இரத்த சிவப்பு அணுக்களின் எண்ணிக்கை சமவாய்ப்பு மாறி X என்க .
சராசரி λ = 8 சிவப்பு அணுக்கள் / ஒரு சதுரத்திற்கு P (ஒரு சதுரத்தில் சரியாக 5 சிவப்பணுக்கள்)
=P(X = 5) =\(\frac { { e }^{ -\lambda }{ \lambda }^{ x } }{ x! } =\frac { e^{ -8 }8^{ 5 } }{ 5! } \)
=\(\frac { 0.000335\times 32768 }{ 120 } \)
=0.0916
ஒரு சதுரத்தில் சரியாக 5 சிவப்பணுக்கள் இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு 0.0916. அதாவது ஒரு சதுரத்தில் சரியாக 5 சிவப்பணுக்கள் இருப்பதற்கான வாய்ப்பு 9.16% ஆகும்.

\(\int \log x dx \)
u = logx                         
du =\(\frac { 1 }{ x } \) dx
\(\int dv\)=\(\int dx \)
v =x 
\(\int udv\)\(=uv-\int vdu\)
\(\int \log x dx =x\log x-\int x\frac { 1 }{ x } dx\)
\(=x\log x-\int dx=x\log x-x+c\)
=x[log x-1]+c

\(\int { { x }^{ 3 }{ e }^{ { x }^{ 2 } }dx } =\int { { x }^{ 3 }{ e }^{ { x }^{ 2 } } } (xdx)\)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \int { { ze }^{ z }dz } \)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \left[ { e }^{ z }\left( z-1 \right) \right] +c\) [பகுதிப்படுத்தித் தொகையிடுவதன் மூலமாக]
\(=\frac { 1 }{ 2 } \left[ { e }^{ { x }^{ 2 } }\left( { x }^{ 2 }-1 \right) \right] +c\)
z = x² என்க
\(\therefore\) dz = 2x dx
\(\Rightarrow \frac { dz }{ 2 } =\)xdx

\(\int { \left( { x }^{ 2 }-2x+5 \right) } { e }^{ -x }dx =\int { udv } \)
= uv − u'v₁ + u''v₂ − u'''v₃ + ...
= (x² − 2x + 5)(−e^−x )− (2x − 2)e^−x + 2(−e^−x )+ c
= e^−x (−x² −5)+ c

\(A=\begin{pmatrix} -2 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & 4 & 7 \end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 & 7 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ -2 & 1 & 3 & 4 \end{pmatrix}{ R }_{ 3 }\leftrightarrow { R }_{ 3 }\)
\(\begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 & 7 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 7 & 11 & 18 \end{pmatrix}{ R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-2{ R }_{ 1 }\)
\(\begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 & 7 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 4 & 4 & 4 \end{pmatrix}{ R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-7{ R }_{ 2 }\)
அணியின் தரம் ρ(A)=3

A =\(\left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{matrix}\begin{matrix} -1 \\ 1 \\ 3 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ -2 \\ -7 \end{matrix} \right) \)என்க.
A -ன் வரிசை 3 x 4
∴ ρ(A) ≤3.
மூன்றாம் வரிசை கொண்ட சிற்றணிக்கோவைகளை கருத, நாம் பெறுவது
\(\left| \begin{matrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 4 & 1 \\ 3 & 6 & 3 \end{matrix} \right| =0,\left| \begin{matrix} 1 & -1 & 3 \\ 2 & 1 & -2 \\ 3 & 3 & -7 \end{matrix} \right| =0\)
\(\left| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & -2 \\ 3 & 6 & -7 \end{matrix} \right| =0,\left| \begin{matrix} 2 & -1 & 3 \\ 4 & 1 & -2 \\ 6 & 3 & -7 \end{matrix} \right| =0\) ஆகும்.
அனைத்து மூன்றாம் வரிசை கொண்ட சிற்றணிக்கோவைகளின் மதிப்புகளும் பூச்சியமாகும்.
ρ(A)≠3.
ஏதேனும் ஒரு இரண்டாம் வரிசை சிற்றணிக்கோவையை கருத, நாம் பெறுவது \(\left| \begin{matrix} 2 & -1 \\ 4 & 1 \end{matrix} \right| \)=6≠0 ஆகும்.
⇒ பூச்சியமற்ற சிற்றணிக்கோவையின் வரிசை 2 ஆகும்.  ∴ ρ(A) = 2

\(\int _{ -\infty }^{ \infty }{ f(x) } dx=1\) என்பது நமக்குத் தெரியும் 
\(\int _{ -\infty }^{ \infty }{ ke^{ -|x| } } dx=1\)
\(k\int _{ -\infty }^{ \infty }{ e^{ -|x| } } dx=1\)
\(2k\int _{ -\infty }^{ \infty }{ e^{ -|x| } } dx=1\) ( ∴ e^{−| x |} ஒரு இரட்டை சார்பு))
\(2k\left[ \cfrac { { e }^{ -x } }{ -1 } \right] _{ 0 }^{ \infty }=1\) 
\(\therefore k = \frac {1}{2}\)
சமவாய்ப்பு மாறியின் சராசரி:
\(E(X)=\int _{ -\infty }^{ \infty }{ xf(x)dx } \)
\(E(X)=\int _{ -\infty }^{ \infty }{ xke^{ -|x| }dx } \)
= \(\cfrac { 1 }{ 2 } \int _{ -\infty }^{ \infty }{ xe^{ |x| }dx } \)
 ( ∵ xe^{−| x |} ஒரு ஒற்றைச் சார்பு))
= 0
\(E\left( { X }^{ 2 } \right) =\int _{ -\infty }^{ \infty }{ f(x)dx } \)
= \(\int _{ -\infty }^{ \infty }{ { x }^{ 2 }ke^{ -|x| }dx } \)
= \(\cfrac { 1 }{ 2 } \int _{ -\infty }^{ \infty }{ { x }^{ 2 }{ e }^{ |x| }dx } \)
= \(\int _{ 0 }^{ \infty }{ { x }^{ 2 }{ e }^{ -x }dx } \)
 ( ∵ x²e^{−| x |} ஒரு இரட்டைச் சார்பு))​​​​​​​
= \(\Gamma (3)\) \(\left( \because \Gamma (\alpha )=\int _{ 0 }^{ \infty }{ { e }^{ -x }dx,\alpha >0;\Gamma } \left( n-1 \right) ! \right) \)
= 2
\(V(X)=E\left( { X }^{ 2 } \right) -\left[ E\left( X \right) \right] \)
= 2-[0]²
= 2

இங்கு நிரல்களின் எண்ணிக்கையும் நிரைகளின் எண்ணிக்கையும் சமமாக உள்ளன. எனவே, கொடுக்கப்பட்ட கணக்கானது சமச்சீரான ஒதுக்கீடு கணக்காகும். தற்போது அதன் தீர்வைக் காணலாம்.
படி 1:
ஒவ்வொரு நிரையில் உள்ள மீச்சிறு மதிப்பை அந்த நிரையில் உள்ள அனைத்து மதிப்புகளிலிருந்தும் கழிக்க வேண்டும்.

ஒவ்வொரு நிரை மற்றும் நிரலிலும் குறைந்தபட்சம் ஒரு பூஜ்ஜியமாவது உள்ளதா என்பதை சோதிக்க. அவ்வாறு இல்லையெனில் படி 2-க்கு செல்லவும்.
படி 2:
படி (1)-ல் கிடைத்த அணியில், ஒவ்வொரு நிரலில் உள்ள மீச்சிறு மதிப்பை அந்த நிரலில் உள்ள அனைத்து மதிப்புகளிலிருந்தும் கழிக்க வேண்டும்.

ஒவ்வொரு நிரை மற்றும் நிரலிலும் குறைந்தபட்சம் ஒரு பூஜ்ஜியம் உள்ளதால் ஒதுக்கீடுகளை செய்யலாம்.
படி 3 (ஒதுக்கீடு): (Assignment):
ஒவ்வொரு நிரையாக ஒரே ஒரு பூஜ்யம் உள்ளதா என சோதிக்கவும். முதல் நிரை A-ல் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட பூஜ்ஜியங்கள் உள்ளன. நிரை B-ல் ஒரே ஒரு பூஜ்ஜியம் உள்ளது. அந்த பூஜ்யத்தை 口 -ஆல் குறியிடுக. 口 குறியிட்ட நிரலில் உள்ள மற்ற அனைத்து பூஜ்யங்களையும் × -ஆல் குறியிடுக.

நிரை C-ல் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட பூஜ்ஜியங்கள் உள்ளன. அந்த பூஜ்யத்தை 口-ஆல் குறியிடுக. 口 குறியிட்ட நிரலில் உள்ள மற்ற அனைத்து பூஜ்யங்களையும் × -ஆல் குறியிடுக.

நிரை D-ல் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட பூஜ்ஜியங்கள் உள்ளன. அந்த பூஜ்யத்தை 口-ஆல் குறியிடுக. 口 குறியிட்ட நிரலில் உள்ள மற்ற அனைத்து பூஜ்யங்களையும் × -ஆல் குறியிடுக.

நிரை E-ல் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட பூஜ்ஜியங்கள் உள்ளன. எனவே அடுத்து நாம் நிரலில் ஒதுக்கீடு செய்யலாம். நிரல் 1 ஒதுக்கீடு உள்ளது. நிரல் இரண்டில் ஒரே ஒரு பூஜ்ஜியம் உள்ளதால். அந்த பூஜ்யத்தை 口-ஆல் குறியிடுக. 口 குறியிட்ட நிரலில் உள்ள மற்ற அனைத்து பூஜ்யங்களையும் × -ஆல் குறியிடுக.

நிரல் 3 மற்றும் நிரல் 4-ல் ஒதுக்கீடு உள்ளது. எனவே 5-வது நிரலில் ஒரே ஒரு பூஜ்யம் உள்ளது. அந்த பூஜ்யத்தை 口-ஆல் குறியிடுக. குறியிட்ட நிரையில் உள்ள மற்ற அனைத்து பூஜ்யங்களையும் × -ஆல் குறியிடுக.

அனைத்து ஒதுக்கீடுகளும் செய்யப்பட்டுள்ளன.
உகந்த ஒதுக்கீடு மற்றும் மொத்த சிறும செலவு:

உகந்த ஒதுக்கீடு மொத்த செலவு(சிறும செலவு) = ரூ. 9

போக்கு மதிப்பை மீச்சிறு வர்க்க முறையில் கணக்கிட்டுச் செய்யலாம். ஆண்டுகளின் எண்ணிக்கை இரட்டைப்படையாக இருப்பதால், X-ஐக் காண பின்வரும் சூத்திரத்தை பயன்படுத்துவோம்.

\(a=\frac { \sum { Y } }{ n } =\frac { 47.8 }{ 8 } =5.975;b=\frac { \sum { XY } }{ \sum { { X }^{ 2 } } } =\frac { 8 6 }{ 168 } =0 05119\)
எனவே ,
Y = a + bX ; Y = 5.975 + 0 05119 X.
X = 1995, Y_t = 5 975 + 0 05119 \(\left( \frac { 1995-1998.5 }{ 0.5 } \right) \) = 5.6167
X = 1996, Y_t = 5 975 + 0 05119\(\left( \frac { 1996-1998.5 }{ 0.5 } \right) \)= 5.7190
இதே போல் மற்ற மதிப்புகளைப் பெறலாம்

(i) நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பின் நிபந்தனையிலிருந்து
\(\sum _{ i=1 }^{ \infty }{ p({ x }_{ i })=1 } \)
ஃ \(\sum _{ i=1 }^{ \infty }{ p({ x }_{ i })=1 } \)
0+a+2a+2a+3a+a²+2a²+7a²+a = 1
10a²+9a–1 = 0
(10a–1)(a+1) = 0
\(a=\cfrac { 1 }{ 10 } \) அல்லது -1
ஆனால் p(x) ஆனது குறை மதிப்பைக் கொண்டிருக்க முடியாது என்பதால், a = – 1 ஆனது பொருந்தாது எனவே ,\(a=\cfrac { 1 }{ 10 } \) ஆகும்.
(ii) P(X<3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)
=0+a+2a = 3a 
= \(\cfrac { 3 }{ 10 } \left( \therefore a=\cfrac { 1 }{ 10 } \right) \)
(iii) P(X>2)=1−P(X≤2)
= 1-[P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)]
= \(1-\cfrac { 3 }{ 10 } \)
= \(\cfrac { 7 }{ 10 } \)
(iv) P(2  < X ≤ 5) = P (X = 3) +  P( X = 4 )+ P (X = 5)
= 2a+3a+a²
= 5a+a²
= \(\cfrac { 5 }{ 10 } +\cfrac { 1 }{ 100 } = \cfrac { 51 }{ 100 }\)

முன்நோக்கு இடைச்செருகலின் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த உள்ளதால் f(x)-ன் கடைசி நான்கு மதிப்புகளை கருத்தில் கொள்க.[ x = 3 -லிருந்து எடுத்துக்கொள்க].
முன்நோக்கு இடைச்செருகல் சூத்திரம்
y_(x=x0+nh)\(={ y }_{ 0 }+\frac { n }{ 1! } \triangle y_{ 0 }+\frac { n(n-1) }{ 2! } { \triangle }^{ 2 }{ y }_{ 0 }+\frac { n(n-1)(n-2) }{ 3! } { \triangle }^{ 0 }y_{ 0 }+....\)
x₀+nh=3.2, x₀=3, h=1
∴ n=\(\frac{1}{5}\)
வேறுபாட்டு அட்டவணை

y_(x=3.2) =\(16+\frac { 1 }{ 5 } (4)+\frac { \frac { 1 }{ 5 } \left( \frac { -4 }{ 5 } \right) }{ 2 } (0)+\frac { \frac { 1 }{ 5 } \left( \frac { -4 }{ 5 } \right) \left( \frac { -9 }{ 5 } \right) }{ 6 } \times 10\)
=16+0.8+0+0.48
=17.28

x²dy+y(x+y)dx=0
x²dy=-y(x+y)dx
\(\frac { dy }{ dx } =\frac { -(xy+{ y }^{ 2 }) }{ { x }^{ 2 } } \)    ......(1)
y=vx மற்றும் \(\frac { dy }{ dx } =v+x\frac { dv }{ dx } \) என (1) -இல் பிரதியிட,
v+\(x\frac { dv }{ dx } =\frac { -(xvx+{ v }^{ 2 }x^{ 2 }) }{ x^{ 2 } } \)
=-(v+v²)
x\(\frac { dv }{ dx } \)=-v²-v-v
=(v²+2v)
மாறிகளை பிரிக்க கிடைப்பது,
\(\frac { dv }{ { v }^{ 2 }+2v } =\frac { -dx }{ x } \)
\(\frac { dv }{ v(v+2) } =\frac { -dx }{ x } \)
\(\frac { 1 }{ 2 } \left[ \frac { (v+2)-v }{ v(v+2) } \right] dv=\frac { -dx }{ x } \)
\(\frac { 1 }{ 2 } \int { \left( \frac { 1 }{ v } -\frac { 1 }{ v+2 } \right) } dv=-\int { \frac { dx }{ x } } \)
\(\frac { 1 }{ 2 } \)[logv-log(v+2)] =-logx+logc
\(\\ \\ \frac { 1 }{ 2 } log\frac { v }{ v+2 } =log\frac { c }{ x } \)
⇒ \(\frac { v }{ v+2 } =\frac { { c }^{ 2 } }{ x^{ 2 } } \)
v=\(\frac { y }{ x } \) எனப் பிரதியிட,
\(\frac { y }{ x\left( \frac { y }{ x } +2 \right) } =\frac { k }{ { x }^{ 2 } } \) இங்கு c²=k
\(\frac { y{ x }^{ 2 } }{ y+2x } \)=k     ......(2)
x =1 மற்றும் y = 1 எனில்,
∴ (2) ⇒ k=\(\frac { 1 }{ 1+2 } \)
k=\(\frac { 1 }{ 3 } \)
∴ 3x²y=2x+y என்பது தீர்வாகும்.

கணக்கின்படி MC =8+6x
C(x)=\(\int { (8+6x) } dx+{ k }_{ 1 }\)
=8x+3x²+k₁        .....(1)
x = 0 எனும் பொழுது  C = 0 ⇒ k₁=0
∴ C(x)=8x+3x²     .....(2)
மேலும் MR=24
R(x)=\(\int { MR } dx+{ k }_{ 2 }\)
=\(\int { 24 } dx+{ k }_{ 2 }\)
=24x+k₂
x = 0 எனில், வருவாய் = 0 ⇒ k₂=0
R(x)=24x  ...(3)
இலாபச்சார்பு P(x) = R(x) – C(x)
P(x)=24x–8x–3x²
=16x–3x²

சமன்பாடுகள் முறையே,
2x+3y=7
3x+5y=9
இங்கு Δ=\(\left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 3 & 5 \end{matrix} \right| \)=1≠0
ஆதலால் கிரேமர் விதியை பயன்படுத்தலாம்.
இப்பொழுது, Δ_x=\(\left| \begin{matrix} 7 & 3 \\ 9 & 5 \end{matrix} \right| \)=8, Δ_y=\(\left| \begin{matrix} 2 & 7 \\ 3 & 9 \end{matrix} \right| \)=-3
∴ கிரேமரின் விதிப்படி, x=\(\frac { \triangle x }{ \triangle } =\frac { 8 }{ 1 } \)=8, y=\(\frac { \triangle y }{ \triangle } =\frac { -3 }{ 1 } \)=-3
∴ தீர்வு x=8, y=-3

கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பிற்கான அணிச் சமன்பாடு 
\(\left( \begin{matrix} 5 & 3 & 7 \\ 3& 26& 2\\ 7& 2& 10\end{matrix} \right) \)\(\left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) \)=\(\left( \begin{matrix} 4\\ 9\\ 5\end{matrix} \right) \)
   AX =B 
விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணி 
(A ,B ) = \(\left( \begin{matrix} 5 \\ 3 \\ 7 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ 26 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} 7 \\ 2 \\ 10\end{matrix}\begin{matrix} 4 \\ 9 \\5 \end{matrix} \right) \)
 ~  \(\left( \begin{matrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ 121 \\ -11 \end{matrix}\begin{matrix} 7 \\ -11 \\ 1\end{matrix}\begin{matrix} 4 \\ 33 \\-3 \end{matrix} \right) \)R₂ ⟶ 5R₂ - 3R₁
                                    R₃ ⟶ 5R₃ - 7R₁
~\(\left( \begin{matrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ 11 \\ -11 \end{matrix}\begin{matrix} 7 \\ -1 \\ 1\end{matrix}\begin{matrix} 4 \\ 3\\-3 \end{matrix} \right) \)\({ { R }_{ 2} }\rightarrow \frac { { R }_{ 2 } }{ 11 } \)
~\(\left( \begin{matrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ 11 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 7 \\ -1 \\ 0\end{matrix}\begin{matrix} 4 \\ 3\\0\end{matrix} \right) \) R₃ ⟶ R₃ + R₂
இதுவே முக்கோண அமைப்பில் உள்ள கடைசி சமான அணியாகும் .
பூச்சியமற்ற நிரைகளின்  எண்ணிக்கை  = 2
ρ(A,B ) = ρ(A) =2 < 3 (மாறிகளின் எண்ணிக்கை )
எனவே , சமன்பாட்டுத் தொகுப்பானது ஒருங்கமைவுடையது மற்றும் ஒரே ஒரு தீர்வைக் கொண்டிருக்கும்.
கடைசி சமான அணியின் மாற்றப்பட்ட அணிச் சமன்பாடு 
\(\left( \begin{matrix} 5 & 3 & 7 \\ 0& 11& -1\\ 0& 0& 0\end{matrix} \right) \)\(\left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) \)=\(\left( \begin{matrix} 4\\ 3\\ 0\end{matrix} \right) \)
5x +3y  +7z  = 4
11y -z =3
z =k என்க ,k \(\epsilon \)R (k ஒரு மெய்யெண் )
(2)ல் பதிலிட \(\Rightarrow \)11y = 3+k 
y = \(\frac { 3+k }{ 11 } \)
(1) ல்  பதிலிட
5x +3\(\frac { k+3 }{ 11 } \) +7k =4
55x +3k +9+77k =44
55x =35 - 80k 
x =\(\frac { 35-80}{ 55 } \)
x =5\(\frac { (7-16k )}{ 55 } \)
= \(\frac {7-16k }{11 } \)
தீர்வுக் கணம் ={\(\frac {7-16k }{11 } \),\(\frac { 3+k }{ 11 } \),k } k \(\epsilon \)R 

\(E(X)=\sum x_i p_i=10\left(\frac{1}{10}\right)=1\)

E (X- Y) = E(X)-E(Y) = 5-(-2) = 7

\(x^2+y^2 =\mathrm{a}^2 \)
\(2 x+2 \mathrm{y} \frac{d y}{d x} =0 \Rightarrow x \mathrm{~d} x+\mathrm{ydy}=0 \)

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டை இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த,
\(\sqrt { \frac { { d }^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } } =\sqrt { \frac { dy }{ dx } +5 } \)
வரிசை = 2 படி = 1

பரப்பு \(=\int_1^2 \frac{d x}{x}=[\log x]_1^2\)
\( =\log 2-\log 1=\log 2\)ச.அலகுகள்

\(\int _{ 0 }^{ 1 }{ (2x+1) } dx ={ { \left[ \frac { { 2x }^{ 2 } }{2 }+ x \right] }^{ 1 }_{ 0 } }\) 
=1+1=2

\(\int { \frac { 1 }{ { x }^{ 3 } } dx } =\int { { { x }^{ 3 } } dx } = \frac { x^ {-2} }{-2} + c = \frac { -1 }{ 2x^{ 2 } } +x\)

திட்டவிலக்கம் \(\sigma\) =10, S.E. \(\bar { X } \) =3, S.E =\(\frac { \sigma }{ \sqrt { n } } \)
எனவே, \(3=\frac { 10 }{ \sqrt { n } } \Rightarrow \sqrt { n } =\frac { 10 }{ 3 } \)
இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த, \(n={ \left( \frac { 10 }{ 3 } \right) }^{ 2 }\frac { 100 }{ 9 } \)=11.11\(\cong \)11,
∴ தேவையான மாதிரியின் அளவு n = 11.

n = 5, தலை பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு p = q = 1/2
X என்ற சமவாய்ப்பு மாறியானது , கிடைக்கும் தலைகளின் எண்ணிக்கையைக் குறிப்பதாகக் கொண்டால், n முயற்சியில் கிடைக்கும் வெற்றியின் நிகழ்தகவு சார்பானது p = q = 1/2.
3 தலைகள் மட்டும் கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவு =5C_x\(\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) ^{ x }\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) ^{ 5-x }\)
=5C₃\(\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) ^{ 3 }\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) ^{ 5-3 }\)
=5C₃\(\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) ^{ 5 }\)
=\(\frac { 5 }{ 16 } \).

y = cx + c - c³
dy/dx = c 
(1) - ல் பிரதியிடுவதன் மூலம் c - யை நீக்க 
y =\(x\frac { dy }{ dx } +\frac { dy }{ dx } -\left( \frac { dt }{ dx } \right) ^{ 2 }\)

y = x

பரப்பு  \(=\int _{ 1 }^{ 2 }{ y\quad dx } \)
\( ={ \left( \frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } \right) }_{ 1 }^{ 2 }\)
 \(=\frac{1}{2}[4-1]\) \(\frac{3}{2}\) ச.அலகுகள்

f(x) = x³ cos³x என்க.
f(-x) = (-x)³ [cos(-x)]³
= -x³ (cos x)³
∴ f(-x) = -f(x) ⇒ f(x) ஓர் ஒற்றைச் சார்பு 
\(\Rightarrow \int _{ \frac { -\pi }{ 4 } }^{ \frac { \pi }{ 4 } }{ { x }^{ 3 } } { cos }^{ 3 }x\ dx=0\)

சாதாரணத் தொகையிடலுக்காக பிரித்தெழுத 
\(\frac { 8x+13 }{ \sqrt { 4x+7 } } =\frac { 2(4x+7)-1 }{ \sqrt { 4x+7 } } \)
\(=2\sqrt { 4x+7 } -\frac { 1 }{ \sqrt { 4x+7 } } \)
\(\int \frac { 8x+13 }{ \sqrt { 4x+7 } } dx =2\int \sqrt { 4x+7 } dx-\int (4x+7)^{ \frac { -1 }{ 2 } }dx\)
\(=2\frac { (4x+7)^{ \frac { 3 }{ 3 } } }{ 4\left( \frac { 3 }{ 2 } \right) } -\frac { (4x+7)^\frac { -1 }{ 2 }}{ 4\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) } +c\)
\(=\frac { (4x+7)^{ \frac { 3 }{ 2 } } }{ 3 } -\frac { (4x+7)^{ \frac { 1 }{ 2 } } }{ 2 } +c\)