Let \(I=\int { \log\left( x-\sqrt { { x }^{ 2 }-1 } \right) dx } \)
Let \(u=\log\left( x-\sqrt { { x }^{ 2 }-1 } \right) \)
dv = dx
and  v = x
\(du=\cfrac { 1 }{ x-\sqrt { { x }^{ 2 }-1 } } \left[ \cfrac { d }{ dx } \left( x-\sqrt { { x }^{ 2 }-1 } \right) \right] dx\)

= \(\cfrac { 1 }{ x-\sqrt { { x }^{ 2 }-1 } } \left( 1-\cfrac { x }{ \sqrt { { x }^{ 2 }-1 } } \right) dx\)
= \(\cfrac { 1 }{ x-\sqrt { { x }^{ 2 } } -1 } \left( \cfrac { \sqrt { { x }^{ 2 }-1-x } }{ \sqrt { { x }^{ 2 }-1 } } \right) dx\)

\(du=\cfrac { -1 }{ \sqrt { { x }^{ 2 }1 } } dx\)
\(\therefore\) Using integration by parts,
\(I=\int { u } dv==uv-\int { v } du\)
= \(\int { \log } (x-\sqrt { { x }^{ 2 }-1 } )dx\)
= \(x \log\left( x-\sqrt { { x }^{ 2 }-1 } \right) -\int { x } \left( \cfrac { -1 }{ \sqrt { { x }^{ 2 }-1 } } dx \right) \)
= \(x \log\left( { x }^{ 2 }-\sqrt { { x }^{ 2 }-1 } \right) +\int { \cfrac { x }{ \sqrt { { x }^{ 2 }-1 } } dx } \)
= \(I=x \log\left( x-\sqrt { { x }^{ 2 }-1 } \right) +{ I }_{ 1 }\)
Consider
\({ I }_{ 1 }=\int { \cfrac { x }{ \sqrt { { x }^{ 2 }-1 } } dx } \)

Put  t =x²-1
\(dt=2xdx\Rightarrow \cfrac { dt }{ 2 } =xdx\)
\({ I }_{ 1 }=\cfrac { 1 }{ 2 } \int { \cfrac { dt }{ \sqrt { t } } =\cfrac { 1 }{ 2 } \int { t^{ -\cfrac { 1 }{ 2 } } } dt } \)

= \(\sqrt { t } =\sqrt { { x }^{ 2 }-1 } \)
\(\left[ \because t={ x }^{ 2 }-1 \right] \)
Substituting I in (1) we get,
\(I=x \log\left( x-\sqrt { { x }^{ 2 }-1 } \right) +\sqrt { { x }^{ 2 }-1 } +c\)

\(I=\int { \cfrac { dx }{ 2-3x-{ 2x }^{ 2 } } } \)= \(-\cfrac { 1 }{ 2 } \int { \cfrac { dx }{ { x }^{ 2 }+\frac { 3 }{ 2 } x-1 } } \)
\(=-\cfrac { 1 }{ 2 } \int { \cfrac { dx }{ \left( x+\frac { 3 }{ 4 } \right) ^{ 2 }-1-\frac { 9 }{ 16 } } } \)
= \(-\cfrac { 1 }{ 2 } \int { \cfrac { dx }{ \left( x+\frac { 3 }{ 4 } \right) ^{ 2 }-\frac { 25 }{ 16 } } } \)
= \(\cfrac { 1 }{ 2 } \int { \cfrac { dx }{ \left( \frac { 5 }{ 4 } \right) ^{ 2 }-\left( x+\frac { 3 }{ 4 } \right) ^{ 2 } } } \)
= \(\left[ \because \int { \cfrac { dx }{ { a }^{ 2 }-{ x }^{ 2 } } =\cfrac { 1 }{ 2a } log\left( \cfrac { a+x }{ a-x } \right) } +c \right] \)
= \(\cfrac { 1 }{ 2 } \left[ \cfrac { 1 }{ 2\times \frac { 5 }{ 4 } } log\left[ \cfrac { \frac { 5 }{ 4 } +x+\frac { 3 }{ 4 } }{ \frac { 5 }{ 4 } -x\frac { 3 }{ 4 } } - \right] \right] +c\)

= \(\cfrac { 1 }{ 5 } log\left[ \cfrac { 2+x }{ 1-2x } \right] +c\)

\(Let\ I=\int { \frac { { e }^{ 3 \log x } }{ { x }^{ 4 }+1 } } dx\)
\(=\int { \frac { { e }^{ { { log }^{ 3 } } } }{ { x }^{ 4 }+1 } } dx\)
\(\left[ \because m \log n=\log{ n }^{ m } \right] \)
\(=\int { \frac { { x }^{ 3 } }{ { x }^{ 4 }+1 } } dx\)
\(\left[ \because { e }^{ \log x }=x \right] \)
\(put\ t\ = { x }^{ 4 }+1\)
\(\Rightarrow dt={ 4x }^{ 3 }dt\)
\(\Rightarrow \frac { dt }{ 4 } ={ x }^{ 3 }dx\)
\(\therefore I=\int { \frac { \frac { dt }{ 4 } }{ t } } \)
\(=\frac { 1 }{ 4 } \int { \frac { dt }{ t } } =\frac { 1 }{ 4 } \log { \left| t \right| } +c\)
\(=\frac { 1 }{ 4 } \log { \left| { x }^{ 4 }+1 \right| } +c\quad \left[ \because t={ x }^{ 4 }+1 \right] \)

\(\int { \frac { 1 }{ { \sin }^{ 2 }x{ \cos }^{ 2 }x } } dx\)
\(=\int { \frac { \left( { \sin }^{ 2 }x+{ \cos }^{ 2 }x \right) }{ { \sin }^{ 2 }x\ { \cos }^{ 2 }x } } dx\) [∵1 = sin²x + cos²x]

\(=\int { \frac { 1 }{ { \cos }^{ 2 }x } } dx+\int { \frac { dx }{ { \sin }^{ 2 }x } } \)
= ∫sec²x dx + ∫cosec²x dx
= tan x − cot x + c

Given f'(x) = e^x
⇒ ∫ f'(x) dx = ∫ e^x dx     [Taking integration both sides]
⇒ f(x) = e^x+ c ....... (1)
Also, f(0) = 2
⇒ 2 = e⁰ + c
⇒ 2 = 1+ c
⇒ 2 - 1 = c
⇒ c = 1
Substituting c = 1 in (1) we get,
f(x) = e^x+1

\(\int { \frac { { e }^{ 3x }+{ e }^{ 5x } }{ { e }^{ x }+{ e }^{ -x } } } dx\)
\(=\int { \left( \frac { { e }^{ 3x }+{ e }^{ 5x } }{ { e }^{ x }+\frac { 1 }{ { e }^{ x } } } \right) } dx\quad =\quad \int { \frac { { e }^{ 3x }+{ e }^{ 5x } }{ \frac { { e }^{ 2x }+1 }{ { e }^{ x } } } } dx\)
\(=\int { \frac { { e }^{ x }\left( { e }^{ 3x }+{ e }^{ 5x } \right) }{ { e }^{ 2x }+1 } } dx\)

\(=\int { { e }^{ 4x } } dx=\frac { { e }^{ 4x } }{ 4 } +c\)

Given f'(x) = \(\frac { 1 }{ x } \)
\(\Rightarrow \int { f^{ ' }\left( x \right) dx=\int { \frac { 1 }{ x } } } dx\)
\(\Rightarrow f(x)=\log { \left| x \right| } +c\)
\(Also\ f(1)=\frac { \pi }{ 4 } \)
\(\Rightarrow \frac { \pi }{ 4 } =\log { \left| 1 \right| +c } \)
\(\Rightarrow \frac { \pi }{ 4 } =c \quad \left[ \because \ \log1=0 \right] \)
Substituting c = π/4 in (1) we get,
\(f(x)=\log { \left| x \right| } +\frac { \pi }{ 4 } \)

\(\int { \frac { { x }^{ 3 } }{ x+2 } } dx\)
\(=\int { \left( { x }^{ 2 }-2x+4-\frac { 8 }{ x+2 } \right) } dx\)

\(=\frac { { x }^{ 3 } }{ 3 } -{ x }^{ 2 }+4x-8\log\left| x+2 \right| +c\)

\(\int \frac { 1 }{ \sqrt { x+1 } +\sqrt { x-1 } } { dx }\)
= Multiplying and dividing the conjugate of the denominator we get
\(=\int { \frac { \sqrt { x+1 } -\sqrt { x-1 } dx }{ \left( \sqrt { x+1 } +\sqrt { x-1 } \right) \left( \sqrt { x+1 } -\sqrt { x-1 } \right) } } \)
\(=\int { \frac { \sqrt { x+1 } -\sqrt { x-1 } }{ \left( x+1 \right) -\left( x-1 \right) } } dx\)
\(\left[ \because (a+b)(a-b)={ a }^{ 2 }-{ b }^{ 2 } \right] \)

\(=\int { \frac { \sqrt { x+1 } -\sqrt { x-1 } }{ 2 } } dx\)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \int { \left( { \left( x+1 \right) }^{ \frac { 1 }{ 2 } }-{ \left( x-1 \right) }^{ \frac { 1 }{ 2 } } \right) } dx\)
\(=\frac { 1 }{ 2 } \left[ \frac { { \left( x+1 \right) }^{ \frac { 3 }{ 2 } } }{ \frac { 3 }{ 2 } } -\frac { { \left( x-1 \right) }^{ \frac { 3 }{ 2 } } }{ \frac { 3 }{ 2 } } \right] +c\)


\(=\frac { 1 }{ 3 } \left[ { \left( x+1 \right) }^{ \frac { 3 }{ 2 } }-{ \left( x-1 \right) }^{ \frac { 3 }{ 2 } } \right] +c\)

\(\int { \frac { 8x+13 }{ \sqrt { 4x+7 } } } dx\)
\(=\int { \frac { 8x+14-1 }{ \sqrt { 4x+7 } } } dx\)
\(=\int { \frac { 2\left( 4x+7 \right) -1 }{ \sqrt { 4x+7 } } } dx\)
\(=2\int { \frac { \left( 4x+7 \right) }{ \sqrt { 4x+7 } } } dx-\int { \frac { 1 }{ \sqrt { 4x+7 } } } dx\)
\(=2\int { \sqrt { 4x+7 } dx-\int { \frac { 1 }{ \sqrt { 4x+7 } } } } dx\)
\(=2\int { { \left( 4x+7 \right) }^{ \frac { 1 }{ 2 } } } dx-\int { { \left( 4x+7 \right) }^{ -\frac { 1 }{ 2 } } } dx\)
\(=2\frac { { \left( 4x+7 \right) }^{ \frac { 1 }{ 2 } +1 } }{ 4\left( \frac { 1 }{ 2 } +1 \right) } -\frac { { \left( 4x+7 \right) }^{ -\frac { 1 }{ 2 } +1 } }{ 4\left( \frac { -1 }{ 2 } +1 \right) } +c\)
\(=2\frac { { \left( 4x+7 \right) }^{ \frac { 3 }{ 2 } } }{ 4\left( \frac { 3 }{ 2 } \right) } -\frac { { \left( 4x+7 \right) }^{ \frac { 1 }{ 2 } } }{ 4\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) } +c\)

\(=\frac { { \left( 4x+7 \right) }^{ \frac { 3 }{ 2 } } }{ 3 } -\frac { { { \left( 4x+7 \right) }^{ \frac { 1 }{ 2 } } } }{ 2 } +c\)

Given \(\int _{ 0 }^{ a }{ { 3x }^{ 2 } } dx=8\)

⇒ \({ \left[ { x }^{ 3 } \right] }_{ 0 }^{ a }=8\)
⇒ a³ - 0 = 8
⇒ a³ = 8
⇒ a³ = 2³
⇒ a = 2
∴ a = 2

Given f'(x) = 8x³ -2x²
∴ ∫ f'(x) dx = ∫ (8x³ - 2x²) dx
⇒ f(x) = \(\frac { { 8x }^{ 4 } }{ 4 } -\frac { { { 2x }^{ 3 } } }{ 3 } +c\)
⇒ f (x) = 2x⁴ - \(\frac { { { 2x }^{ 3 } } }{ 3 } +c\) ...(1)
Also, f(2) = 1
⇒ 1 = 2(2⁴) - \(\frac { { 2\left( { { 2 }^{ 3 } } \right) } }{ 3 } +c\)
⇒ 1 = 32 - \(\frac { { 16 } }{ 3 } +c\)
⇒ 1 - 32 + \(\frac { { 16 } }{ 3 } \) = c ⇒ -31 + \(\frac { { 16 } }{ 3 } \) =c
⇒ \(\frac { { -93+16 } }{ 3 } =c\)
⇒ c = \(\frac { { -77 } }{ 3 } \)
∴ (1) ⟶ f(x) = 2x⁴ - \(\frac { { 2x }^{ 3 } }{ 3 } -\frac { { -77 } }{ 3 } \)

 \(\int { \frac { { 2 }^{ x }+{ 3 }^{ x } }{ { 5 }^{ x } } dx } \) = \(\int { \frac { { 2 }^{ x } }{ { 5 }^{ x } } dx } +\int { \frac { { 3 }^{ x } }{ { 5 }^{ x } } } dx\)
= \(\int { { \left( \frac { 2 }{ 5 } \right) }^{ x } } dx+\int { { \left( \frac { 3 }{ 5 } \right) }^{ x } } dx\)
= \(\frac { { \left( \frac { 2 }{ 5 } \right) }^{ x } }{ { log }_{ e }\left( \frac { 2 }{ 5 } \right) } +\frac { { \left( \frac { 3 }{ 5 } \right) }^{ x } }{ { log }_{ e }\left( \frac { 3 }{ 5 } \right) } \)
\(\left[ \because \int { { { a }^{ x }dx=\frac { { a }^{ x } }{ { log }_{ e }a } +c } } \right] \)

We know that log_a^x = x
∴  ∫ a^3log_ax dx = ∫ a^log_ax³ dx = ∫ x³ dx
= \(\frac { { x }^{ 4 } }{ 4 } +c\)

Let I = \(\int _{ 0 }^{ \infty }{ { e }^{ -4x } } { x }^{ 4 }dx\)
Here n = 4 and a = 4
\(\therefore I=\frac { 4! }{ { 4 }^{ 4+1 } } =\frac { 4! }{ { 4 }^{ 5 } } \)
\(\left[ \because \int _{ 0 }^{ \infty }{ { x }^{ n }{ e }^{ -ax } } dx=\frac { n! }{ { a }^{ n+1 } } \right] \)

\(=\frac { 3 }{ 128 } \)