E(X) = 0
V(X) =E(X²) - [E(X)]²
= E(X²)-0² [∵ E(X)]²  [∵E(X) = 0]
var (X) = E(X²)
= E(X²) - 0 = E(X²) எனவே நிறுவப்பட்டது.

\(\mathrm{E}(\mathrm{X}) =\sum_x x P_x(x) \)
=0+0.1+0.8+0.9=1.8
∴∴ எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பு 1.8

ஓர்‌ இடைவெளியில்‌ உள்ள அனைத்து மெய்‌ மதிப்புகளையும்‌ (முழுக்களாகவோ, பின்னங்களாகவோ) ஏற்கும்‌ ஒரு சமவாய்ப்பு மாறி. X ஆனது தொடர்ச்சியான சமவாய்ப்பு மாறி என்று அழைக்கப்படுகிறது.

ஒரு சமவாய்ப்பு மாறி X என்பது S என்ற கூறுவெளியின்‌ மீது வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு மெய்‌ மதிப்பீட்டுச்‌ “சார்பு என வரையறுக்கப்படுகிறது. மேலும்‌ இது (-∞, ∞) இல்‌ மதிப்புகளைப்‌ பெற்றிருக்கும்‌ அல்லது இது ஒரு சமவாய்ப்பு சோதனையின்‌ சாத்தியமுள்ள மதிப்புகளின்‌ எண்‌ வெளிப்பாடுகள்‌ எனவும்‌ கூறலாம்‌.

இது நிகழ்தகவு நிறை சார்பு என்பதால் 
\(\sum_{i=1}^{\infty} p\left(x_i\right) =1 \)
\(\mathrm{p}(1)+\mathrm{p}(2)+\mathrm{p}(3)+\mathrm{p}(4) =1 \)
\(\mathrm{k}+2 \mathrm{k}+3 \mathrm{k}+4 \mathrm{k} =1 \)
\(10 \mathrm{k} =1 \)
\(\mathrm{k}=\frac{1}{10} =0.1 \) எனவே நிறுவப்பட்டது.

X -இன் திரள் பரவல் சார்பு 
\(\begin{array}{|c|c|c|} \hline \mathbf{X}=\boldsymbol{x} & \mathbf{p}(\boldsymbol{x}) & \mathbf{F}_{\boldsymbol{x}}(\boldsymbol{x})=\mathbf{P}(\mathbf{X} \leq \boldsymbol{x}) \\ \hline 0 & 0.3 & 0.3 \\ \hline 1 & 0.2 & 0.3+0.2=0.5 \\ \hline 2 & 0.4 & 0.5+0.4=0.9 \\ \hline 3 & 0.1 & 0.9+0.1=1 \\ \hline \end{array}\)

X - ன் சராசரி  \(=\mathrm{E}(\mathrm{X})=\int_{-\infty}^{\infty} x f(x) d x \)
\( =\int_1^{\infty} x\left(\frac{3}{x^4}\right) d x \)
\(=3 \int_1^{\infty} x^{-3} d x=3\left[\frac{x^{-2}}{-2}\right]_1^{\infty} \)
\(=\frac{-3}{2}\left[\frac{1}{x^2}\right]_1^{\infty}=\frac{-3}{2}\left[\frac{1}{\infty}-1\right]=\frac{3}{2} \)
\(\mathrm{E}(\mathrm{X})^2 =\int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x) d x=\int_1^{\infty} x^2\left(\frac{3}{x^4}\right) d x \)
\( =3 \int_1^{\infty} \frac{1}{x^2} d x=3 \int_1^{\infty} x^{-2} d x \)
\( =3\left[\frac{x^{-1}}{-1}\right]_t^{\infty}=-3\left[\frac{1}{x}\right]_1^{\infty} \)
\(=-3[0-1]=3\)
X - ன் திட்டவிலக்கம் \(=E\left(X^2\right)-[E(X)]^2\)
\(=3-\left(\frac{3}{2}\right)^2=3-\frac{9}{4}=\frac{3}{4}\)

நிரூபிக்க: \(\int_{-\infty}^\infty f(x) d x=1\)
அதாவது \(\int_{-3}^3 f(x) d x=1\)
\(\text { LHS }=  \int_{-3}^3 f(x) d x \)
\(= \int_{-3}^{-1} \frac{1}{16}(3+x)^2 d x+\int_{-1}^1 \frac{1}{16}\left(6-2 x^2\right) d x +\int_1^3 \frac{1}{16}(3-x)^2 d x \)
\(=  \frac{1}{16}\left[\frac{(3+x)^3}{3}\right]_{-3}^{-1}+\frac{1}{16}\left[6 x-\frac{2 x^3}{3}\right]_{-1}^1+ \frac{1}{16}\left[\frac{(3-x)^3}{-3}\right]_{3}^{1} \)
\(=  \frac{1}{48}\left[2^3-0\right]+\frac{1}{16}\left[6-\frac{2}{3}-\left(-6+\frac{2}{3}\right)\right] - \frac{1}{48}\left[0 -2^3\right] \)
\(=  \frac{8}{48}+\frac{1}{16}\left[6-\frac{2}{3}+6-\frac{2}{3}\right]+\frac{8}{48}\)
\( =\frac{16}{48}+\frac{1}{16}\left[12-\frac{4}{3}\right] \)
\( =\frac{1}{3}+\frac{1}{16}\left[\frac{32}{3}\right]=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}=\frac{3}{3}=1=\text { RHS } \) எனவே நிறுவப்பட்டது 

ஒரு நாணயம் சுண்டும் போது அமையும் சமவாய்ப்புகள்  (கூறுவெளி) \(\mathrm{S}={\mathrm{H}, \mathrm{T}}\) 
X என்பது சமவாய்ப்பு மாறியில் ஒருவர் வெற்றி பெறும் தொகை என்க.
\(\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & 4 & -2 \\ \hline \mathbf{P}(\mathbf{X}=\boldsymbol{x}) & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \hline \end{array}\)
\(E(X)  =\sum_x x P_X(x) \)
\(=4\left(\frac{1}{2}\right)-2\left(\frac{1}{2}\right)=2-1=1\)
எதிர்பார்த்தல் = 1
\(E\left(X^2\right)  =\sum_x x^2 P_X(x) \)
\(=16\left(\frac{1}{2}\right)+4\left(\frac{1}{2}\right)=8+2=10 \)
\(\operatorname{Var}(X)  =E\left(X^2\right)-[E(X)]^2=10-1=9\)
மாறுபாடு  = 9

x₁, x₂, ...x_n என்ற எண்ணத்தக்க மெய்‌ மதிப்புகளை உடைய தனித்த சமவாய்ப்பு மாறி X -ன்‌ நிகழ்தகவுகள்‌ p(x₁), p(x₂), p(x₃) ... P(x_n)..., எனில்‌, இதன்‌ தனித்த திரள்‌ பரவல்‌ சார்பு அல்லது பரவல்‌ சார்பு பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது.
அனைத்து x ∈ R -க்கு, \( F_x(x)=\mathrm{P}(\mathrm{X} \leq x), \)
அதாவது, \(F_x(x)=\sum_{x<x_i} p\left(x_i\right)\) தொடர்ச்சியான சமவாய்ப்பு மாறி X இன்‌ நிகழ்தகவு அடர்த்திச்‌ சார்பு f_x(x)எனில்‌, சார்பு F_x(x) பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது,
\(F_X(x)=\mathrm{P}[\mathrm{X} \leq x]=\int_{-\infty}^x f(t) d t,-\infty<x<\infty\)
இது தொடர்ச்சியான சமவாய்ப்பு மாறி X - இன்‌ பரவல்‌ சார்பு அல்லது (சில நேரங்கள்‌) திரள்‌ பரவல்‌ சார்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது,