வாய்ப்பு காரணங்கள் என்பது உற்பத்தி செயல் முறைகளில் இயற்கையாகவோ அல்லது இயல்பாகவோ ஏற்படும் சிறிய மாறுபாடுகள் ஆகும். இந்த காரணங்களால் ஏற்படும் மாறுபாடுகள் மனித கட்டுப்பாட்டிற்கு அப்பாற்பட்டதாகும் இதைத் தடுக்கவோ, அகற்றவோ எந்த சூழ்நிலைகளிலும் முடியாது. பொருள்களின் தரத்திற்கு எந்தவித பாதிப்பையும் ஏற்படுத்தாத சிறிய விளைவுகள், வாய்ப்பு காரணங்கள் என அழைக்கப்படுகிறது . உதாரணமாக மழை, வெள்ளம், மின்தடை போன்றவை ஆகும்.

பாசியின் விலை குறியீட்டு எண்
\(P_{01}^P=\frac{\sum p_1 q_1}{\sum p_0 q_1} \times 100\)
இங்கு,
p₁ - நடப்பு ஆண்டின் விலை
p₀ - அடிப்படை ஆண்டின் விலை
q₁ - நடப்பு ஆண்டின் அளவு
q₀ - அடிப்படை ஆண்டின் அளவு 
பாசியின் விலை குறியீட்டு எண்ணில், நடப்பு ஆண்டின் அளவைகள், நிறையாக பயன்படுத்தப்படுகிறது.

ஒரே ஒரு மதிப்பை, மதிப்பீட்டு அளவையாகப் (Estimate) பயன்படுத்தி, தொகுதிப்பண்பளவையின் மதிப்பைப் பெற முடியுமானால், அம்முறை புள்ளி மதிப்பீட்டு முறை (Point estimation) என்று அழைக்கப்படுகிறது.மாறாக தொகுதிப் பண்பளவையின் மதிப்பு ஒரு தனி எண்ணாக இருக்குமாயின் அதனை புள்ளி மதிப்பீட்டு முறை எனலாம்.

(27, 25, 23, 32) இன் மீச்சிறு மதிப்பு = 23. எனவே E3 என்பது சிறந்த மாற்று நடவடிக்கையாகும்

X என்ற சமவாய்ப்பு மாறி பாய்சான் பரவலை பின்பற்றி அதனுடைய பண்பளவையான λ என்பது குறையற்ற மதிப்பினைப் பெற்றிருப்பின், அதன் நிகழ்தகவு அடர்த்திச் சார்பினை பின்வருமாறு வரையறை செய்யலாம்.
P(x, λ )= P(X=x)

மொத்த அளிப்புகள் = மொத்த தேவைகள் கொடுக்கப்பட்ட கணக்கானது சமநிலை போக்குவரத்து கணக்காகும்.

சமவாய்ப்பு மாறி X - என்பது தொகை என்க.
\(\begin{array}{|c|c|c|} \hline \boldsymbol{x} & 5000 & -8000 \\ \hline \mathbf{P}(\boldsymbol{x}) & 0.62 & 0.38 \\ \hline \end{array} \)
\(\mathrm{E}(\mathrm{X}) =\sum_x x P_x(x) \)
 =5000(0.62)-8000(0.38) 
 =3100-3040=60
எதிர்பார்க்கும் இலாபம் = ரூ.60

1. கடந்த கால நடவடிக்கைகளை பகுப்பாய்வு செய்வதற்கு.
2. எதிர்கால அம்சங்களை கணிப்பதற்கும் மற்றும் திட்டமிடுவதற்கும் உதவுகிறது.
3. நிகழ்கால செயல்பாடுகளை மதிப்பீடு செய்வதற்கு.
4. காலம்சார் தொடரானது ஒரு குறிப்பிட்ட கால வரைவுகளை மற்ற கால வரைவுகளுடன் ஒப்பிட்டு ஆய்வுகள் செய்ய உதவுகிறது.

(i) படுகை கூறெடுப்பில், கூறுகளின் எண்ணிக்கை சிறிய அளவுள்ளதாக இருப்பினும் அதன் துல்லியத்தன்மை குறைவதில்லை .
(ii) முழுமைத்தொகுதி பகுக்கப்பட்டிருந்தால் எளிதில் நிர்வகிக்க முடியும்.
(iii) அரசானது புவியியல் அடிப்படையில் நிலப்பகுதிகளை இடம் மற்றும் பரப்பளவைப் பொறுத்து படுகைகளாக பிரித்துள்ளதால் நேரம் மற்றும் செலவைக் குறைக்க முடிகிறது.

மகிழுந்துகளின் எண்ணிக்கை X என்க

(i) \(p(x_{ i })\ge \forall \) மற்றும்
(ii) \(\sum _{ i=1 }^{ \infty }{ p({ x }_{ i })=p(0)+p(1)+p(2)+p(3)+p(4) } \)
= 0.03+0.32+0.38+0.19+0.08 = 1
எனவே , p(x_i)ஒரு நிகழ்தகவு நிறை சார்பு ஆகும்.

A = \(\left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 3 & -6 \end{matrix} \right) \)என்க 
A -ன்  வரிசை 2 x 2, எனவே ρ(A) \(\le \) 2
\(\sim \)\(\left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 0 & -3 \end{matrix} \right) \) R₂ → R₂ -3R₁ 
அணியின் தரம்  ρ(A) = 2

\( \log \left(\frac{d y}{d x}\right)=\mathrm{ax}+\mathrm{by} \)
\( \frac{d y}{d x}=\mathrm{e}^{a x+b y} \)
\( \frac{d y}{d x}=\mathrm{e}^{\mathrm{ax}} \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{by}} \)
\(\int \frac{d y}{e^{b y}}=\int e^{a x} d x \)
\( \int e^{-b y} d y=\int e^{a x} d x \)
\( \frac{e^{-b y}}{-b}=\frac{e^{a x}}{a}+c \)
\( \frac{e^{a x}}{a}=-\frac{e^{-b y}}{b}+c \)

\(\frac { { d }^{ 3 }y }{ dx^{ 3 } } +3\left( \frac { dy }{ dx } \right) ^{ 3 }+2\frac { dy }{ dx } =0\)
வரிசை = 3 படி = 1

x₀=3, x₁ = 7, x₂ = 11, x₃ = 19, x = 15
y₀ = 42, y₁ = 43, y₂ = 47, y₃ = 60
\(y= \frac{\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\left(x-x_3\right)}{\left(x_0-x_1\right)\left(x_0-x_2\right)\left(x_0-x_3\right)} y_0 +\frac{\left(x-x_0\right)\left(x-x_2\right)\left(x-x_3\right)}{\left(x_1-x_0\right)\left(x_1-x_2\right)\left(x_1-x_3\right)} y_1 +\frac{\left(x-x_0\right)\left(x-x_1\right)\left(x-x_3\right)}{\left(x_2-x_0\right)\left(x_2-x_1\right)\left(x_2-x_3\right)} y_2 +\frac{\left(x-x_0\right)\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)}{\left(x_3-x_0\right)\left(x_3-x_1\right)\left(x_3-x_2\right)} y_3 \)
\(= \frac{(8)(4)(-4)}{(-4)(-8)(-16)}(42)+\frac{(12)(4)(-4)}{(4)(-4)(-12)}(43) +\frac{(12)(8)(-4)}{(8)(4)(-8)}(47)+\frac{(12)(8)(4)}{(16)(12)(8)}(60)\)
\(= \frac{42}{4}-43+\frac{47(3)}{2}+15 = 10.5-43+70.5+15=53 \)

இறுதிநிலை வருவாய்ச் சார்பு MR =14-6x+9x²
வருவாய்ச் சார்பு \(\mathrm{R} =\int\left(14-6 \mathrm{x}+9 \mathrm{x}^2\right) d x \)
\(\mathrm{R} =14 x-\frac{6 x^2}{2}+\frac{9 x^3}{3}+k \)
x = 0, R = 0 எனில்  k  =0
\(\mathrm{R}  =14 x-3 x^2+3 x^3 \)
தேவை சார்பு: \(\mathrm{p}  =\frac{R}{x} \)
\( =14-3 x+3 x^2\)

x-2y-12=0
x=2y+12


தேவைப்படும் பரப்பு
=\(\int _{ 2 }^{ 5 }{ xdy } \)
=\(\int _{ 2 }^{ 5 }{ \left[ 2y+12 \right] } dy=\left[ y^{ 2 }+12y \right] _{ 2 }^{ 5 }\)
=(25+60)-(4+24)=57 சதுர அலகுகள்.

\(I=\int { \cfrac { dx }{ 2-3x-{ 2x }^{ 2 } } } \)= \(-\cfrac { 1 }{ 2 } \int { \cfrac { dx }{ { x }^{ 2 }+\frac { 3 }{ 2 } x-1 } } \)
\(=-\cfrac { 1 }{ 2 } \int { \cfrac { dx }{ \left( x+\frac { 3 }{ 4 } \right) ^{ 2 }-1-\frac { 9 }{ 16 } } } \)
= \(-\cfrac { 1 }{ 2 } \int { \cfrac { dx }{ \left( x+\frac { 3 }{ 4 } \right) ^{ 2 }-\frac { 25 }{ 16 } } } \)
= \(\cfrac { 1 }{ 2 } \int { \cfrac { dx }{ \left( \frac { 5 }{ 4 } \right) ^{ 2 }-\left( x+\frac { 3 }{ 4 } \right) ^{ 2 } } } \)
= \(\left[ \because \int { \cfrac { dx }{ { a }^{ 2 }-{ x }^{ 2 } } =\cfrac { 1 }{ 2a } log\left( \cfrac { a+x }{ a-x } \right) } +c \right] \)
= \(\cfrac { 1 }{ 2 } \left[ \cfrac { 1 }{ 2\times \frac { 5 }{ 4 } } log\left[ \cfrac { \frac { 5 }{ 4 } +x+\frac { 3 }{ 4 } }{ \frac { 5 }{ 4 } -x\frac { 3 }{ 4 } } - \right] \right] +c\)

= \(\cfrac { 1 }{ 5 } log\left[ \cfrac { 2+x }{ 1-2x } \right] +c\)

\(\int { \sqrt { x^{ 2 }+5 } } dx=\int { \sqrt { { x }^{ 2 }+(\sqrt { 5 } )^{ 2 } } } dx\)
\(=\frac { x }{ 2 } \sqrt { { x }^{ 2 }+(\sqrt { 5 } )^{ 2 } } +\frac { (\sqrt { 5 } )^{ 2 } }{ 2 } \log|x+\sqrt { { x }^{ 2 }+\left( \sqrt { 5 } \right) ^{ 2 } } |+c\)
\(=\frac { x }{ 2 } \sqrt { { x }^{ 2 }+5 } +\frac { 5 }{ 2 } \log|x+\sqrt { { x }^{ 2 }+5 } |+c\)

\(\int { \frac { { x }^{ 3 }dx }{ \sqrt { { x }^{ 8 }-1 } } } \)
\(=\int { \frac { { x }^{ 3 }dx }{ \sqrt { { \left( { x }^{ 4 } \right) }^{ 2 }-1 } } } \)
\( { x }^{ 4 }=t\Rightarrow { 4x }^{ 3 }dx=dt\Rightarrow { x }^{ 3 }dx=\frac { dt }{ 4 } \)
\(=\frac { 1 }{ 4 } \int { \frac { dt }{ \sqrt { { t }^{ 2 } } -1 } } \)
\(=\frac { 1 }{ 4 } \int { \frac { dt }{ \sqrt { { t }^{ 2 }-{ 1 }^{ 2 } } } } \)
\(=\frac { 1 }{ 4 } \log { \left| t+\sqrt { { t }^{ 2 }-1 } \right| } +c\)
\(\left[ \because \int { \frac { dx }{ \sqrt { { x }^{ 2 }+{ a }^{ 2 } } } =\log { \left| x+\sqrt { { x }^{ 2 }+{ a }^{ 2 } } \right| +c } } \right] \)
\(=\frac { 1 }{ 4 } \log { \left| { x }^{ 4 }+\sqrt { { x }^{ 8 }-1 } \right| } +c\)

\(\frac { 6x+7 }{ \sqrt { 3{ x }^{ 2 }+7x-1 } } \)
\(\int \frac { f^{ \prime }(x) }{ f(x) } dx\) \(=2\sqrt { f(x)}+c\)
= 2\(\sqrt { 3x^{ 2 }+7x-1 } \)

\(\int \frac { x^{ 4 }-x^{ 2 }+2 }{ x-1 } dx\)
\(=\int \frac { x^{ 2 }\left( x^{ 2 }-1 \right) }{ x-1 } dx+2\int \frac { dx }{ x-1 } \)
\(=\int \frac { x^{ 2 }(x+1)(x-1) }{ x-1 } dx+2\log |x-1|+c\)
\(=\int \left( x^{ 3 }+x^{ 2 } \right) dx+2\log |x-1|+c\)
\(=\frac { x^{ 4 } }{ 4 } +\frac { x^{ 3 } }{ 3 } +2\log |x-1|+c\)

\(\int \sqrt { 3x+5 } dx=\int (3x+5)^{ \frac { 1 }{ 2 } }dx\)
\(=\frac { (3x+5)^{ \frac { 1 }{ 2 } +1 } }{ 3\left( \frac { 1 }{ 2 } +1 \right) } +c\)
\(=\frac { (3x+5)^{ \frac { 3 }{ 2 } } }{ 9/2 } +c\)
\(=\frac { 2 }{ 9 } (3x+5)^{ \frac { 3 }{ 2 } }+c\)
 

\(\int { \frac { dx }{ { \left( 2x+3 \right) }^{ 2 } } } \) =\(\int { { \left( 2x+3 \right) }^{ -2 }dx } \)
= \(-\frac { 1 }{ 2\left( 2x+3 \right) } +c\)

\(\int { \frac { 2 }{ 3x+5 } dx } =2\int { \frac { 1 }{ 3x+5 }} \)dx
\(=\frac { { 2 } }{ 3 } \log\left| 3x+5 \right| +c\)

A=\(\left( \begin{matrix} -5 & -7 \\ 5 & 7 \end{matrix} \right) \) என்க.
A-ன் வரிசை 2 x 2 ∴ ρ(A) ≤2
இரண்டாம் வரிசை சிற்றணிக்கோவையை கருத, நாம் பெறுவது \(\left| \begin{matrix} -5 & -7 \\ 5 & 7 \end{matrix} \right| \)=0 ஆகும்.
இரண்டாம் வரிசை சிற்றணிக்கோவை பூச்சியமாவதால், ρ(A)≠2
ஒன்றாம் வரிசை கொண்ட ஒரு சிற்றணிக்கோவையை கருத, நாம் பெறுவது |-5| ≠ 0 ஆகும்.
⇒ பூச்சியமற்ற சிற்றணிக்கோவையின் வரிசை 1 ஆகும்.  ∴ ρ(A) =1