சராசரி  =n p=4 
பரவற்படி  =npq=3
\(4 q  =3 \Rightarrow q=\frac{3}{4} \)
\(p  =1-{q}=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4} \)
\(n p  =4 \Rightarrow n\left(\frac{1}{4}\right)=4 \Rightarrow n=16\)
ஈருறுப்புப் பரவல்
\(\mathrm{P}(\mathrm{X}=x) =\mathrm{nC}_x \mathrm{p}^x \mathrm{q}^{\mathrm{n}-x} \)
\(=16 \mathrm{C}_x\left(\frac{1}{4}\right)^x\left(\frac{3}{4}\right)^{16-x}\)
\(P(X=15) =16 C_{15}\left(\frac{1}{4}\right)^{15}\left(\frac{3}{4}\right) \)
\(=16 C_1 \frac{3}{4^2 \times 4^{14}} \)
\(=16\left(\frac{3}{16 \times 4^{14}}\right)=\frac{3}{4^{14}} \)

X என்ற சமவாய்ப்பு மாறியானது, பெண் குழந்தைகளின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கிறது 
p = பெண் குழந்தைகளை தேர்ந்தெடுப்பதற்கான நிகழ்தகவு = 1/2
\( \mathrm{q}=1-\mathrm{p}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}, \quad \mathrm{n}=3\)
\( \mathrm{P}(\mathrm{X}=x)=\mathrm{nC}_x \mathrm{p}^x \mathrm{q}^{\mathrm{n}-x} \)
\( \mathrm{P}(\mathrm{X}=2)=3 C_2\left(\frac{1}{2}\right)^2\left(\frac{1}{2}\right)^1 \)
\(=3\left(\frac{1}{4}\right)\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{8}=0.375 \)

ஒரு சமவாய்ப்பு சோதனை இரண்டு விளைவுகளை ஏற்படுத்தும். அவ்விளைவானது இரு வகைப்படும் அவை வெற்றி (S) மற்றும் தோல்வி (F) ஆகும். அதனுடைய நிகழ்தகவுகள் முறையே p மற்றும் q எனக் குறிக்கப்படும். அது பெர்னோலி சோதனை (அல்லது முயற்சி) என்று அழைக்கப்படும்

n = 5, தலை பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு p = q = 1/2
X என்ற சமவாய்ப்பு மாறியானது , கிடைக்கும் தலைகளின் எண்ணிக்கையைக் குறிப்பதாகக் கொண்டால், n முயற்சியில் கிடைக்கும் வெற்றியின் நிகழ்தகவு சார்பானது p = q = 1/2.
3 தலைகள் மட்டும் கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவு =5C_x\(\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) ^{ x }\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) ^{ 5-x }\)
=5C₃\(\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) ^{ 3 }\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) ^{ 5-3 }\)
=5C₃\(\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) ^{ 5 }\)
=\(\frac { 5 }{ 16 } \).

சராசரி μ = 800 மற்றும் திட்டவிலக்கம் σ = 100, நாள் ஒன்றுக்கு கொள்முதல் செய்யப்படும் பாலின் அளவு 800 லிட்டருக்கும், 1000 லிட்டருக்கும் இடையில் இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு
P(800 < X < 1000) 
\(=P\left(\frac{800-800}{100}<z<\frac{1000-800}{100}\right)\)
= P(0 < Z < 2) = 0.4772
எனவே பாலின் அளவு 800 லிட்டருக்கும், 1000 லிட்டருக்கும் இடையில் கொள்முதல் செய்யும் சங்கங்களின் சதவீதம் 47.72 ஆகும்.

P(இரட்டை குழந்தைகள்) = p = 1/80 = 0.0125 மற்றும் n = 30
λ = np = 30 × 0.0125 = 0.375
X ஆனது பாய்சான் பரவலை பின்பற்றுகிறது
p(x)=\(\frac { { e }^{ -\lambda }{ \lambda }^{ x } }{ x! } \)
P(2 அல்லது அதற்கு மேல்) = 1 - [p (x = 0) + p (x =1)]=1-\(\left[ \frac { { e }^{ -0.375 }(0.375)^{ 0 } }{ 0! } +\frac { e^{ -0.375 }(0.375)^{ 1 } }{ 1! } \right] \)
= 1 - e^-0.375 [1+0.375]
= 1- (0.6873 × 1.375)
= 0.055

ஈருறுப்புப் பரவலின் பண்பளவைகள் n மற்றும் p ஆகும்.
ஈருறுப்புப் பரவலின் சராசரியின் மதிப்பு np = 20
திட்டவிலக்கம் = \(\sqrt { npq } \)=4
∴ npq = 16
⇒ \(\frac { npq }{ np } =\frac { 16 }{ 20 } =\frac { 4 }{ 5 } \)
q=\(\frac { 4 }{ 5 } \)
⇒ p=1-q = 1-\(\left( \frac { 4 }{ 5 } \right) =\frac { 1 }{ 5 } \)
np=20
n=\(\frac { 20 }{ p } \)
n=100

உலர் மின்கலங்களின் ஆயுட்காலம் X என்க. இது இயல்நிலைப் பரவலைப் பின்பற்றி சராசரி 12 மற்றும் திட்டவிலக்கம் 3 மணி என்க.
(i) 13 மணி நேரத்திற்கும் மேலாக
P(X > 13)
X = 13 எனில்
Z =\(\frac { X-\mu }{ \sigma } =\frac { 13-12 }{ 3 } \)=0.333
P(X > 13) = P(Z > 0.333) = 0.5 - 0.1293 = 0.3707


13 மணி நேரத்திற்கும் மேலாக ஆயுட்காலம் கொண்ட உலர் மின்கலங்களின் எதிர்பார்க்கப்படும் சதவீதம் =125 × 0.3707 =46.34%
(ii) 5 மணி நேரத்திற்கும் குறைவாக P(X < 5)
X = 5 எனில், Z=\(\frac { X-\mu }{ \sigma } =\frac { 5-12 }{ 3 } \)=-2.333
P(X < 5) = P(Z < -2.333) = P(Z > 2.333)
= 0.5 - 0.4901 = 0.0099
5 மணி நேரத்திற்கும் குறைவாக ஆயுட்காலம் கொண்ட உலர் மின்கலங்களின் எதிர்பார்க்கப்படும் சதவீதம் 125 × 0.0099 =1.23%.

(iii) 9 மற்றும் 14 மணி நேரத்திற்கு இடையில் X = 9 எனில்,
Z =\(\frac { X-\mu }{ \sigma } =\frac { 9-12 }{ 3 } \)=-1
X = 14 எனில்,
Z =\(\frac { X-\mu }{ \sigma } =\frac { 14-12 }{ 3 } \)=0.667
P(9 < X < 14) = P(-1 < Z < 0.667)
= P(0 < Z < 1) + P(0 < Z < 0.667)
= 0.3413 + 0.2486
= 0.5899
9 மற்றும் 14 மணி நேரத்திற்கிடையில் ஆயுட்காலம் கொண்ட உலர் மின்கலங்களின் எதிர்பார்க்கப்படும் சதவீதம் 125 x 0.5899 =73.73%

ஈருறுப்புப் பரவலின் சராசரி 
\(\mathrm{E}(\mathrm{X}) =\sum_{x=0}^n x\left(\begin{array}{l} n \\ x \end{array}\right) p^x q^{n-x} \)
\( =p \sum_{x=1}^n x \cdot\left(\frac{n}{x}\right)\left(\begin{array}{r} n-1 \\ x-1 \end{array}\right) p^{x-1} q^{n-x} \)
\( =n p(q+p)^{n-1} \quad[\text { since } p+q=1] \)
\(=n p \)
\(E(X) =n p \)
ஈருறுப்புப் பரவலின் சராசரி என்பது np ஆகும் 
\(\operatorname{Var}(X)=E\left(X^2\right)-\{E(X)\}^2 \)
இங்கு \( E\left(X^2\right)=\sum_{x=0}^n x^2\left(\begin{array}{l} n \\ x \end{array}\right) p^x q^{n-x} \)
\(=\sum_{x=0}^n\{x(x-1)+x\}\left(\begin{array}{l} n \\ x \end{array}\right) p^x q^{n-x} \)
\(=\sum_{x=0}^n\{x(x-1)\}\left(\begin{array}{l} n \\ x \end{array}\right) p^x q^{n-x}+\sum_{x=0}^n x\left(\begin{array}{l} n \\ x \end{array}\right) p^x q^{n-x} \)
\(=\sum_{x=2}^n\{x(x-1)\} p^2\left(\frac{n(n-1)}{x(x-1)}\right)\left(\begin{array}{c} n-2 \\ x-2 \end{array}\right) p^{x-2} q^{n-x} +\sum_{x=0}^n x\left(\begin{array}{l} n \\ x \end{array}\right) p^x q^{n-x} \)
\(=n(n-1) p^2\left\{\sum_{x=2}^n\left(\begin{array}{c} n-2 \\ x-2 \end{array}\right) p^{x-2} q^{n-x}\right\}+n p \)
\(=n(n-1) p^2(q+p)^{(n-2)}+n p \)
\(=n(n-1) p^2+n p \)
∴மாறுபாடு \( =E\left(X^2\right)-\{E(X)\}^2 \)
\(=n^2 p^2-n p^2+n p-n^2 p^2 \)
=n p(1-p)=n p q
ஈருறுப்புப் பரவலின் சராசரி np மற்றும் மாறுபாடு npq ஆகும்.

\(\mu=172, \sigma^2=25 \Rightarrow \sigma=5\)
\(Z=\frac{X-\mu}{\sigma}=\frac{165-172}{5}=-1.4\)
\(Z=\frac{181-172}{5}=1.8\)

\(\mathrm{P}(165<\mathrm{X}<181)=\mathrm{P}(-1.4<\mathrm{Z}<1.8) \)
\(=\mathrm{P}(-1.4<\mathrm{Z}<0)+\mathrm{P}(0<\mathrm{Z}<1.8) \)
=0.4192+0.4641=0.8833=0.883

\(\mathrm{q}=\frac{40}{100}= 0.4, \mathrm{p}=0.6, \mathrm{n}=6 \)
\(P(X \geq 4)= \mathrm{P}(\mathrm{X}=4)+\mathrm{P}(\mathrm{X}=5)+\mathrm{P}(\mathrm{X}=6) \)
\(= 6 \mathrm{C}_4(0.4)^2(0.6)^4+ 6 \mathrm{C}_5(0.4)^1(0.6)^5+6 \mathrm{C}_6(0.6)^6 \)
\(= (0.6)^4[15(0.16)+6(0.4)(0.6) + (0.36)]\)
=  0.1296[2.4+1.44+0.36] =  0.5443

\( \mu=10 \)
\( 2 \sigma^2=72 \Rightarrow \sigma^2=36 \)
\( N\left(\mu, \sigma^2\right)=(10,36) \)

\(\mathrm{P}(-3 <\mathrm{Z}<-0.5) \)
\(= \mathrm{P}(0<\mathrm{Z}<3)-\mathrm{P}(0<\mathrm{Z}<0.5)\)
=0.4987-0.1915=0.3072