\( \overline{\bar{X}}=\frac{\Sigma \bar{X}}{n}=\frac{462}{10}=46.2 \)
\( \bar{R}=\frac{\Sigma R}{n}=\frac{68}{10}=6.8\)
\(\bar{X}\) வரைபடத்தின் கட்டுப்பாட்டு வரம்புகள்
\(\mathrm{UCL} =\overline{\bar{X}}+A_2 \bar{R} \)
 =46.2+(0.58)(6.8) 
 =46.2+3.944=50.14 
\(\mathrm{CL}  =\bar{X}=46.2\)
\( L C L=\overline{\bar{X}}-A_2 \bar{R}\)
= 46.2 -3.944 = 42.26
இரண்டு புள்ளிகள் (53 மற்றும் 51) ஆனது கட்டுப்பாட்டு வரம்பிலிருந்து வெளியேறுவதால் செயல்முறையானது கட்டுப்பாட்டில் இல்லை எனலாம்.

லாஸ்பியரின் விலைக் குறியீட்டு எண்
\(P^{L}_{01}\)  =  \({\frac {\sum p_{1}q_{0}}{\sum p_{0}q_{0}}} \times 100\)
=  \(\frac {1280}{1200} \times {100}\) = 106.66
பாசியின் விலைக் குறியீட்டு எண்
\(P^{P}_{01}\) =  \({\frac {\sum p_{1}q_{1}}{\sum p_{0}q_{1}}} \times 100\)
=  \(\frac {1040}{973} \times {100}\) = 106.88
ஃபிஷர் விலைக் குறியீட்டு எண்
\(P_{01}^{F }=\sqrt{P_{01}^{L } \times P_{01}^P}=\sqrt{106.6 \times 106.8}=106.7\)

நிரல்களின் எண்ணிக்கையும் நிரைகளின் எண்ணிக்கையும் சமமாக உள்ளன. எனவே கொடுக்கப்பட்ட கணக்கானது சமச்சீரான ஒதுக்கீடு கணக்காகும்.



ஒவ்வொரு நிரையில் உள்ள மீச்சிறு மதிப்பை அந்த நிரையில் உள்ள அனைத்து மதிப்புகளிலிருந்தும் கழிக்க வேண்டும்.

ஒவ்வொரு நிரலில் உள்ள மீச்சிறு மதிப்பை அந்த நிரலில் உள்ள அனைத்து மதிப்புகளிலிருந்தும் கழிக்க வேண்டும்.


உகந்த ஒதுக்கீடு செய்ய முடியாது என்பதால் அனைத்து பூஜ்ஜியங்களையும் வெட்டுமாறு குறைந்தபட்ச எண்ணிக்கையிலான நேர்கோடுகளை வரையவும் 

நேர்க்கோடுகளின் எண்ணிக்கை 3 < நிரைகளின் எண்ணிக்கை, நேர்க்கோடுகள் வெட்டாத மதிப்புகளின் மீச்சிறு மதிப்பு 15.எனவே, அவற்றுடன் 15ஐ கழிக்க மற்றும் இரு கோடுகள் வெட்டும் மதிப்புடன் 15ஐ கூட்டுக.


அனைத்து ஒதுக்கீடுகளும் செய்யப்பட்டுள்ளன.
உகந்த ஒதுக்கீடு மற்றும் மொத்த தொலைவு 

உகந்த தொலைவு =570 மைல்கள்

லாஸ்பியரின் விலைக் குறியீட்டு எண்
\({ P }_{ 01 }^{ L }=\frac { \sum { { p }_{ 1 }{ q }_{ 0 } } }{ \sum { { p }_{ 0 }{ q }_{ 0 } } } \times 100=\frac { 487 }{ 376 } \times 100=129.5212\)
பாசியின் விலைக் குறியீட்டு எண்
\({ P }_{ 01 }^{ P }=\frac { \sum { { p }_{ 1 }{ q }_{ 1 } } }{ \sum { { p }_{ 0 }{ q }_{ 1 } } } \times 100=\frac { 709 }{ 565 } \times 100=125.4867\)
ஃபிஷர் விலைக் குறியீட்டு எண்
\({ P }_{ 01 }^{ F }=\left( \sqrt { \frac { \sum { { p }_{ 1 }{ q }_{ 0 } } \times \sum { { p }_{ 1 }{ q }_{ 1 } } }{ \sum { { p }_{ 0 }{ q }_{ 0 } } \times \sum { { p }_{ 0 }{ q }_{ 1 } } } } \right) \times 100=\left( \sqrt { \frac { 487\times 709 }{ 376\times 565 } } \right) \times 100=127.4879\)
லாஸ்பியர், பாசி, ஃபிஷரின் விலைக் குறியீட்டு எண்கள் அடிப்படை ஆண்டோடு நடப்பு ஆண்டை ஒப்பிடும் பொழுது பொருள்களின் விலையானது முறையே சராசரியாக, 29.52%, 25.48% மற்றும் 27.48% ஆக அதிகரித்துள்ளது

இங்கு சராசரி μ= 30 மற்றும் திட்டவிலக்கம் σ = 5
(i) X = 26 எனில், Z=(X−μ)/σ = (26 – 30)/5 = –0.8 மற்றும் X = 40 எனில், Z =\(\frac { 40-30 }{ 5 } \)=2
ஆகையால்,
P(26 < X < 40) ) = P(-0.8 ≤ Z < 2)
= P(-0.8 ≤ Z ≤ 0) + p(0 ≤ Z ≤ 2)
= P(0 ≤ Z ≤ 0.8) + P(0 ≤ Z ≤ 2)
= 0.2881 + 0.4772 (அட்டவணையிலிருந்து)
= 0.7653

(ii) X ≥ 45 எனும் போது நிகழ்தகவு X = 45 எனில்,
Z =\(\frac { X-\mu }{ \sigma } =\frac { 45-30 }{ 5 } \)=3
P( X ≥ 45) = P(Z ≥ 3)
= 0.5 - 0.49865
= 0.00135

இங்கு நிரல்களின் எண்ணிக்கையும், நிரைகளின் எண்ணிக்கையும் சமமாக உள்ளன. எனவே கொடுக்கப்பட்ட கணக்கானது சமச்சீரான ஒதுக்கீடு கணக்காகும். தற்போது அதன் தீர்வைக் காணலாம்.
படி 1:

 

ஒவ்வொரு நிரையில் உள்ள மீச்சிறு மதிப்பை அந்த நிரையில் உள்ள அனைத்து மதிப்புகளிலிருந்தும் கழிக்க வேண்டும்.

 

படி 2: ஒவ்வொரு நிரலில் உள்ள மீச்சிறு மதிப்பை அந்த நிரலில் உள்ள அனைத்து மதிப்புகளிலிருந்தும் கழிக்க வேண்டும்.

 

அனைத்து ஒதுக்கீடுகளும் செய்யப்பட்டுள்ளன.
உகந்த ஒதுக்கீடு மற்றும் மொத்த நேரம்

செயல்முறை:
(i) ஒரு நேர்க்கோட்டு போக்கானது Y = a + bX …(1) என்ற சமன்பாட்டின் மூலம் குறிப்பிடலாம். Y என்பது உண்மையான மதிப்பு, X என்பது காலம், a, b என்பது மாறிலிகள் ஆகும்.
(ii) கீழ்க்காணும் இயல்நிலை சமன்பாடுகள் மற்றும் கொடுக்கப்பட்ட புள்ளி விவரத்தில் உள்ள ஆண்டுகளின் எண்ணிக்கை n-ஐ கொண்டு தீர்ப்பதன் மூலம் மாறிலிகள் ‘a’ மற்றும் ‘b’ மதிப்பை காணலாம்.
ΣY = n a + b ΣX ...(2)
ΣXY = a ΣX + b ΣX² ...(3)
(iii) போக்கு சமன்பாட்டில் ‘a’ மற்றும் ‘b’ இன் மதிப்புகளைப் பிரதியிடுவதன் மூலம் பொருத்தமான கோட்டை பெற முடியும்.

முதல் கூறெடுப்பானது சமவாய்ப்பு முறையில் முதல் k அலகுகளிலிருந்து தெரிவு செய்யப்பட்டு, முதல் கூறிலிருந்து ஒவ்வொரு k ஆவது உறுப்புகளை அடுத்த கூறுகளாக தெரிவு செய்யப்பட்டு பெறப்படும் கூறெடுப்பு, முறைப் படுத்திய கூறெடுப்பு அல்லது முறை சார்ந்த மாதிரி எடுத்தல் முறை என அழைக்கப்படுகிறது.
முழுமைத் தொகுதியிலுள்ள உறுப்புகளின் முழுபட்டியலும் இருக்கும்போது முறைப்படுத்திய கூறெடுப்பு முறை பரவலாக பயன்படுத்தப்படுகிறது. இம்முறையைப் பயன்படுத்துவதற்கு ஏதுவாக உறுப்புகளை ஏறுவரிசையிலோ, அகரவரிசையிலோ, புவியியல் அடிப்படையிலோ அல்லது இதுபோன்ற மற்ற ஏனைய வரிசைகளிலிருந்து ஏதாவது ஒரு வரிசையில் அமைத்தல் வேண்டும். இம்முறையில் மாதிரிகளைத் தெரிவு செய்யும் போது, முதல் உறுப்பை சமவாய்ப்பு முறையில் தெரிவு செய்து பிறகு மற்றைய உறுப்புகளை நாம் வரையறுத்த வடிவத்திற்கு உட்பட்டு முதல் உறுப்பு சார்ந்த முறையாகவும் தொடர்ச்சியாகவும் தெரிவு செய்யப்படுகின்றன. இம்முறையில் முழுமைத் தொகுதி யிலுள்ள ஒவ்வொரு kஆவது உறுப்பு மாதிரியில் தேர்ந்தெடுக்கப்படுகின்றன. இங்கு k என்பது மாதிரி எடுத்தலின் இடைவெளி ஆகும். இடைவெளி k என்பது முழுமைத் தொகுதியின் அளவுக்கும் (N) மாதிரிகளின் அளவுக்கும் (n) உள்ள விகிதமாகும்.
கூறு இடைவெளி k = N/n 
உதாரணத்திற்கு : 6,000 உறுப்புகளைக் கொண்ட ஒரு முழுமைத் தொகுதியிலிருந்து 20 உறுப்புகளைக் கொண்ட ஒரு மாதிரியை முறைப்படுத்திய கூறெடுப்பு முறையில் தேர்வு செய்வதாக எடுத்துக்கொள்வோம். முதலில் 1 முதல் 6000 வரையிலான எண்களை அனைத்து 6000 உறுப்புகளுக்கும் குறியிட வேண்டும்.
மாதிரி இடைவெளி  \(k=\frac{N}{n}=\frac{6000}{20}=300 .\)
மாதிரி இடைவெளி k= 300 என்பது 6000 உறுப்புகள் கொண்ட முழுமைத் தொகுதியிலுள்ள ஒவ்வொரு 300 மாதிரியிலும் ஒரு மாதிரியைத் தெரிவு செய்யலாம். முதல் மாதிரி 50 வது எண்ணாகத் தெரிவு செய்வோமாயின் மற்ற உறுப்புகளை முதல் உறுப்பிலிருந்து இடைவெளி 300 ஐக் கூட்டிப் பெற வேண்டும் அதாவது (k=300) 50, 350, 650, 950, 1250, 1550, 1850, 2150, 2450, 2750, 3050, 3350, 3650, 3950, 4250, 4550, 4850, 5150, 5450, 5750. இவ்வெண்களை உறுப்புகளாக கொண்ட மாதிரிகளை முழுமைத் தொகுதியிலிருந்து தெரிவு செய்யலாம்.

(i) நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பு:
X  என்ற தனித்த சமவாய்ப்பு மாறியின் தனித்த மதிப்புகள் \(x_1, x_2, \ldots x_{\mathrm{n}}, \ldots\)என்க.மேலும்  இதன் நிகழ்தகவு சார்பு \(\mathrm{P}_{\mathrm{x}}(x)\) எனக் குறிப்பிடப்படுகிறது எனில்
\( P_X(x)=p(x) \)
\(= \begin{cases}P\left(X=x_i\right)=p_i=p\left(x_i\right), & x=x_i, i=1,2, \ldots n, \ldots \\ 0 & , x \neq x_i\end{cases}\) என வரையறுக்கப்படுகிறது.
(ii) நிகழ்தகவு அடர்த்திச் சார்பு:
தொகையிடக்கூடிய ஒர் இடைவெளி \(\left[\mathrm{t}_1\right., \mathrm{t}_2 ]\) இல் (திறந்த அல்லது மூடிய) அமையும் ஒரு சமவாய்ப்பு  மாறி X  - இன் நிகழ்தகவு \(f_x (x)\) ஆனது நிகழ்தகவு அடர்த்திச் சார்பு என்று வரையறுக்கப்படுகிறது:
\(P\left(\mathrm{t}_1 \leq \mathrm{X} \leq \mathrm{t}_2\right)=\int_{t_1}^{t_1} f_X(x) d x\)
(iii) நிகழ்தகவு பரவல் சார்பு :
தனித்த பரவலில், சமவாய்ப்பு மாறியின் பரவல் சார்பு
\(F_X(x)=P(X \leq x)=\sum_{x<x_i} P\left(x_i\right),(-\infty<x<\infty)\) என வரையறுக்கப்படுகிறது.
தொடர்ச்சியான பரவலில், சமவாய்ப்பு மாறியின் பரவல் சார்பு
\(F_X(x)=\mathrm{P}[\mathrm{X} \leq x]=\int_{-\infty}^x f(t) d t,-\infty<x<\infty\) என வரையறுக்கப்படுகிறது.

மழை பொழிவதற்கான நிகழ்தகவு p =\(\frac { 9 }{ 30 } =\frac { 3 }{ 10 } \) மற்றும் q =1-p=\(\frac { 7 }{ 10 } \).
P(X = x)=\({ n }_{ C_{ x } }\)p^x q^n-x
ஒரு வாரத்திற்கு ஏழு நாள்கள் எனில் P(X = x) =\(\left( \begin{matrix} 7 \\ 3 \end{matrix} \right) \left( \frac { 3 }{ 10 } \right) ^{ x }\left( \frac { 7 }{ 10 } \right) ^{ 7-x }\)
குறைந்தபட்சம் இரண்டு நாள்கள் மழை பொழிவதற்கான நிகழ்தகவுகள்,
P(x≥2)=1-P(X>2)
=1-[p(X=0)+P(X=1)]
P(X=0)=\(\left( \begin{matrix} 7 \\ 0 \end{matrix} \right) \left( \frac { 3 }{ 10 } \right) ^{ 0 }\left( \frac { 7 }{ 10 } \right) ^{ 7-0 }\)
=0.0823
மற்றும் P(X=1)=\(\left( \begin{matrix} 7 \\ 1 \end{matrix} \right) \left( \frac { 3 }{ 10 } \right) \left( \frac { 7 }{ 10 } \right) ^{ 7-1 }\)
=0.2471
எனவே , தேவையான நிகழ்தகவு = 1– [P(x = 0) +P(x = 1)]
= 1– [0.082 + 0.247]
= 0.6706

\(\left(D^2-2 D-15\right) y=0\)
துணைச் சமன்பாடு
m²-2 m-15  =0 
(m-5)(m+3)  =0
m  =-3,5
மூலங்கள் மெய்  மற்றும் வெவ்வேறானவை 
நிரப்புச் சார்பு: \(A e^{m_1 x}+B e^{m_2 x}\)
தீர்வு: \(\mathrm{y}=\mathrm{Ae}^{-3 x}+\mathrm{Be}^{5 x}\)
கொடுக்கப்பட்டது: \(\frac{d y}{d x}=0\) மற்றும் x=0
\(\frac{d y}{d x}  =-3 \mathrm{Ae}^{-3 x}+5 \mathrm{Be}^{5 x} \)
\(0  =-3 \mathrm{~A}+5 \mathrm{~B} \)
\(3 \mathrm{~A}-5 \mathrm{~B}  =0\)
மேலும் கொடுக்கப்பட்டது:
\(\frac{d^2 y}{d x^2} =2 \)  மற்றும்  x=0 
\(\frac{d^2 y}{d x^2}  =9 \mathrm{Ae}^{-3 x}+25 \mathrm{Be}^{5 x} \)
\(9 \mathrm{~A}+25 \mathrm{~B}  =2\)
(1) மற்றும் (2) ஆகியவற்றைத் தீர்க்க
(1) \(\times 5 \Rightarrow 15 \mathrm{~A}-25 \mathrm{~B}=0\)
(2) \(\Rightarrow \frac{9 \mathrm{~A}+25 \mathrm{~B}=2}{24 \mathrm{~A}=2} \Rightarrow \mathrm{A}=1 / 12\)
(1) \(\Rightarrow \quad 3\left(\frac{1}{12}\right)-5 B=0\)
\(\frac{1}{4}=5 \mathrm{~B} \Rightarrow \mathrm{B}=1 / 20\)
சிறப்புத் தீர்வு : \(\mathrm{y}=\frac{e^{-3 x}}{12}+\frac{e^{5 x}}{20}\)
y=\(\frac { { e }^{ -3x } }{ 12 } +\frac { { e }^{ 5x } }{ 20 } \)

\(\int _{ a }^{ b }{ f(x) } dx=\underset { n\rightarrow \infty \\ h\rightarrow 0 }{ \lim } \overset { n }{ \underset { r=1 }{ \Sigma } } f(a+rh)\)     ...(1)
இங்கு a=1, b=2, h=\(\frac { b-a }{ n } =\frac { 2-1 }{ n } =\frac { 1 }{ n } \) மற்றும் f(x)=2x+1
f(a+rh)=\(f\left( 1+\frac { r }{ n } \right) \)
=2\(\left( 1+\frac { r }{ n } \right) \)+1
2+\(\frac { 2r }{ n } \)+1
f(a+rh)=3+\(\frac { 2r }{ n } \)
இதை (1) -இல் பிரதியிட, நாம் பெறுவது
\(\int _{ 1 }^{ 2 }{ (2x+1) } dx=\underset { n\rightarrow \infty }{ \lim } \overset { n }{ \underset { r=1 }{ \Sigma } } \frac { 1 }{ n } \left( 3+\frac { 2r }{ n } \right) \)
=\(\underset { n\rightarrow \infty }{ \lim } \overset { n }{ \underset { r=1 }{ \Sigma } } \frac { 1 }{ n } \left( 3+\frac { 2r }{ n } \right) \)
=\(\underset { n\rightarrow \infty }{ \lim } \left[ \frac { 3 }{ n } \overset { n }{ \underset { r=1 }{ \Sigma } } 1+\frac { 2 }{ { n }^{ 2 } } \overset { n }{ \underset { r=1 }{ \Sigma } } r \right] \)
=\(\underset { n\rightarrow \infty }{ \lim } \left[ \frac { 3 }{ n } n\frac { 2 }{ { n }^{ 2 } } \frac { n(n+1) }{ 2 } \right] \)
=\(3+\underset { n\rightarrow \infty }{ \lim } \left( 1+\frac { 1 }{ n } \right) \)
∴ \(\int _{ 1 }^{ 2 }{ (2x+1) } dx\)
=3+1=4

\(\int _{ 1 }^{ 2 }{ \frac { 1 }{ (x+1)(x+2) } } dx\)=\(\int _{ 1 }^{ 2 }{ \left[ \frac { 1 }{ x+1 } -\frac { 1 }{ x+2 } \right] } dx\)
=\(\left[ \log|x+1|-\log|x+2| \right] _{ 1 }^{ 2 }\)
\(=\log\frac { 3 }{ 4 } -\log\frac { 2 }{ 3 } \)
\(=\log\frac { 9 }{ 8 } \)
பகுதி பின்னமாக்கல் முறையில்,
\(\frac { 1 }{ (x+1)(x+2) } =\frac { A }{ x+1 } +\frac { B }{ x+2 } \)
⇒ \(\frac { 1 }{ (x+1)(x+2) } =\frac { 1 }{ x+1 } +\frac { 1 }{ x+2 } \)

சமன்பாடுகள்
x+y+z=1
3x-y-z=4
x+5y+5z=k
அணிச் சமன்பாடு ,
\(\left( \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & -1 \\ 1 & 5 & 5 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} 1 \\ 4 \\ k \end{matrix} \right) \)
AX =B 
விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணி 
(A ,B ) =\(\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & -1 & 4 \\ 1 & 5 & 5 & k \end{pmatrix}\quad \)
~\(\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -4 & -4 & 1 \\ 0 & 4 & 4 & k-1 \end{pmatrix}\quad { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 3 }-3{ R }_{ 1 }\\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-\quad { R }_{ 1 }\quad \)
~\(\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -4 & -4 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & k \end{pmatrix}\)\(\quad { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }+{ R }_{ 2 }\quad \)
சமன்பாடுகள் ஒருங்கமையற்றதாக இருக்க ,
\(\rho \)(A ,B ) \(\neq \) 2
ஃ k \(\neq \) 0

சமன்பாடுகள் 
 x + 2y + z = 7,
2x − y + 2z = 4,
x + y − 2z = −1
\(\Delta =\begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & -2 \end{vmatrix}\)
=1(2-2)-2(-4-2)+1(2+1)
=12+3 =15 \(\neq \) 0
∴ கிரேமரின் விதியைப் பயன்படுத்தலாம் .
\({ \Delta }_{ x }=\begin{vmatrix} 7 & 2 & 1 \\ 4 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & -2 \end{vmatrix}\)
  = 7(2-2)-2(-8+2)+1(4-1)
 = 12+3 =15
\({ \Delta }_{ y }=\begin{vmatrix} 1 & 7 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 1 & -1 & -2 \end{vmatrix}\)
   = 1 (-8+2)-7(-4-2)+1(-2-4)
   = -6+42-6 =30
\({ \Delta }_{ z }=\begin{vmatrix} 1 & 2 & 7 \\ 2 & -1 & 4 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix}\)
= 1(1- 4) - 2 (- 2 - 4) + 7 (2 + 1)
 = - 3 + 12 + 21 = 30
\(x=\frac { { \Delta }_{ x } }{ { \Delta } } =\frac { 15 }{ 15 } =1\\ y=\frac { { \Delta }_{ y } }{ { \Delta } } =\frac { 30 }{ 15 } =2\\ z=\frac { { \Delta }_{ z } }{ { \Delta } } =\frac { 30 }{ 15 } =2\)
ஃ  தீர்வு x =1,y =2,z =2.

(i ) மாறுதல் நிகழ்தகவு அணி 
              S    M 
T =\(\underset { { { M } } }{ S } \begin{pmatrix} .7 & .3 \\ .3 & .7 \end{pmatrix}\)
தொடக்க நிலை =(.6 .4)
ஓராண்டிற்கு பிறகு 
 (.6  .4) \(\begin{pmatrix} .7 & .3 \\ .3 & .7 \end{pmatrix}\) = (.42+.12   .18+.28)
= (.54  .46)
ஓராண்டிற்குப் பிறகு 54% பேர் புதிய போக்குவரத்து வசதியையும் , 46% பேர் மெட்ரோ ரயிலையும் பயன்படுத்துவர் .
(ii) சமநிலையில் ,
(S   M ) \(\begin{pmatrix} .7 & .3 \\ .3 & .7 \end{pmatrix}\) = (S   M )
(.7S  +.3M .3S + .7M ) = (S   M )
(.7S  +.3M) = S  [இதில் S +M =1,M =1-S]
.7S +.3(1-S )=S 
.7S +.3- 3S = S
0.3 = S -.4S 
0.3 = 0.6S 
  S  =3/6 =1/2 =0.5 மற்றும் M =1-0.5 =0.5
\(\therefore \) காலப்போக்கில் 50% பேர் புதிய போக்குவரத்து வசதியைப் பயன்படுத்துவர் .   

C₁ வகை வாகனங்களின் எண்ணிக்கை x என்க.
C₂ வகை வாகனங்களின் எண்ணிக்கை y என்க.
C₃ வகை வாகனங்களின் எண்ணிக்கை z என்க.
∴ 3x+2y+4z=28
x+y+2z=13
2x+2y+z=14
இங்கு Δ=\(\left| \begin{matrix} 3 & 2 & 4 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{matrix} \right| \)=-3≠0
Δ_x=\(\left| \begin{matrix} 8 & 2 & 4 \\ 13 & 1 & 2 \\ 14 & 2 & 1 \end{matrix} \right| \)=-6
Δ_y=\(\left| \begin{matrix} 3 & 28 & 4 \\ 1 & 13 & 2 \\ 2 & 14 & 1 \end{matrix} \right| \)=-9
Δ_z=\(\left| \begin{matrix} 3 & 2 & 28 \\ 1 & 1 & 13 \\ 2 & 2 & 14 \end{matrix} \right| \)=-12
∴ கிரேமரின் விதிப்படி
x=\(\frac { \triangle x }{ \triangle } =\frac { -6 }{ -3 } \)=2
y=\(\frac { \triangle y }{ \triangle } =\frac { -9 }{ -3 } \)=3
z=\(\frac { \triangle z }{ \triangle } =\frac { -12 }{ -3 } \)=4
∴ உற்பத்தி செய்யப்படும் ஒவ்வொரு வகையான வாகனங்களின் எண்ணிக்கை முறையே 2, 3 மற்றும் 4 ஆகும்.

தரப்பட்ட சமன்பாட்டு தொகுப்புக்குரிய அணிச் சமன்பாடானது
\(\left( \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & a \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} 6 \\ 10 \\ b \end{matrix} \right) \)
    A                        X       =         B

கடைசி சமான அணி ஏறுபடிவ வடிவில் உள்ளது.
நிலை (i) தீர்வு இல்லை:
ρ(A) ≠ ρ([A,B]) எனில் தொகுப்பிற்கு தீர்வு இல்லை. a-3=0 மற்றும் b-10≠0 எனும்போது மட்டுமே ρ(A) ≠ ρ([A,B]) ஆகும்.
∴ a=3, b≠10 எனும்போது தொகுப்பிற்கு தீர்வு இல்லை.
நிலை (ii) ஒரே ஒரு தீர்வு:
ρ(A) = ρ([A,B])=மதிப்பிட வேண்டிய மாறிகளின் எண்ணிக்கை, எனில் தொகுப்பிற்கு எண்ணிக்கையற்ற தீர்வுகள் உண்டு.
இங்கு a-3≠0, எனில் ρ(A) = ρ([A,B])=3
∴ a≠3 மற்றும் b\(\in \)R எனில் தொகுப்பிற்கு ஒரே ஒரு தீர்வு உண்டு.
நிலை (iii) எண்ணிக்கையற்ற தீர்வுகள்:
ρ(A) = ρ([A,B]) < மதிப்பிட வேண்டிய மாறிகளின் எண்ணிக்கை, எனில் தொகுப்பிற்கு எண்ணிக்கையற்ற தீர்வுகள் உண்டு.
இங்கு a-3=0, b-10=0 எனில் ρ(A) = ρ([A,B])=2<3
எனவே a=3 மற்றும் b =10 எனும் போது தொகுப்பிற்கு எண்ணிக்கையற்ற தீர்வுகள் உண்டு.

x ,y மற்றும் z என்பன முறையே 6% ,7% மற்றும் 8% பத்திரங்களில் இடப்பட்ட தொகை என்க.
x +y +z  = 5000
\(\frac { 6x }{ 100 } +\frac { 7y }{ 100 }+\frac { 8z }{ 100 } = 358\)
 6x +7y +8z  = 35800
\(\frac { 6x }{ 100 } +\frac { 7y }{ 100 }-\frac { 8z }{ 100 } = 70\)
  6x +7y -8z  = 7000
கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பிற்கான அணிச் சமன்பாடு 
\(\left( \begin{matrix}1 & 1& 1\\ 6&7&8\\ 6&7& -8\end{matrix} \right) \)\(\left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) \)=\(\left( \begin{matrix} 5000\\35800\\ 7000\end{matrix} \right) \)
      AX = B
விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணி 
(A,B)  = \(\left( \begin{matrix}1 & 1 & 1 &5000\\6&7&8&35800 \\ 6& 7& -8 &7000\end{matrix} \right) \)
~ \(\left( \begin{matrix}1 & 1 & 1 &5000\\0&1&2&5800 \\0& 1& -14 &-23000\end{matrix} \right) \) R₂ ⟶ R₂ - 6R₁
                                              R₃ ⟶ R₃ - 6R_1
~ \(\left( \begin{matrix}1 & 1 & 1 &5000\\0&1&2&5800 \\0& 1& -16 &-28800\end{matrix} \right) \) R₃ ⟶ R₃ - R₂
ρ(A,B ) = ρ(A) = 3 = (மாறிகளின் எண்ணிக்கை )
சமன்பாட்டு தொகுப்பானது ஒருங்கமைவுடையது மற்றும் ஒரேயொரு தீர்வைக் கொண்டது.
கடைசி சமான அணியின் மாற்றப்பட்ட அணிச் சமன்பாடு 
\(\left( \begin{matrix}1 & 1& 1\\0&1&2\\ 0&0& -16\end{matrix} \right) \) \(\left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) \)=\(\left( \begin{matrix} 5000\\5800\\ -28800\end{matrix} \right) \)
-16z  = -28800
z  = 1800
y +2z  = 5800
y = 5800-3600
y = 2200
x +y +z  = 5000
x +2200+1800 = 5000
x =1000
\(\therefore \quad \)6% , 7% மற்றும் 8% பத்திரங்களில் முதலீடு செய்யப்பட்ட தொகை முறையே  ரூ. 1000, ரூ. 2200 மற்றும் ரூ. 1800 ஆகும் .

தரப்பட்ட தொகுப்புக்குரிய அணிச் சமன்பாடானது
\(\left( \begin{matrix} 1 & 2 & -3 \\ 3 & -1 & -2 \\ 2 & 3 & -5 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} -2 \\ 1 \\ k \end{matrix} \right) \)
A  X  = B

 சமன்பாடுகள் ஒருங்கமைவு உடையவை எனில் ρ(A)=2, ρ([A,B])=2
∴ 21+7k =0
7k =-21
k =-3