A =\(\left( \begin{matrix} 1 & 4 \\ 2 & 8 \end{matrix} \right) \)
A -ன் வரிசை 2 x 2, எனவே ρ(A) \(\le \) 2
\(\sim \) \(\left( \begin{matrix} 1 & 4 \\ 0 & 0 \end{matrix} \right) \)  R₂ → R₂ -2R₁ 
அணியின் தரம்  ρ(A)=1

x,y அலகுகள் தொழிலாளர் அலகு, மூலதனம் அலகு ஆகியவற்றின் விலையைக் குறிக்கட்டும்.
3x + 2y = 62
4x +y = 56
\(\Delta =\left| \begin{matrix} 3 & 2 \\ 4 & 1 \end{matrix} \right| =3(1)-4(2)=3-8=-5\not =0\)
∴ கிரேமரின் விதியைப் பயன்படுத்தலாம் 
\(\Delta x=\left| \begin{matrix} 62 & 2 \\ 56 & 1 \end{matrix} \right| =62(1)-56(2)=62-112=-50\)

\({ \Delta }_{ y }=\left| \begin{matrix} 3 & 62 \\ 4 & 56 \end{matrix} \right| =3(56)-4(62)\)
= 168 - 248 = -80

\(\therefore\) தொழிலாளருக்கான ஒரு அலகு செலவு ரூ.10 மற்றும் முதலீட்டிற்கான ஒரு அலகு செலவு ரூ.16

A =\(\left( \begin{matrix} 5 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & -4 \\ -2 & -4 & 8 \end{matrix} \right) \)என்க.
A-ன் வரிசை 3 x 3 ∴ ρ(A) ≤3
வரிசை மூன்று உடைய சிற்றணிக்கோவையை கருத, நாம் பெறுவது \(\left| \begin{matrix} 5 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & -4 \\ -2 & -4 & 8 \end{matrix} \right| \)=0
∴ மூன்றாம் வரிசைக் கொண்ட சிற்றணிக்கோவை பூச்சியமாவதால், ρ(A)≠ 3 ஆகும்.
இரண்டாம் வரிசை கொண்ட ஒரு சிற்றணிக்கோவையை கருத, நாம் பெறுவது \(\left| \begin{matrix} 5 & 3 \\ 1 & 2 \end{matrix} \right| \)=7≠ 0 ஆகும்.
⇒ பூச்சியமற்ற சிற்றணிக்கோவையின் வரிசை 2 ஆகும்.  ∴ ρ(A) =3

A=\(\left( \begin{matrix} -5 & -7 \\ 5 & 7 \end{matrix} \right) \) என்க.
A-ன் வரிசை 2 x 2 ∴ ρ(A) ≤2
இரண்டாம் வரிசை சிற்றணிக்கோவையை கருத, நாம் பெறுவது \(\left| \begin{matrix} -5 & -7 \\ 5 & 7 \end{matrix} \right| \)=0 ஆகும்.
இரண்டாம் வரிசை சிற்றணிக்கோவை பூச்சியமாவதால், ρ(A)≠2
ஒன்றாம் வரிசை கொண்ட ஒரு சிற்றணிக்கோவையை கருத, நாம் பெறுவது |-5| ≠ 0 ஆகும்.
⇒ பூச்சியமற்ற சிற்றணிக்கோவையின் வரிசை 1 ஆகும்.  ∴ ρ(A) =1

A=\(\left( \begin{matrix} 1 & 5 \\ 3 & 9 \end{matrix} \right) \)என்க
A-ன் வரிசை 2 x 2 ∴ ρ(A) ≤2
இரண்டாம் வரிசை சிற்றணிக்கோவையை கருத, நாம் பெறுவது
\(\left| \begin{matrix} 1 & 5 \\ 3 & 9 \end{matrix} \right| \)=-6≠0 ஆகும்.
⇒ பூச்சியமற்ற சிற்றணிக்கோவையின் வரிசை 2 ஆகும்.  ∴ ρ(A) ≤2

மாறுதல் நிகழ்தகவு அணி T =\(\left( \begin{matrix} \frac { 1 }{ 3 } & \frac { 2 }{ 3 } \\ \frac { 4 }{ 5 } & \frac { 1 }{ 5 } \end{matrix} \right) \)
சமநிலையில், (S H)\(\left( \begin{matrix} \frac { 1 }{ 3 } & \frac { 2 }{ 3 } \\ \frac { 4 }{ 5 } & \frac { 1 }{ 5 } \end{matrix} \right) \) (S H)
இங்கு S + H = 1
\(\frac { 1 }{ 3 } S+\frac { 4 }{ 5 } H\)=S
\(\frac { 1 }{ 3 } (1-H)+\frac { 4 }{ 5 } H\)=1-H
இதைத் தீர்க்க, நாம் பெறுவது S =\(\frac { 6 }{ 11 } \) மற்றும் H =\(\frac { 5 }{ 11 } \) 
நீண்ட கால அடிப்படையில், தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட நாளில் மகிழ்ச்சியாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு \(\frac { 5 }{ 11 } \) ஆகும்.

A  =\(\left( \begin{matrix} 4 \\ 3 \\ 4 \end{matrix}\begin{matrix} 5 \\ 2 \\ 4 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 8 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 6 \\ 0 \end{matrix} \right) \)
\(~ \begin{pmatrix} 4 & 5 & 2 & 2 \\ 0 & -7 & -2 & 18 \\ 0 & -1 & 6 & -2 \end{pmatrix}{ R }_{ 3 }\rightarrow { { 4R }_{ 3 } }{ -3R _ 1 } \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }+{ R }_{ 1 }\)
\(~ \begin{pmatrix} 4 & 5 & 2 & 2 \\ 0 & -7 & -2 & 18 \\ 0 & -1 & 44 & -32 \end{pmatrix}{ R }_{ 3 }\rightarrow { 7R }_{ 3 }+{ R }_{ 2 }\)
அணியின் தரம்  ρ(A)=3

\(A=\begin{pmatrix} -2 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & 4 & 7 \end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 & 7 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ -2 & 1 & 3 & 4 \end{pmatrix}{ R }_{ 3 }\leftrightarrow { R }_{ 3 }\)
\(\begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 & 7 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 7 & 11 & 18 \end{pmatrix}{ R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-2{ R }_{ 1 }\)
\(\begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 & 7 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 4 & 4 & 4 \end{pmatrix}{ R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-7{ R }_{ 2 }\)
அணியின் தரம் ρ(A)=3

x என்பது ஒரு மணி நேர குதிரை சவாரிக்கான மணிநேர வாடகை மற்றும் 'y' என்பது ஒரு மணி நேர கிவாட் பைக் சவாரிக்கான மணி நேர வாடகை என்க,
3x + 4y = 780
2x+ 3y = 560
\(\Delta =\left| \begin{matrix} 3 & 4 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right| =3(3)-2(4)=9-8=1\neq 0\)
∴ கிரேமரின் விதியைப் பயன்படுத்தலாம் 
\(\Delta x=\left| \begin{matrix} 780 & 4 \\ 560 & 3 \end{matrix} \right| =780(30-4(560)\)
= 2340 - 2240 = 100
\(\Delta y=\left| \begin{matrix} 3 & 780 \\ 2 & 560 \end{matrix} \right| =39560)-2(780)\)
= \(1680 - 1560\) = 120
\(\therefore x=\cfrac { \Delta x }{ \Delta } =\cfrac { 100 }{ 1 } =100\)
\(y=\cfrac { \Delta y }{ \Delta } =\cfrac { 120 }{ 1 } =120\)
\(\therefore\)  குதிரை சவாரிக்கான மணிநேர வாடகை ரூ.100 மற்றும் கிவாட் பைக் சவாரிக்கான மணி நேர வாடகை ரூ.120

அணி சமன்பாடு
\(\left( \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 7 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} 6 \\ 14 \\ 30 \end{matrix} \right) \)
A X = B

 கடைசி சமான அணி ஏறுபடி வடிவில் உள்ளது. இதில் இரண்டு பூச்சியமற்ற நிரைகள் உள்ளன.
∴ ρ(A)=ρ([A,B])=2
இங்கு, ρ(A)=ρ([A,B])=2 < மதிப்பிட வேண்டிய மாறிகளின் எண்ணிக்கை
எனவே, கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பு ஒருங்கமைவு உடையது. மேலும் எண்ணிக்கையற்ற தீர்வுகள் உண்டு.
கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பிற்கு சமானமான அணி சமன்பாடு
\(\\ \left( \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} 6 \\ 8 \\ 0 \end{matrix} \right) \)
x+y+z = 6   .....(1)
y+2z=8      .....(2)
(2) ⇒ y=8-2z
(1) ⇒ x=6-y-z=6-(8-2z)-z=z-2
z=k, k\(\in \)R எனக் கொண்டால் வெவ்வேறு தீர்வுகளை நாம் பெறலாம். எனவே கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பு எண்ணிக்கையற்ற தீர்வுகளைப் பெற்றிருக்கும்.

இங்கு Δ=\(\left| \begin{matrix} 4 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 3 \\ 1 & 2 & -1 \end{matrix} \right| \)=13≠0
∴ கிரேமரின் விதிப்படி, தொகுப்பு ஒருங்கமைவு உடையது மற்றும் ஒரே ஒரு தீர்வை பெற்றிருக்கும்.
Δ_x =\(\left| \begin{matrix} 4 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 3 \\ 1 & 2 & -1 \end{matrix} \right| \)=-13, Δ_y=\(\left| \begin{matrix} 1 & 4 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 1 & -1 \end{matrix} \right| \)=39, Δ_z =\(\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 4 \\ 2 & -1 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \end{matrix} \right| \)=26
∴ கிரேமரின் விதிப்படி
x =\(\frac { \triangle x }{ \triangle } =\frac { -13 }{ 13 } \)=-1, y =\(\frac { \triangle y }{ \triangle } =\frac { 39 }{ 13 } \)=3, z =\(\frac { \triangle z }{ \triangle } =\frac { 26 }{ 13 }\)=2
∴ தீர்வு {x,y,z} = {-1,3,2}

சமன்பாடுகள் முறையே,
2x+3y=7
3x+5y=9
இங்கு Δ=\(\left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 3 & 5 \end{matrix} \right| \)=1≠0
ஆதலால் கிரேமர் விதியை பயன்படுத்தலாம்.
இப்பொழுது, Δ_x=\(\left| \begin{matrix} 7 & 3 \\ 9 & 5 \end{matrix} \right| \)=8, Δ_y=\(\left| \begin{matrix} 2 & 7 \\ 3 & 9 \end{matrix} \right| \)=-3
∴ கிரேமரின் விதிப்படி, x=\(\frac { \triangle x }{ \triangle } =\frac { 8 }{ 1 } \)=8, y=\(\frac { \triangle y }{ \triangle } =\frac { -3 }{ 1 } \)=-3
∴ தீர்வு x=8, y=-3

மூன்று கணக்குகளிலும் முதலீடு செய்யப்பட்டத் தொகை முறையே x ,y  மற்றும் z என்க.
x+y+z = 8500
\(\frac { 2x }{ 100 } +\frac { 3y }{ 100 } +\frac { 6z }{ 100 } =380\)
2x+3y+6z =38000
 z=x+y
சமன்பாடுகள்
 x+y+z = 8500
2x+3y+6z =38000
x+y-z = 0
\(\Delta =\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 6 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix}\)
    = 1(-3-6)-1(-2-6)+1(2-3)
    = -9 +8 -1 = -2\(\neq \)0
\(\therefore \)கிரேமரின் விதியை பயன்படுத்தலாம் .
\(\Delta _{ x }=\begin{vmatrix} 8500 & 1 & 1 \\ 38000 & 3 & 6 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix}\quad \)
முதல் நிரலைப் பயன்படுத்தி விரிவாக்க,
=8500(-3-6)-38000(-1-1)
= -76500+76000 =- 500
\(\Delta _{ y }\quad =\begin{vmatrix} 1 & 8500 & 1 \\ 2 & 38000 & 6 \\ 1 & 0 & -1 \end{vmatrix}\)
இரண்டாம்  நிரலைப் பயன்படுத்தி விரிவாக்க,
= -8500(-2-6)+38000(-1-1)
=68000-76000 = -8000
\(\Delta _{ z }=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 8500 \\ 2 & 3 & 38000 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix}\)
மூன்றாம்  நிரலைப் பயன்படுத்தி விரிவாக்க,
=8500(2-3) -38000(1-1)
= -8500
\(x=\cfrac { { \Delta }_{ x } }{ \Delta } =\cfrac { -500 }{ -2 } =250\)
\(y=\cfrac { { \Delta }_{ y } }{ \Delta } =\cfrac { -8000 }{ -2 } =4000\)
\(z=\cfrac { { \Delta }_{ z } }{ \Delta } =\cfrac { -8500 }{ -2 } =4250\)
\(\therefore \) மூன்று கணக்குகளிலும் முதலீடு செய்யப்பட்ட தொகை  ரூ .250, ரூ.4000 மற்றும்  ரூ.4250.

x ,y ,z  என்பன X ,Y ,மற்றும் Z ஆகிய பொருட்களின் ஓர் அலகிற்கான விலையைக் குறிக்கட்டும் .
2x +3y-6z = 5000
3x-y+2z=2000
-x+3y+z =5500
கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பிற்கான அணிச் சமன்பாடு 
\(\left( \begin{matrix}2 & 3 & -6\\ 3&-1&2\\ -1& 3& 1\end{matrix} \right) \)\(\left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) \)=\(\left( \begin{matrix} 5000\\2000\\ 5500\end{matrix} \right) \)
               AX = B
விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணி 
(A,B)  = \(\left( \begin{matrix}2 & 3 & -6 &5000\\ 3&-1&2&2000\\ -1& 3& 1&5500\end{matrix} \right) \)
~ \(\left( \begin{matrix}2 & 3 & -6 &5000\\ 0&-11&22&-11,000\\ 0& 9& -4&16000\end{matrix} \right) \)R₂ ⟶ 2R₂ - 3R₁
                                                 R₃ ⟶ 2R₃ +R_1
~\(\left( \begin{matrix}2 & 3 & -6 &5000\\ 0&-1&2&-1,000\\ 0& 9& -4&16000\end{matrix} \right) \) \({ R }_{ 2 }\rightarrow \frac { { R }_{ 2 } }{ 11 } \)
~\(\left( \begin{matrix}2 & 3 & -6 &5000\\ 0&-1&2&-1,000\\ 0& 0& 14&7000\end{matrix} \right) \) R₃ ⟶R₃ +9R₂
ρ(A,B ) = ρ(A) = 3 = மாறிகளின் எண்ணிக்கை 
கடைசி சமான அணியின்  அணிச் சமன்பாடானது 
\(\left( \begin{matrix}2 & 3 & -6\\ 0&-1&2\\ 0&0& 14\end{matrix} \right) \)\(\left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) \)=\(\left( \begin{matrix} 5000\\-1000\\ 7000\end{matrix} \right) \)
2x+3y-6z = 5000   ....(1)
 -y +2z = -1000 .....(2)
14z = 7000 .....(3)
(3)\(\Rightarrow \) z =\(\frac { 7000 }{ 14 } \) = 500
-y + 1000 = -1000
-y = -2000
y = 2000
2x+3y-6z = 5000
2x + 6000-3000 = 5000
2x = 5000-3000
2x = 2000
x= 1000
தீர்வு :
X -ன் ஓர் அலகிற்கான  விலை ரூ .1000/-
Y -ன் ஓர் அலகிற்கான  விலை ரூ .2000/-
Z -ன் ஓர் அலகிற்கான  விலை ரூ .500/-

0.6 + x = 1 ⇒ x = 1 - 0.6 = 0.4

3 x 3 வரிசையுடைய அணியின் தரம் 2 என்பதால், அதன் அணிக்கோவை மதிப்பு பூஜ்ஜியம் ஆகும்.
i.e.) λ(λ² - 0) + 1 (0 - 1) + 0 = 0
λ² - 1 = 0 ⇒ λ = 1