை 

x	y	Δy	Δ2y	Δ3y	Δ4y
20-க்கும் குறைவாக	35
		62
40-க்கும் குறைவாக	103		3
		65		-18
60-க்கும் குறைவாக	168		-15		0
		50		-18
80-க்கும் குறைவாக	218		-33
		17
100-க்கும் குறைவாக	235

x = 70 என்பதால், நியூட்டனின் பின்நோக்கு இடைச்செருகல் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த
∴ x_n = 100 h = 20
∴ x_n + nh = 70 ⇒ 20n =  70 - 100 = -30
\( \mathrm{n}=\frac{-30}{20}=-1.5 \)
\( \mathrm{y}=y_n+\frac{n}{1 !} \nabla y_n+\frac{n(\mathrm{n}+1)}{2 !} \nabla^2 y_n +\frac{n(n+1)(\mathrm{n}+2)}{3 !} \nabla^3 y_n+\ldots \)
\(=235+(-1.5)(17)+ \frac{(-1.5)(-0.5)}{2 !}(-33) +\frac{(-1.5)(-0.5)(0.5)}{3 !}(-18) \)
= 235-25.5-12.375-1.125
= 196 மாணவர்கள் 

x	y	Δy	Δ2y	Δ3y
1951	35
1961	42	7
1971	58	16	9
1981	84	26	10	1

1955 - ஆம் வருடத்தின் மக்கள்தொகை காண,அதாவது x = 1955 எனில்,
நியூட்டனின் முன்நோக்கு இடைச்செருகல் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த 
\({ y }={ y }_{ 0 }+\frac { n }{ 1! } =\triangle { y }_{ 0 }+\frac { n(n-1) }{ 2! } { \triangle }^{ 2 }{ y }_{ 0 }+\frac { n(n-1)(n-2) }{ 3! } { \triangle }^{ 3 }{ y }_{ 0 }+...\)
இங்கு x₀ + nh = 1955 ⇒ 1951 + n(10) = 1955
⇒ 10n = 1955 - 1951 = 4
⇒ 4/10 = 0.4
\({ y }=35+0.4(7)+\frac { (0.4)(0.4-1) }{ 2 } (9)+\frac { (0.4)(0.4-1) }{ 6 } (1)\)

⇒ y = 35 + 2.8 + (0.2)(-0.6)(9) + \(\frac { (0.4)(-0.6)(-1.6) }{ 6 } \)
⇒ y = 37.8 - 1.08 + 0.384/6
⇒ y = 37.8 - 1.08 + 0.064
⇒ y_(x=1955) = 36.784
= 36.784 (இலட்சங்கள்)

f(x) -ல் நான்கு மதிப்புகள் கொடுக்கப்பட்டிருப்பதால், f(x) ஒரு மூன்றாம்படி பல்லுறுப்புக்கோவை என எடுத்துக் கொள்வோம். 
∴ Δ⁴y_k = 0 ⇒ (E - 1)⁴y_k = 0
(E⁴ - 4E³ + 6E²- 4E + 1) y_k = 0
(E⁴y_k - 4E³y_k + 6E²y_k- 4Ey_k + y_k = 0 ...(1)
k = 0 என  (1) -ல் பிரதியிட 
(E₄ - 4E₃ + 6E₂ - 4E + 1)y₀ = 0
⇒ y₄ - 4y₃ + 5y₂ - 4y₁ + y₀ = 0
⇒ y₄ - 4(15) + 6(8) - 4(y₁) + 0 = 0
⇒ y₄ - 60 + 48 - 4y₁ = 0
⇒ y₄ - 4y₁ = 12 ... (2)
k = 1 என  (1) -ல் பிரதியிட 
(E⁴- 4E³ + 6E² - 4E + 1) y₁ = 0
(E⁴y₁ - 4E³y₁ + 6E²y₁ - 4Ey₁ +  y₁ = 0
⇒ y₅ - 4y₄ + 6y₃ - 4y₂ + y₁ = 0
⇒ 35 - 4y₄ + 6 (15) - 4 (8) +y₁ = 0
⇒ 35 - 4y₄ + 90 - 32 +y₁ = 0
⇒ 4y₄ +y₁ = -93  (3)
சமன்பாடுகள் (2) மற்றும் (3) ஆகியவற்றைத் தீர்க்க,

(2) x 4 ➝	4y4 - 16y1	= 48
(3) ➝	-4y4 + y1	= -93
Adding	-15y1	= -45

⇒ y₁ = \(\frac{-45}{-15}\) = 3
⇒ y₁ = 3.
y₁ = 3 என (2) -ல் பிரதியிட 
y₄ = 12 + 12 = 24

\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & y & \Delta y & \Delta^2 y & \Delta^3 y \\ \hline 240 & 484 & & & \\ \hline & & 20 & & \\ \hline 50 & 204 & & 2 & \\ \hline & & 22 & & 0 \\ \hline 60 & 226 & & 2 & \\ \hline & & 24 & & 0 \\ \hline 70 & 250 & & 2 & \\ \hline & & 26 & & 0 \\ \hline 80 & 276 & & 2 & \\ \hline & & 28 & & \\ \hline 90 & 304 & & & \\ \hline \end{array}\)
\(x_0 =40, \mathrm{~h}=10, x_0+\mathrm{nh}=43 \)
\(10 \mathrm{n} =3 \Rightarrow \mathrm{n}=0.3 \)
\(\mathrm{y} =y_0+\frac{n}{1 !} \Delta y_0+\frac{n(\mathrm{n}-1)}{2 !} \Delta^2 y_0 \)
\( =184+0.3(20)+\frac{(0.3)(-0.7)}{2}(2) \)
\( =184+6-0.21=189.79 \)
\(x_{\mathrm{n}} =90, \mathrm{~h}=10, x_{\mathrm{n}}+\mathrm{nh}=84 \)
\(10 \mathrm{n} =-6 \Rightarrow \mathrm{n}=-0.6 \)
\(\mathrm{y} =y_n +\frac{n}{1 !} \Delta y_n +\frac{n(\mathrm{n}-1)}{2 !} \Delta^2 y_n + ....\)
\( =304+\frac{(-0.6)}{1 !}(28)+\frac{(-0.6)(+0.4)}{2 !}(2) \)
\(=304-16.8-0.24=286.96 \)

\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \boldsymbol{x} & \boldsymbol{y} & \Delta \boldsymbol{y} & \Delta^2 \boldsymbol{y} & \Delta^3 \boldsymbol{y} \\ \hline-1 & 202 & & & \\ \hline & & -27 & & \\ \hline 0 & 175 & & -66 & \\ \hline & & -93 & & 132 \\ \hline 1 & 82 & & 66 & \\ \hline & & -27 & & \\ \hline 2 & 55 & & & \\ \hline \end{array}\)
x₀ =-1, h=1,x₀ + nh = 0.5
n  = 1.5
\(\mathrm{y}=y_0+\frac{n}{1 !} \Delta y_0+\frac{n(\mathrm{n}-1)}{2 !} \Delta^2 y_0 +\frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}-1)(\mathrm{n}-2)}{3 !} \Delta^3 y_0 \)
\(=202+\frac{1.5}{1 !}(-27)+\frac{(1.5)(0.5)}{2}(-66) +\frac{(1.5)(0.5)(-0.5)}{6} 132 \)
\(\mathrm{y}=202-40.5-24.75-8.25=128.5 \)

x₀ = 1982, x₁ = 1983, x₂ = 1984, x₃ = 1986, x = 1985
y₀ = 150, y₁ = 235, y₂ = 365, y₃ = 525
∴ y = f(x) = \(\frac { (x-{ x }_{ 1 })(x-{ x }_{ 2 })(x-{ x }_{ 3 }) }{ ({ x }_{ 0 }-{ x }_{ 1 })({ x }_{ 0 }-{ x }_{ 2 })({ x }_{ 0 }-{ x }_{ 3 }) } \times { y }_{ 0 }+\frac { (x-{ x }_{ 0 })(x-{ x }_{ 2 })(x-{ x }_{ 3 }) }{ ({ x }_{ 1 }-{ x }_{ 0 })({ x }_{ 1 }-{ x }_{ 2 })(x_{ 1 }-{ x }_{ 3 }) } \times { y }_{ 1 }+\frac { (x-{ x }_{ 0 })(x-{ x }_{ 1 })(x-{ x }_{ 3 }) }{ ({ x }_{ 2 }-{ x }_{ 0 })({ x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 })({ x }_{ 2 }-{ x }_{ 3 }) } \times { y }_{ 2 }+\frac { (x-{ x }_{ 0 })(x-{ x }_{ 1 })(x-{ x }_{ 2 }) }{ ({ x }_{ 3 }-{ x }_{ 0 })({ x }_{ 3 }-{ x }_{ 1 })({ x }_{ 3 }-{ x }_{ 2 }) } \times { y }_{ 3 }\)
\(y=\frac{(2)(1)(-1)}{(-1)(-2)(-4)} 150+\frac{(3)(1)(-1)}{(1)(-1)(-3)} 235 +\frac{3(2)(-1)}{(2)(1)(-2)} 365+\frac{(3)(2)(1)}{(4)(3) 2} 525 \)
\( =\frac{150}{4}-235+\frac{365(3)}{2}+\frac{525}{4} \)
\( =37.5-235+547.5+131.25 \)
= 481.25 இலட்சங்கள்