சமவாய்ப்பு மாறியின் எதிர்பார்த்தல்.
\(E\left( X \right) =\int _{ -\infty }^{ \infty }{ xf(x)dx } \)
= \(\int _{ 100 }^{ \infty }{ { xe }^{ \frac { x }{ 100 } }dx } \)
= \(\left\{ \left[ \left( \frac { { e }^{ \frac { x }{ 100 } } }{ -\frac { 1 }{ 100 } } \right) \right] _{ 100 }^{ \infty }-\int _{ 100 }^{ \infty }{ \left( \frac { { e }^{ \frac { x }{ 100 } } }{ -\frac { 1 }{ 100 } } \right) } dx \right\} \left( \therefore \int { udv=uv-\int { vdu } } \right) \)
= \(\left[ \left( 1000 \right) \left( { e }^{ -1 } \right) +\left( 1000 \right) \left( { e }^{ -1 } \right) \right] \)
= \(\left[ \left( 1000 \right) \left( 0.3679 \right) +\left( 1000 \right) \left( 0.3679 \right) \right] \)
= 7358 மணிகள்
எனவே, வானொலி குழலின்  சராசரி வாழ்நாள் 7,358 மணிகள் ஆகும்.

ஒரு நாணயம் சுண்டும் போது அமையும் சமவாய்ப்புகள்  (கூறுவெளி) \(\mathrm{S}={\mathrm{H}, \mathrm{T}}\) 
X என்பது சமவாய்ப்பு மாறியில் ஒருவர் வெற்றி பெறும் தொகை என்க.
\(\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & 4 & -2 \\ \hline \mathbf{P}(\mathbf{X}=\boldsymbol{x}) & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \hline \end{array}\)
\(E(X)  =\sum_x x P_X(x) \)
\(=4\left(\frac{1}{2}\right)-2\left(\frac{1}{2}\right)=2-1=1\)
எதிர்பார்த்தல் = 1
\(E\left(X^2\right)  =\sum_x x^2 P_X(x) \)
\(=16\left(\frac{1}{2}\right)+4\left(\frac{1}{2}\right)=8+2=10 \)
\(\operatorname{Var}(X)  =E\left(X^2\right)-[E(X)]^2=10-1=9\)
மாறுபாடு  = 9

கூறுவெளி (S) ={ (HHH), (HHT), (HTH), (HTT),(THH),(THT),(TTH),(TTT)}
X ஏற்கும் மதிப்புகள் : 3, 2, 2, 1, 2, 1, 1 மற்றும் 0

இவ்வாறாக,

மேலே திருப்பப்பட்ட முகங்களில் உள்ள தலைகளின் எண்ணிக்கையைக் கணக்கிடும் சமவாய்ப்பு மாறியை X என்க. இதன் வெளிப்பாடுகள் கீழே குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது.

இதன் மதிப்பீடுகள் பின்வரும் நிகழ்தகவு அட்டவணை -இல் தரப்பட்டுள்ளன.

(i) \(p\left( { x }_{ i } \right) \ge \forall i\) மற்றும் (ii) \(\sum _{ i=0 }^{ 3 }{ p\left( { x }_{ i } \right) =1 } \)
எனவே , p(x_i) ஒரு நிகழ்தகவு நிறை சார்பாகும்.

(i) P(X< 3) = P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)
= \(0+\cfrac { 1 }{ 20 } +\cfrac { 2 }{ 20 } \)
= \(\cfrac { 3 }{ 20 } \)
(ii) P(2< X≤4) = P(X=3)+P(X=4)
= \(\cfrac { 3 }{ 20 } +\cfrac { 4 }{ 20 } \)
= \(\cfrac { 7 }{ 20 } \)

உருட்டப்பட்ட ஒரு நடுநிலையான ஆறு முகங்கள் உள்ள பகடையின் (மேல்பக்கம்) சமவாய்ப்பு மாறி X இன் நிகழ்தகவு நிறை சார்பு
\({ P }_{ X }\left( x \right) =\cfrac { 1 }{ 6 } \), x = 1,2,3,4,5 மற்றும் 6 எனில்
உருட்டப்பட்டதின் சராசரி, அதாவது X -இன் எதிர்பார்த்தல்:
\(E\left( X \right) =\underset { x }{ \Sigma } x{ P }_{ X }\left( x \right) \)
\(E\left( X \right) =\left( 1\times \cfrac { 1 }{ 6 } \right) +\left( 2\times \cfrac { 1 }{ 6 } \right) +\left( 3\times \cfrac { 1 }{ 6 } \right) +\left( 4\times \cfrac { 1 }{ 6 } \right) +\left( 5\times \cfrac { 1 }{ 6 } \right) +\left( 6\times \cfrac { 1 }{ 6 } \right) \)
=\(\cfrac { 1 }{ 6 } \left( 1+2+3+4+5+6 \right) \)
=\(\cfrac { 7 }{ 2 } \)
=3.5
எனவே ஒரு நடுநிலையான ஆறு பக்கமுள்ள பகடையின் எதிர்பார்த்தல் 3.5 ஆகும்.

நேர்காணல் குழுவில் உள்ள பெண்களின் எதிர்பார்ப்பு எண்ணிக்கை
\(E\left( X \right) =\underset { x }{ \Sigma } x{ P }_{ x }\left( x \right) \)
= \(\left[ \left( 0\times \cfrac { 2 }{ 11 } \right) +\left( 1\times \cfrac { 5 }{ 11 } \right) +\left( 2\times \cfrac { 4 }{ 11 } \right) \right] \)
= \(\cfrac { 13 }{ 11 } \) (தோராயமாக ஒரு பெண்)

சாத்தியமான மதிப்புகளால்‌ வரையறுக்கப்பட்ட எண்களை ஏற்றுக்கொள்ளக்‌ கூடிய ஒரு மாறி அல்லது ஒரு எண்ணத்தக்க மெய்யெண்களின்‌ முடிவிலாத்‌ தொடரானது தனித்த சமவாய்ப்பு மாறி என வரையறுக்கப்படுகிறது.

\(F\left( x \right) =\int _{ -\infty }^{ x }{ f\left( t \right) } dt\)
= \(\int _{ 100 }^{ x }{ \cfrac { 100 }{ { t }^{ 2 } } dt,x\ge 100 } \)
= \(\left[ \cfrac { 100 }{ -t } \right] ^{ x }_{ 100 },x\ge 100\)
\(F\left( x \right) =\left[ 1-\cfrac { 100 }{ x } \right] x\ge 100\)
 

\(P(|X| \leq 2)  =P(-2 \leq X \leq 2) \)
\( =P(X=-2)+P(X=0) \)
\( =\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2} \)

\(\int _{ -\infty }^{ \infty }{ f(x) } dx=1\) என்பது நமக்குத் தெரியும் 
\(\int _{ -\infty }^{ \infty }{ ke^{ -|x| } } dx=1\)
\(k\int _{ -\infty }^{ \infty }{ e^{ -|x| } } dx=1\)
\(2k\int _{ -\infty }^{ \infty }{ e^{ -|x| } } dx=1\) ( ∴ e^{−| x |} ஒரு இரட்டை சார்பு))
\(2k\left[ \cfrac { { e }^{ -x } }{ -1 } \right] _{ 0 }^{ \infty }=1\) 
\(\therefore k = \frac {1}{2}\)
சமவாய்ப்பு மாறியின் சராசரி:
\(E(X)=\int _{ -\infty }^{ \infty }{ xf(x)dx } \)
\(E(X)=\int _{ -\infty }^{ \infty }{ xke^{ -|x| }dx } \)
= \(\cfrac { 1 }{ 2 } \int _{ -\infty }^{ \infty }{ xe^{ |x| }dx } \)
 ( ∵ xe^{−| x |} ஒரு ஒற்றைச் சார்பு))
= 0
\(E\left( { X }^{ 2 } \right) =\int _{ -\infty }^{ \infty }{ f(x)dx } \)
= \(\int _{ -\infty }^{ \infty }{ { x }^{ 2 }ke^{ -|x| }dx } \)
= \(\cfrac { 1 }{ 2 } \int _{ -\infty }^{ \infty }{ { x }^{ 2 }{ e }^{ |x| }dx } \)
= \(\int _{ 0 }^{ \infty }{ { x }^{ 2 }{ e }^{ -x }dx } \)
 ( ∵ x²e^{−| x |} ஒரு இரட்டைச் சார்பு))​​​​​​​
= \(\Gamma (3)\) \(\left( \because \Gamma (\alpha )=\int _{ 0 }^{ \infty }{ { e }^{ -x }dx,\alpha >0;\Gamma } \left( n-1 \right) ! \right) \)
= 2
\(V(X)=E\left( { X }^{ 2 } \right) -\left[ E\left( X \right) \right] \)
= 2-[0]²
= 2

(a) \(\int_{-\infty}^{\infty} f(x) d x =1 \Rightarrow \int_0^{\infty} A e^{-\frac{x}{5}} d x=1 \)
\(A\left[\frac{e^{-\frac{x}{5}}}{-\frac{1}{5}}\right]_0^{\infty} =1 \Rightarrow-5 A\left[e^{-\infty}-e^0\right]=1 \)
\(-5 \mathrm{~A}(0-1) =1 \Rightarrow \mathrm{A}=\frac{1}{5} \)
(b)  (i) தொலைபேசியில் 10 நிமிடங்களுக்கு மேல் பேசும் நிமிடங்களின் எண்ணிக்கை நிகழ்தகவு 
\(P(X>10) =\int_{10}^{\infty} A e^{-\frac{x}{5}} d x \)
\(=A\left[\frac{e^{-\frac{x}{5}}}{-\frac{1}{5}}\right]_{10}^{\infty}=\frac{1}{5}\left[\frac{e^{-\infty}-e^{-\frac{10}{5}}}{-\frac{1}{5}}\right] =-\left(0-e^{-2}\right)=e^{-2}=\frac{1}{e^2} \)
(ii) தொலைபேசியில் 5 நிமிடங்களுக்கு குறைவாக பேசும் நிமிடங்களின் எண்ணிக்கை நிகழ்தகவு 
\(\mathrm{P}(\mathrm{X}<5) =A \int_0^5 e^{-\frac{x}{5}} d x \)
\( =\frac{1}{5}\left[\frac{e^{-\frac{x}{5}}}{-\frac{1}{5}}\right]_0^5=-\left[\mathrm{e}^{-1}-\mathrm{e}^0\right] =1-\frac{1}{e}=\frac{e-1}{e} \)
(iii) 5 மற்றும் 10 நிமிடங்கள் பேசும் நிமிடங்களில் எண்ணிக்கைகளின் நிகழ்தகவு
\(P(5 \leq X \leq 10)=A \int_5^{10} e^{-\frac{x}{5}} d x=\frac{1}{5}\left[\frac{e^{-\frac{x}{5}}}{-\frac{1}{5}}\right]_5^{10}\)
\( =-\left[\mathrm{e}^{-2}-\mathrm{e}^{-1}\right]=\mathrm{e}^{-1}-\mathrm{e}^{-2} =\frac{1}{e}-\frac{1}{e^2}=\frac{e-1}{e^2} \)

நிரூபிக்க: \(\int_{-\infty}^\infty f(x) d x=1\)
அதாவது \(\int_{-3}^3 f(x) d x=1\)
\(\text { LHS }=  \int_{-3}^3 f(x) d x \)
\(= \int_{-3}^{-1} \frac{1}{16}(3+x)^2 d x+\int_{-1}^1 \frac{1}{16}\left(6-2 x^2\right) d x +\int_1^3 \frac{1}{16}(3-x)^2 d x \)
\(=  \frac{1}{16}\left[\frac{(3+x)^3}{3}\right]_{-3}^{-1}+\frac{1}{16}\left[6 x-\frac{2 x^3}{3}\right]_{-1}^1+ \frac{1}{16}\left[\frac{(3-x)^3}{-3}\right]_{3}^{1} \)
\(=  \frac{1}{48}\left[2^3-0\right]+\frac{1}{16}\left[6-\frac{2}{3}-\left(-6+\frac{2}{3}\right)\right] - \frac{1}{48}\left[0 -2^3\right] \)
\(=  \frac{8}{48}+\frac{1}{16}\left[6-\frac{2}{3}+6-\frac{2}{3}\right]+\frac{8}{48}\)
\( =\frac{16}{48}+\frac{1}{16}\left[12-\frac{4}{3}\right] \)
\( =\frac{1}{3}+\frac{1}{16}\left[\frac{32}{3}\right]=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}=\frac{3}{3}=1=\text { RHS } \) எனவே நிறுவப்பட்டது 

\(\int _{ -\infty }^{ \infty }{ f(x)dx=1 } \) என்பது நமக்குத் தெரியும்.
\(\int _{ 0 }^{ 10 }{ Axdx+\int _{ 10 }^{ 20 }{ A(20-x)dx=1 } } \)
\(A\left\{ \left[ \frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } \right] _{ 0 }^{ 10 }+\left[ 20x-\cfrac { { x }^{ 2 } }{ 2 } \right] _{ 10 }^{ 20 } \right\} =1\)
A[(50−0)+(400−200)−(200 − 50)]=1
\(A=\cfrac { 1 }{ 100 } \)
(b) (i) மறுநாளைக்கு விற்கப்படவிருக்கும் ரொட்டிகளின் எண்ணிக்கை 10 பவுண்டுகளுக்கு அதிகமாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு:
\(P\left( 10\le X\le 20 \right) =\int _{ 10 }^{ 20 }{ \cfrac { 1 }{ 100 } \left( 20-x \right) dx } \)
= \(\cfrac { 1 }{ 100 } \left[ 20x-\cfrac { { x }^{ 2 } }{ 2 } \right] _{ 10 }^{ 20 }\)
= \(\cfrac { 1 }{ 100 } \left[ \left( 400-200 \right) -\left( 200-50 \right) \right] \)
= 0.5
(ii)  மறுநாளைக்கு விற்கப்படவிருக்கும் ரொட்டிகளின் எண்ணிக்கை 10 பவுண்டுகளுக்கு குறைவாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு
\(P\left( 0\le X<10 \right) =\int _{ 0 }^{ 10 }{ \cfrac { 1 }{ 100 } xdx } \)
= \(\cfrac { 1 }{ 100 } \left[ { \cfrac { { x }^{ 2 } }{ 2 } } \right] _{ 0 }^{ 10 }\)
= \(\cfrac { 1 }{ 100 } \left( 50-0 \right) \)
= 0.5
(iii) மறுநாளைக்கு விற்கப்படவிருக்கும் ரொட்டிகளின் எண்ணிக்கை 5 மற்றும் 15 பவுண்டுகளுக்கு இடையில் இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு
\(P\left( 5\le X\le 15 \right) =\int _{ 5 }^{ 10 }{ \cfrac { 1 }{ 100 } xdx } +\int _{ 10 }^{ 15 }{ \cfrac { 1 }{ 100 } \left( 20-x \right) } dx\)
= \(\cfrac { 1 }{ 100 } \left[ \cfrac { { x }^{ 2 } }{ 2 } \right] _{ 5 }^{ 10 }+\cfrac { 1 }{ 100 } \left[ 20x-\cfrac { { x }^{ 2 } }{ 2 } \right] _{ 10 }^{ 15 }\)
= 0.75