t நேரத்தில் பொருளின் இருப்பு x(t) என்க. பின்னர் \(\frac { dx }{ dt } =kx.\)
மாறிகளைப் பிரித்து எழுத, \(\frac { dx }{ x } =kdt\)
இரு பக்கமும் தொகையிட, \(log\left| x \right| =kt+log\left| C \right| \) அல்லது \(x={ Ce }^{ kt }\)
இங்கு C எதேச்சை மாறிலி.
t = 0 எனும்போது பொருளின் இருப்பு x₀ என்க. எனவே, C = x₀ ஆகும்.
ஆதலால், x = x₀e^kt
t = 50 எனும்போது x = 2x₀, என்பதால் \(k=\frac { 1 }{ 50 } log2\) ஆகும்.
எனவே, t நேரத்தில் பொருளின் இருப்பு \(x={ x }_{ 0 }{ 2 }^{ \frac { 1 }{ 50 } }\) ஆகும்.
t₁நேரத்தில் பொருளின் இருப்பு மும்மடங்காகிறது என்க.
அதாவது, t = t₁ எனில் x = 3x₀ என்பதால் \({ t }_{ 1 }=50\left( \frac { \log 3 }{ \log2 } \right) \) ஆகும்.
எனவே, \(50\left( \frac {\log3 }{ \log2 } \right) \) வருடங்களில் பொருளின் இருப்பு மும்மடங்காகும். 

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு \(\frac { dy }{ dx } +2y={ e }^{ -x }\) ...(1)
இது \(\frac { dy }{ dx } +Py=Q\) என்ற நேரியல் வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் வடிவில் உள்ளது. இங்கு P = 2; Q = e^-x ஆகும்.
\(\int { pdx } =\int { 2dx } =2x.\)
தொகையீட்டுக்காரணி (தொ.கா) \(={ e }^{ \int { pdx } }={ e }^{ 2x }\)
எனவே, சமன்பாடு (1)-ன் தீர்வு \(y{ e }^{ \int { pdx } }=\int { { Qe }^{ \int { pdx } } } dx+C.\)
\({ ye }^{ 2x }=\int { { e }^{ -x }{ e }^{ 2x }dx+c } \) அல்லது \({ ye }^{ 2x }={ e }^{ x }+C\text { or} \ Y={ e }^{ -x }+{ Ce }^{ -2x }\)
இதுவே சமன்பாடு (1)-ன் தீர்வாகும்.

\((1+{ x }^{ 2 })\frac { dy }{ dx } =1+{ y }^{ 2 }\) ...(1)
கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டின் மாறிகளைப் பிரித்து
\(\frac { dy }{ { 1+y }^{ 2 } } =\frac { dx }{ { 1+x }^{ x } } \) ...(2)
என எழுதலாம்.
சமன்பாடு (2)-ன் இருபக்கமும் தொகையிடக் கிடைப்பது tan^-1 y = tan^-1 x + C. ...( 3)
ஆனால் tan^-1 y - tan^-1 x = tan^-1 \(\left( \frac { y-x }{ 1+xy } \right) \) ...(4)
சமன்பாடு (4)ஐ (3)-ல் பயன்படுத்தக் கிடைப்பது
tan^-1 \(\left( \frac { y-x }{ 1+xy } \right)\) = C ⇒ \(\frac { y-x }{ 1+xy } \) = tan C = a (என்க).
ஆகவே , y − x = a(1+ xy) . இதுவே தேவையான தீர்வு ஆகும்.

தேவையான அரங்கத்தின் பரப்பானது படம் - ல் நிழலிடப்பட்டுள்ளது. இப்பரப்பானது x − அச்சின் மேல் உள்ளது. எனவே தேவையான பரப்பு.


A = \(\int ^{3}_{-1} y dx\) = \(\int ^{3}_{-1} (\frac {30-6x}{5})\) dx =  \((\frac {30x-3x^2}{5})^{3}_{-1}\)
= \((\frac {90-27}{5})\) - \((\frac {-30-3}{5})\) = \(\frac {96}{5}\) . 

f(x) = x cos x  என்க.
f (-x) = (-x) cos (-x) = - x cos x =  -f(x)
எனவே , f(x) = x  cos x ஓர் ஒற்றைப் படைச் சார்பாகும்.
f(x) என்ற ஒற்றைப் படை சார்பிற்கு \(\int ^{a}_{-a}\) f(x) dx =  0 என்ற பண்பை பயன்படுத்தக் கிடைப்பது \(\int ^\frac{\pi}{2}_\frac{\pi}{2}\) x  cos x dx = 0.

இங்கு \(a=1,b=1.5,n=5,f(x)=2-x\) 
எனவே,ஒவ்வொரு  இடைவெளியின் அகலம் 
\(h=\Delta x=\cfrac { b-a }{ n } =\cfrac { 1.5-1 }{ 5 } =0.1\) 
இடைவெளியின் துண்டுகளைத் தரும் புள்ளிகள் 
\({ x }_{ 0 }=1,{ x }_{ 1 }=1.1,{ x }_{ 2 }=1.2,{ x }_{ 3 }=1.3,{ x }_{ 4 }=1.4,{ x }_{ 5 }=1.5\) 
சம அளவு \(\Delta x\) கொண்ட ரீமன் கூட்டலுக்கான நடு-முனை விதியானது.
\(S=\left[ f\left( \cfrac { { x }_{ 0 }+{ x }_{ 1 } }{ 2 } \right) +f\left( \cfrac { { x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 } }{ 2 } \right) +...+f\left( \cfrac { { x }_{ n-1 }+{ x }_{ n } }{ 2 } \right) \right] \Delta x\) 
\(f\left( \cfrac { { x }_{ 0 }+{ x }_{ 2 } }{ 2 } \right) =f\left( \cfrac { 1+1.1 }{ 2 } \right) =f\left( 1.05 \right) =2-1.05=0.95\) 
\(f\left( \cfrac { { x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 } }{ 2 } \right) =f\left( \cfrac { 1.1+1.2 }{ 2 } \right) =f\left( 1.15 \right) =2-1.15=0.85\) 
\(f\left( \cfrac { { x }_{ 2 }+{ x }_{ 3 } }{ 2 } \right) =f\left( \cfrac { 1.2+1.3 }{ 2 } \right) =f\left( 1.25 \right) =2-1.25=0.75\) 
\(f\left( \cfrac { { x }_{ 3 }+{ x }_{ 4 } }{ 2 } \right) =f\left( \cfrac { 1.3+1.4 }{ 2 } \right) =f\left( 1.35 \right) =2-1.35=0.65\) 
\(f\left( \cfrac { { x }_{ 4 }+{ x }_{ 5 } }{ 2 } \right) =f\left( \cfrac { 1.4+1.5 }{ 2 } \right) =f\left( 1.45 \right) =2-1.45=0.55\) 
\(\therefore S=(0.95+0.85+0.75+0.65+0.55)\times 0.1\) 
= \(3.75\times 0.1\) 
= \(0.375\)

y = e^{mx    ..(1)}
கொடுக்கப்பட்டது \(y={ e }^{ mx }\) ..(2) 
சமன்பாடு (2) ஐப் பொறுத்து வகைப்படுத்த கிடைப்பது 
\(\cfrac { dy }{ dx } ={ e }^{ mx }.m\) 
\(\cfrac { dy }{ dx } =ym\) 
\(\cfrac { dy }{ dx } -my=0\)   ...(3) 
ஃ சமன்பாடு (1) மற்றும் (3)ஐ ஒப்பிட நாம் பெறுவது m=-2 

ஆதி வழிச்செல்லும் நேர்க்கோடுகளின் குடும்பத்தின் சமன்பாடு y = mx ஆகும். இங்கு, m என்பது ஏதேனும் ஒரு மாறிலி. … (1)
இருபுறமும் xஐப் பொருத்து வகைக்கெழுக் காண, நாம் பெறுவது,
\(\frac { dy }{ dx } =m\). ...(2)
சமன்பாடுகள் (1) மற்றும் (2) ஆகியவற்றிலிருந்து, நாம் பெறுவது, y = x \(\frac { dy }{ dx } \). இதுவே தேவையான  வகைக்கெழுச் சமன்பாடாகும்.
கொடுக்கப்பட்ட y = mx எனும் சமன்பாடு
ஒரேயொரு மாறிலியை மட்டுமே பெற்றுள்ளது. எனவே, நாம் முதல் வரிசை வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம் என்பதை கவனத்தில் கொள்க.

கொடுக்கப்பட்டது \(\frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } +5\frac { { d }y }{ { d }x } +\int { ydx } ={ x }^{ 3 }\) 
x-ஐப் பொறுத்து வகைப்படுத்த,நாம் பெறுவது 
\(\cfrac { d^{ 2 }y }{ { dx }^{ 3 } } +5\cfrac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } +y={ 3x }^{ 2 }\) 
இச்சமன்பாட்டில் உயர்ந்த வரிசை வகைக்கெழு என்பது \(\frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 3 } } \) மற்றும் இதன் அடுக்கு 1.
ஃ வரிசை = 3 மற்றும் படி = 1.  

முதலில் y²=x மற்றும் y=x-2 ஆகியவை வெட்டும் புள்ளிகளைக் காண 
y=y²-2
y²-y-2=0
y=2,y=-1
வெட்டும் புள்ளிகள் (4,2),(1,-1)

தேவையான பரப்பு = \(\int _{ e }^{ d }{ \left( { X }_{ R }-{ X }_{ L } \right) dy } \) 
= \(\int _{ -1 }^{ 2 }{ \left( y+2 \right) dy-\int _{ -1 }^{ 2 }{ { y }^{ 2 }dy } } \) 
= \(\left[ \cfrac { { y }^{ 2 } }{ 2 } +2y \right] _{ -1 }^{ 2 }-\left[ \cfrac { { y }^{ 3 } }{ 3 } \right] _{ -1 }^{ 2 }\) 
= \(\left[ 2+4-\cfrac { 1 }{ 2 } +2 \right] -\left[ \cfrac { 8 }{ 3 } +\cfrac { 1 }{ 3 } \right] \) 
= \(\cfrac { 15 }{ 2 } -3=\cfrac { 9 }{ 2 } \) 
தேவையான பரப்பு = \(\frac { 9 }{ 2 } \) சதுர அலகுகள் 

I =  \(\int ^\frac {\pi}{2}_{0} \) ( sin² x + cos⁴ x ) dx =  \(\int ^\frac {\pi}{2}_{0} \) sin² x  dx + \(\int ^\frac {\pi}{2}_{0} \) cos⁴x dx = \(\frac {1}{2} \times \frac {\pi}{2} + \frac {3}{4} \times \frac {1}{2} \times \frac {\pi}{2} = \frac {7\pi}{16} \)

f(x) =  \(e ^{-|x|}\)  என்க. f(-x) =  \(e ^{-|-x|}\) = \(e ^{-|x|}\) =  f (x)
எனவே f (x) என்பது ஓர் இரட்டைப் படைச் சார்பாகும்.
ஆகவே  \(\int ^{\log 2}_{-\log 2} e ^{-|x|}\) dx = 2\(\int ^{\log 2}_{0} e ^{-|x|}\) dx = 2\(\int ^{\log 2}_{0} e ^{-x}\) dx
= 2(-e^-x)\(^{\log2}_{0}\) = 2 (-e^-log2 + e⁰) = 2 \((-e ^{\log \frac{1}{2}} + 1)\)
= 2  \((-\frac {1}{2}+1)=1\).

தொகையிடலைப் பயன்படுத்தி,கூம்பின் இடைக்கண்டத்தின் கன அளவைக் காண வேண்டும்.முதலில் வளைவரையின் சமன்பாட்டைக் காண வேண்டும்.
A(0,1) மற்றும் B(2,2) என்பன இருபுள்ளிகள் என்க.இந்த இரு புள்ளிகளை இணைக்கும் நேர்கோடு x அச்சைப் பற்றிச் சுழல்கிறது.

AB-ன் சமன்பாடு 
\(\cfrac { y-1 }{ 2-1 } =\cfrac { x-0 }{ 2-0 } \) 
\(\cfrac { y-1 }{ 1 } =\cfrac { x }{ 2 } \) 
\(y-1=\cfrac { x }{ 2 } \) 
\(y=\cfrac { x }{ 2 } +1\) 
\(y=\cfrac { x+2 }{ 2 } \) 
x -அச்சைப் பற்றிச் சுழல்வதால் கிடைக்கும் திடப்பொருளின் கன அளவு 
= \(\pi \int _{ a }^{ b }{ { y }^{ 2 }dx } \) 
= \(\pi \int _{ 0 }^{ 2 }{ \cfrac { \left( x+2 \right) ^{ 2 } }{ 4 } dx } \) 
= \(\cfrac { \pi }{ 4 } \left[ \cfrac { \left( x+2 \right) ^{ 3 } }{ 3 } \right] _{ 0 }^{ 2 }\) 
= \(\cfrac { \pi }{ 4 } \left[ \cfrac { 64 }{ 3 } -\cfrac { 8 }{ 3 } \right] \) 
= \(\cfrac { \pi }{ 4 } \left[ \cfrac { 56 }{ 3 } \right] =\cfrac { 14 }{ 3 } \pi \) 
கூம்பின் இடைக் கண்டத்தின் கன அளவு = \(\cfrac { 14 }{ 3 } \pi \) மீ 

நியூட்டனின் குளிர்ச்சியடையும் விதிப்படி,ஒரு பொருளின் வெப்பநிலை மாறும் வீதமானது பொருளின் வெப்பநிலைக்கும்,சுற்றுப்புற ஊடகத்தின் வெப்பநிலைக்கு உள்ள வேறுபாட்டிற்கு நேர் விகிதமாக அமையும்.
\(\cfrac { dT }{ dt } =-k\left( T-{ T }_{ 0 } \right) \) 
இங்கு T என்பது அறையின் வெப்பநிலை ,மற்றும் T₀ என்பது ஊடகத்தின் மாறாத வெப்பநிலை 
எனவே,\(\cfrac { dT }{ dt } =-k\left( T-25 \right) \) (அல்லது)
\(\cfrac { dT }{ T-25 } =-kdt\) 
சமன்பாடு (1) ஐ தொகையிடக் கிடைப்பது
\(\int { \cfrac { dT }{ T-25 } } =\int { -kdt } \) 
\(log\left( T-25 \right) =-kt+{ c }_{ 1 }\) 
இப்போது \(T=100,t=0\) 
\(log\left( 100-25 \right) =-k\left( 0 \right) +{ c }_{ 1 }\) 
\(\therefore log75={ c }_{ 1 }\) 
c₁ மதிப்பை சமன்பாடு (1)ல் பிரதியிடக் கிடைப்பது 
\(log\left( T-25 \right) =-kt+log75\left[ \because logm-logn=logm/n \right] \) 
\(log\cfrac { T-25 }{ 75 } =-kt\) ...(2) 
மேலும் t=10 நிமிடங்கள் எனும்போது T=80
\(log\left( \cfrac { 80-25 }{ 75 } \right) =-k(10)\) 
\(log\left( \cfrac { 55 }{ 75 } \right) =-10k\) 
\(k=-\cfrac { 1 }{ 10 } log\left( \cfrac { 55 }{ 75 } \right) \) 
\(k=\cfrac { 1 }{ 10 } log\left( \cfrac { 75 }{ 55 } \right) \) 
\(k=\cfrac { 1 }{ 10 } log\cfrac { 15 }{ 11 } \) 
k ன் மதிப்பை சமன்பாடு (2)ல் பிரதியிடக் கிடைப்பது   
\(log\left( \cfrac { T-25 }{ 75 } \right) =-\left( \cfrac { 1 }{ 10 } log\cfrac { 15 }{ 11 } \right) t\) 
t=20 என சமன்பாடு (3) ல் பிரதியிட 
\(log\left( \cfrac { T-25 }{ 75 } \right) =-\cfrac { 20 }{ 10 } log\cfrac { 15 }{ 11 } \) 
= \(-2log\cfrac { 15 }{ 11 } \) 
= \(2log\cfrac { 11 }{ 15 } \) 
\(log\cfrac { T-25 }{ 75 } =log\left( \cfrac { 11 }{ 15 } \right) ^{ 2 }\) 
\(\cfrac { T-25 }{ 75 } =\left( \cfrac { 11 }{ 15 } \right) ^{ 2 }\) 
\(T=75\left( \cfrac { 11 }{ 75 } \right) ^{ 2 }+25\) 
\(T=75\left( 0.5378 \right) +25\) 
\(\\ T=40.33+25\) 
\(T=65.33^{ 0 }C\)

P என்பது நகரத்தின் மக்கள் தொகையைக் குறிக்கப்படும்.
கொடுக்கப்பட்டது \(log\left( \cfrac { P }{ c } \right) =kt\) 
இச்சமன்பாட்டை \(\cfrac { dP }{ dt } =kP\) எனுமாறு எழுதலாம்.
இருபுறமும் தொகையிடக் கிடைப்பது 
\(\int { \cfrac { dp }{ p } } =k\int { dt } \) 
\(logP=kt+logc\) 
\(logP-logc=kt\) 
\(log\left( \cfrac { P }{ c } \right) =kt\) 
\(\cfrac { p }{ c } ={ e }^{ kt }\) 
\(P={ ce }^{ kt }\) ..(1) 
தொடக்கக் கட்டுப்பாடு 
கொடுக்கப்பட்டது \(t=0\) ;\(P=3,00,000\) 
சமன்பாடு \(3,00,000={ cc }^{ k(o) }\)என்று மாறுகிறது. 
= \({ ce }^{ 0 }\) 
\(3,00,000=c\) 
\(\therefore (1)\Rightarrow P=3,00,000{ e }^{ kt }\) 
மேலும் t=40 எனும்போது P=4,00,000
சமன்பாடு (2),\(\therefore (1)\Rightarrow P=3,00,000{ e }^{ kt }\) என மாறுகிறது.
\(\cfrac { 4,00,000 }{ 3,00,000 } ={ e }^{ 40k }\) 
\(\cfrac { 4 }{ 3 } ={ e }^{ 40k }\) 
மடக்கை எடுக்க,
\(log\left( \cfrac { 4 }{ 3 } \right) =40k\) 
\(k=\cfrac { 1 }{ 40 } log\cfrac { 4 }{ 3 } \) 
\(k=log\left( \cfrac { 4 }{ 3 } \right) ^{ \frac { 1 }{ 40 } }\left[ \because nlogm=log{ m }^{ n } \right] \) 
k ன் மதிப்பை சமன்பாடு (2) ல் பிரதியிடக் கிடைப்பது.
 \(P=3,00,000{ e }^{ log\left( \cfrac { 4 }{ 3 } \right) ^{ \frac { t }{ 40 } } }\)
\(P=3,00,000\left( \cfrac { 4 }{ 3 } \right) ^{ \frac { t }{ 40 } }\left[ \because { e }^{ loga{ ^{ x } } }=a^{ x } \right] \)

\(\cfrac { dy }{ dx } =\cfrac { xy }{ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } \) என்ற வடிவில் உள்ளது.
இது ஒரு சமப்படித்தான வகைக்கெழுச் சமன்பாடு 
\(y=vx\) 
\(\cfrac { dy }{ dx } =v(1)+x\cfrac { dv }{ dx } \) 
\(\cfrac { dy }{ dx } =v+x\cfrac { dv }{ dx } \)
சமன்பாடு(1),
\(v+x\cfrac { dv }{ dx } =\cfrac { x(vx) }{ { x }^{ 2 }+\left( vx \right) ^{ 2 } } =\cfrac { { x }^{ 2 }v }{ { x }^{ 2 }\left[ 1+{ v }^{ 2 } \right] } \) 
எனுமாறு மாறுகிறது.
\(x\cfrac { dv }{ dx } =\cfrac { v }{ 1+{ v }^{ 2 } } -v\\ x\cfrac { dv }{ dx } =\cfrac { v-v-{ v }^{ 3 } }{ 1+{ v }^{ 2 } } \\ x\cfrac { dx }{ dv } =\cfrac { -{ v }^{ 3 } }{ 1+{ v }^{ 2 } } \\ \cfrac { \left( 1+{ v }^{ 2 } \right) dv }{ { v }^{ 3 } } =\cfrac { -dx }{ x } \\ \cfrac { 1 }{ { v }^{ 3 } } dv+\cfrac { { v }^{ 2 } }{ { v }^{ 3 } } dv=-\int { \cfrac { dx }{ x } } \\ \int { { v }^{ -3 }dv } +\int { \cfrac { 1 }{ v } dv } =-\int { \cfrac { dx }{ x } } \\ \cfrac { { v }^{ -2 } }{ -2 } +logv=-logx+logc\) 
\(\cfrac { 1 }{ 2{ v }^{ 2 } } =logx-logc+logv\\ \cfrac { 1 }{ 2v^{ 2 } } =log\cfrac { vx }{ c } \\ \therefore y=vx\Rightarrow v=y/x\\ \therefore \cfrac { { x }^{ 2 } }{ { 2y }^{ 2 } } =log\cfrac { y }{ c } \\ { e }^{ \frac { x^{ 2 } }{ { 2y }^{ 2 } } }=\cfrac { y }{ c } \\ \Rightarrow y={ ce }^{ \frac { { x }^{ 2 } }{ 2y^{ 2 } } }\) 
கொடுக்கப்பட்டது y(1)=1
அதாவது x=1 எனும்போது y=1
\((2)\Rightarrow 1={ Ce }^{ \frac { 1 }{ 2 } }\\ \Rightarrow 1={ Ce }^{ \frac { 1 }{ 2 } }\\ C=\cfrac { 1 }{ \sqrt { e } } \) 
சமன்பாடு (2) \(y=\cfrac { 1 }{ \sqrt { e } } { e }^{ \frac { { x }^{ 2 } }{ { 2 }{ y }^{ 2 } } }\) என மாறுகிறது.
மேலும் கொடுக்கப்பட்டது \(y({ x }_{ 0 })=e\) 
அதாவது \(\\ x={ x }_{ 0 }\) எனில் y=e 
\(\therefore e=\cfrac { 1 }{ \sqrt { e } } { e }^{ \frac { { x }_{ 0 }^{ 2 } }{ { e }^{ 2e^{ 2 } } } }\) 
\(e\sqrt { e } ={ e }^{ \frac { { x }_{ 0 }^{ 2 } }{ { e }^{ { 2e }^{ 2 } } } }\\ loge\sqrt { e } =\cfrac { { x }_{ 0 }^{ 2 } }{ { 2e }^{ 2 } } \\ log{ e }^{ 3/2 }=\cfrac { { x }_{ 0 }^{ 2 } }{ { 2e }^{ 2 } } \\ { loge }^{ 3/2 }=\cfrac { { x }_{ 0 }^{ 2 } }{ { 2e }^{ 2 } } \\ \cfrac { 3 }{ 2 } =\cfrac { { x }_{ 0 }^{ 2 } }{ { 2e }^{ 2 } } \\ { x }_{ 0 }^{ 2 }=3{ e }^{ 2 }\\ { x }_{ 0 }=\pm \sqrt { 3 } .e\)

கொடுக்கப்பட்ட வகைக்கெழுச் சமன்பாடு 
\(M\cfrac { dV }{ dt } =F-kV\) 
கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டை 
\(\cfrac { dV }{ F-kV } =\cfrac { dt }{ M } \) எனுமாறு எழுதலாம்.
தொகையிடக் கிடைப்பது 
\(\int { \cfrac { dv }{ F-kV } =\int { \cfrac { dt }{ M } } } \) 
\(\cfrac { log\left( F-kV \right) }{ -k } =\cfrac { t }{ m } +logC\) 
\(log\left[ F-kV \right] =-\cfrac { kt }{ M } +logC\) 
\(log\left[ F-kV \right] -logC=-\cfrac { kt }{ M } \) 
\(\cfrac { F-kV }{ C } =-\cfrac { kt }{ M } \) 
\(\cfrac { F-kV }{ C } =={ e }^{ \frac { -kt }{ M } }\) 
\(\cfrac { F-kV }{ { e }^{ \frac { -kt }{ M } } } =C\Rightarrow C={ e }^{ \frac { kt }{ M } }\left( F-kV \right) \) ...(1)
தொடக்கக் கட்டுப்பாடு 
கொடுக்கப்பட்டது t=0 எனும்போது V=0
\(C={ e }^{ \frac { k(0) }{ { e }^{ M } } }\left[ F-k(0) \right] \) 
= \({ e }^{ 0 }\left[ F-0 \right] \) 
C=F 
\(\therefore (1)\Rightarrow F=\left( F-kV \right) { e }^{ \frac { kt }{ M } }\)

தேவையான அரங்கத்தின் பரப்பு படம் -  ல் நிழலிடப்பட்டுள்ளது. அரங்கத்தின் மேல் எல்லை  y = sin x , \(\frac {\pi}{4}\)  ≤ x  ≤  \(\frac {5\pi}{4}\) மற்றும் அரங்கத்தின் கீழ் எல்லை y = cos x,\(\frac {\pi}{4}\) ≤ x  ≤\(\frac {5\pi}{4}\).  தேவையான பரப்பு.

A = \(\int ^\frac {5}{4}_\frac{\pi}{4} (y_U - y_L) dx\) =  \(\int ^\frac {5}{4}_\frac{\pi}{4} (sin x- cos x)dx\) = [-cos  x - sin x\(]^\frac{5​​\pi}{4}_\frac{\pi}{4}\)
=  \((-sin \frac {5\pi}{4} - cos \frac{5\pi}{4})\) - \((-sin \frac {\pi}{4} - cos \frac{\pi}{4})\)
= \((-(\frac {1}{\sqrt 2}) - (\frac {1}{\sqrt 2}))\)  \(-(-\frac {1}{\sqrt 2}) - (\frac {1}{\sqrt 2}))\)
= \(\frac {2}{\sqrt 2} + \frac {2}{\sqrt 2} = 2 \sqrt 2\).

I =  \(\int ^\frac {\pi}{2}_0 \frac{dx}{4 \sin^2 x + 5 \cos^2 x}\) என்க.
= \(\int ^\frac {\pi}{2}_0 \frac{\sec^2 x}{4 \tan^2 x + 5}\) dx  { (தொகுதியையும் பகுதியையும் cos² x ஆல் வகுக்க)
u = tan x என்க.  du = sec² x dx
x = 0 எனில் u = tan 0 = 0
x = \(\frac {\pi}{2}\) எனில் u = tan \(\frac {\pi}{2}\) = ∞.
I = \(\int ^{∞}_{0} \frac {du}{4u^2 + 5}\) (இது ஒரு முறையற்ற தொகையிடல்)
= \(\frac {1}{4} \int ^{∞}_{0} \frac {du}{[u^2 + (\frac {\sqrt 5}{2})]}\) = \(\frac {1}{4} \times \frac{2}{\sqrt5}\) [\(tan^{-1} (\frac {u}{\frac{\sqrt 5}{2}})]^∞ _0\)
= \(\frac {1}{2 \sqrt 5}\) (tan^-1 ∞  - tan^-1 0)  = \(\frac {1}{2 \sqrt 5}\) \(\frac {\pi}{2}\) = \(\frac {\pi}{4 \sqrt 5}\)

I = \(\int ^{3}_{2} \frac{\sqrt {x}}{\sqrt {5-x}+\sqrt {x}}\) dx என்க.    ---- (1)
\(\int ^{a}_{b}\) f(x) dx =  \(\int ^{a}_{b}\) f(a+b -x) dx என்ற பண்பை பயன்படுத்த,
I =  \(\int ^{3}_{2} \frac{\sqrt {(2+3-x)}}{\sqrt {5-(2+3-x)}+\sqrt { {(2+3-x)}}}\) dx =  \(\int ^{3}_{2} \frac{\sqrt {(5-x)}}{\sqrt {x}+\sqrt { {(5-x}}}\) dx ------ (2)
சமன்பாடு (1)-யும் (2)-யும் கூட்டக் கிடைப்பது,
2I =  \(\int ^{3}_{2} \frac{\sqrt {x} + \sqrt {5-x} }{\sqrt {x}+\sqrt { {5-x}}}\) dx  = \(\int ^{3}_{2} \) dx = \([x]^{3}_{2}\) = 3-2 = 1
எனவே , நாம் பெறுவது I = \(\frac{1}{2}\)