y₃=2, y₄=-6, y₅=8, y₆=9 மற்றும் y₇=17 கொடுக்கப்பட்டவை.
Δ⁴y₃=(E-1)⁴y₃
=(E⁴-4E³+6E²-4E+1)y₃
=E⁴y₃-4E³y₃+6E²y₃-4y₃+y₃
=y₇-4y₆+6y₅-4y₄+y₃
=17-4(9)+6(8)-4(-6)+2
=17-36+48+24+2=55

சராசரி செலவுச் சார்பு MC ∝ x
\(\frac{d C}{d x}=\mathrm{k}_1 x \)
\(​​​​​​​\int d C=\mathrm{k}_1 \int x d x\)
செலவுச் சார்பு \(\mathrm{C}=k_1 \frac{x^2}{2}+k_2\)
x=0 மற்றும் C=5000 எனில்,
\( \mathrm{k}_2=5000 \)
\( \mathrm{C}=k_1 \frac{x^2}{2}+5000\)
\(x=50, \mathrm{C}=₹ 5625\) எனில்,
\(5625  =k_1 \frac{(2500)}{2}+5000 \)
\(625  =1250 \mathrm{k}_1 \)
\(\mathrm{k}_1  =\frac{1}{2} \)
\(\mathrm{C}  =\frac{1}{4} x^2+5000\)
மொத்த செலவுச் சார்பு: C=\(\frac { { x }^{ 2 } }{ 4 } +5000\)

இறுதிநிலை வருவாய் R'(x)=10+e^-0.05x
100 அலகுகளுக்கான விற்பனை வருவாய்
R=\(\int _{ 0 }^{ 100 }{ (10+e^{ -0.05x }) } dx\)
=\(\left[ 10x+\frac { { e }^{ -0.05x } }{ -0.05 } \right] _{ 0 }^{ 100 }\)
=\(\left( 1000-\frac { e^{ -5 } }{ 0.05 } \right) -\left( 0-\frac { 100 }{ 5 } \right) \)
=1000+20-(20 x 0.0067)
=1019.87
=1019.87 x 1000
மொத்த வருவாய்=ரூ.10,19,870

தேவைப்படும் பரப்பு=\(\\ \int _{ -1 }^{ 0 }{ -xdx } +\int _{ 0 }^{ 2 }{ xdx } \)
=\(-\left[ \frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } \right] _{ -1 }^{ 0 }+-\left[ \frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } \right] _{ 0 }^{ 2 }=-\left[ 0-\frac { 1 }{ 2 } \right] +\left[ \frac { 4 }{ 2 } -0 \right] \)
=\(\frac { 5 }{ 2 } \) சதுர அலகுகள்.

\(\int \left( e^{ x }+1 \right) ^{ 2 }e^{ x }dx\)\(=\int \left( e^{ 2x }+2e^{ x }+1 \right) e^{ x^{ 2 } }dx\)
\(=\int \left( e^{ 3x }+2e^{ 2x }+e^{ x } \right) dx\)
\(=\frac { e^{ 3x } }{ 3 } +\frac { 2e^{ 2x } }{ 2 } +e^{ x }+c\)
\(=\frac { e^{ 3x } }{ 3 } +e^{ 2x }+e^{ x }+c\)
 

ஒரு பென்சிலின் விலை ரூ.x என்க
ஒரு அழிப்பானின் விலை ரூ.y என்க
∴ கொடுக்கப்பட்ட விவரங்களின் படி பின்வரும் சமன்பாடுகளைக் காணலாம்.
11x + 3y = 64
8x + 3y = 49
Δ=\(\left| \begin{matrix} 11 & 3 \\ 8 & 3 \end{matrix} \right| \)=9≠0. (தொகுப்பு ஒரே ஒரு தீர்வை பெற்றிருக்கும்)
Δx =\(\left| \begin{matrix} 64 & 3 \\ 49 & 3 \end{matrix} \right| \)=45, Δy =\(\left| \begin{matrix} 11 & 64 \\ 8 & 49 \end{matrix} \right| \)=27
∴ கிரேமரின் விதிப்படி
x =\(\frac { \triangle x }{ \triangle } =\frac { 45 }{ 9 } \)=5
y =\(\frac { \triangle y }{ \triangle } =\frac { 27 }{ 9 } \)=3
∴ ஒரு பென்சிலின் விலை ரூ.5 மற்றும் ஒரு அழிப்பானின் விலை ரூ.3 ஆகும்.

அணி சமன்பாடு
\(\left( \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 7 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} 6 \\ 14 \\ 30 \end{matrix} \right) \)
A X = B

விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணி [A,B]	அடிப்படை உருமாற்றங்கள்
\(\left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 7 \end{matrix}\begin{matrix} 6 \\ 14 \\ 30 \end{matrix} \right) \)
~\(\left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{matrix}\begin{matrix} 6 \\ 8 \\ 16 \end{matrix} \right) \)	R2 ⟶ R2 - R1 R3 ⟶ R3 - R1
~\(\left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 6 \\ 8 \\ 00 \end{matrix} \right) \)	R3 ⟶ R3 - 2R2
ρ(A)=2, ρ([A,B])=2

 கடைசி சமான அணி ஏறுபடி வடிவில் உள்ளது. இதில் இரண்டு பூச்சியமற்ற நிரைகள் உள்ளன.
∴ ρ(A)=ρ([A,B])=2
இங்கு, ρ(A)=ρ([A,B])=2 < மதிப்பிட வேண்டிய மாறிகளின் எண்ணிக்கை
எனவே, கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பு ஒருங்கமைவு உடையது. மேலும் எண்ணிக்கையற்ற தீர்வுகள் உண்டு.
கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பிற்கு சமானமான அணி சமன்பாடு
\(\\ \left( \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} 6 \\ 8 \\ 0 \end{matrix} \right) \)
x+y+z = 6   .....(1)
y+2z=8      .....(2)
(2) ⇒ y=8-2z
(1) ⇒ x=6-y-z=6-(8-2z)-z=z-2
z=k, k\(\in \)R எனக் கொண்டால் வெவ்வேறு தீர்வுகளை நாம் பெறலாம். எனவே கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பு எண்ணிக்கையற்ற தீர்வுகளைப் பெற்றிருக்கும்.

A =\(\left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{matrix}\begin{matrix} -1 \\ 1 \\ 3 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ -2 \\ -7 \end{matrix} \right) \)என்க.
A -ன் வரிசை 3 x 4
∴ ρ(A) ≤3.
மூன்றாம் வரிசை கொண்ட சிற்றணிக்கோவைகளை கருத, நாம் பெறுவது
\(\left| \begin{matrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 4 & 1 \\ 3 & 6 & 3 \end{matrix} \right| =0,\left| \begin{matrix} 1 & -1 & 3 \\ 2 & 1 & -2 \\ 3 & 3 & -7 \end{matrix} \right| =0\)
\(\left| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & -2 \\ 3 & 6 & -7 \end{matrix} \right| =0,\left| \begin{matrix} 2 & -1 & 3 \\ 4 & 1 & -2 \\ 6 & 3 & -7 \end{matrix} \right| =0\) ஆகும்.
அனைத்து மூன்றாம் வரிசை கொண்ட சிற்றணிக்கோவைகளின் மதிப்புகளும் பூச்சியமாகும்.
ρ(A)≠3.
ஏதேனும் ஒரு இரண்டாம் வரிசை சிற்றணிக்கோவையை கருத, நாம் பெறுவது \(\left| \begin{matrix} 2 & -1 \\ 4 & 1 \end{matrix} \right| \)=6≠0 ஆகும்.
⇒ பூச்சியமற்ற சிற்றணிக்கோவையின் வரிசை 2 ஆகும்.  ∴ ρ(A) = 2

இங்கு x -ன் மதிப்புகள் சம பிரிவற்றவை. எனவே இலெக்ராஞ்சியின் சூத்திரத்தை பயன்படுத்தவும்.
x₀=5, x₁=6, x₂=9, x₃=11
y₀=12, y₁=13, y₂=14, y₃=16
y=f(x)=\(\frac { (x-{ x }_{ 1 })(x-{ x }_{ 2 })(x-{ x }_{ 3 }) }{ (x_{ 0 }-{ x }_{ 1 })({ x }_{ 0 }-{ x }_{ 2 })({ x }_{ 0 }-{ x }_{ 3 }) } \times { y }_{ 0 }+\frac { (x-{ x }_{ 0 })(x-{ x }_{ 2 })(x-{ x }_{ 3 }) }{ (x_{ 1 }-{ x }_{ 0 })({ x }_{ 1 }-{ x }_{ 2 })({ x }_{ 1 }-{ x }_{ 3 }) } \times { y }_{ 1 }+\frac { (x-{ x }_{ 0 })(x-{ x }_{ 1 })(x-{ x }_{ 3 }) }{ (x_{ 2 }-{ x }_{ 0 })({ x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 })({ x }_{ 2 }-{ x }_{ 3 }) } \times y_{ 2 }+\frac { (x-{ x }_{ 0 })(x-{ x }_{ 1 })(x-{ x }_{ 2 }) }{ (x_{ 3 }-{ x }_{ 0 })({ x }_{ 3 }-{ x }_{ 1 })({ x }_{ 3 }-{ x }_{ 2 }) } \times { y }_{ 3 }\)
=\(\frac { (x-6)(x-9)(x-11) }{ (5-6)(5-6)(5-11) } (12)+\frac { (x-5)(x-9)(x-11) }{ (6-5)(6-9)(6-9) } (13)+\frac { (x-5)(x-6)(x-11) }{ (9-5)(9-6)(9-11) } (14)+\frac { (x-5)(x-6)(x-9) }{ (11-5)(11-6)(11-9) } (16)\)
x = 10 என்க.
y(10)=f(10)=\(\frac { 4(1)(-1) }{ (-1)(-4)(-6) } (12)+\frac { (5)(1)(-1) }{ (1)(-3)(-5) } (13)+\frac { 5(4)(-1) }{ 4(3)(-2) } (14)+\frac { (5)(4)(1) }{ 6(5)(2) } (16)\)
=\(\frac { 1 }{ 6 } (12)-\frac { 13 }{ 3 } +\frac { 5(14) }{ 3\times 2 } +\frac { 4\times 16 }{ 12 } \)
=14.6663

x என்பது மதிப்பெண் மற்றும் y என்பது மாணவர்களின் எண்ணிக்கை என்க.
கூட்டு நிகழ்வெண் பரவலில் மாற்றம் செய்த பிறகு கிடைக்கும் வேறுபாட்டு அட்டவணை.

x	y	Δy	Δ2y	Δ3y	Δ4y
40-க்குக் குறைவான	31
		42
50	73		9
		51		-25
60	124		-16		37
		35		12
70	159		-4
		31
80	190

 y_(x=x0+nh)= \({ y }_{ 0 }+\frac { n }{ 1! } \triangle y_{ 0 }+\frac { n(n-1) }{ 2! } { \triangle }^{ 2 }{ y }_{ 0 }+\frac { n(n-1)(n-2) }{ 3! } { \triangle }^{ 0 }y_{ 0 }+....\)
x = 45 இடத்து y-ஐக் காண் வேண்டும். 
∴ x₀+nh=45, x₀=40, h=10 ⇒ \(\frac{1}{2}\)
y_(x=45)=31+\(\frac { 1 }{ 2 } \times 42+\frac { \frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { -1 }{ 2 } \right) }{ 2 } (9)+\frac { \frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { -1 }{ 2 } \right) \left( \frac { -3 }{ 2 } \right) }{ 6 } \times 25+\frac { \frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { -1 }{ 2 } \right) \left( \frac { -3 }{ 2 } \right) \left( \frac { -5 }{ 2 } \right) }{ 24 } \times (37)\)
= 31+21-\(\frac { 9 }{ 8 } -\frac { 25 }{ 16 } -\frac { 37\times 15 }{ 128 } \)
=47.867 ≅48

P(x,y) என்ற ஏதேனும் ஒரு புள்ளியில் வளைவரைக்கு வரையப்பட்ட செங்கோட்டின் சாய்வு=\(\frac { dx }{ dy } \)
Q, (1,0) என்க.
∴ செங்கோடு PQ -ன் சாய்வு =\(\frac { { y }_{ 2 }-{ y }_{ 1 } }{ { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } } \)
அதாவது, \(\frac { y-0 }{ x-1 } =\frac { y }{ x-1 } \)
∴ \(-\frac { dx }{ dy } =\frac { y }{ x-1 } \Rightarrow \frac { dx }{ dy } =\frac { y }{ 1-x } \)
அதாவது, (1-x)dx=ydy
\(\int { (1-x) } dx=\int { y } dy+c\)
\(x-\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } =\frac { { y }^{ 2 } }{ 2 } +c\)          .....(1)
இது (1, 2) வழிச் செல்கிறது.
\(1-\frac { 1 }{ 2 } =\frac { 4 }{ 2 } +c\)
c =\(\frac { 1 }{ 2 } -2=\frac { 3 }{ 2 } \)
c =\(-\frac { 3 }{ 2 } \)  என (1) -ல் பிரதியிட,
\(x-\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } =\frac { { y }^{ 2 } }{ 2 } -\frac { 3 }{ 2 } \)
2x-x²=y²-3
⇒ y²=2x-x²+3 என்பது வளைவரையின் சமன்பாடாகும்.

\(\int _{ 1 }^{ e }{ \log x } dx\)=\(\int _{ 1 }^{ e }{ u } dv\) =\(\left[ uv \right] _{ 1 }^{ e }-\int _{ 1 }^{ e }{ vdu } \)
=\(\left[ x\log x \right] _{ 1 }^{ e }-\int _{ 1 }^{ e }{ x\frac { 1 }{ x } } dx\)
=(elog e-1log1)-\(\left[ x \right] _{ 1 }^{ e }\)
=(e-0)-(e-1)
=1

u=logx வகையிட, du=\(\frac{1}{x}\)dx

dv=dx தொகையிட v=x

சமன்பாடுகள் 
 x + 2y + z = 7,
2x − y + 2z = 4,
x + y − 2z = −1
\(\Delta =\begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & -2 \end{vmatrix}\)
=1(2-2)-2(-4-2)+1(2+1)
=12+3 =15 \(\neq \) 0
∴ கிரேமரின் விதியைப் பயன்படுத்தலாம் .
\({ \Delta }_{ x }=\begin{vmatrix} 7 & 2 & 1 \\ 4 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & -2 \end{vmatrix}\)
  = 7(2-2)-2(-8+2)+1(4-1)
 = 12+3 =15
\({ \Delta }_{ y }=\begin{vmatrix} 1 & 7 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 1 & -1 & -2 \end{vmatrix}\)
   = 1 (-8+2)-7(-4-2)+1(-2-4)
   = -6+42-6 =30
\({ \Delta }_{ z }=\begin{vmatrix} 1 & 2 & 7 \\ 2 & -1 & 4 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix}\)
= 1(1- 4) - 2 (- 2 - 4) + 7 (2 + 1)
 = - 3 + 12 + 21 = 30
\(x=\frac { { \Delta }_{ x } }{ { \Delta } } =\frac { 15 }{ 15 } =1\\ y=\frac { { \Delta }_{ y } }{ { \Delta } } =\frac { 30 }{ 15 } =2\\ z=\frac { { \Delta }_{ z } }{ { \Delta } } =\frac { 30 }{ 15 } =2\)
ஃ  தீர்வு x =1,y =2,z =2.

(i ) மாறுதல் நிகழ்தகவு அணி 
              S    M 
T =\(\underset { { { M } } }{ S } \begin{pmatrix} .7 & .3 \\ .3 & .7 \end{pmatrix}\)
தொடக்க நிலை =(.6 .4)
ஓராண்டிற்கு பிறகு 
 (.6  .4) \(\begin{pmatrix} .7 & .3 \\ .3 & .7 \end{pmatrix}\) = (.42+.12   .18+.28)
= (.54  .46)
ஓராண்டிற்குப் பிறகு 54% பேர் புதிய போக்குவரத்து வசதியையும் , 46% பேர் மெட்ரோ ரயிலையும் பயன்படுத்துவர் .
(ii) சமநிலையில் ,
(S   M ) \(\begin{pmatrix} .7 & .3 \\ .3 & .7 \end{pmatrix}\) = (S   M )
(.7S  +.3M .3S + .7M ) = (S   M )
(.7S  +.3M) = S  [இதில் S +M =1,M =1-S]
.7S +.3(1-S )=S 
.7S +.3- 3S = S
0.3 = S -.4S 
0.3 = 0.6S 
  S  =3/6 =1/2 =0.5 மற்றும் M =1-0.5 =0.5
\(\therefore \) காலப்போக்கில் 50% பேர் புதிய போக்குவரத்து வசதியைப் பயன்படுத்துவர் .   

P = a + bl + cm என்பது உற்பத்தி சமன்பாடு ஆகும்.
கொடுக்கப்பட்ட மதிப்புகளிலிருந்து
6,950 = a + 40b + 10c
6,725 = a + 35b + 9c
7,100 = a + 40b + 12c
தரப்பட்ட சமன்பாட்டு தொகுப்புக்குரிய அணிச் சமன்பாடானது
\(\left( \begin{matrix} 1 & 40 & 10 \\ 1 & 35 & 9 \\ 1 & 40 & 12 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} 6950 \\ 6725 \\ 7100 \end{matrix} \right) \)
A X =B

விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணி [A,B]	அடிப்படை உருமாற்றங்கள்
\(\left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 40 \\ 35 \\ 40 \end{matrix}\begin{matrix} 10 \\ 9 \\ 12 \end{matrix}\begin{matrix} 6950 \\ 6725 \\ 7100 \end{matrix} \right) \)
~\(\left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 40 \\ -5 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 10 \\ -1 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} 6950 \\ -225 \\ 150 \end{matrix} \right) \)	R2 ⟶ R2 - 3R1 R3 ⟶ R3 - 2R1
ρ(A)=3, ρ([A,B])= 3

∴ தரப்பட்ட சமன்பாட்டு தொகுப்புக்குரிய சமானமான அணிச் சமன்பாடு
\(\left( \begin{matrix} 1 & 40 & 10 \\ 0 & -5 & -1 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} 6950 \\ -225 \\ 150 \end{matrix} \right) \)
a+40b+10c=6950    (1)
-5b-c=-225          (2)
2c=150        (3)
c=75
இப்பொழுது,(2) ⇒ -5b-75=-225
b=30
மற்றும் (1) ⇒ a+1200+750=6950
a=5000
a=5000, b=30, c=75
∴ உற்பத்தி சமன்பாடு P=5000+30l+75m
l=50, m=15 இல் P=5000+30(50)+75(15)
=7625
∴ உற்பத்தி =7,625 அலகுகள்.

கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பிற்கான அணிச் சமன்பாடு 
\(\left( \begin{matrix}3 & 1 & λ\\ 2&1&1\\ 1& 2& -λ\end{matrix} \right) \)\(\left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) \)=\(\left( \begin{matrix} 1\\2\\ -1\end{matrix} \right) \)
  AX =B 
சமன்பாட்டுத் தொகுப்பானது ஒருங்கமைவுடையது மற்றும் ஒரேயொரு  தீர்வு இல்லாமலிருப்பதால்,
ρ(A,B ) = ρ(A) < 3 எனவே  |A | =0
\(\begin{vmatrix} 3 & -1 & \lambda \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -\lambda \end{vmatrix}\) = 0
3(-\(\lambda \)-2) + 1 (-2\(\lambda \)-1)+\(\lambda \)(4-1) = 0
-3\(\lambda \) - 6 - 2\(\lambda \)-1+3\(\lambda \) = 0
-2\(\lambda \) =7
\(\lambda \)=\(\frac { -7 }{ 2 } \)

\(\Delta \mathrm{f}(x) =\mathrm{f}(x+\mathrm{h})-\mathrm{f}(x)=\mathrm{f}(x+1)-\mathrm{f}(x) \quad[\because \mathrm{h}=1] \)
\( =(x+1)^2+2(x+1)+2-x^2-2 x-2 \)
\( =x^2+2 x+1+2 x+2+2-x^2-2 x-2 =2 x+3 \)

y = vx மற்றும் \(\frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x}\) என கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டில் பிரதியிட,
\(v+x \frac{d v}{d x}  =v+\frac{f(v)}{f^{\prime}(v)} \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{f(v)}{f^{\prime}(v)} \)
\(\int \frac{f^{\prime}(v)}{f(v)} d v  =\int \frac{d x}{x} \)
\(\log f(v)  =\log x+\log \mathrm{k} \Rightarrow f\left(\frac{y}{x}\right)=\mathrm{k} x\)

\(\frac{d x}{d y} =-\mathrm{p} x \Rightarrow \int \frac{d x}{x}=-\mathrm{p} \int d y \)
\(\log x =-\mathrm{py}+\log \mathrm{c} \)
\(\log \frac{x}{c} =-\mathrm{py} \Rightarrow x=\mathrm{ce}^{-\mathrm{p}} \)

கொடுக்கப்பட்டது : \(\int { \frac { dp }{ p } } =k\int { \frac { dx }{ x } } \) ...(1) 
நமக்கு தெரிந்தது, \(-\int { \frac { dp }{ p } } =\frac { 1 }{ { \eta }_{ d } } \int { \frac { dx }{ x } } \) ...(2)
(1) மற்றும் (2) ஐ ஒப்பிட k = \(\frac { -1 }{ { \eta }_{ d } } \)

மீப்பெரு இலாபத்திற்கு,
\(\mathrm{MR}-\mathrm{MC}=0 \)
\(36 x-3 x^2-81=0 \)
\(3 x^2-36 x+81=0 \)
\(x^2-12 x+27=0 \)
(x-3)(x-9)=0
x=9

\(\mathrm{D}(x) =\mathrm{S}(x) \)
\(20-5 x =4 x+8 \)
\(12 =9 x \Rightarrow x=\frac{4}{3} \)
\(\mathrm{D} =20-\frac{20}{3}=\frac{40}{3} \)

\(\int _{ 0 }^{ 1 }{ \sqrt { { x }^{ 4 }(1-x)^{ 2 } } }\)dx = \(\int _{ 0 }^{ 1 }{ \sqrt { { x }^{ 2 }(1-x)^{ 2 } } }\)
\(=\int _{ 0 }^{ 1 }{ \sqrt { { x }^{ 2 }-x^{ 3 } } }dx = \left[\frac{x^{3}}{3} \frac{x^4}{4}\right]^1_0\)
\(= \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{4-3}{12} = \frac{1}{12}\)

\(∵ \int \frac {f '(x)}{f (x )} dx = \log |f (x )|+c \)
இங்கு f (x ) = e^x + 1 ; f'(x ) = e^x 
∴ \(\int { \frac { { e }^{ x } }{ { e }^{ x }+1 } } \)dx = log|e^x+1|+c

\(\\ \int { \frac { sin5x-sinx }{ cos3x } } \)dx = \(\int { \frac { 2\sin \frac {5x-x }{2}\cos \frac {5x+x }{2} }{ \cos3x } } \)
=2 ∫sin 2x dx = \(2\left [\frac {−\cos 2x}{2} \right] +c \)
= −cos2x + c 

\(\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \\ 3 & 2 & k \end{matrix} \right| \) ≠0 
1(k + 2)-1(2k +3)+ 1(4-3) ≠ 0
k+ 2-2k-3+ 1 ≠ 0
-k ≠ 0 ⇒ k ≠ 0

3 x 3 வரிசையுடைய அணியின் தரம் 2 என்பதால், அதன் அணிக்கோவை மதிப்பு பூஜ்ஜியம் ஆகும்.
i.e.) λ(λ² - 0) + 1 (0 - 1) + 0 = 0
λ² - 1 = 0 ⇒ λ = 1

A = \(\left( \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 9 \end{matrix} \right) \)
~ \(\left( \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & 8 \end{matrix} \right)R_2 \rightarrow R_2 - R_1\\ \quad \quad \quad \quad \quad R_3\rightarrow R_3 -R_1 \)
 

~ \(\left( \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix} \right)R_3 \rightarrow R_3 - 3R_2\)
ρ(A)= 3

A ன் வரிசை 1 x 3
A^T - ன் வரிசை 3 x 1
A A^T - ன் வரிசை 1 x 1
∴ A A^T - ன் தரம் = 1

(9D²-12D+4)y=0
துணைச் சமன்பாடு:
(3m-2)²=0
(3m-2)(3m-2)=0 ⇒ m=\(\frac { 2 }{ 3 } ,\frac { 2 }{ 3 } \)
மூலங்கள் மெய் மற்றும் சமம்
நிரப்புச் சார்பு: C.F=(Ax+B)e^2/3x
பொதுத் தீர்வு: y=(Ax+B)e^2/3x

\(\int { \frac { dx }{ \sqrt { { x }^{ 2 }+6x+13 } } } \)
\(=\int { \frac { dx }{ \sqrt { { \left( x+3 \right) }^{ 2 }+13-9 } } } =\int { \frac { dx }{ \sqrt { { \left( x+3 \right) }^{ 2 }+{ { 2 }^{ 2 } } } } } \)
\(\left[ \because \int { \frac { dx }{ \sqrt { { x }^{ 2 }+{ a }^{ 2 } } } =\log { \left| x+\sqrt { { x }^{ 2 }+{ a }^{ 2 } } \right| } +c } \right] \)
\(=\log { \left| x+3+\sqrt { { x }^{ 2 }+6x+13 } \right| } +c\)

\(\int { \frac { dx }{ 16-x^{ 2 } } } \)=\(\int { \frac { dx }{ { 4 }^{ 2 }-{ x }^{ 2 } } } \)
=\(\frac { 1 }{ 2(4) } log\left| \frac { 4+x }{ 4-x } \right| \)+c
=\(\frac { 1 }{ 8 } log\left| \frac { 4+x }{ 4-x } \right| \)+c

\(\int { cos^{ 3 }xdx } =\frac { 1 }{ 4 } \int { cos3xdx+\frac { 3 }{ 4 } } \int { cosxdx } \)
\(=\frac { sin3x }{ 12 } +\frac { 3sin\quad x }{ 4 } +c\)
எளியச் சார்புகளாக பிரித்தெழுத
cos³x = 4cos³ x − 3cos x 
\({ cos }^{ 3 }x=\frac { 1 }{ 4 } [cos3x+3cosx]\)
\(=\frac { 1 }{ 4 } \int { \cos3x+\frac { 3 }{ 4 } } \int { \cos x } \)

\(\int \left( \sqrt { 2x } -\frac { 1 }{ \sqrt { 2x } } \right) ^{ 2 }dx=\int \left( 2x^{ 2 }+\frac { 1 }{ 2x } -2 \right) dx\)
\(=\frac { 2x^{ 2 } }{ 2 } +\frac { 1 }{ 2 } \log |x|-2x+c\)
\(=x^{ 2 }+\frac { 1 }{ 2 } \log |x|-2x+c\)