\(\mathrm{E}(\mathrm{X}) =\sum_x x P_x(x) \)
=0+0.1+0.8+0.9=1.8
∴∴ எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பு 1.8

சாத்தியமான மதிப்புகளால்‌ வரையறுக்கப்பட்ட எண்களை ஏற்றுக்கொள்ளக்‌ கூடிய ஒரு மாறி தனித்த சம வாய்ப்பு மாறியாகும்‌.
ஓர்‌ இடைவெளியில்‌ உள்ள அனைத்து மதிப்புகளையும்‌ (முழுக்களாகவோ, பின்னங்களாகவோ) ஏற்கும்‌ ஒரு சமவாய்ப்பு மாறி X ஆனது தொடர்ச்சியான சமவாய்ப்பு மாறியாகும்‌.

சாத்தியமான மதிப்புகளால்‌ வரையறுக்கப்பட்ட எண்களை ஏற்றுக்கொள்ளக்‌ கூடிய ஒரு மாறி அல்லது ஒரு எண்ணத்தக்க மெய்யெண்களின்‌ முடிவிலாத்‌ தொடரானது தனித்த சமவாய்ப்பு மாறி என வரையறுக்கப்படுகிறது.

ஒரு சமவாய்ப்பு மாறி X என்பது S என்ற கூறுவெளியின்‌ மீது வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு மெய்‌ மதிப்பீட்டுச்‌ “சார்பு என வரையறுக்கப்படுகிறது. மேலும்‌ இது (-∞, ∞) இல்‌ மதிப்புகளைப்‌ பெற்றிருக்கும்‌ அல்லது இது ஒரு சமவாய்ப்பு சோதனையின்‌ சாத்தியமுள்ள மதிப்புகளின்‌ எண்‌ வெளிப்பாடுகள்‌ எனவும்‌ கூறலாம்‌.

இது நிகழ்தகவு நிறை சார்பு என்பதால் 
\(\sum_{i=1}^{\infty} p\left(x_i\right) =1 \)
\(\mathrm{p}(1)+\mathrm{p}(2)+\mathrm{p}(3)+\mathrm{p}(4) =1 \)
\(\mathrm{k}+2 \mathrm{k}+3 \mathrm{k}+4 \mathrm{k} =1 \)
\(10 \mathrm{k} =1 \)
\(\mathrm{k}=\frac{1}{10} =0.1 \) எனவே நிறுவப்பட்டது.

X -இன் திரள் பரவல் சார்பு 
\(\begin{array}{|c|c|c|} \hline \mathbf{X}=\boldsymbol{x} & \mathbf{p}(\boldsymbol{x}) & \mathbf{F}_{\boldsymbol{x}}(\boldsymbol{x})=\mathbf{P}(\mathbf{X} \leq \boldsymbol{x}) \\ \hline 0 & 0.3 & 0.3 \\ \hline 1 & 0.2 & 0.3+0.2=0.5 \\ \hline 2 & 0.4 & 0.5+0.4=0.9 \\ \hline 3 & 0.1 & 0.9+0.1=1 \\ \hline \end{array}\)

\(F\left( x \right) =\int _{ -\infty }^{ x }{ f\left( t \right) } dt\)
= \(\int _{ 100 }^{ x }{ \cfrac { 100 }{ { t }^{ 2 } } dt,x\ge 100 } \)
= \(\left[ \cfrac { 100 }{ -t } \right] ^{ x }_{ 100 },x\ge 100\)
\(F\left( x \right) =\left[ 1-\cfrac { 100 }{ x } \right] x\ge 100\)
 

மகிழுந்துகளின் எண்ணிக்கை X என்க

X-xi	குடும்பங்களின் எண்ணிக்கை	p(xi)
0	30	0.03
1	320	0.32
2	380	0.38
3	190	0.19
4	80	0.08
மொத்தம்	1000	1.00

(i) \(p(x_{ i })\ge \forall \) மற்றும்
(ii) \(\sum _{ i=1 }^{ \infty }{ p({ x }_{ i })=p(0)+p(1)+p(2)+p(3)+p(4) } \)
= 0.03+0.32+0.38+0.19+0.08 = 1
எனவே , p(x_i)ஒரு நிகழ்தகவு நிறை சார்பு ஆகும்.

நீலபந்து பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு : \(P=\frac { 1 }{ 4 } =0.25\)
மொத்த சோதனைகள் ; N =30
சோதனைகளின் மதிப்பு = சோதனைகளின் எண்ணிக்கை X நிகழ்தகவு
= N x p 
= 30 x 0.25 = 7.50
எனவே, நீலப்பந்தைப் பெறுவதற்கான எதிர்பார்க்கத்தக்க மதிப்பு தோராயமாக 8 ஆகும்.

கொடுக்கப்பட்ட நிகழ்தகவு பரவல் p(x) இன் மதிப்புகளிலிருந்து நாம் பெறுவது 
\(\mathrm{F}(3) =P(X \leq 3)=\mathrm{p}(3)=0.3 \)
\(\mathrm{F}(5) =P(X \leq 5)=\mathrm{p}(3)+\mathrm{p}(5) \)
\( =0.3+0.2=0.5 \)
\(\mathrm{F}(8) =P(X \leq 8)=\mathrm{p}(3)+\mathrm{p}(5)+\mathrm{p}(8)\)
\(=\mathrm{F}(5)+\mathrm{p}(8)=0.5+0.3=0.8 =0.8+0.2=1 \)
\(\mathrm{F}(10) =\mathrm{P}(X \leq 10)=\mathrm{F}(8)+\mathrm{p}(10) \)
\(\mathrm{F}_x(x) =\left\{\begin{aligned} 0, & x<3 \\ 0.3, & 3 \leq x<5 \\ 0.5, & 5 \leq x<8 \\ 0.8, & 8 \leq x<10 \\ 1, & x \geq 10 \end{aligned}\right. \)

\(\int _{ -\infty }^{ \infty }{ f(x)dx=1 } \) என்பதை நாம் அறிவோம்.
\(\int _{ 0 }^{ 1 }{ axdx=1\Rightarrow a\int _{ 0 }^{ 1 }{ xdx } } =1\)
\(\Rightarrow a\left( \cfrac { { x }^{ 2 } }{ 2 } \right) _{ 0 }^{ 1 }=1\)
\(\Rightarrow \frac { a }{ 2 } \left( 1-0 \right) =1\)
\(\Rightarrow a=2\)
\(P\left[ x\le \cfrac { 1 }{ 2 } \right] =\int _{ -\infty }^{ \frac { 1 }{ 2 } }{ f(x)dx } \)
= \(\int _{ 0 }^{ \frac { 1 }{ 2 } }{ axdx } \)
= \(\int _{ 0 }^{ \frac { 1 }{ 2 } }{ 2xdx } \)
= \(\cfrac { 1 }{ 4 } \)

கூறுவெளி (S) ={ (HHH), (HHT), (HTH), (HTT),(THH),(THT),(TTH),(TTT)}
X ஏற்கும் மதிப்புகள் : 3, 2, 2, 1, 2, 1, 1 மற்றும் 0

X-இன் வீச்சு(RX)	0	1	2	3
PX(x)	\(\cfrac { 1 }{ 8 } \)	\(\cfrac { 3 }{ 8 } \)	\(\cfrac { 3 }{ 8 } \)	\(\cfrac { 1 }{ 8 } \)
FX(x)	\(\cfrac { 1 }{ 8 } \)	\(\cfrac { 4 }{ 8 } \)	\(\cfrac { 7 }{ 8 } \)	1

இவ்வாறாக,

\(E\left( X \right) =\underset { x }{ \Sigma } x{ P }_{ X }\left( x \right) \)
= (0 × 0.2) + (1 × 0.1) + (2 × 0.4) + (3 × 0.3)
= 1.8
\(E\left( X^{ 2 } \right) =\underset { x }{ \Sigma } x^{ 2 }{ P }_{ X }\left( x \right) \)
=(0² × 0.2) + (1² × 0.1) + (2² × 0.4) + (3² × 0.3)
= 4.4
E(X + 2X²) = 3E(X) + 2E(X²)
= (3 × 1.8) + (2 × 4.4)
= 14.2

(a) ஆம், பரவல் சார்பு தொடர்ச்சியாக இருக்கும்.
\(\mathrm{f}(x)=F^{\prime}(x)= \begin{cases}0, & x<0 \\ \frac{1}{2}, & 0 \leq x<1 \\ 0, & 1 \leq x<2 \\ \frac{1}{4}, & 2 \leq x<4 \\ 0, & x \geq 4\end{cases}\)
(b) (i) 3 நிமிடங்களுக்கு மேல் காத்திருக்க வேண்டிய நிகழ்தகவு 
\(\mathrm{P}(\mathrm{X}>3)=1-P(X \leq 3)=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}\)
(ii) 3 நிமிடங்களுக்கு குறைவாக காத்திருக்க வேண்டிய நிகழ்தகவு
\(P(X<3)=F(3)=\frac{3}{4}\)
(iii) 1 முதல் 3 நிமிடங்கள் வரை காத்திருக்க வேண்டிய நிகழ்தகவு
\(P(1 \leq X \leq 3) =\mathrm{F}(3)-\mathrm{F}(1) =\frac{3}{4}-\frac{1}{2}=\frac{3-2}{4}=\frac{1}{4}\)

இது நிகழ்தகவு நிறை சார்பு என்பதால் 
\(\sum_{i=1}^{\infty} p\left(x_i\right) =1 \)
\(\sum_{i=0}^{7} p\left(x_i\right) =1 \)
⇒ 0+k+2k+2k+3k+k²+2k²+7k²+k = 1
⇒ 10k²+9k = 1
⇒10k²+9k-1 = 0
(k+1)(10k-1) = 0 ⇒k = -1
⇒ k = \(\frac{1}{10}\)
\([\because p(x_i) \ge 0 ]\)
ii) \(P(X<6) =1-P(X \geq 6) \)
\( =1-[P(X=6)+P(X=7)] \)
\( =1-\left(2 k^2+7 k^2+k\right) \)
\( =1-\left(9 k^2+k\right) \)
\( =1-\left(\frac{9}{100}+\frac{1}{10}\right)=1-\frac{9}{100}-\frac{1}{10} \)
\( =\frac{100-9-10}{100}=\frac{81}{100} \)
\(P(X \geq 6)=P(X=6)+P(X=7) \)
\( =2 k^2+7 k^2+k=9 k^2+k \)
\( =\frac{9}{100}+\frac{1}{10}=\frac{9+10}{100}=\frac{19}{100} \)
P(0X<5) = P(X = 1)+P(X = 2)+P(X = 3)+P(X = 4)
= k+2k+2k+3k
\(8k=\left( \frac { 8 }{ 10 } \right) =\frac { 4 }{ 5 } \)
iii) சோதனை மற்றும் பிழை முறைப்படி x இன் குறைந்தபட்ச மதிப்பு 
\( P(X \leq 0)=0<\frac{1}{2} ; P(X \leq 1)=\frac{1}{10}<\frac{1}{2} \)
\(P(X \leq 2)=\frac{3}{10}<\frac{1}{2} ; P(X \leq 3)=\frac{5}{10}=\frac{1}{2} \)
\(P(X\le 4 ) =\frac { 8 }{ 10 } =\frac { 4 }{ 5 } >\frac { 1 }{ 2 } \)
\(\therefore P(X\le x )\frac { 1 }{ 2 } \) - க்கான x இன் குறைந்தபட்ச மதிப்பு 4 ஆகும் 

(i) P[X≤a₁]=P[X>a₁] இதிலிருந்து
\(P\left[ X\le { a }_{ 1 } \right] =\cfrac { 1 }{ 2 } \)
\(\int _{ 0 }^{ { a }_{ 1 } }{ f(x)dx=\cfrac { 1 }{ 2 } } \)
\(\Rightarrow \int _{ 0 }^{ { { a } }_{ 1 } }{ { 5x }^{ 4 }dx=\cfrac { 1 }{ 2 } } \)
\(5\left[ \cfrac { { x }^{ 5 } }{ 5 } \right] _{ 0 }^{ { a }_{ 1 } }=\cfrac { 1 }{ 2 } \)
\({ a }_{ 1 }=\left( 0.5 \right) ^{ \frac { 1 }{ 5 } }\)
(ii) P[X>a₂] =0.05
\(\int _{ { a }_{ 2 } }^{ 1 }{ f\left( x \right) } dx=0.05\)
\(\int _{ { a }_{ 2 } }^{ 1 }{ { 5x }^{ 4 }dx } =0.05\)
\(5\left[ \frac { { x }^{ 5 } }{ 5 } \right] _{ { a }_{ 2 } }^{ 1 }=0.05\)
\({ a }_{ 2 }=\left[ 0.95 \right] { ^{ \frac { 1 }{ 5 } } }\)

\(\mathrm{E}[\mathrm{X}-\mathrm{E}(\mathrm{X})] =E(X-\bar{X})=\sum(x-\bar{x}) p_i\)
\(=\Sigma x_i p_i-\bar{x} \sum p_i \)
\(=\bar{x}-\bar{x}=0 \quad\left(\because \sum p_i=1\right) \)

E (X- Y) = E(X)-E(Y) = 5-(-2) = 7