\( \mu=16.28, \sigma=0.12 \)
\( \mathrm{Z}=\frac{X-\mu}{\sigma}=\frac{16.35-16.28}{0.12}=0.5833\)

P(X<16.35)=P(Z<0.58) 
=0.5+P(0<Z<0.58) 
=0.5+0.2190=0.7190

(i) \(\mu=12, \sigma=4\)
\(P(X \leq 20)  =P(Z \leq 2)=0.5+P(0 \leq Z \leq 2)\)
=0.5+0.4772=0.9772

(ii) \( \mathrm{Z}=\frac{0-12}{4}=-3\)
\(\mathrm{Z} \equiv \frac{12-12}{4}=0\)

\(P(0 \leq X \leq 12) =P(-3 \leq Z \leq 0) =P(0 \leq Z \leq 3)=0.49865 \)

\(P(X<50)=\frac{30}{100}=0.3\)

X = μ மற்றும் X = 50 இவை இரண்டிற்கும் இடையே உள்ள பரப்பு 0.5 – 0.3 = 0.2
பரப்பு = 0.2
\(Z =-0.52 \Rightarrow \frac{50-\mu}{\sigma}=-0.52 \)
\(50-\mu =-0.52 \sigma \quad \ldots(1) \)
\(P(X>86) =\frac{10}{100}=0.1 \)

X = μ மற்றும் X = 86 இவை இரண்டிற்கும் இடையே உள்ள பரப்பு 0.5 – 0.1 = 0.4
பரப்பு = 0.4
Z = 1.28
\( \frac{86-\mu}{\sigma}=1.28 \)
\( 86-\mu=1.28 \sigma\) ...(2)
(1) மற்றும் (2) ஆகியவற்றைத் தீர்க்க கிடைப்பது,
\(\sigma=20, \mu=60.4\)

இயல்நிலை நிகழ்தகவு வளைவரை அதன் சராசரி m மற்றும் திட்டவிலக்கம் σ கீழ்க்காணும் பண்புகளைப் பெற்றிருக்கின்றது :
(i) இயல்நிலைப் பரவலின் வளைவரையானது மணி வடிவில் உள்ளது மேலும் x=μ என்பதனைப் பொருத்து சமச்சீரானது.
(ii) பரவலின் சராசரி, இடைநிலை மற்றும் முகடு மூன்றும் ஒன்றுகின்றன.
(iii) x – அச்சானது வளைவரைக்கு ஒரு தொலைத் தொடுகோடாக அமைகிறது. (வளைவரையானது X – அச்சினைத் தொடர்ந்து சென்றாலும் X – அச்சினைத் தொடாமல் இணையாகச் செல்லும்)
(iv) f(x) என்பது நிகழ்தகவு சார்பாக உள்ளதால் வளைவரையின் எப்பகுதியும் x-அச்சின் கீழ்ப்புறம் அமையாது.
(v) இயல்நிலைப் பரவலின் வளைவரைக்கு ஒற்றை உயரம், அதாவது அந்த புள்ளியில் ஒரு முகடு மட்டும் இருக்கும்.

தேவைப்படும் மகிழுந்துகளின் எண்ணிக்கையை சமவாய்ப்பு மாறி X  என்க.
சராசரி \(=\lambda=1.5\)
\(\mathrm{P}(\mathrm{X}=x)=\frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x !}\)
(i) \(\mathrm{P}(\mathrm{X}=0)=\frac{e^{-1.5}(1.5)^0}{0 !}=0.2231\)
(ii) \( \mathrm{P}(\mathrm{X}>2)=1-P(X \leq 2) \)
\(=1-[\mathrm{P}(\mathrm{X}=0)+\mathrm{P}(\mathrm{X}=1)+\mathrm{P}(\mathrm{X}=2)] \)
\(=1-\left[\frac{e^{-1.5}(1.5)^0}{0 !}+\frac{e^{-1.5}(1.5)^1}{1 !}+\frac{e^{-1.5}(1.5)^2}{2 !}\right]\)
\( =1-e^{-1.5}\left[1+1.5+\frac{2.25}{2}\right] \)
 =1-(0.22312)(3.625) 
 =1-0.8088=0.1912

ஈருறுப்புப் பரவலின் சராசரி 
\(\mathrm{E}(\mathrm{X}) =\sum_{x=0}^n x\left(\begin{array}{l} n \\ x \end{array}\right) p^x q^{n-x} \)
\( =p \sum_{x=1}^n x \cdot\left(\frac{n}{x}\right)\left(\begin{array}{r} n-1 \\ x-1 \end{array}\right) p^{x-1} q^{n-x} \)
\( =n p(q+p)^{n-1} \quad[\text { since } p+q=1] \)
\(=n p \)
\(E(X) =n p \)
ஈருறுப்புப் பரவலின் சராசரி என்பது np ஆகும் 
\(\operatorname{Var}(X)=E\left(X^2\right)-\{E(X)\}^2 \)
இங்கு \( E\left(X^2\right)=\sum_{x=0}^n x^2\left(\begin{array}{l} n \\ x \end{array}\right) p^x q^{n-x} \)
\(=\sum_{x=0}^n\{x(x-1)+x\}\left(\begin{array}{l} n \\ x \end{array}\right) p^x q^{n-x} \)
\(=\sum_{x=0}^n\{x(x-1)\}\left(\begin{array}{l} n \\ x \end{array}\right) p^x q^{n-x}+\sum_{x=0}^n x\left(\begin{array}{l} n \\ x \end{array}\right) p^x q^{n-x} \)
\(=\sum_{x=2}^n\{x(x-1)\} p^2\left(\frac{n(n-1)}{x(x-1)}\right)\left(\begin{array}{c} n-2 \\ x-2 \end{array}\right) p^{x-2} q^{n-x} +\sum_{x=0}^n x\left(\begin{array}{l} n \\ x \end{array}\right) p^x q^{n-x} \)
\(=n(n-1) p^2\left\{\sum_{x=2}^n\left(\begin{array}{c} n-2 \\ x-2 \end{array}\right) p^{x-2} q^{n-x}\right\}+n p \)
\(=n(n-1) p^2(q+p)^{(n-2)}+n p \)
\(=n(n-1) p^2+n p \)
∴மாறுபாடு \( =E\left(X^2\right)-\{E(X)\}^2 \)
\(=n^2 p^2-n p^2+n p-n^2 p^2 \)
=n p(1-p)=n p q
ஈருறுப்புப் பரவலின் சராசரி np மற்றும் மாறுபாடு npq ஆகும்.

மகிழுந்து பொருத்துவதற்கான நேரத்தைக் குறிக்கும் சமவாய்ப்பு மாறி X என்க.
\(\mu=20, \sigma=2\)
(i) \(\mathrm{Z}=\frac{X-\mu}{\sigma}=\frac{19.5-20}{2}=-0.25\)

P(X<19.5)  =P(Z<-0.25)
=0.5-P(0<Z<0.25) 
=0.5-0.0987=0.4013
(ii) \(Z=\frac{20-20}{2}=0\)
\(Z=\frac{22-20}{2}=1\)

P (20< X< 22) = P (0 < Z < 1) = 0.3413

இயல்நிலைப் பரவல் ஈருறுப்புப் பரவலின் எல்லையாக அமைவதற்கான கட்டுப்பாடுகள் :  
(i) முயற்சிகளின் எண்ணிக்கை ‘n’ ஆனது மிகப் பெரிய முடிவறா எண்ணாக(n → ∞)அமைகிறது.
(ii) p, q ஆகியவை மிகச்சிறியவை அல்ல.

X என்ற சமவாய்ப்பு மாறியானது, பெண் குழந்தைகளின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கிறது 
p = பெண் குழந்தைகளை தேர்ந்தெடுப்பதற்கான நிகழ்தகவு = 1/2
\( \mathrm{q}=1-\mathrm{p}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}, \quad \mathrm{n}=3\)
\( \mathrm{P}(\mathrm{X}=x)=\mathrm{nC}_x \mathrm{p}^x \mathrm{q}^{\mathrm{n}-x} \)
\( \mathrm{P}(\mathrm{X}=2)=3 C_2\left(\frac{1}{2}\right)^2\left(\frac{1}{2}\right)^1 \)
\(=3\left(\frac{1}{4}\right)\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{8}=0.375 \)

ஈருறுப்புப் பரவலின் பண்புகள் :
1. p = q = 0.5 என இருக்கும்பொழுது ஈருறுப்புப் பரவலானது சமச்சீரானது.
2. p ≠ q எனும்பொழுது சமச்சீர் அற்றதாக இருக்கும்.
3. p < 0.5 எனில், ஈருறுப்புப் பரவல் மிகை கோட்ட அளவையாக இருக்கும்.
4. p > 0.5 எனில், ஈருறுப்புப் பரவல் குறை கோட்ட அளவையாக இருக்கும்.
5. ஈருறுப்புப் பரவலில் மாறுபாட்டளவையின் மதிப்பு, சராசரியின் மதிப்பைவிடக் குறைவானதாக இருக்கும். அதாவது குறியீட்டின்படி
6. மாறுபாட்டளவை npq = (np)q < np

ஈருறுப்புப் பரவலைக் காணும் நிபந்தனைகளின்படி நாம் பயன்படுத்துகின்றோம் :
1. முயற்சிகளின் எண்ணிக்கை ‘n’ என்பது ஒரு முடிவுறு எண்ணாக இருத்தல் வேண்டும்.
2. முயற்சிகள் ஒன்றுக்கொன்று சார்பற்றவையாக இருத்தல் வேண்டும்.
3. வெற்றிக்கான நிகழ்தகவு p என்பது ஒவ்வொரு முயற்சியிலும் மாறிலியாக இருக்க வேண்டும்.
4. ஒவ்வொரு முயற்சிக்கும் இரண்டு விளைவுகளே சாத்தியமானது. அவை வெற்றி அல்லது தோல்வி மட்டுமே.

X என்பது சமவாய்ப்பு முறையில் தேர்ந்தெடுக்கப்படும் மாதாந்திர மின்சாரக் கட்டணம் 
\(\mu=225, \sigma=55\)
\(\mathrm{Z}=\frac{X-\mu}{\sigma}=\frac{100-225}{55}=-2.27\)

\(P(X \leq 100) =P(Z \leq-2.27) =0.5-P(-2.27 \leq Z \leq 0) \)
 =0.5-0.4884=0.0116

\(\mu \)=3500 கி \(\sigma\)=500 கி

\(Z  =\frac{X-\mu}{\sigma}=\frac{3100-3500}{500} =-\frac{400}{500}=-0.8\)
\(\mathrm{P}(\mathrm{X}<3100)  =\mathrm{P}(\mathrm{Z}<-0.8) \)
\(=0.5-\mathrm{P}(0<\mathrm{Z}<0.8) \)
=0.5-0.2881=0.2119

ஒரு குறிப்பிட்ட  வாரத்தில் நிகழும் மின்சாரத் தடைகளின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கும் சமவாய்ப்பு மாறி X என்க.
\(\lambda\)  =சராசரி \(=\frac{3}{20}=0.15\)
\(\mathrm{P}(\mathrm{X}  =x)=\frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x !} \)
\(P(X \leq 1)=\mathrm{P}(\mathrm{X}=0)+\mathrm{P}(\mathrm{X}=1) \)
\( =\frac{e^{-0.15}(0.15)^0}{1 !}+\frac{e^{-0.15}(0.15)^1}{1 !} \)
\( =\mathrm{e}^{-0.15}[1+0.15] \)
 =(0.8607)(1.15)=0.98981

X என்ற சமவாய்ப்பு மாறியானது குறைபாடு உள்ளவைகளின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கிறது.
சராசரி = np = 1.2, n = 6
6p = 1.2
\(p=\frac{1.2}{6}=0.2\)
q = 1-p = 1-0.2 = 0.8
P(X <2) = P(X = 0)+ P(X = 1)
P(X = x) = nC_x p^x q^n-x
P(X<2) = 6C₀(0.2)⁰(0.8)⁰+6C₁(0.2)¹ (0.8)⁵
= (0.8)⁵ [0.8 + 1.2]
= (0.32768)2
= 0.65536