A =\(\left( \begin{matrix} 1 & 4 \\ 2 & 8 \end{matrix} \right) \)
A -ன் வரிசை 2 x 2, எனவே ρ(A) \(\le \) 2
\(\sim \) \(\left( \begin{matrix} 1 & 4 \\ 0 & 0 \end{matrix} \right) \)  R₂ → R₂ -2R₁ 
அணியின் தரம்  ρ(A)=1

(D²-3D-4)=0
துணைச் சமன்பாடு :
m²-3m-4
⇒ (m-4)(m+1)=0
m=-1,4
மூலங்கள் மெய் மற்றும் வெவ்வேறானவை.
∴ நிரப்புச் சார்பு: CF=Ae^-x+Be^4x
பொதுத் தீர்வு : y=Ae^-x+Be^4x

\( \mathrm{p}=3 x+5 x^2, x=4 \)
\( \mathrm{p}=12+80=92\)
உற்பத்தியாளர் உபரி
\(\text { PS }  =x_0 p_0-\int_0^{x_0} g(x) d x \)
\(=368-\int_0^4\left(3 x+5 x^2\right) d x \)
\(=368-\left[\frac{3 x^2}{2}+\frac{5 x^3}{3}\right]_0^4 \)
\(=368-\left[24+\frac{320}{3}\right]\)
\(=344-\frac{320}{3}=\frac{712}{3}\)
P.S=237.3 அலகுகள்

\(\int { \frac { dx }{ { \left( 2x+3 \right) }^{ 2 } } } \) =\(\int { { \left( 2x+3 \right) }^{ -2 }dx } \)
= \(-\frac { 1 }{ 2\left( 2x+3 \right) } +c\)

\(A=\left( \begin{matrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{matrix} \right) \) என்க 
A -ன்  வரிசை 2 x 2, எனவே ρ(A) \(\le \) 2
\(\sim \left( \begin{matrix} 5 & 6 \\ 0 & -2 \end{matrix} \right) \)   R₂ ⟶ 5R₂ -7R₁ 
அணியின் தரம் ρ(A)=2

A =\(\\ \left( \begin{matrix} 0 & -1 & 5 \\ 2 & 4 & -6 \\ 1 & 1 & 5 \end{matrix} \right) \)என்க.
A-ன் வரிசை 3 x 3
∴ ρ(A) ≤3
வரிசை மூன்று உடைய சிற்றணிக்கோவையை கருத, நாம் பெறுவது \(\left| \begin{matrix} 0 & -1 & 5 \\ 2 & 4 & -6 \\ 1 & 1 & 5 \end{matrix} \right| \)=6≠0
⇒ பூச்சியமற்ற சிற்றணிக்கோவையின் வரிசை 1 ஆகும்.  ∴ ρ(A) =3

f(x) என்பது ஒரு அடர்த்தி சார்பு எனில்
\(\int _{ -\infty }^{ \infty }{ f(x) } dx=1\) என்பது நமக்குத் தெரியும் 
\(\int _{ 0 }^{ \infty }{ { ke }^{ -2x } } dx=1\)
\(k\int _{ 0 }^{ \infty }{ { { e }^{ -2x }dx=1 } } \)
\(k\left[ \cfrac { { e }^{ -2x } }{ -2 } \right] _{ 0 }^{ \infty }=1\)
\(\Rightarrow k=2\)
\(\\ E(X)=\int _{ -\infty }^{ \infty }{ xf(x)dx } \)
= \(\int _{ 0 }^{ \infty }{ xk{ e }^{ -2x }dx } \)
= \(2\int _{ 0 }^{ \infty }{ { xe }^{ -2x }dx } \)
= \(\\ 2\left\{ \left[ \cfrac { xe^{ -2x } }{ -2 } \right] _{ 0 }^{ \infty }-\int _{ 0 }^{ \infty }{ \cfrac { { e }^{ -2x } }{ -2 } dx } \right\} \left( \therefore \int { udv=uv-\int { vdu } } \right) \)
= \(\int _{ 0 }^{ \infty }{ { e }^{ -2x }dx } \)
= \(\cfrac { 1 }{ 2 } \)

X என்பது தொகையை குறிக்கும் சமவாய்ப்பு மாறி என்க.
\(\begin{array}{|c|c|c|} \hline \mathrm{X}=x & 2000 & -1000 \\ \hline \mathrm{p}(\boldsymbol{x}) & 0.4 & 0.6 \\ \hline \end{array}\)
\(\mathrm{E}(\mathrm{X}) =\sum_x x P_X(x)=2000(0.4)-1000(0.6)\)
=800-600=200
எதிர்பார்க்கும் இலாபம் = ₹ 200
\( \mathrm{E}\left(\mathrm{X}^2\right)=\sum x^2 P_x(x) \)
\(=4000000(0.4)+1000000(0.6) \)
\(=1600000+600000=22,00,000 \)
\(=\mathrm{E}\left(\mathrm{X}^2\right)-[\mathrm{E}(\mathrm{X})]^2 \)
=22,00,000-40,000=21,60,000
மாறுபாடு =₹ 21,60,000
திட்ட விலக்கம்: \( \sqrt{21,60,000} =\)ரூ .1,469.69

பரவல் சார்பின் பண்புகள் :
(i) \(0 \leq F(x) \leq 1,-\infty<x<\infty\)
(ii) \(F(-\infty)=\lim _{x \rightarrow-\infty} F(x)=0 \) மற்றும் \(F(+\infty)=\lim _{x \rightarrow \infty} F(x)=1 \)
(iii) \(F(\cdot)\) என்பது ஓரியல்புத் தன்மைக் கொண்ட குறையாச் சார்பு.
அதாவது a<b-க்கு \(F(a) \leq F(b)\)
(iv) \(F(\cdot)\) என்பது வலப்புறத்திலிருந்து தொடர்ச்சியானது, அதாவது \(\lim _{h \rightarrow 0} F(x+h)=F(x)\).
(v) \(F^{\prime}(x)=\frac{d}{d x} F(x)=f(x) \geq 0\)
(vi) \(F^{\prime}(x)=\frac{d}{d x} F(x)=f(x) \Rightarrow d F(x)=f(x) d x\)d F(x) என்பது X -இன் நிகழ்தகவு வகையீடு என அறியப்படுகிறது.
(vii) \(P(a \leq x \leq b)=\int_a^b f(x) d x=\int_{-\infty}^b f(x) d x-\int_{-\infty}^a f(x) d x \)
\(=  P(X \leq b)-P(X \leq a) \)
= F(b)-F(a)

\(\int _{ -\infty }^{ \infty }{ f(x)dx=1 } \) என்பதை நாம் அறிவோம்.
\(\int _{ 0 }^{ 1 }{ axdx=1\Rightarrow a\int _{ 0 }^{ 1 }{ xdx } } =1\)
\(\Rightarrow a\left( \cfrac { { x }^{ 2 } }{ 2 } \right) _{ 0 }^{ 1 }=1\)
\(\Rightarrow \frac { a }{ 2 } \left( 1-0 \right) =1\)
\(\Rightarrow a=2\)
\(P\left[ x\le \cfrac { 1 }{ 2 } \right] =\int _{ -\infty }^{ \frac { 1 }{ 2 } }{ f(x)dx } \)
= \(\int _{ 0 }^{ \frac { 1 }{ 2 } }{ axdx } \)
= \(\int _{ 0 }^{ \frac { 1 }{ 2 } }{ 2xdx } \)
= \(\cfrac { 1 }{ 4 } \)

செலவு சேமிப்பு S(t) =\(\int _{ 0 }^{ t }{ 20000t } dt\)
=10000t²
மொத்த செலவை ஈடுசெய்வதற்கான காலம்
10000t²=640000
t²=64
t=8
8 ஆண்டுகளில் இயந்திரத்தின் செலவை ஈடு செய்யலாம்.

தேவைப்படும் பரப்பு=\(\\ \int _{ -1 }^{ 0 }{ -xdx } +\int _{ 0 }^{ 2 }{ xdx } \)
=\(-\left[ \frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } \right] _{ -1 }^{ 0 }+-\left[ \frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } \right] _{ 0 }^{ 2 }=-\left[ 0-\frac { 1 }{ 2 } \right] +\left[ \frac { 4 }{ 2 } -0 \right] \)
=\(\frac { 5 }{ 2 } \) சதுர அலகுகள்.

\(\int { { x }^{ 3 }{ e }^{ { x }^{ 2 } }dx } =\int { { x }^{ 3 }{ e }^{ { x }^{ 2 } } } (xdx)\)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \int { { ze }^{ z }dz } \)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \left[ { e }^{ z }\left( z-1 \right) \right] +c\) [பகுதிப்படுத்தித் தொகையிடுவதன் மூலமாக]
\(=\frac { 1 }{ 2 } \left[ { e }^{ { x }^{ 2 } }\left( { x }^{ 2 }-1 \right) \right] +c\)
z = x² என்க
\(\therefore\) dz = 2x dx
\(\Rightarrow \frac { dz }{ 2 } =\)xdx

\(\int \left( e^{ x }+1 \right) ^{ 2 }e^{ x }dx\)\(=\int \left( e^{ 2x }+2e^{ x }+1 \right) e^{ x^{ 2 } }dx\)
\(=\int \left( e^{ 3x }+2e^{ 2x }+e^{ x } \right) dx\)
\(=\frac { e^{ 3x } }{ 3 } +\frac { 2e^{ 2x } }{ 2 } +e^{ x }+c\)
\(=\frac { e^{ 3x } }{ 3 } +e^{ 2x }+e^{ x }+c\)
 

ஒரு பென்சிலின் விலை ரூ.x என்க
ஒரு அழிப்பானின் விலை ரூ.y என்க
∴ கொடுக்கப்பட்ட விவரங்களின் படி பின்வரும் சமன்பாடுகளைக் காணலாம்.
11x + 3y = 64
8x + 3y = 49
Δ=\(\left| \begin{matrix} 11 & 3 \\ 8 & 3 \end{matrix} \right| \)=9≠0. (தொகுப்பு ஒரே ஒரு தீர்வை பெற்றிருக்கும்)
Δx =\(\left| \begin{matrix} 64 & 3 \\ 49 & 3 \end{matrix} \right| \)=45, Δy =\(\left| \begin{matrix} 11 & 64 \\ 8 & 49 \end{matrix} \right| \)=27
∴ கிரேமரின் விதிப்படி
x =\(\frac { \triangle x }{ \triangle } =\frac { 45 }{ 9 } \)=5
y =\(\frac { \triangle y }{ \triangle } =\frac { 27 }{ 9 } \)=3
∴ ஒரு பென்சிலின் விலை ரூ.5 மற்றும் ஒரு அழிப்பானின் விலை ரூ.3 ஆகும்.

\(\mathrm{E}[\mathrm{X}-\mathrm{E}(\mathrm{X})] =E(X-\bar{X})=\sum(x-\bar{x}) p_i\)
\(=\Sigma x_i p_i-\bar{x} \sum p_i \)
\(=\bar{x}-\bar{x}=0 \quad\left(\because \sum p_i=1\right) \)

\(\mathrm{m}^2+4 =0 \Rightarrow \mathrm{m}^2=-4 \Rightarrow \mathrm{m} ± 2i \)
\(\alpha  =0, \ \beta=2\)
நிரப்புச் சார்பு : \(\mathrm{A} \cos 2 x+\mathrm{B} \sin 2 x\)

மீப்பெரு இலாபத்திற்கு,
\(\mathrm{MR}-\mathrm{MC}=0 \)
\(36 x-3 x^2-81=0 \)
\(3 x^2-36 x+81=0 \)
\(x^2-12 x+27=0 \)
(x-3)(x-9)=0
x=9

பரப்பு \( =\int_c^d x d y=\int_1^2 y d y \)
\(=\left[\frac{y^2}{2}\right]_1^2=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2} \) ச.அலகுகள்

\(\left[ \because \int _{ 0 }^{ \infty }{ { x }^{ n }{ e }^{ -ax }dx=\frac { n! }{ { a }^{ n+1 } } } \right] \)
இங்கு n = 4,a = 1
\(\int _{ 0 }^{ \infty }{ x^{ 4 }{ e }^{ -x } } dx =\frac { 4! }{ { 1 }^{ 3 } }= 4! \)

\(\int _{ 0 }^{ 1 }{ (2x+1) } dx ={ { \left[ \frac { { 2x }^{ 2 } }{2 }+ x \right] }^{ 1 }_{ 0 } }\) 
=1+1=2

\(\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \\ 3 & 2 & k \end{matrix} \right| \) ≠0 
1(k + 2)-1(2k +3)+ 1(4-3) ≠ 0
k+ 2-2k-3+ 1 ≠ 0
-k ≠ 0 ⇒ k ≠ 0

A ன் வரிசை 1 x 3
A^T - ன் வரிசை 3 x 1
A A^T - ன் வரிசை 1 x 1
∴ A A^T - ன் தரம் = 1

(i) நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பின் நிபந்தனையிலிருந்து
\(\sum _{ i=1 }^{ \infty }{ p({ x }_{ i })=1 } \)
ஃ \(\sum _{ i=1 }^{ \infty }{ p({ x }_{ i })=1 } \)
0+a+2a+2a+3a+a²+2a²+7a²+a = 1
10a²+9a–1 = 0
(10a–1)(a+1) = 0
\(a=\cfrac { 1 }{ 10 } \) அல்லது -1
ஆனால் p(x) ஆனது குறை மதிப்பைக் கொண்டிருக்க முடியாது என்பதால், a = – 1 ஆனது பொருந்தாது எனவே ,\(a=\cfrac { 1 }{ 10 } \) ஆகும்.
(ii) P(X<3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)
=0+a+2a = 3a 
= \(\cfrac { 3 }{ 10 } \left( \therefore a=\cfrac { 1 }{ 10 } \right) \)
(iii) P(X>2)=1−P(X≤2)
= 1-[P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)]
= \(1-\cfrac { 3 }{ 10 } \)
= \(\cfrac { 7 }{ 10 } \)
(iv) P(2  < X ≤ 5) = P (X = 3) +  P( X = 4 )+ P (X = 5)
= 2a+3a+a²
= 5a+a²
= \(\cfrac { 5 }{ 10 } +\cfrac { 1 }{ 100 } = \cfrac { 51 }{ 100 }\)