வாழ்க்கை குறியீட்டு எண் \(=\frac{\sum P V}{\sum V}=\frac{3284.77}{28}=117.31\)

(i) சிறுமத்தில் பெருமம்

(3000, 1000,6000) ன் மீப்பெரு மதிப்புகள் = 6000, எனவே கடன் பத்திரங்கள் மூலம் முதலீடு செய்வதே சிறந்த திட்டமாகும்.
(ii) பெருமத்தில் சிறுமம்.

(10,000, 8000, 6000)-இன் மீச்சிறு மதிப்புகள் = 6000, எனவே கடன் பத்திரங்கள் மூலம் முதலீடு செய்வதே சிறந்த திட்டமாகும்.

கீழ்க்காணும் முறைகளின் மூலம் நாம் போக்கு மதிப்பை அளவிட முடியும்.
(i) வரைபட முறை (Freehand or Graphic Method).
(ii) பகுதி சராசரி முறை (Method of Semi Averages).
(iii) நகரும் சராசரி முறை (Method of Moving Averages).
(iv) மீச்சிறு வர்க்க முறை (Method of Least Squares).

p = பக்க விளைவை ஏற்படுத்துவதற்கான நிகழ்தகவு
\(\mathrm{n} =10, \mathrm{p}=\frac{3}{100}=0.03 \)
\(\mathrm{q} =1-\mathrm{p}=1-0.03=0.97 \)
\(\mathrm{P}(\mathrm{X} =x)=\mathrm{nC}_x \mathrm{p}^x \mathrm{q}^{\mathrm{n}-x} \)
\(P(X \geq 1) =1-\mathrm{P}(\mathrm{X}=0) \)
\( =1-10 \mathrm{C}_0(0.03)^0(0.97)^{10} \)
=1-0.7374=0.2626

x₁, x₂, ...x_n என்ற எண்ணத்தக்க மெய்‌ மதிப்புகளை உடைய தனித்த சமவாய்ப்பு மாறி X -ன்‌ நிகழ்தகவுகள்‌ p(x₁), p(x₂), p(x₃) ... P(x_n)..., எனில்‌, இதன்‌ தனித்த திரள்‌ பரவல்‌ சார்பு அல்லது பரவல்‌ சார்பு பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது.
அனைத்து x ∈ R -க்கு, \( F_x(x)=\mathrm{P}(\mathrm{X} \leq x), \)
அதாவது, \(F_x(x)=\sum_{x<x_i} p\left(x_i\right)\) தொடர்ச்சியான சமவாய்ப்பு மாறி X இன்‌ நிகழ்தகவு அடர்த்திச்‌ சார்பு f_x(x)எனில்‌, சார்பு F_x(x) பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது,
\(F_X(x)=\mathrm{P}[\mathrm{X} \leq x]=\int_{-\infty}^x f(t) d t,-\infty<x<\infty\)
இது தொடர்ச்சியான சமவாய்ப்பு மாறி X - இன்‌ பரவல்‌ சார்பு அல்லது (சில நேரங்கள்‌) திரள்‌ பரவல்‌ சார்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது, 

இது நிகழ்தகவு நிறை சார்பு என்பதால் 
\(\sum_{i=1}^{\infty} p\left(x_i\right) =1 \)
\(p(2)+p(4)+p(6)+p(8) =1 \)
\(2 k+4 k+6 k+k(8-2) =1 \)
\(2 k+4 k+6 k+6 k =1 \)
\(18 k =1 \)
\(k =\frac{1}{18}\) எனவே நிறுவப்பட்டது.

கொடுக்கப்பட்ட போக்குவரத்து அட்டவணை

அதாவது, மொத்த இருப்புகள் = மொத்த தேவைகள் . எனவே கொடுக்கப்பட்ட கணக்கானது சமநிலை போக்குவரத்து கணக்காகும்.
முதல் ஒதுக்கீடு :

இரண்டாம் ஒதுக்கீடு:

மூன்றாவது ஒதுக்கீடு:

நான்காம் ஒதுக்கீடு:

ஐந்தாவது ஒதுக்கீடு:

இறுதி ஒதுக்கீடு:

போக்குவரத்து விவரம் :O₁⟶ D₁, O₁⟶ D₂, O₂⟶ D₂, O₂⟶ D₃, O₃⟶ D₃, O₃⟶ D₃.
மொத்த போக்குவரத்து செலவு = (6×6)+(8×4)+(2×9)+(14×2)+(1×6)+(4×2) = ரூ.128

கூறுவெளி (S) ={ (HHH), (HHT), (HTH), (HTT),(THH),(THT),(TTH),(TTT)}
X ஏற்கும் மதிப்புகள் : 3, 2, 2, 1, 2, 1, 1 மற்றும் 0

இவ்வாறாக,

ஈருறுப்புப் பரவலின் பண்பளவைகள் n மற்றும் p ஆகும்.
ஈருறுப்புப் பரவலின் சராசரியின் மதிப்பு np = 20
திட்டவிலக்கம் = \(\sqrt { npq } \)=4
∴ npq = 16
⇒ \(\frac { npq }{ np } =\frac { 16 }{ 20 } =\frac { 4 }{ 5 } \)
q=\(\frac { 4 }{ 5 } \)
⇒ p=1-q = 1-\(\left( \frac { 4 }{ 5 } \right) =\frac { 1 }{ 5 } \)
np=20
n=\(\frac { 20 }{ p } \)
n=100

முதலாவதாக முழுமை தொகுதிலுள்ள 8585 குழந்தைகளுக்கும் கொடுக்கப்பட்ட அலைவெண் அட்டவணையைப் பயன்படுத்தி வரிசை எண் குறிப்பிட வேண்டும். உயரம் 105 செ.மீ இல் 2 குழந்தைகள் உள்ளதால், இவ்விரு குழந்தைகளுக்கு 1, 2 என எண்கள் குறிப்பிடவேண்டும். 107 செ.மீ. உயரமுள்ள அடுத்த நான்கு குழந்தைகளுக்கு 3, 4, 5 மற்றும் 6 ஆகிய வரிசை எண்களை குறிக்க வேண்டும். இதேபோல் மற்ற உயரங்கள் கொண்ட குழந்தைகளுக்கும் தொடர் வரிசை எண்களைக் கொண்டு குறியிட வேண்டும். கடைசியாக 145 செ .மீ.உயரமுள்ள குழுவில் இரண்டு குழந்தைகளுக்கு 8584 மற்றும் 8585 ஆகிய எண்களை குறியீடாக வழங்கலாம்.

முழுமைத் தொகுதியின் அளவு நான்கிலக்க எண் ஆதலால் நமக்கு தேவையான 10மாதிரிகளை   அட்டவணையிலிருந்து பெறலாம். அட்டவணையின் முதல் நிரலிருந்து தொடங்கி முழுமை தொகுதியின் அளவான 8585-க்கு மிகாமல் எண்களை தேர்வு செய்து கீழ்கண்டவாறு நிழலிடப்படுகிறது.

2952 என்ற எண் குறியிட்டுள்ள குழந்தையின் உயரத்தை காண வேண்டுமாயின் குவிவு நிகழ்வெண் நிரலில் 2952- க்கு அடுத்த அதிககுவிவு நிகழ்வெண் 3589-க்கு உரிய உயரமான 123 செ.மீட்டரை தேர்வு செய்யவும். இதேபோல் மற்ற எண்களுக்கு உரிய குழந்தையின் உயரத்தை கண்டு தேவையான 10 குழந்தைகள் மற்றும் அவர்களின் உயரங்கள் மாதிரியை கீழ்கண்ட அட்டவணையை உள்ளவாறு காணலாம்.

A =\(\left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{matrix}\begin{matrix} -1 \\ 1 \\ 3 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ -2 \\ -7 \end{matrix} \right) \)என்க 
A -ன்  வரிசை 3 x 4, எனவே ρ(A) ≤ 3
∼\(\left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} -1 \\ 3 \\ 6 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ -8 \\ -16 \end{matrix} \right) \)R₂ ⟶ R₂ -2R₁ 
                               R₃ ⟶ R₃ - 3R₁
∼\(\left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} -1 \\ 3 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ -8 \\ 0\end{matrix} \right) \)R₃ ⟶ R₃- 2R₂
ஏறுபடிவ அணியில் உள்ள பூச்சியமற்ற நிரைகளின் எண்ணிக்கை 3 ஆகும். ∴ ρ(A)= 3.

Δ⁴U₀=(E-1)⁴U₀
=(E⁴-4E³+6E²-4E+1)U0
=E⁴U₀-4E³U₀+6E²U₀-4EU₀+U₀
=U₄-4U₃+6U₂-4U₁+U₀
=29-4(28)+6(21)-4(11)+1
=156-156=0

மாறிகளை பிரிக்க, நாம் பெறுவது
\(\frac { \sec^{ 2 }x }{ \tan x } dx+\frac { \sec^{ 2 }y }{ \tan y } dy\)
தொகையிட நாம் பெறுவது
\(\\ \int { \frac { \sec^{ 2 }x }{ \tan x } } +\int { \frac { \sec^{ 2 }y }{ \tan y } } dy\)
log tanx+log tany=log c
log(tanx tany)=log c
tanx tany=c

\(\mathrm{MR} =275-x-0.3 x^2 \)
\(\mathrm{R} =\int_{10}^{20}\left(275-x-0.3 x^2\right) d x \)
\(\mathrm{R} =\left[275 x-\frac{x^2}{2}-\frac{0.3 x^3}{3}\right]_{10}^{20}\)
மொத்த வருவாய்
R =5500-200-800-(2750-50-100)
=4500-2600=₹ 1900
= ரூ.1,900

f(θ) = sin²θ என்க.
f(-θ) = [sin(-θ)]²
= [-sin θ]²= sin² θ
= f (θ)
∴f(-θ) = f(θ)⇒ f(θ) ஓர் இரட்டைச் சார்பு 
\(\Rightarrow \int _{ -\frac { \pi }{ 2 } }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ { \sin }^{ 2 } } \theta \ d\theta= 2\int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ { \sin }^{ 2 }\theta \ d\theta } \)
\(=2\int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ \frac { \left( 1-\cos2\theta \right) }{ 2 } d\theta } \)
[∵ cos 2θ = 1 - 2sin²θ ⇒ 2 sin²θ = 1- cos2θ ⇒ sin²θ \(=\frac { 1-\cos2\theta }{ 2 } \)]
\(=\int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ \left( 1-\cos { 2\theta } \right) } d\theta ={ \left[ \theta -\frac { \sin2\theta }{ 2 } \right] }_{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }\)
\(=\left( \frac { \pi }{ 2 } -\frac { \sin\left( 2\times \frac { \pi }{ 2 } \right) }{ 2 } \right) -\left( 0-\frac { \sin(2)(0) }{ 2 } \right) \)
\(=\frac { \pi }{ 2 } -\frac { \sin\pi }{ 2 } -0+0\)
\(=\frac { \pi }{ 2 } -\frac { 0 }{ 2 } \)
\(=\frac { \pi }{ 2 } \)

\(\int _{ 0 }^{ 3 }{ \frac { { e }^{ x } }{ 1+{ e }^{ x } } } dx\)
t = 1+ e^x
⇒ dt = e^x dx
இங்கு  x = 0, t = 1+e⁰ = 1+1=2
x = 3, t = 1+e³
\(\int _{ 0 }^{ 3 }{ \frac { { e }^{ x } }{ 1+{ e }^{ x } } } dx=\int _{ 2 }^{ 1+{ e }^{ 3 } }{ \frac { dt }{ t } } ={ { \left[ log\quad t \right] }_{ 2 } }^{ 1+{ e }^{ 3 } }\)
= log (1+e³) - log2
\(=\log { \left( \frac { 1+{ e }^{ 3 } }{ 2 } \right) } \)

\(\int \left( \frac { \cos 2x+2\sin ^{ 2 } x }{ \cos ^{ 2 } x } \right) dx\)=\(\int \frac { 1-2\sin ^{ 2 } x+2\sin ^{ 2 } x }{ \cos ^{ 2 } x } dx\)
\(=\int \frac { dx }{ \cos ^{ 2 } x } =\)\(\int \sec ^{ 2 } xdx=\tan x+c\)
 

A  =\(\left( \begin{matrix} 4 \\ 3 \\ 4 \end{matrix}\begin{matrix} 5 \\ 2 \\ 4 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 8 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 6 \\ 0 \end{matrix} \right) \)
\(~ \begin{pmatrix} 4 & 5 & 2 & 2 \\ 0 & -7 & -2 & 18 \\ 0 & -1 & 6 & -2 \end{pmatrix}{ R }_{ 3 }\rightarrow { { 4R }_{ 3 } }{ -3R _ 1 } \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }+{ R }_{ 1 }\)
\(~ \begin{pmatrix} 4 & 5 & 2 & 2 \\ 0 & -7 & -2 & 18 \\ 0 & -1 & 44 & -32 \end{pmatrix}{ R }_{ 3 }\rightarrow { 7R }_{ 3 }+{ R }_{ 2 }\)
அணியின் தரம்  ρ(A)=3

x ,y என்பன முறையே இரண்டு கணக்குகளிலும் முதலீடு செய்யப்பட்ட தொகை என்க.
x + y = 8600   ..(1)
\(4\cfrac { 3 }{ 4 } \times \cfrac { x }{ 100 } +6\cfrac { 1 }{ 2 } \times \cfrac { y }{ 100 } =431.25\)
\(\Rightarrow \cfrac { 19x }{ 400 } +\cfrac { 13y }{ 3200 } =431.25\)
\(\Rightarrow \cfrac { 19x+26y }{ 400 } =431.25\)
19x + 26y = 172500
x + y = 8600
19x + 26y = 172500   ...(2)
\(\Delta =\left| \begin{matrix} 1 & 1 \\ 19 & 26 \end{matrix} \right| =1(26)-1(19)\)
= 26-19 =7 
\({ \Delta }x=\left| \begin{matrix} 8600 & 1 \\ 172500 & 26 \end{matrix} \right| =8600(26)-1(172500)\)
= 223600 - 172500 = 51100
\(\Delta y=\left| \begin{matrix} 1 & 8600 \\ 19 & 172500 \end{matrix} \right| =1(172500)-19(8600)\)
= 172500 - 163400 = 9100
\(x=\cfrac { \Delta x }{ \Delta } -\cfrac { 51100 }{ 7 } =7300\)
\(y=\cfrac { \Delta y }{ \Delta } =\cfrac { 9100 }{ 7 } =1300\)
\(\therefore\)  4\(\frac{3}{4}\)% -ல் முதலீடு செய்யப்பட்ட தொகை ரூ.7,300
6\(\frac{1}{2}\)% -ல் முதலீடு செய்யப்பட்ட தொகை ரூ.1300