மாதிரியின் அளவு= 100, \(\bar { x } \) = 7.4, σ -ன் மதிப்பு தெரியாத
நிலையில் உள்ளது. ஆனால் \(\hat { \sigma } \) = s = 1.2
\(\breve { \sigma } =s\quad { Z }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }=1.96\)
\(S.E=\frac { \breve { \sigma } }{ \sqrt { n } } =\frac { s }{ \sqrt { n } } =\frac { 1.2 }{ \sqrt { 100 } } =0.12\)
95% நம்பிக்கை இடைவெளியில் முழுமைத்தொகுதியின் சராசரியானது
\(\bar { x } -{ Z }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }\frac { \sigma }{ \sqrt { n } } <\mu <\bar { x } +{ Z }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }\frac { \sigma }{ \sqrt { n } } \)
\(7.4-(1.96\times 0.12)\le \mu \le 7.4+(1.96\times 0.12)\)
\(7.4-0.2352\le \mu \le 7.4+0.2352\)
\(7.165\le \mu \le 7.635\)
முழுமைத்தொகுதியின் சராசரி வலிமைத் திறனாது (7.165,7.635) என்ற 95% நம்பிக்கை இடைவெளிக்குள் உள்ளது.

கொடுக்கப்பட்ட 2 இலக்க எண்களைக் கொண்ட சமவாய்ப்பு அட்டவணையிலிருந்து 1550 முதல் 8000 வரையிலான 4 இலக்கம் கொண்ட 10 மாதிரிகளை தேர்ந்தெடுக்க முதலில் இரண்டு இலக்க எண்களை மற்ற இரண்டிலக்க எண்களும் இணைந்து 4-இலக்க எண்களாக மாற்ற வேண்டும். அதாவது, அட்டவணையின் 5-வது மற்றும் 6-வது நிரல்களை நிழலிட்டவாறு இணைத்து முதல் ஐந்து மாதிரியையும் 8வது மற்றும் 9வது நிரல்களை இணைத்து அடுத்த ஐந்து மாதிரிகளையும் கொண்டு தேவையான 10 மாதிரிகளைத் தேர்ந்தெடுக்கலாம். கீழ்கண்ட அட்டவணையில் இரு நிரல்களை இணைத்து தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட சமவாய்ப்பு மாறிகளைக் காணலாம்.

எனவே, தேவையான 10 மாதிரிகளை கீழ்க்கண்டவாறு எழுதலாம்.

இன்மை கருதுகோளுக்கு நிரப்புப் பண்பாக (complementary) அதாவது எதிராக அமையும் கருதுகோள் “மாற்று கருதுகோள்” எனப்படும். இதனை வழக்கமாக H₁ என்று குறிப்பிடுகிறோம்.

புள்ளியியல் அனுமானத்திற்கான செயல்பாட்டில் (i) மதிப்பிடுதல் (ii) கருதுகோள் சோதனை எனும் இரண்டு முக்கிய பகுதிகள் உள்ளன

குறைகள் :
1. முறைப்படுத்திய கூறெடுப்பானது சமவாய்ப்பு முறையில் தெரிவு செய்யப்படுவதில்லை.
2. முழுமைத்தொகுதியின் அளவு N ஆனது மாதிரித்தொகுதி அளவு n இன் பெருக்கற் பலனாக இல்லாதிருப்பின் இடைவெளி k-இன் மதிப்பானது முழு எண்ணாக இருக்க வாய்ப்பில்லை. இவ்வாறான தருணங்களில் கூறுகளைத் தெரிவு செய்வது கடினம்.

நிறைகள் :
1. தனிப்பட்ட நபரின் விருப்பு, வெறுப்பு தவிர்க்கப்படுகிறது
2. இது சிக்கனமான முறையாகும் ஏனெனில், பொருள் விரையம், காலவிரையம் மற்றும் அதிக உழைப்பு விரையமாவதை தவிர்க்கிறது.

ஒரு புள்ளியியல் அளவையின் கூறெடுப்பு பரவலின் திட்டவிலக்கமே திட்டப்பிழை எனப்படும்.

கூறுகளிலிருந்து கணக்கிடப்பட்ட எந்தவொரு புள்ளிவிவர அளவையும் கூறு பண்பளவை (Statistic) அல்லது மாதிரிப் பண்பளவை என்று அழைக்கப்படும்.

முழுமைத் தொகுதி என்பது ஆய்விற்கு தேவையான அனைத்து கூறுகள் அல்லது அனைத்து உறுப்புகளின் தொகுப்பைக் குறிக்கும்.

கொடுக்கப்பட்ட விவரத்தின்படி மாதிரிகளின் எண்ணிக்கை n = 100, \(\bar { x } \) =162 செ.மீ, s = 8 செ.மீ.
மாதிரி சராசரி \(\mu \)= 160 செ.மீ.
திட்டப்பிழை \(S.E=\frac { \hat { \sigma } }{ \sqrt { n } } =\frac { s }{ \sqrt { n } } =\frac { 8 }{ \sqrt { 100 } } =0.8\)
(முழுமைத் தொகுதியின் திட்டவிலக்கம் தரப்படாத நிலையில் \(\hat { \sigma } \) = s எனக் கொள்வோம்)
எனவே, சராசரி உயரம் 160 செ.மீ உள்ள பெரிய குழுவிலுள்ள மாணவர்களின் திட்டப்பிழை 0.8 ஆகும்.

கூறின் அளவு n = 50
மாதிரியின் திட்டவிலக்கம் S.D s = 6.3
முழுமைத் தொகுதியின் திட்டவிலக்கம் S.D σ = 6
மாதிரியின் திட்டப்பிழை
\(S.E=\sqrt { \frac { { \sigma }^{ 2 } }{ 2n } } =\frac { 6 }{ \sqrt { 2(50) } } =\frac { 6 }{ \sqrt { 100 } } =0.6\)
∴ மாதிரியின் திட்டப்பிழை S.D = 6

திட்டவிலக்கம் \(\sigma\) =10, S.E. \(\bar { X } \) =3, S.E =\(\frac { \sigma }{ \sqrt { n } } \)
எனவே, \(3=\frac { 10 }{ \sqrt { n } } \Rightarrow \sqrt { n } =\frac { 10 }{ 3 } \)
இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த, \(n={ \left( \frac { 10 }{ 3 } \right) }^{ 2 }\frac { 100 }{ 9 } \)=11.11\(\cong \)11,
∴ தேவையான மாதிரியின் அளவு n = 11.

கூறின் அளவு n = 400
கூறு சராசரி \(\bar x \)= 67.47
முழுமைத்தொகுதி சராசரி μ = 67.39
முழுமைத்தொகுதி திட்டவிலக்கம் S.D σ = 1.30
இன்மை கருதுகோள் H₀:μ = 67.39
மாற்று கருதுகோள் H₁:μ ≠ 67.39
கூறுபண்பளவை சோதனை
\(\mathrm{Z}  =\frac{\bar{x}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \sim \mathrm{N}(0,1)} \)
\(\mathrm{Z}  =\frac{67.47-67.39}{\frac{1.30}{\sqrt{400}}}=\frac{0.08}{0.065} \)
\(|\mathrm{Z}|  =1.2308\)
மறுக்கும் அளவு 5 % மிகைகாண் நிலை 
\(Z_{a / 2}=1.96 \)
|Z|=1.2308<1.96
முடிவு: கணக்கிடப்பட்ட மதிப்பானது அட்டவணை மதிப்பை விட குறைவாக உள்ளது. அதாவது, Z <  Z_α/2 .5% மிகைகாண் நிலையில் இன்மை கருதுகோள் H₀ ஏற்றுக் கொள்ளப்படுகிறது.
எனவே கூறானது முழுமைத் தொகுதியிலிருந்து எடுக்கப்பட்டதாகும்,

(i) கணக்கின்படி
கூறு அளவு : n =900, கூறு சராசரி \(\bar { x } \) = 3.4 செ.மீ,
கூறு திட்டவிலக்கம் SD s = 2.61 செ.மீ
முழுமைத்தொகுதி சராசரி μ= 3.25 செ.மீ, முழுமைத் தொகுதியின் திட்ட விலக்கம் SD σ = 2.61 செ.மீ
இன்மை கருதுகோள் H₀ : μ = 3.25 செ.மீ சராசரி  μ= 3.25 மற்றும் செ.மீ SD σ = 2.61 செ.மீ உடைய முழுமைத் தொகுதியிலிருந்து கூறு எடுக்கப்பட்டிருக்கிறது.
மாற்று கருதுகோள்: H₁:μ≠3.25 செ.மீ (இருமுனைச் சோதனை l) அதாவது சராசரி μ = 3.25 செ.மீ மற்றும் திட்ட விலக்கம் σ = 2.61 செ.மீ கொண்ட முழுமைத் தொகுதியிலிருந்து கூறு எடுக்கப்படவில்லை.
கூறுபண்பளவை சோதனைக்கு ஏற்பக் கணக்கிடல்
\(Z=\frac { 3.4-3.25 }{ \frac { 2.61 }{ \sqrt { 900 } } } =\frac { 0.15 }{ 0.087 } =1.724\)
\(\therefore\)Z=1.724
கணக்கிடப்பட்ட ∴ Z=1.724 மற்றும் அட்டவணை மதிப்பு \({ Z }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }=1.96\)
இவற்றை ஒப்பிடுகையில் \(Z<{ Z }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }\\ \)அதாவது 1.724 < 1.96
முடிவு: கணக்கிடப்பட்ட 5% மதிப்பானது, அட்டவணை மதிப்பை விட குறைவாக உள்ளது. அதாவது 5% மிகைகாண் நிலையில் \(Z<{ Z }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }\\ \) ஆக உள்ளதால். இன்மை கருதுகோள் ஆனது ஏற்றுக்கொள்ளப்படுகிறது.
எனவே , சராசரி μ = 3.25 செ.மீ மற்றும் திட்ட விலக்கம், σ = 2.61 செ.மீ. உடைய முழுமைத் தொகுதியிலிருந்து கூறானது எடுக்கப்பட்டது என முடிவு செய்யப்படுகிறது.
(ii) நம்பிக்கை எல்லைகள் (Confidence limits)
முழுமைத் தொகுதியின் சராசரி μ விற்கான 95% நம்பிக்கை எல்லைகள்:
\(\bar { x } -{ Z }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }SE\le \mu \le \bar { x } +{ Z }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }SE\)
\(3.4-(1.96\times 0.087)\le \mu \le 3.4+(1.96\times 0.087)\)
\(3.229\le \mu \le 3.571\)
முழுமைத் தொகுதியின் சராசரி μ விற்கான 98% நம்பிக்கை எல்லைகள்:
\(\bar { x } -{ Z }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }SE\le \mu \le \bar { x } +{ Z }_{ \frac { \alpha }{ 2 } }SE\)
\(3.4-(2.33\times 0.087)\le \mu \le 3.4+(2.33\times 0.087)\)
\(3.197\le \mu \le 3.603\)
எனவே , μ- இன் 95% நம்பிக்கை இடைவெளி (3.229,3.571) மற்றும் 98% நம்பிக்கை இடைவெளி (3.197,3.603) ஆகும்.

முதல் கூறெடுப்பானது சமவாய்ப்பு முறையில் முதல் k அலகுகளிலிருந்து தெரிவு செய்யப்பட்டு, முதல் கூறிலிருந்து ஒவ்வொரு k ஆவது உறுப்புகளை அடுத்த கூறுகளாக தெரிவு செய்யப்பட்டு பெறப்படும் கூறெடுப்பு, முறைப் படுத்திய கூறெடுப்பு அல்லது முறை சார்ந்த மாதிரி எடுத்தல் முறை என அழைக்கப்படுகிறது.
முழுமைத் தொகுதியிலுள்ள உறுப்புகளின் முழுபட்டியலும் இருக்கும்போது முறைப்படுத்திய கூறெடுப்பு முறை பரவலாக பயன்படுத்தப்படுகிறது. இம்முறையைப் பயன்படுத்துவதற்கு ஏதுவாக உறுப்புகளை ஏறுவரிசையிலோ, அகரவரிசையிலோ, புவியியல் அடிப்படையிலோ அல்லது இதுபோன்ற மற்ற ஏனைய வரிசைகளிலிருந்து ஏதாவது ஒரு வரிசையில் அமைத்தல் வேண்டும். இம்முறையில் மாதிரிகளைத் தெரிவு செய்யும் போது, முதல் உறுப்பை சமவாய்ப்பு முறையில் தெரிவு செய்து பிறகு மற்றைய உறுப்புகளை நாம் வரையறுத்த வடிவத்திற்கு உட்பட்டு முதல் உறுப்பு சார்ந்த முறையாகவும் தொடர்ச்சியாகவும் தெரிவு செய்யப்படுகின்றன. இம்முறையில் முழுமைத் தொகுதி யிலுள்ள ஒவ்வொரு kஆவது உறுப்பு மாதிரியில் தேர்ந்தெடுக்கப்படுகின்றன. இங்கு k என்பது மாதிரி எடுத்தலின் இடைவெளி ஆகும். இடைவெளி k என்பது முழுமைத் தொகுதியின் அளவுக்கும் (N) மாதிரிகளின் அளவுக்கும் (n) உள்ள விகிதமாகும்.
கூறு இடைவெளி k = N/n 
உதாரணத்திற்கு : 6,000 உறுப்புகளைக் கொண்ட ஒரு முழுமைத் தொகுதியிலிருந்து 20 உறுப்புகளைக் கொண்ட ஒரு மாதிரியை முறைப்படுத்திய கூறெடுப்பு முறையில் தேர்வு செய்வதாக எடுத்துக்கொள்வோம். முதலில் 1 முதல் 6000 வரையிலான எண்களை அனைத்து 6000 உறுப்புகளுக்கும் குறியிட வேண்டும்.
மாதிரி இடைவெளி  \(k=\frac{N}{n}=\frac{6000}{20}=300 .\)
மாதிரி இடைவெளி k= 300 என்பது 6000 உறுப்புகள் கொண்ட முழுமைத் தொகுதியிலுள்ள ஒவ்வொரு 300 மாதிரியிலும் ஒரு மாதிரியைத் தெரிவு செய்யலாம். முதல் மாதிரி 50 வது எண்ணாகத் தெரிவு செய்வோமாயின் மற்ற உறுப்புகளை முதல் உறுப்பிலிருந்து இடைவெளி 300 ஐக் கூட்டிப் பெற வேண்டும் அதாவது (k=300) 50, 350, 650, 950, 1250, 1550, 1850, 2150, 2450, 2750, 3050, 3350, 3650, 3950, 4250, 4550, 4850, 5150, 5450, 5750. இவ்வெண்களை உறுப்புகளாக கொண்ட மாதிரிகளை முழுமைத் தொகுதியிலிருந்து தெரிவு செய்யலாம்.