மாறுதல் நிகழ்தகவு அணி T =\(\left( \begin{matrix} \frac { 1 }{ 3 } & \frac { 2 }{ 3 } \\ \frac { 4 }{ 5 } & \frac { 1 }{ 5 } \end{matrix} \right) \)
சமநிலையில், (S H)\(\left( \begin{matrix} \frac { 1 }{ 3 } & \frac { 2 }{ 3 } \\ \frac { 4 }{ 5 } & \frac { 1 }{ 5 } \end{matrix} \right) \) (S H)
இங்கு S + H = 1
\(\frac { 1 }{ 3 } S+\frac { 4 }{ 5 } H\)=S
\(\frac { 1 }{ 3 } (1-H)+\frac { 4 }{ 5 } H\)=1-H
இதைத் தீர்க்க, நாம் பெறுவது S =\(\frac { 6 }{ 11 } \) மற்றும் H =\(\frac { 5 }{ 11 } \) 
நீண்ட கால அடிப்படையில், தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட நாளில் மகிழ்ச்சியாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு \(\frac { 5 }{ 11 } \) ஆகும்.

சமன்பாட்டுத் தொகுப்பிற்கான அணிச் சமன்பாடு,
\(\left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ 4 & 2 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} 5 \\ 10 \end{matrix} \right) \)
   A          X     = B 

 ஏறுபடிவ அணியிலுள்ள பூச்சியமற்ற நிரைகளின் எண்ணிக்கை 1 ஆகும்.
இங்கு,  ρ(A)= ρ([A,B])=1 < மதிப்பிடவேண்டிய மாறிகளின் எண்ணிக்கை.
∴ கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டு தொகுப்பு ஒருங்கமைவு உடையது மற்றும் எண்ணிக்கையற்ற தீர்வுகளை பெற்றிருக்கும்.
தொகுப்பிற்கான சமான அணி வடிவம்,
\(\left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} 5 \\ 0 \end{matrix} \right) \) ஆகும்.
⇒ 2x+y=5       .......(1)
k \(\in \) R, y = k எனக் கொண்டால்,
x  = \(\frac{1}{2}\)(5-k) (1) லிருந்து
x =\(\frac{1}{2}\)(5-k), y = k; k \(\in \)R
k -யின் வெவ்வேறு மதிப்புகளுக்கு வெவ்வேறு தீர்வுகளை நாம் பெறலாம். எனவே கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பு ஒருங்கமைவு உடையது மற்றும் எண்ணிக்கையற்ற தீர்வுகளைப் பெற்றிருக்கும்.

A-ன் வரிசை 3 x 4  ∴ ρ(A) ≤3.
அணி A -ஐ, ஏறுபடி வடிவத்திற்கு மாற்றியமைக்க

ஏறுபடிவ அணியில் உள்ள பூச்சியமற்ற நிரைகளின் எண்ணிக்கை 3 ஆகும். ∴ ρ(A) =3.

A -ன் வரிசை 3 x 3  ∴ ρ(A) ≤3.
அணி A -ஐ, ஏறுபடி வடிவத்திற்கு மாற்றியமைக்க,

ஏறுபடிவ அணியில் உள்ள பூச்சியமற்ற நிரைகளின் எண்ணிக்கை 2 ஆகும். ∴ ρ(A)= 2.

A =\(\left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{matrix}\begin{matrix} -1 \\ 1 \\ 3 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ -2 \\ -7 \end{matrix} \right) \)என்க.
A -ன் வரிசை 3 x 4
∴ ρ(A) ≤3.
மூன்றாம் வரிசை கொண்ட சிற்றணிக்கோவைகளை கருத, நாம் பெறுவது
\(\left| \begin{matrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 4 & 1 \\ 3 & 6 & 3 \end{matrix} \right| =0,\left| \begin{matrix} 1 & -1 & 3 \\ 2 & 1 & -2 \\ 3 & 3 & -7 \end{matrix} \right| =0\)
\(\left| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & -2 \\ 3 & 6 & -7 \end{matrix} \right| =0,\left| \begin{matrix} 2 & -1 & 3 \\ 4 & 1 & -2 \\ 6 & 3 & -7 \end{matrix} \right| =0\) ஆகும்.
அனைத்து மூன்றாம் வரிசை கொண்ட சிற்றணிக்கோவைகளின் மதிப்புகளும் பூச்சியமாகும்.
ρ(A)≠3.
ஏதேனும் ஒரு இரண்டாம் வரிசை சிற்றணிக்கோவையை கருத, நாம் பெறுவது \(\left| \begin{matrix} 2 & -1 \\ 4 & 1 \end{matrix} \right| \)=6≠0 ஆகும்.
⇒ பூச்சியமற்ற சிற்றணிக்கோவையின் வரிசை 2 ஆகும்.  ∴ ρ(A) = 2

அணி சமன்பாடு
\(\left( \begin{matrix} 3 & -2 \\ 6 & -4 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} 6 \\ 10 \end{matrix} \right) \)
AX=B

∴  ρ([A,B])=2,  ρ(A)=1
 ρ(A) ≠ ρ([A,B])
∴  கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பு ஒருங்கமைவு அற்றது.

(i) மாறுதல் நிகழ்தகவு அணி

எனவே முதல் பாடவேளைக்குப் பின், கணிதம் பயிலும் மாணவர்கள் 76 பேர்களும் ஆங்கிலம் பயிலும் மாணவர்கள் 24 பேர்களும் இருப்பார்கள்.
இரு பாடவேளைகளுக்குப் பின்

=(77.6 22.4)
இரு பாட வேளைகளுக்குப் பின், கணிதம் பயிலும் மாணவர்கள் 78 பேர்களும் (தோராயமாக) மற்றும் ஆங்கிலம் பயிலும் மாணவர்கள் 22 பேர்களும் (தோராயமாக) இருப்பர்.
மாற்றுமுறை:

=(46.8+30.8, 13.2+9.2)
(77.6 22.4)

தரப்பட்ட சமன்பாட்டு தொகுப்புக்குரிய அணிச் சமன்பாடானது
\(\left( \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & a \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} 6 \\ 10 \\ b \end{matrix} \right) \)
    A                        X       =         B

கடைசி சமான அணி ஏறுபடிவ வடிவில் உள்ளது.
நிலை (i) தீர்வு இல்லை:
ρ(A) ≠ ρ([A,B]) எனில் தொகுப்பிற்கு தீர்வு இல்லை. a-3=0 மற்றும் b-10≠0 எனும்போது மட்டுமே ρ(A) ≠ ρ([A,B]) ஆகும்.
∴ a=3, b≠10 எனும்போது தொகுப்பிற்கு தீர்வு இல்லை.
நிலை (ii) ஒரே ஒரு தீர்வு:
ρ(A) = ρ([A,B])=மதிப்பிட வேண்டிய மாறிகளின் எண்ணிக்கை, எனில் தொகுப்பிற்கு எண்ணிக்கையற்ற தீர்வுகள் உண்டு.
இங்கு a-3≠0, எனில் ρ(A) = ρ([A,B])=3
∴ a≠3 மற்றும் b\(\in \)R எனில் தொகுப்பிற்கு ஒரே ஒரு தீர்வு உண்டு.
நிலை (iii) எண்ணிக்கையற்ற தீர்வுகள்:
ρ(A) = ρ([A,B]) < மதிப்பிட வேண்டிய மாறிகளின் எண்ணிக்கை, எனில் தொகுப்பிற்கு எண்ணிக்கையற்ற தீர்வுகள் உண்டு.
இங்கு a-3=0, b-10=0 எனில் ρ(A) = ρ([A,B])=2<3
எனவே a=3 மற்றும் b =10 எனும் போது தொகுப்பிற்கு எண்ணிக்கையற்ற தீர்வுகள் உண்டு.

தரப்பட்ட தொகுப்புக்குரிய அணிச் சமன்பாடு
\(\left( \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & k \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} 7 \\ 18 \\ 6 \end{matrix} \right) \)
   A                      X   =     B 

சமன்பாடுகள் ஒருங்கமைவு அற்றவை எனில்
ρ([A,B]) ​​​​​​≠ ​ρ(A)
k-2=0, ∴ k=2

தரப்பட்ட தொகுப்புக்குரிய அணிச் சமன்பாடானது
\(\left( \begin{matrix} 1 & 2 & -3 \\ 3 & -1 & -2 \\ 2 & 3 & -5 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} -2 \\ 1 \\ k \end{matrix} \right) \)
A  X  = B

 சமன்பாடுகள் ஒருங்கமைவு உடையவை எனில் ρ(A)=2, ρ([A,B])=2
∴ 21+7k =0
7k =-21
k =-3