சராசரி μ = 800 மற்றும் திட்டவிலக்கம் σ = 100, நாள் ஒன்றுக்கு கொள்முதல் செய்யப்படும் பாலின் அளவு 800 லிட்டருக்கும், 1000 லிட்டருக்கும் இடையில் இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு
P(800 < X < 1000) 
\(=P\left(\frac{800-800}{100}<z<\frac{1000-800}{100}\right)\)
= P(0 < Z < 2) = 0.4772
எனவே பாலின் அளவு 800 லிட்டருக்கும், 1000 லிட்டருக்கும் இடையில் கொள்முதல் செய்யும் சங்கங்களின் சதவீதம் 47.72 ஆகும்.

சராசரி μ = 2.25 மற்றும் திட்டவிலக்கம் σ = 0.25. மீனின் எடை 2 கிலோக்கு குறைவாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு P(X < 2.0).
x = 2.0 எனில், Z =\(\frac { X-\mu }{ \sigma } =\frac { 2.0-2.25 }{ 0.25 } \)=-1.0
P(Z< -1.0) = P(Z >1.0) = 0.5 - 0.3413 = 0.1587
ஆகையால் 15.87% மீன்களின் எடை 2 கிலோவிற்கும் குறைவாக இருக்கும்.

சராசரி 125 மற்றும் திட்டவிலக்கம் 18 கொண்ட மின்விளக்குகளின் வாழ்நாள்.
(i) 95 நாள்களுக்கும் குறைவாக X = 95 எனில்,
Z =\(\frac { X-\mu }{ \sigma } =\frac { 95-125 }{ 18 } \)=-1.667
P(X < 95) = P(Z < -1.667)
= P(Z > 1.667)
= 0.5 - P(0 < Z < 1.67)
= 0.5 - 0.4525
= 0.0475
900 மின்விளக்குகளில் 95 நாள்களுக்குள்ளாகப் பயனற்றுப்போகும் மின் விளக்குகளின் எதிர்பார்க்கப்படும் எண்ணிக்கை 900 × .0475 = 43 விளக்குகள்.

P(இரட்டை குழந்தைகள்) = p = 1/80 = 0.0125 மற்றும் n = 30
λ = np = 30 × 0.0125 = 0.375
X ஆனது பாய்சான் பரவலை பின்பற்றுகிறது
p(x)=\(\frac { { e }^{ -\lambda }{ \lambda }^{ x } }{ x! } \)
P(2 அல்லது அதற்கு மேல்) = 1 - [p (x = 0) + p (x =1)]=1-\(\left[ \frac { { e }^{ -0.375 }(0.375)^{ 0 } }{ 0! } +\frac { e^{ -0.375 }(0.375)^{ 1 } }{ 1! } \right] \)
= 1 - e^-0.375 [1+0.375]
= 1- (0.6873 × 1.375)
= 0.055

இரத்த சிவப்பு அணுக்களின் எண்ணிக்கை சமவாய்ப்பு மாறி X என்க .
சராசரி λ = 8 சிவப்பு அணுக்கள் / ஒரு சதுரத்திற்கு P (ஒரு சதுரத்தில் சரியாக 5 சிவப்பணுக்கள்)
=P(X = 5) =\(\frac { { e }^{ -\lambda }{ \lambda }^{ x } }{ x! } =\frac { e^{ -8 }8^{ 5 } }{ 5! } \)
=\(\frac { 0.000335\times 32768 }{ 120 } \)
=0.0916
ஒரு சதுரத்தில் சரியாக 5 சிவப்பணுக்கள் இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு 0.0916. அதாவது ஒரு சதுரத்தில் சரியாக 5 சிவப்பணுக்கள் இருப்பதற்கான வாய்ப்பு 9.16% ஆகும்.

குறைபாடுகளில் இருந்து மீண்டு வரும் எலிகளின் எண்ணிக்கையை சமவாய்ப்பு மாறி X என்க.
p = எலிகள் மீண்டு வருவதற்கான நிகழ்தகவு
p =0.73
\(\mathrm{q}=1-\mathrm{p}=1-0.73=0.27, \mathrm{n}=5\)
\(\mathrm{P}(\mathrm{X}=x)=\mathrm{nC}_x \mathrm{p}^x \mathrm{q}^{\mathrm{n}-x}\)
\( P(X \geq 3)= P(X=3)+P(X=4)+P(X=5) \)
\(= 5 C_3(0.73)^3(0.27)^2+  5 C_4(0.73)^4(0.27)+5 C_5(0.73)^5 \)
\(=(0.73)^3[10(0.0729)+0.9855+ 0.5329] \)
=(0.389017)(2.2474)=0.8743

p = q =\(\frac { 1 }{ 2 } \)
(a) விளையாடும் விளையாட்டில் மூன்று முறை வெற்றி பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு
=\(\left( \frac { 4 }{ 3 } \right) \left( \frac { 1 }{ 2 } \right) ^{ 3 }\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) ^{ 4-3 }\)
=\(\frac { 1 }{ 4 } \)=25%
(b) A எனும் வீரர் B என்ற வீரரை தோற்கடிப்பதற்காக சரியாக எட்டு முறை விளையாடும் விளையாட்டில் ஐந்து முறை வெற்றி பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு
\(=\left( \frac { 8 }{ 5 } \right) \left( \frac { 1 }{ 2 } \right) ^{ 5 }\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) ^{ 8-5 }\)
=\(\\ \frac { 7 }{ 32 } \)=21.875%
எனவே , முதல் நிகழ்ச்சி அதிக சாத்தியமுடையதாக உள்ளது.

இங்கு சராசரி μ= 30 மற்றும் திட்டவிலக்கம் σ = 5
(i) X = 26 எனில், Z=(X−μ)/σ = (26 – 30)/5 = –0.8 மற்றும் X = 40 எனில், Z =\(\frac { 40-30 }{ 5 } \)=2
ஆகையால்,
P(26 < X < 40) ) = P(-0.8 ≤ Z < 2)
= P(-0.8 ≤ Z ≤ 0) + p(0 ≤ Z ≤ 2)
= P(0 ≤ Z ≤ 0.8) + P(0 ≤ Z ≤ 2)
= 0.2881 + 0.4772 (அட்டவணையிலிருந்து)
= 0.7653

(ii) X ≥ 45 எனும் போது நிகழ்தகவு X = 45 எனில்,
Z =\(\frac { X-\mu }{ \sigma } =\frac { 45-30 }{ 5 } \)=3
P( X ≥ 45) = P(Z ≥ 3)
= 0.5 - 0.49865
= 0.00135

வாடிக்கையாளர்களின் எண்ணிக்கையை சமவாய்ப்பு மாறி X என்க.
சராசரி \( \lambda=2\)
\(\mathrm{P}(\mathrm{X}=x)=\frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x !}\)
(i) \(\mathrm{P}(\mathrm{X}=0)=\frac{e^{-2} 2^0}{0 !}=\mathrm{e}^{-2}=0.1353\)
(ii) \( P(X \geq 3)= 1-[P(X<3)]\)
\(= 1-[P(X=0)+P(X=1)+ P(X=2)]\)
\( =1-\left[\frac{e^{-2} 2^0}{0 !}+\frac{c^{-2} 2^1}{1 !}+\frac{e^{-2} 2^2}{2 !}\right] \)
\( =1-\mathrm{e}^{-2}[1+2+2] \)
 =1-(0.1353)(5) 
=1-0.6765=0.3235

சராசரி  \(=\mathrm{E}(\mathrm{X})=\sum_{x=0} x P(x, \lambda) \)
\( =\sum_{x=0}^{\infty} x \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x !} \)
\( =\lambda e^{-\lambda} \sum_{x=1}^{\infty} \frac{\lambda^{x-1}}{(x-1) !} \)
\(=\lambda e^{-\lambda}\left[1+\lambda+\frac{\lambda^2}{2 !}+\ldots\right] \)
\( =\lambda e^{-\lambda} e^\lambda=\lambda \)
\(\mathrm{E}\left(\mathrm{X}^2\right)  =\sum_{x=0}^{\infty} x^2 P(x, \lambda) \)
\( =\sum_{x=0}^{\infty}\{x(x-1)+x\} P(x, \lambda) \)
\(=\sum_{x=0}^{\infty}\{x(x-1)+x\} \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x !}\)
\( =e^{-\lambda} \sum_{x=0}^{\infty} x(x-1) \frac{\lambda^x}{x !}+\sum_{x=0}^{\infty} x \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x !} \)
\( =\lambda^2 e^{-\lambda} \sum_{x=2}^{\infty} \frac{\lambda^{x-2}}{(x-2) !}+E(X) \)
\( =\lambda^2 e^{-\lambda}\left[1+\lambda+\frac{\lambda^2}{2 !}+\ldots\right]+\lambda \)
\( =\lambda^2 e^{-\lambda} e^\lambda+\lambda=\lambda^2+\lambda \)
மாறுபாட்டளவை \((\mathrm{X})=\mathrm{E}\left(\mathrm{X}^2\right)-[\mathrm{E}(\mathrm{X})]^2\)
\(=\lambda^2+\lambda-\lambda^2=\lambda\)

P = 1/5/100 = 1/500 =0.002 n = 10. λ = np = 0.02
p(x) =\(\frac { { e }^{ -\lambda }{ \lambda }^{ x } }{ x! } =\frac { e^{ -0.02 }(0.02)^{ x } }{ x! } \)
(i) பழுதற்ற பிளேடுகளைக் கொண்ட அட்டை பெட்டிகளின் எண்ணிக்கை
= N × p(0) = 1,00,000 × e^-0.02
= 98020
(ii) பழுதுள்ள ஒரு பிளேடு கொண்ட அட்டைப் பெட்டிகளின் எண்ணிக்கை
= N × p(1) = 1,00,000 × 0.9802 × 0.02
= 1960
(iii) பழுதுள்ள இரண்டு பிளேடுகள் கொண்ட பெட்டிகளின் எண்ணிக்கை
= N × p(2) = 1,00,000 × .0002
= 20

p = வாடிக்கையாளர் ஒருவர் ஒரு வருடத்தில் விபத்துக்குள்ளாவதற்கான நிகழ்தகவு
= 0.1/100 = 1/1000
இங்கு n = 10,000
ஆகையால், λ=np =10000\(\left( \frac { 1 }{ 1000 } \right) \)=10
5-க்கு மிகாமல் வாடிக்கையாளர்கள் விபத்துக்குள்ளாவதற்கான நிகழ்தகவு
P(x≤5) = P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)
=e^-10\(\left[ 1+\frac { 10 }{ 1! } +\frac { { 1 }0^{ 2 } }{ 2! } +\frac { { 10 }^{ 3 } }{ 3! } +\frac { { 10 }^{ 4 } }{ 4! } +\frac { 10^{ 5 } }{ 5! } \right] \)
=0.06651

X என்ற சமவாய்ப்பு மாறியானது தேர்ந்தெடுக்கப்படும் குழந்தைகளின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கிறது
n = 4
p = ஆண் குழந்தையாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு = பெண் குழந்தையாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு = 1/2
q = 1 - p = \(1 -\frac { 1 }{ 2 } = \frac { 1 }{ 2 } \)
p(x) = ⁿC_x p^xq^n-x,
(i) P(X≥1) = 1-P(X<1)
\(P(X \geq 1) =1-P(X=0)=1-\left[4 C_0\left(\frac{1}{2}\right)^4\right] \)
\( =1-\frac{1}{16}=\frac{15}{16}=0.9375\)
குறைந்தபட்சம் ஓர் ஆண் குழந்தை
\(=0.9375 \times 750=703 .\)
(ii) \(P(X \leq 2) =\mathrm{P}(\mathrm{X}=0)+\mathrm{P}(\mathrm{X}=1)+\mathrm{P}(\mathrm{X}=2) \)
\(= 4 C_0\left(\frac{1}{2}\right)^0\left(\frac{1}{2}\right)^4+4 C_1\left(\frac{1}{2}\right)^1\left(\frac{1}{2}\right)^3 +4 C_2\left(\frac{1}{2}\right)^2\left(\frac{1}{2}\right)^2 \)
\(= \frac{1}{16}\left[1+4+\frac{4 \times 3}{2 \times 1}\right]=\frac{11}{16}=0.6875\)
அதிகபட்சம் 2 பெண் குழந்தைகள்
\(=0.6875 \times 750=516 \text {. }\)
\( \mathrm{P}(\mathrm{X}=1)+\mathrm{P}(\mathrm{X}=2)+\mathrm{P}(\mathrm{X}=3) \)
\(=4 C_1\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)^3+4 C_2\left(\frac{1}{2}\right)^2\left(\frac{1}{2}\right)^2 +4 C_3\left(\frac{1}{2}\right)^3\left(\frac{1}{2}\right) \)
\(=\frac{1}{2^4}\left[4 C_1+4 C_2+4 C_1\right] \)
\( =\frac{1}{16}(4+6+4)=\frac{14}{16}=0.875\)
இரு பாலின குழந்தைகள்
\(=750 \times 0.875=656\)

  சராசரி மற்றும் மாறுபாட்டளவை சமமாக உள்ள ஒரே பரவல், பாய்சான் பரவல் மட்டுமே.

\( \mu=240, \sigma=40 \)
\( Z=\frac{X-\mu}{\sigma}=\frac{180-240}{40}=-1.5\)

\(P(X < 180) =P(Z<-1.5)=0.5-P(0<Z<1.5) \)
=0.5-0.4332=0.0668 \simeq 0.067

 

μ = 70, σ = 10
\(\mathrm{Z}=\frac{x-\mu}{\sigma}=\frac{72-70}{10}=0.2\)
\(Z=\frac{84-70}{10}=1.4\)

\(\mathrm{P}(72<\mathrm{X}<\mathrm{8} 4) =\mathrm{P}(0.2<\mathrm{Z}<1.4) \)
\( =\mathrm{P}(0<\mathrm{Z}<1.4)-\mathrm{P}(0<\mathrm{Z}<0.2) \)
 =0.4192-0.0793=0.339  =0.34

சராசரி = np = 4, மாறுபாடு = npq = 4/3
\(\Rightarrow 4 q =\frac{4}{3} \Rightarrow q=\frac{1}{3} \)
\(p=1-q =1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3} \)
\(n p =4 \Rightarrow n\left(\frac{2}{3}\right)=4 \Rightarrow n=6 \)
\(P(X \geq 5) =P(X=5)+P(X=6) \)
\( =6 C_5\left(\frac{2}{3}\right)^5\left(\frac{1}{3}\right)+6 C_6\left(\frac{2}{3}\right)^6 \)
\( =\frac{2^5}{3^6}[6+2]=4\left(\frac{2}{3}\right)^6 \)

\( p=2 q \Rightarrow p=2(1-p)=2-2 p \)
\( 3 p=2 \Rightarrow p=\frac{2}{3} \)
\( q=1-p=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3} \)
\( \mathrm{n}=6 \)
\( P(X \geq 4)=\mathrm{P}(\mathrm{X}=4)+\mathrm{P}(\mathrm{X}=5)+\mathrm{P}(\mathrm{X}=6) \)
\( =6 C_4\left(\frac{2}{3}\right)^4\left(\frac{1}{3}\right)^2+6 C_5\left(\frac{2}{3}\right)^5\left(\frac{1}{3}\right)+6 C_6\left(\frac{2}{3}\right)^6 \)
\( =\frac{2^4}{3^6}\left[6 C_2+6 C_1 2+2^2\right] \)
\(=\frac{16}{729}[15+12+4]=\frac{496}{729}\)