\(F\left( x \right) =\int _{ -\infty }^{ x }{ f\left( t \right) } dt\)
= \(\int _{ 100 }^{ x }{ \cfrac { 100 }{ { t }^{ 2 } } dt,x\ge 100 } \)
= \(\left[ \cfrac { 100 }{ -t } \right] ^{ x }_{ 100 },x\ge 100\)
\(F\left( x \right) =\left[ 1-\cfrac { 100 }{ x } \right] x\ge 100\)
 

கூறுவெளி \((S)=\left\{\begin{array}{llllll} (1,1) & (1,2) & (1,3) & (1,4) & (1,5) & (1,6) \\ (2,1) & (2,2) & (2,3) & (2,4) & (2,5) & (2,6) \\ (3,1) & (3,2) & (3,3) & (3,4) & (3,5) & (3,6) \\ (4,1) & (4,2) & (4,3) & (4,4) & (4,5) & (4,6) \\ (5,1) & (5,2) & (5,3) & (5,4) & (5,5) & (5,6) \\ (6,1) & (6,2) & (6,3) & (6,4) & (6,5) & (6,6) \end{array}\right\}\)
மொத்த வெளிப்பாடு : n(S) = 35

மகிழுந்துகளின் எண்ணிக்கை X என்க

(i) \(p(x_{ i })\ge \forall \) மற்றும்
(ii) \(\sum _{ i=1 }^{ \infty }{ p({ x }_{ i })=p(0)+p(1)+p(2)+p(3)+p(4) } \)
= 0.03+0.32+0.38+0.19+0.08 = 1
எனவே , p(x_i)ஒரு நிகழ்தகவு நிறை சார்பு ஆகும்.

\(\int _{ -\infty }^{ \infty }{ f(x)dx=1 } \) என்பது நமக்குத் தெரியும்.
\(\int _{ 0 }^{ 10 }{ Axdx+\int _{ 10 }^{ 20 }{ A(20-x)dx=1 } } \)
\(A\left\{ \left[ \frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } \right] _{ 0 }^{ 10 }+\left[ 20x-\cfrac { { x }^{ 2 } }{ 2 } \right] _{ 10 }^{ 20 } \right\} =1\)
A[(50−0)+(400−200)−(200 − 50)]=1
\(A=\cfrac { 1 }{ 100 } \)
(b) (i) மறுநாளைக்கு விற்கப்படவிருக்கும் ரொட்டிகளின் எண்ணிக்கை 10 பவுண்டுகளுக்கு அதிகமாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு:
\(P\left( 10\le X\le 20 \right) =\int _{ 10 }^{ 20 }{ \cfrac { 1 }{ 100 } \left( 20-x \right) dx } \)
= \(\cfrac { 1 }{ 100 } \left[ 20x-\cfrac { { x }^{ 2 } }{ 2 } \right] _{ 10 }^{ 20 }\)
= \(\cfrac { 1 }{ 100 } \left[ \left( 400-200 \right) -\left( 200-50 \right) \right] \)
= 0.5
(ii)  மறுநாளைக்கு விற்கப்படவிருக்கும் ரொட்டிகளின் எண்ணிக்கை 10 பவுண்டுகளுக்கு குறைவாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு
\(P\left( 0\le X<10 \right) =\int _{ 0 }^{ 10 }{ \cfrac { 1 }{ 100 } xdx } \)
= \(\cfrac { 1 }{ 100 } \left[ { \cfrac { { x }^{ 2 } }{ 2 } } \right] _{ 0 }^{ 10 }\)
= \(\cfrac { 1 }{ 100 } \left( 50-0 \right) \)
= 0.5
(iii) மறுநாளைக்கு விற்கப்படவிருக்கும் ரொட்டிகளின் எண்ணிக்கை 5 மற்றும் 15 பவுண்டுகளுக்கு இடையில் இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு
\(P\left( 5\le X\le 15 \right) =\int _{ 5 }^{ 10 }{ \cfrac { 1 }{ 100 } xdx } +\int _{ 10 }^{ 15 }{ \cfrac { 1 }{ 100 } \left( 20-x \right) } dx\)
= \(\cfrac { 1 }{ 100 } \left[ \cfrac { { x }^{ 2 } }{ 2 } \right] _{ 5 }^{ 10 }+\cfrac { 1 }{ 100 } \left[ 20x-\cfrac { { x }^{ 2 } }{ 2 } \right] _{ 10 }^{ 15 }\)
= 0.75

(i) P[X≤a₁]=P[X>a₁] இதிலிருந்து
\(P\left[ X\le { a }_{ 1 } \right] =\cfrac { 1 }{ 2 } \)
\(\int _{ 0 }^{ { a }_{ 1 } }{ f(x)dx=\cfrac { 1 }{ 2 } } \)
\(\Rightarrow \int _{ 0 }^{ { { a } }_{ 1 } }{ { 5x }^{ 4 }dx=\cfrac { 1 }{ 2 } } \)
\(5\left[ \cfrac { { x }^{ 5 } }{ 5 } \right] _{ 0 }^{ { a }_{ 1 } }=\cfrac { 1 }{ 2 } \)
\({ a }_{ 1 }=\left( 0.5 \right) ^{ \frac { 1 }{ 5 } }\)
(ii) P[X>a₂] =0.05
\(\int _{ { a }_{ 2 } }^{ 1 }{ f\left( x \right) } dx=0.05\)
\(\int _{ { a }_{ 2 } }^{ 1 }{ { 5x }^{ 4 }dx } =0.05\)
\(5\left[ \frac { { x }^{ 5 } }{ 5 } \right] _{ { a }_{ 2 } }^{ 1 }=0.05\)
\({ a }_{ 2 }=\left[ 0.95 \right] { ^{ \frac { 1 }{ 5 } } }\)

(i) நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பின் நிபந்தனையிலிருந்து
\(\sum _{ i=1 }^{ \infty }{ p({ x }_{ i })=1 } \)
ஃ \(\sum _{ i=1 }^{ \infty }{ p({ x }_{ i })=1 } \)
0+a+2a+2a+3a+a²+2a²+7a²+a = 1
10a²+9a–1 = 0
(10a–1)(a+1) = 0
\(a=\cfrac { 1 }{ 10 } \) அல்லது -1
ஆனால் p(x) ஆனது குறை மதிப்பைக் கொண்டிருக்க முடியாது என்பதால், a = – 1 ஆனது பொருந்தாது எனவே ,\(a=\cfrac { 1 }{ 10 } \) ஆகும்.
(ii) P(X<3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)
=0+a+2a = 3a 
= \(\cfrac { 3 }{ 10 } \left( \therefore a=\cfrac { 1 }{ 10 } \right) \)
(iii) P(X>2)=1−P(X≤2)
= 1-[P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)]
= \(1-\cfrac { 3 }{ 10 } \)
= \(\cfrac { 7 }{ 10 } \)
(iv) P(2  < X ≤ 5) = P (X = 3) +  P( X = 4 )+ P (X = 5)
= 2a+3a+a²
= 5a+a²
= \(\cfrac { 5 }{ 10 } +\cfrac { 1 }{ 100 } = \cfrac { 51 }{ 100 }\)

கொடுக்கப்பட்ட நிகழ்தகவு பரவல் p(x) இன் மதிப்பிலிருந்து நாம் பெறுவது
F(1)=P(X≤1)=P(1)=0.10
F(2)=P(X≤2)=P(1)+P(2)=0.10+0.12=0.22
F(3)=P(X≤3)=P(1)+P(2)+P(3)
=F(2)+P(3)
=0.22+0.20
= 0.42
F(4)=F(3)+P(4)
=0.42+0.30
= 0.72
F(5)=F(4)+P(5)
=0.72+0.15
= 0.87
F(6)=F(5)+P(6)
= 0.87 + 0.08
= 0.95
F(7)=F(6)+P(7)
=0.95+0.05
=1.00

கூறுவெளி (S) ={ (HHH), (HHT), (HTH), (HTT),(THH),(THT),(TTH),(TTT)}
X ஏற்கும் மதிப்புகள் : 3, 2, 2, 1, 2, 1, 1 மற்றும் 0

இவ்வாறாக,

மேலே திருப்பப்பட்ட முகங்களில் உள்ள தலைகளின் எண்ணிக்கையைக் கணக்கிடும் சமவாய்ப்பு மாறியை X என்க. இதன் வெளிப்பாடுகள் கீழே குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது.

இதன் மதிப்பீடுகள் பின்வரும் நிகழ்தகவு அட்டவணை -இல் தரப்பட்டுள்ளன.

(i) \(p\left( { x }_{ i } \right) \ge \forall i\) மற்றும் (ii) \(\sum _{ i=0 }^{ 3 }{ p\left( { x }_{ i } \right) =1 } \)
எனவே , p(x_i) ஒரு நிகழ்தகவு நிறை சார்பாகும்.

(i) P(X< 3) = P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)
= \(0+\cfrac { 1 }{ 20 } +\cfrac { 2 }{ 20 } \)
= \(\cfrac { 3 }{ 20 } \)
(ii) P(2< X≤4) = P(X=3)+P(X=4)
= \(\cfrac { 3 }{ 20 } +\cfrac { 4 }{ 20 } \)
= \(\cfrac { 7 }{ 20 } \)