\(adjA=\left[ \begin{matrix} +(1-4) & -2(2+4) & +(4-2) \\ -(-2-4) & +(-1+4) & -(-2+4) \\ +(4+2) & -(2+4) & +(-1+4) \end{matrix} \right] ^{ T }\) 

= \(\left[ \begin{matrix} -3 & -6 & -6 \\ 6 & 3 & -6 \\ -6 & -6 & 3 \end{matrix} \right] ^{ T }\) 
= \(3\left[ \begin{matrix} -1 & -2 & -2 \\ 2 & 1 & -2 \\ 2 & -2 & 1 \end{matrix} \right] ^{ T }\) 
\(adjA=3A^{ T }\)

2x − y = 8, 3x + 2y = −2
தொகையின் அணி வடிவம் 
\(\left[ \begin{matrix} 2 & -1 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 8 \\ -2 \end{matrix} \right] \\ \)
⇒ AX=B இங்கு A\(=\left[ \begin{matrix} 2 & -1 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right] \)
\(B=\left[ \begin{matrix} 8 \\ -2 \end{matrix} \right] \)
\(\Rightarrow X={ A }^{ -1 }B.\)
இப்பொழுது \(|A|=\left[ \begin{matrix} 2 & -1 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right] =4+3=7\)
\(\therefore { A }^{ -1 }=\frac { 1 }{ |A| } adj\quad A\)
\(=\frac { 1 }{ 7 } \left[ \begin{matrix} 2 & 1 \\ -3 & 2 \end{matrix} \right] \)
\(\therefore X={ A }^{ -1 }B=\frac { 1 }{ 7 } \left[ \begin{matrix} 2 & 1 \\ -3 & 2 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 8 \\ -2 \end{matrix} \right] \)
\(=\frac { 1 }{ 7 } \left[ \begin{matrix} 16 & -2 \\ -24 & -4 \end{matrix} \right] \)
\(=\frac { 1 }{ 7 } \left[ \begin{matrix} 14 \\ -28 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} \frac { 14 }{ 7 } \\ \frac { -28 }{ 7 } \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 2 \\ -4 \end{matrix} \right] \)
\(\therefore x=2,\quad y=-4\)
எனவே, தீர்வுக் கணம்{2,-4}

விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணியின் மீது காஸ்-ஜோர்டான் முறையினைப் பயன்படுத்த,
[A|I₂]  =\(\left[ \begin{matrix} 0 & 5 \\ -1 & 6 \end{matrix}|\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 1 }\leftrightarrow { R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} -1 & 6 \\ 0 & 5 \end{matrix}|\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 1 }\rightarrow (-1){ R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & -6 \\ 0 & 5 \end{matrix}|\begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 2 }\rightarrow \frac { 1 }{ 5 } { R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & -6 \\ 0 & 1 \end{matrix}|\begin{matrix} 0 & -1 \\ (1/5) & 0 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 1 }\rightarrow { R }_{ 1 }+6{ R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}|\begin{matrix} (6/5) & -1 \\ (1/5) & 0 \end{matrix} \right] \)
எனவே A^-1=\(\left[ \begin{matrix} (6/5) & -1 \\ (1/5) & 0 \end{matrix} \right] =\frac { 1 }{ 5 } \left[ \begin{matrix} 6 & -5 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right] \).

கொடுக்கப்பட்ட adj \(A=\left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right] \)
இங்கு \(adj(adj\quad A)={ \left[ \begin{matrix} +\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} \\ -\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} \\ +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} \end{matrix}\begin{matrix} -\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ -1 & 1 \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} \\ +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix}-\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} \\ -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} \end{matrix} \right] }^{ T }\)
\(={ \left[ \begin{matrix} +(2-0) \\ -(0) \\ +(0-2) \end{matrix}\begin{matrix} -(0) \\ +(1+1) \\ -(0) \end{matrix}\begin{matrix} +(0+2) \\ -(0) \\ +(2-0) \end{matrix} \right] }^{ T }={ \left[ \begin{matrix} 2 \\ 0 \\ -2 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{matrix} \right] }^{ T }\)
adj(adj) A \(=\left[ \begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} -2 \\ 0 \\ 2 \end{matrix} \right] \)

\(adj\quad (A)=\left[ \begin{matrix} 0 \\ 6 \\ -3 \end{matrix}\begin{matrix} -2 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ -6 \\ 6 \end{matrix} \right] \)
\({ A }^{ -1 }=\pm \frac { 1 }{ \sqrt { |adjA| } } (adj\ A)\) என அறிவோம். ...(1)
|adj A| = 0 + 2(36 - 18) + 0 = 2(18) = 36
\(|adj\ A|=0+2\left| \begin{matrix} 6 & -6 \\ -3 & 6 \end{matrix} \right| +0\)
[R₁ மூலம் விரிவுபடுத்தப்பட்டது]
\(\therefore { A }^{ -1 }=\pm \frac { 1 }{ \sqrt { 36 } } \left[ \begin{matrix} 0 \\ 6 \\ -3 \end{matrix}\begin{matrix} -2 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ -6 \\ 6 \end{matrix} \right] \)
\(\pm \frac { 1 }{ 6 } \left[ \begin{matrix} 0 & -2 & 0 \\ 6 & 2 & -6 \\ -3 & 0 & 6 \end{matrix} \right] \)

\(A=\pm \frac { 1 }{ \sqrt { |adj\ A| } } adj(adj\ A)\) என அறிவோம் ...(1)
\(|adj\ A|=2\begin{vmatrix} 12 & -7 \\ 0 & 2 \end{vmatrix}+4\begin{vmatrix} -3 & -7 \\ -2 & 2 \end{vmatrix}+2\begin{vmatrix} -3 & 12 \\ -2 & 0 \end{vmatrix}\)
[R₁ மூலம் விரிவுபடுத்தப்பட்டது]
= 2(24-0)+4(-6-14)+2(0+24)
= 2(24)+4(-20)+2(24) = 48 = 80-80+48
= 96-80 = 16
இங்கு,
adj (adj A)\(={ \left[ \begin{matrix} +\begin{vmatrix} 12 & -7 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} \\ -\begin{vmatrix} -4 & 2 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} \\ +\begin{vmatrix} -4 & 2 \\ 12 & -7 \end{vmatrix} \end{matrix}\begin{matrix} -\begin{vmatrix} -3 & -7 \\ -2 & 2 \end{vmatrix} \\ +\begin{vmatrix} 2 & 2 \\ -2 & 2 \end{vmatrix} \\ -\begin{vmatrix} 2 & 2 \\ -3 & -7 \end{vmatrix} \end{matrix}\begin{matrix} +\begin{vmatrix} -3 & 12 \\ -2 & 0 \end{vmatrix} \\ -\begin{vmatrix} 2 & -4 \\ -2 & 0 \end{vmatrix} \\ +\begin{vmatrix} 2 & -4 \\ -3 & 12 \end{vmatrix} \end{matrix} \right] }^{ T }\)
\(={ \left[ \begin{matrix} +(24-0) \\ -(-8-0) \\ +(28-24) \end{matrix}\begin{matrix} -(-6-14) \\ +4+4) \\ -(-14+6) \end{matrix}\begin{matrix} +(0+24) \\ -(0-8) \\ +(24-12) \end{matrix} \right] }^{ T }\)
\(={ \left[ \begin{matrix} 24 \\ 8 \\ 4 \end{matrix}\begin{matrix} 20 \\ 8 \\ 8 \end{matrix}\begin{matrix} 24 \\ 8 \\ 12 \end{matrix} \right] }^{ T }=\left[ \begin{matrix} 24 \\ 20 \\ 24 \end{matrix}\begin{matrix} 8 \\ 8 \\ 8 \end{matrix}\begin{matrix} 4 \\ 8 \\ 12 \end{matrix} \right] \)
\(=4\left[ \begin{matrix} 6 \\ 5 \\ 6 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} \right] \)
(2) மற்றும் (3)ஐ (1)ல் பிரதியிட கிடைப்பது.
\(A=\pm \frac { 1 }{ \sqrt { 16 } } .4\left[ \begin{matrix} 6 \\ 5 \\ 6 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} \right] \)
\(A=\pm [\frac {1}{4}] 4 \left[ \begin{matrix} 6 \\ 5 \\ 6 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} \right] =\pm \left[ \begin{matrix} 6 \\ 5 \\ 6 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} \right] \)

A=\(\left[ \begin{matrix} 2 & -1 \\ 5 & -2 \end{matrix} \right] \)என்க 
காஸ்-ஜோர்டன் முறையை பயன்படுத்த கிடைப்பது.
\([A|{ I }_{ 2 }]=\left[ \begin{matrix} 2 & -1 \\ 5 & -2 \end{matrix}|\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 1 }\rightarrow { R }_{ 2 }\div 2 }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & -\frac { 1 }{ 2 } \\ 5 & -2 \end{matrix}|\begin{matrix} \frac { 1 }{ 2 } & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-5{ R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & -\frac { 1 }{ 2 } \\ 0 & \frac { 1 }{ 2 } \end{matrix}|\begin{matrix} \frac { 1 }{ 2 } & 0 \\ -\frac { 5 }{ 2 } & 1 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { R_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }\times 2 }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & -\frac { 1 }{ 2 } \\ 0 & 1 \end{matrix}|\begin{matrix} \frac { 1 }{ 2 } & 0 \\ -5 & 2 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 1 }\rightarrow { R }_{ 2 }+\frac { 1 }{ 2 } { R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}|\begin{matrix} -2 & 1 \\ -5 & 2 \end{matrix} \right] \)
∴.A^-1\(\left[ \begin{matrix} -2 & 1 \\ -5 & 2 \end{matrix} \right] \)

A =\(\left[ \begin{matrix} cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{matrix} \right] \)பின்பு, A^T = \(\left[ \begin{matrix} cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{matrix} \right] ^{ T }=\left[ \begin{matrix} cos\theta & sin\theta \\ -sin\theta & cos\theta \end{matrix} \right] \)
எனவே
AA^T = \(\left[ \begin{matrix} cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} cos\theta & sin\theta \\ -sin\theta & cos\theta \end{matrix} \right] \)
= \(\left[ \begin{matrix} { cos }^{ 2 }\theta +{ sin }^{ 2 }\theta & cos\theta sin\theta -sin\theta cos\theta \\ sin\theta cos\theta -cos\theta sin\theta & { sin }^{ 2 }\theta +{ cos }^{ 2 }\theta \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] \) = I₂
இதேபோல் A^TA = I₂. எனவே AA^T = A^TA = I₂ ⇒ A ஆனது செங்குத்து அணியாகும்.

முதலில் சேர்ப்பு அணி காண்போம்.
வரையறைப்படி, adj A = \(\left[ \begin{matrix} +M_{ 11 } & { -M }_{ 12 } \\ -{ M }_{ 21 } & +{ M }_{ 22 } \end{matrix} \right] ^{ T }=\left[ \begin{matrix} d & -c \\ -b & a \end{matrix} \right] ^{ T }=\left[ \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right] \)
A ஆனது பூச்சியமற்றக் கோவை அணி, எனவே |A| = ad-bc ≠ 0.
A^-1 = \(\frac { 1 }{ |A| } \) adj A, என்பதால் A^-1 = \(\frac { 1 }{ ad-bc } \left[ \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right] \)

\(\frac{1}{x}\) = z 
3z+2y=12, 2z+3z=13
\(\therefore \Delta =\left| \begin{matrix} 3 & 2 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right| =9-4=5\)
\({ \Delta }_{ 1 }=\left| \begin{matrix} 12 & 2 \\ 13 & 3 \end{matrix} \right| =36-26=10\)
\({ \Delta }_{ 2 }=\left| \begin{matrix} 3 & 12 \\ 2 & 13 \end{matrix} \right| =39-24=15\)
\(\therefore z=\frac { { \Delta }_{ 1 } }{ \Delta } =\frac { 10 }{ 5 } =2\Rightarrow x=\frac { 1 }{ 2 } \)
\(y=\frac { { \Delta }_{ 2 } }{ \Delta } =\frac { 15 }{ 5 } =3\)
∴ தீர்வுக் கணம் {\(\frac{1}{2}\),3}

மதிப்பிட வேண்டிய மாறிகளின் எண்ணிக்கை 3.
விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணியை ஏறுபடி வடிவத்திற்கு மாற்ற (காஸ்ஸியன் நீக்கல் முறை) கிடைப்பது
\(\left[ \begin{matrix} 1 & 3 & -2 \\ 2 & -1 & 4 \\ 1 & -11 & 14 \end{matrix}|\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-2{ R }_{ 1 }\\ { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-{ R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 3 & -2 \\ 0 & -7 & 8 \\ 0 & -14 & 16 \end{matrix}|\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }\div (-1)\\ { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }\div (-2) }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 3 & -2 \\ 0 & 7 & -8 \\ 0 & 7 & -8 \end{matrix}|\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-{ R_{ 2 } } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 3 & -2 \\ 0 & 7 & -8 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}|\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
ρ(A) = ρ([A|O]) =2 < 3 = மதிப்பிட வேண்டிய மாறிகளின் எண்ணிக்கை.
தொகுப்பானது ஒரு சாராமாறிக் குடும்பத் தீர்வுகள் பெற்றிருக்கும்.
ஏறுபடி வடிவத்தின் நமக்குக் கிடைக்கும் சமன்பாடுகளாவன
x + 3y - 2z = 0, 7y - 8z = 0, 0 = 0
z = t என்க. இங்கு t என்பது மெய் எண் உடைய தன்னிச்சை மாறி. பின்னோக்கிப் பிரதியிடல் முறையில் கிடைப்பது
z = t
7y - 8t = 0 ⇒ y = \(\frac { 8t }{ 7 } \),
\(x+3\left( \frac { 8t }{ 7 } \right) -2t=0\Rightarrow x+\frac { 24t-14t }{ 7 } =0\Rightarrow x=-\frac { 10t }{ 7 } \)
எனவே தீர்வானது \(\left( x=-\frac { 10t }{ 7 } ,y=\frac { 8t }{ 7 } ,z=t \right) \), இங்கு t என்பது ஒரு மெய்யெண்.

விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணியின் மீது காஸ்-ஜோர்டான் முறையைப் பயன்படுத்த, நமக்குக் கிடைப்பது,
[A|I₃] =  \(\left[ \begin{matrix} 2 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{matrix}|\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 1 }\rightarrow \frac { 1 }{ 2 } { R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & (1/2) & (1/2) \\ 3 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{matrix}|\begin{matrix} (1/2) & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-3{ R }_{ 1 }\\ { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-2R_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & (1/2) & (1/2) \\ 0 & (1/2) & -(1/2) \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}|\begin{matrix} (1/2) & 0 & 0 \\ -(3/2) & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 2 }\rightarrow 2{ R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & (1/2) & (1/2) \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}|\begin{matrix} (1/2) & 0 & 0 \\ -3 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 1 }\rightarrow { R }_{ 1 }\frac { 1 }{ 2 } { R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \\ \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}|\begin{matrix} 2 & -1 & 0 \\ - & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 1 }\rightarrow { R }_{ 1 }-{ R }_{ 3 }\\ { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }+{ R }_{ 3 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}|\begin{matrix} 3 & -1 & -1 \\ -4 & 2 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \)
எனவே, A^-1 =\(\left[ \begin{matrix} 3 & -1 & -1 \\ -4 & 2 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \)

கொடுத்துள்ள அணியை A என்க. தொடக்க நிலை நிரைச் செயலிகளைப்  பயன்படுத்தக் கிடைப்பது.
\(A = \left[ \begin{matrix} 2 \\ -3 \\ 6 \end{matrix}\begin{matrix} -2 \\ 4 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} 4 \\ -2 \\ -1 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ -1 \\ 7 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 2 }\rightarrow 2{ R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 2 \\ -6 \\ 6 \end{matrix}\begin{matrix} -2 \\ 8 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} 4 \\ -4 \\ -1 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ -2 \\ 7 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }+3{ R }_{ 1 }\\ { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-3{ R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} -2 \\ 2 \\ 8 \end{matrix}\begin{matrix} 4 \\ 8 \\ -13 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ 7 \\ -2 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-4{ R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} -2 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 4 \\ 8 \\ -45 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ 7 \\ -30 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }\div (-15) }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} -2 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 4 \\ 8 \\ 3 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ 7 \\ 2 \end{matrix} \right] \)
கடைசி சமான அணியானது நிரை-ஏறுபடி வடிவில் உள்ளது மற்றும் மூன்று அபூச்சிய நிரைகளை உடையது. எனவே \(\rho \)(A) = 3
தொடக்க நிலை நிரைச் செயலிகள் ஓர் அணியின் மீது செயல்படுத்துவது என்பது அந்த அணியை முன்புறமாக ஒரு சிறப்பு வகை (special class) அணிகளால் பெருக்குவதாகும். அந்த அணிகள் தொடக்க நிலை அணிகள் (Elementary matrices) எனப்படும்.

A = \(\left[ \begin{matrix} 3 & 2 \\ 7 & 5 \end{matrix} \right] \) மற்றும் B =\(\left[ \begin{matrix} -1 & -3 \\ 5 & 2 \end{matrix} \right] \)
|A| = 15 - 14 = 1 ≠ 0 ⇒ A^-1 காணலாம்  
\({ A }^{ -1 }=\frac { 1 }{ |A| } (adj\quad A)=\frac { 1 }{ 1 } \left( \begin{matrix} 5 & -2 \\ -7 & 3 \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} 5 & -2 \\ -7 & 3 \end{matrix} \right) \)
|B| = -2 + 15 = 13 ≠ 0 ⇒ B^-1 காணலாம்
\(B^{ -1 }=\frac { 1 }{ |B| } (adj\quad B)=\frac { 1 }{ 13 } \left( \begin{matrix} 2 & 3 \\ -5 & -1 \end{matrix} \right) \)
RHS :
\(\therefore { B }^{ -1 }{ A }^{ -1 }=\frac { 1 }{ 13 } \left( \begin{matrix} 2 & 3 \\ -5 & -1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 5 & -2 \\ -7 & 3 \end{matrix} \right) \)
\(=\frac { 1 }{ 13 } \left( \begin{matrix} 10-21 & -4+9 \\ -25+7 & 10-3 \end{matrix} \right) =\frac { 1 }{ 13 } \left( \begin{matrix} -11 & 5 \\ -18 & 7 \end{matrix} \right) \)    ...(1)
LHS :
\(AB=\left[ \begin{matrix} 3 & 2 \\ 7 & 5 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} -1 & -3 \\ 5 & 2 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} -3+10 & -9+4 \\ -7+25 & -21+10 \end{matrix} \right] \)
\(=\left[ \begin{matrix} 7 & -5 \\ 18 & -11 \end{matrix} \right] \)
|AB| = -77 + 90 = 13 ≠ 0 ⇒ (AB)^-1 காணலாம்  
\({ (AB) }^{ -1 }=\frac { 1 }{ |AB| } adj\quad (AB)=\frac { 1 }{ 13 } \left( \begin{matrix} -11 & 5 \\ -18 & 7 \end{matrix} \right) \)    ...(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து 
(AB)^-1 = B^-1A^-1  எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

\(A=\left[ \begin{matrix} 8 & -4 \\ -5 & 3 \end{matrix} \right] \)
|A| = 24 - 20 = 4 ≠ 0.
A^-1 ஐக் காண இயலும்.
\(\operatorname{adj} A=\left[\begin{array}{ll} 3 & 4 \\ 5 & 8 \end{array}\right]\)
\(\begin{aligned} \mathrm{A}(\operatorname{adj} \mathrm{~A}) & =\left[\begin{array}{cc} 8 & -4 \\ -5 & 3 \end{array}\right]\left[\begin{array}{ll} 3 & 4 \\ 5 & 8 \end{array}\right] \\ & =\left[\begin{array}{cc} 24-20 & 32-32 \\ -15+15 & -20+24 \end{array}\right] \\ & =\left[\begin{array}{cc} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{array}\right] ....(1) \end{aligned}\)
\((\operatorname{adj} A) A=\left[\begin{array}{ll} 3 & 4 \\ 5 & 8 \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} 8 & -4 \\ -5 & 3 \end{array}\right]\)
             \(\begin{aligned} & =\left[\begin{array}{cc} 24-20 & -12+12 \\ 40-40 & -20+24 \end{array}\right] \\ & =\left[\begin{array}{ll} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{array}\right] ....(2) \end{aligned}\)
\(|\mathrm{A}| \mathrm{I}_2=4\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{array}\right]\) ...(3)
(1), (2) மற்றும் (3) லிருந்து,
A(adj A) = (adj A) A = |A| I₂.

RHS :  A^T =\(\frac { 1 }{ 9 } \left[ \begin{matrix} -8 & 1 & 4 \\ 4 & 4 & 7 \\ 1 & -8 & 4 \end{matrix} \right] \)
LHS : A என்பது வரிசை 3 உடைய அணி என்பதால் 
A^T=\(\frac { 1 }{ 9 } \left[ \begin{matrix} -8 & 4 & 1 \\ 1 & 4 & -8 \\ 4 & 7 & 4 \end{matrix} \right] \)                        ....(1)
\({ (\lambda A) }^{ -1 }=\frac { 1 }{ \lambda } .{ A }^{ -1 }\)எனவே அறிவோம்.
\({ A }^{ -1 }={ \left\{ \frac { 1 }{ 9 } \left[ \begin{matrix} -8 & 1 & 4 \\ 4 & 4 & 7 \\ 1 & -8 & 4 \end{matrix} \right] \right\} }^{ -1 }=\frac { 1 }{ \frac { 1 }{ 9 } } { \left[ \begin{matrix} -8 & 1 & 4 \\ 4 & 4 & 7 \\ 1 & -8 & 4 \end{matrix} \right] }^{ T }\)
இங்கு \(\lambda =\frac { 1 }{ 9 } \)
\({ A }^{ -1 }=9{ B }^{ -1 }\) இங்கு \(\\ B={ \left[ \begin{matrix} -8 \\ 4 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 4 \\ -8 \end{matrix}\begin{matrix} 4 \\ 7 \\ 4 \end{matrix} \right] }^{ T }\)      ...(2)
இங்கு, |B|=-8\(\left| \begin{matrix} 4 & 7 \\ -8 & 4 \end{matrix} \right| -1\left| \begin{matrix} 4 & 7 \\ 1 & 4 \end{matrix} \right| +4\left| \begin{matrix} 4 & 4 \\ 1 & -8 \end{matrix} \right| \)
= -8(16 + 56) -1(16 - 7) + 4 (-32 - 4)
=-8(72) -1(9) + 4(-36) = 576 - 9 - 144
= -729
\(adj\ B={ \left[ \begin{matrix} +\begin{vmatrix} 4 & 7 \\ -8 & 4 \end{vmatrix} \\ -\begin{vmatrix} 1 & 4 \\ -8 & 4 \end{vmatrix} \\ +\begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 4 & 7 \end{vmatrix} \end{matrix}\begin{matrix} -\begin{vmatrix} 4 & 7 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} \\ +\begin{vmatrix} -8 & 4 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} \\ -\begin{vmatrix} -8 & 4 \\ 4 & 7 \end{vmatrix} \end{matrix}\begin{matrix} +\begin{vmatrix} 4 & 4 \\ 1 & -8 \end{vmatrix} \\ -\begin{vmatrix} -8 & 1 \\ 1 & -8 \end{vmatrix} \\ +\begin{vmatrix} -8 & 1 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} \end{matrix} \right] }^{ T }\)
\(=\left[ \begin{matrix} +(16+56) \\ -(4+32) \\ +(7-16) \end{matrix}\begin{matrix} -(16-7) \\ +(-32-4) \\ -(-56-16) \end{matrix}\begin{matrix} +(-32-4) \\ +(64-1) \\ +(-32-4) \end{matrix} \right] ^T\)
\(={ \left[ \begin{matrix} 72 \\ -36 \\ -9 \end{matrix}\begin{matrix} -9 \\ -36 \\ 72 \end{matrix}\begin{matrix} -36 \\ -63 \\ -36 \end{matrix} \right] }^{ T }=\left[ \begin{matrix} 72 \\ -9 \\ -36 \end{matrix}\begin{matrix} -36 \\ -36 \\ -63 \end{matrix}\begin{matrix} -9 \\ 72 \\ -36 \end{matrix} \right] \)
\(=\frac {1}{81} \times 9\left[ \begin{matrix} 8 \\ -1 \\ -4 \end{matrix}\begin{matrix} -4 \\ -4 \\ -7 \end{matrix}\begin{matrix} -1 \\ +8 \\ -4 \end{matrix} \right] \)
\(\therefore { B }^{ -1 }=\frac { 1 }{ |B| } adj\quad B=\frac { -9 }{ 729 } \left[ \begin{matrix} 8 \\ -1 \\ -4 \end{matrix}\begin{matrix} -4 \\ -4 \\ -7 \end{matrix}\begin{matrix} -1 \\ +8 \\ -4 \end{matrix} \right] \)
\(=\frac { 1 }{ 82 } \left[ \begin{matrix} -8 \\ 1 \\ 4 \end{matrix}\begin{matrix} 4 \\ 4 \\ 7 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ -8 \\ 4 \end{matrix} \right] \)
(2) பிரதியிட கிடைப்பது, 
\({ A }^{ -1 }=9.\frac { 1 }{ 81 } \left[ \begin{matrix} -8 \\ 1 \\ 4 \end{matrix}\begin{matrix} 4 \\ 4 \\ 7 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ -8 \\ 4 \end{matrix} \right] =\frac { 1 }{ 9 } \left[ \begin{matrix} -8 \\ 1 \\ 4 \end{matrix}\begin{matrix} 4 \\ 4 \\ 7 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ -8 \\ 4 \end{matrix} \right] \quad ...(3)\)
(1) மற்றும் (3) லிருந்து கிடைப்பது, A^T = A^-1

சங்கேத மொழியாக்குதலுக்கான \(A=\left[ \begin{matrix} -1 & -1 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right] \) என்க.
\(\\ |A|=-1+2=1\neq 0\)
\(\therefore { A }^{ -1 }=\frac { 1 }{ |A| } adj\quad A=\frac { 1 }{ 1 } \left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ -2 & -1 \end{matrix} \right] =\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -2 & -1 \end{bmatrix}\)
ஆகையால் பெருக்கற் சாவி அணி \(\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -2 & -1 \end{bmatrix}\)

சங்கேத மொழி மாற்றம் செய்யப்பட்ட நிரை அணிகளின் வரிசை பின்வருமாறு 
[8 5], [12 16]
இங்கு 8^வது ஆங்கில எழுத்து H.
5^வது ஆங்கில எழுத்து E.
12^வது ஆங்கில எழுத்து L மற்றும் 16^வது ஆங்கில எழுத்து P பெறுபவர் தாம் பெற்ற சங்கேத செய்தி "HELP" எனப் படிக்கிறார்.

|A|=(2)(7)-(9)(1) = 14-9=5. எனவே, A^-1 =\(\frac { 1 }{ 5 } \left[ \begin{matrix} 7 & -9 \\ -1 & 2 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} \frac { 7 }{ 5 } & -\frac { 9 }{ 5 } \\ -\frac { 1 }{ 5 } & \frac { 2 }{ 5 } \end{matrix} \right] \)
எனவே, (A^-1)^T = \(\left[ \begin{matrix} \frac { 7 }{ 5 } & -\frac { 1 }{ 5 } \\ -\frac { 9 }{ 5 } & \frac { 2 }{ 5 } \end{matrix} \right] =\frac { 1 }{ 5 } \left[ \begin{matrix} 7 & -1 \\ -9 & 2 \end{matrix} \right] \) ... (1)
A^T=\(\left[ \begin{matrix} 2 & 1 \\ 9 & 7 \end{matrix} \right] \)எனவே |A^T| =(2)(7)-(1)(9) = 5
(A^T)^-1 = \(\frac { 1 }{ 5 } \left[ \begin{matrix} 7 & -1 \\ -9 & 2 \end{matrix} \right] \)... (2)
(1) மற்றும் (2)-லிருந்து கிடைப்பது, (A^-1)^T =(A^T)^-1 எனவே கொடுத்துள்ள பண்பு சரிபார்க்கப்பட்டது.

A = \(\left[ \begin{matrix} 2 & -1 & 3 \\ -5 & 3 & 1 \\ -3 & 2 & 3 \end{matrix} \right] \) என்க.
|A| = \(\left| \begin{matrix} 2 & -1 & 3 \\ -5 & 3 & 1 \\ -3 & 2 & 3 \end{matrix} \right| \) = 2(7) + (-12) + 3(-1) = -1 ≠ 0 
எனவே , A⁻¹ காண இயலும்.
adj A = \(\left[ \begin{matrix} +\left| \begin{matrix} 3 & 1 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right| & -\left| \begin{matrix} -5 & 1 \\ -3 & 3 \end{matrix} \right| & +\left| \begin{matrix} -5 & 3 \\ -3 & 2 \end{matrix} \right| \\ -\left| \begin{matrix} -1 & 3 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right| & +\left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ -3 & 3 \end{matrix} \right| & -\left| \begin{matrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{matrix} \right| \\ +\left| \begin{matrix} -1 & 3 \\ 3 & 1 \end{matrix} \right| & -\left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ -5 & 1 \end{matrix} \right| & +\left| \begin{matrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \end{matrix} \right| \end{matrix} \right] ^{ T }=\left[ \begin{matrix} 7 & 12 & -1 \\ 9 & 15 & -1 \\ -10 & -17 & 1 \end{matrix} \right] ^{ T }=\left[ \begin{matrix} 7 & 9 & -10 \\ 12 & 15 & -17 \\ -1 & -1 & 1 \end{matrix} \right] \)
எனவே,  A^-1 = \(\frac { 1 }{ |A| } (adj\quad A)=\frac { 1 }{ (-1) } \left[ \begin{matrix} 7 & 9 & -10 \\ 12 & 15 & -7 \\ -1 & -1 & 1 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} -7 & -9 & 10 \\ -12 & -15 & 17 \\ 1 & 1 & -1 \end{matrix} \right] \)

காஸியன் நீக்குதல் முறையைப் பயன்படுத்தி,கீழ்க்காணும் சமான மற்றும் விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணியை நாம் பெறுகிறோம்.
\(\left[ \begin{matrix} 0 & 2 & 3 & 7 \\ 3 & 6 & -12 & -3 \\ 5 & -2 & 2 & -7 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 1 }\leftrightarrow { R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 3 & 6 & -12 & -3 \\ 0 & 2 & 3 & 7 \\ 5 & -2 & 2 & -7 \end{matrix} \right] \\ \overset { { R }_{ 1 }\rightarrow \frac { 1 }{ 3 } { R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 2 & -4 & -1 \\ 0 & 2 & 3 & 7 \\ -5 & -2 & 2 & -7 \end{matrix} \right] \\ \overset { { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }\rightarrow 5{ R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 2 & -4 & -1 \\ 0 & 2 & 3 & 7 \\ 0 & -12 & 22 & -2 \end{matrix} \right] \\ \overset { \frac { 1 }{ 2 } { R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 2 & -4 & -1 \\ 0 & 1 & \frac { 3 }{ 2 } & \frac { 7 }{ 2 } \\ 0 & -12 & 22 & -2 \end{matrix} \right] \\ \overset { { R }_{ 1 }\rightarrow { R }_{ 1 }-2{ R }_{ 2 } }{ \underset { { R }_{ 3 }+12{ R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } } \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & -7 & -8 \\ 0 & 1 & \frac { 3 }{ 2 } & \frac { 7 }{ 2 } \\ 0 & -12 & 22 & -2 \end{matrix} \right] \\ \overset { { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }+12{ R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & -7 & -8 \\ 0 & 1 & \frac { 3 }{ 2 } & \frac { 7 }{ 2 } \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{matrix} \right] \\ \overset { { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }+12{ R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & -7 & -8 \\ 0 & 1 & \frac { 3 }{ 2 } & \frac { 7 }{ 2 } \\ 0 & 0 & 40 & 40 \end{matrix} \right] \\ \overset { { R }_{ 1 }\rightarrow { R }_{ 1 }+7{ R }_{ 3 } }{ \underset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-\cfrac { 3 }{ 2 } { R }_{ 3 } }{ \longrightarrow } } \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{matrix} \right] \)

\(\frac { 1 }{ x } =u,\frac { 1 }{ y } =v,\frac { 1 }{ z } =w\), என பிரதியிடு நமக்கு கிடைப்பது
3u - 4v - 2w = 1,
u + 2v + w = 2,
2u=5v-4w=-1
\(\therefore \Delta =\left| \begin{matrix} 3 & -4 & -2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & -5 & -4 \end{matrix} \right| =3\left| \begin{matrix} 2 & 1 \\ -5 & -4 \end{matrix} \right| +4\left| \begin{matrix} 1 & 1 \\ 2 & -4 \end{matrix} \right| -2\left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & -5 \end{matrix} \right| \\ \)
=3(-8+5)+4(-4-2)-2(-5-4)
=3(-3)+5(-6)-2(-9)
=-9-24+18=-15
\({ \Delta }_{ 1 }=\left| \begin{matrix} 1 & -4 & -2 \\ 2 & 2 & 1 \\ -1 & -5 & -4 \end{matrix} \right| \)
\(=1\left| \begin{matrix} 2 & 1 \\ -5 & -4 \end{matrix} \right| +4\left| \begin{matrix} 2 & 1 \\ -1 & -4 \end{matrix} \right| -2\left| \begin{matrix} 2 & 2 \\ -1 & -5 \end{matrix} \right| \)
=1(-8+5)+4(-8+1)-2(-10+2)
=1(-3)+4(-7)-2(-8)
=-3-28+16=-15
\({ \Delta }_{ 2 }\left| \begin{matrix} 3 & 1 & -2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & -1 & -4 \end{matrix} \right| \)
\(=3\left| \begin{matrix} 2 & 1 \\ -1 & -4 \end{matrix} \right| -1\left| \begin{matrix} 1 & 1 \\ 2 & -4 \end{matrix} \right| -2\left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & -1 \end{matrix} \right| \)
=3(-8+1)-1(-4-2)-2(-1-4)
=3(-7)-1(-6)-2(-5)
=-21+6+10=-5
\({ \Delta }_{ 3 }=\left| \begin{matrix} 3 & -4 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 2 & -5 & -1 \end{matrix} \right| \)
\(=3\left| \begin{matrix} 2 & 2 \\ -5 & -1 \end{matrix} \right| +4\left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & -1 \end{matrix} \right| +1\left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & -5 \end{matrix} \right| \)
=3(-2+10)+4(-1-4)+1(-5-4)
=3(8)+4(-5)+1(-9)
=24-20-9=-5
\(\therefore u=\frac { { \Delta }_{ 1 } }{ \Delta } =\frac { -15 }{ -15 } =1\Rightarrow \frac { 1 }{ x } =1\Rightarrow x=1\)
\(v=\frac { { \Delta }_{ 2 } }{ \Delta } =\frac { -5 }{ -15 } =\frac { 1 }{ 3 } \Rightarrow \frac { 1 }{ y } =\frac { 1 }{ 3 } \Rightarrow y=3\)
\(w=\frac { { \Delta }_{ 3 } }{ \Delta } =\frac { -5 }{ -15 } =\frac { 1 }{ 3 } \Rightarrow \frac { 1 }{ z } =\frac { 1 }{ 3 } \Rightarrow z=3\)
∴ தீர்வு கணம் {1, 3, 3}

px + by + cz = 0, ax + qy + cz = 0, ax + by + rz = 0 என்ற தொகுப்பின் சமன்பாடுகள் வெளிப்படையற்றத் தீர்வு பெற்றுள்ளது என்க.
எனவே \(\left| \begin{matrix} p & b & c \\ a & q & c \\ a & b & r \end{matrix} \right| \) = 0, R₂ ⟶ R₂-R₁ மற்றும் R₃⟶R₃-R₁ மேல் உள்ள சமன்பாட்டில் பயன்படுத்தக் கிடைப்பது
\(\left| \begin{matrix} p & b & c \\ a-p & q-b & 0 \\ a-p & 0 & r-c \end{matrix} \right| \) = 0, அதாவது, \(\left| \begin{matrix} p & b & c \\ -(p-a) & q-b & 0 \\ -(p-a) & 0 & r-c \end{matrix} \right| \) = 0
p ≠ a, q ≠ b, r ≠ c ஆதலால் நாம் பெறுவது (p-a)(q-b)(r-c)\(\left| \begin{matrix} \frac { p }{ p-a } & \frac { b }{ q-a } & \frac { c }{ r-c } \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{matrix} \right| \) = 0
எனவே  \(\left| \begin{matrix} \frac { p }{ p-a } & \frac { b }{ q-a } & \frac { c }{ r-c } \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{matrix} \right| \) = 0
அணிக்கோவையை விரிவுபடுத்தக் கிடைப்பது, \(\frac { p }{ p-a } +\frac { q }{ q-b } +\frac { r }{ r-c } \) = 0
அதாவது, \(\frac { p }{ p-a } +\frac { q-(q-b) }{ q-b } +\frac { r-(r-c) }{ r-c } 0\) ⇒ \(\frac { p }{ p-a } +\frac { q }{ q-b } +\frac { r }{ r-c } \) = 2

அணிவடிவம் \(=\left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 3 \\ 4 & 3 & \lambda \\ 2 & 1 & 2 \end{matrix}\right ]\left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right]\)
விரிவு படுத்தப்பட்ட அணியை ஏறுபடி வடிவத்திற்கு மற்ற கிடைப்பது,
\([A|0]=\left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 3 \\ 4 & 3 & \lambda \\ 2 & 1 & 2 \end{matrix}|\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 1 }\leftrightarrow { R }_{ 3 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 2 \\ 4 & 3 & \lambda \end{matrix}|\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-2{ R }_{ 1 } }{ \underset { { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-4{ R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } } \left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & -4 \\ 0 & -1 & \lambda \end{matrix}|\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { R_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-{ R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & -4 \\ 0 & 0 & \lambda -8 \end{matrix}|\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right]\)
நிலை (i) λ≠8 எனில் 

இங்கு ρ(A) = 3, ρ([A | B]) = 3
\(\therefore\) ρ(A) = ρ([A | B]) = 3 = n மதிப்பிட வேண்டிய மாறிகளின் எண்ணிக்கை 
\(\therefore\) கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பு ஒருங்கமைவுடன் ஒரே ஒரு தீர்வை கொண்டிருக்கும்.
தீர்வு x = 0, y = 0, z = 0
நிலை (ii) λ = 8 எனில் 
\([A|0]=\left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & -4 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}|\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
இங்கு ρ(A) = 2, ρ([A | B]=2
\(\therefore\) ρ(A) = ρ([A|0]) = 2 < 3, மதிப்பிட வேண்டிய மாறிகளின் எண்ணிக்கை,
\(\therefore\) தொகுப்பு ஒருங்கமைவுடன் வெளிப்படையற்ற தீர்வுகளை உடையது.

நாம் x₁, x₂, x₃ மற்றும் x₄ என்ற மிகை முழுக்களை
x₁C₅H₈ + x₂O₂ = x₃CO₂ + x₄H₂O என அமையுமாறு காண விழைகிறோம்.   .....(1)
(1)-ன் இடதுபுறத்திலுள்ள கார்பன் அணுக்களின் எண்ணிக்கை (1)-ன் வலதுபுறத்திலுள்ள கார்பன் அணுக்களின் எண்ணிக்கைக்குச் சமமாக இருக்க வேண்டும். எனவே
5x₁ = x₃ ⇒ 5x₁ - x₃ = 0                                                                                             ..........(2)
என்ற நேரியச் சமப்படித்தான சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம். இதேபோல் ஹைட்ரஜன் மற்றும் ஆக்ஸிஜன் அணுக்கள் எண்ணிக்கைகளை ஒப்பிடக் கிடைப்பது,
8x₁ = 2x₄ ⇒ 4x₁-x₄ = 0                                                                                               .......(3)
2x₂ = 2x₃ + x₄ ⇒ 2x₂ - 2x₃ - x₄= 0                                                                             ........(4)
சமன்பாடுகள் (2), (3), மற்றும் (4) என்பன 4 மாறிகளில் ஒரு நேரியச் சமப்படித்தான தொகுப்பை ஏற்படுத்துகின்றன.
விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணியான [A|B] = \(\left[ \begin{matrix} 5 \\ 4 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} -1 \\ 0 \\ -2 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ -1 \\ -1 \end{matrix}|\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
காஸ்ஸியன் நீக்கல் முறையை பயன்படுத்த
[A|B] \(\overset { { R }_{ 1 }\leftrightarrow { R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 4 \\ 5 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ -1 \\ -2 \end{matrix}\begin{matrix} -1 \\ 0 \\ -1 \end{matrix}|\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 2 }\leftrightarrow { R }_{ 3 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 4 \\ 0 \\ 5 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ -2 \\ -1 \end{matrix}\begin{matrix} -1 \\ -1 \\ 0 \end{matrix}|\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 3 }\uparrow 4{ R }_{ 3 }-5{ R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ -2 \\ -4 \end{matrix}\begin{matrix} -1 \\ -1 \\ 5 \end{matrix}|\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
எனவே, ρ(A) = ρ([A|B]) = 3 < 4 = மதிப்பிட வேண்டிய மாறிகளின் எண்ணிக்கை.
தொகுப்பானது ஒருங்கமைவு உடையது மற்றும் எண்ணற்ற தீர்வுகளைப் பெற்றிருக்கும்.
ஏறுபடி வடிவத்தில் நமக்குக் கிடைக்கும் சமான சமன்பாடுகள்
4x₁-x₄ = 0, 2x₂ - x₄ = 0, -4x₃ + 5x₄ = 0
எனவே ஒரு மாறியை பூச்சியமற்ற மெய் எண் பெறும் தன்னிச்சை மாறியாக எடுத்துக் கொள்ள வேண்டும்
x₄ = t, t ≠ 0 என்க. பின்னோக்கிப் பிரதியிடல் முறையில் \({ x }_{ 3 }=\frac { 5t }{ 4 } ,{ x }_{ 2 }=\frac { 7t }{ 4 } ,{ x }_{ 1 }=\frac { t }{ 4 } \) எனப் பெறுகிறோம்.
x₁, x₂, x₃ மற்றும் x₄ என்பன மிகை முழுக்கள். எனவே t = 4 எனத் தேர்வு செய்கிறோம். எனவே, x₁ = 1, x₂ = 7, x₃ = 5 மற்றும் x₄ = 4 எனக் கிடைக்கிறது. எனவே சமனாமாக்கப்பட்டச் சமன்பாடு,
C₅H₈ + 7O₂ ⟶ 5CO₂ + 4H₂O ஆகும்.

மதிப்பிட வேண்டிய மாறிகளின் எண்ணிக்கை 3.
தொகுப்பின் அணி வடிவம் AX = B
இங்கு A = \(\left[ \begin{matrix} 4 & -2 & 6 \\ 1 & 1 & -3 \\ 15 & -3 & 9 \end{matrix} \right] ,X=\left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] ,B=\left[ \begin{matrix} 8 \\ -1 \\ 21 \end{matrix} \right] \)
[A|B] என்ற விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணியில் தொடக்கநிலை நிரை செயலிகள் பயன்படுத்தக் கிடைப்பது
[A|B] =\(\left[ \begin{matrix} 4 & -2 & 6 \\ 1 & 1 & -3 \\ 15 & -3 & 9 \end{matrix}|\begin{matrix} 8 \\ -1 \\ 21 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 1 }\leftrightarrow { R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 1 & -3 \\ 4 & -2 & 6 \\ 15 & -3 & 9 \end{matrix}|\begin{matrix} -1 \\ 8 \\ 21 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-4{ R }_{ 1 },\\ { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-15{ R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 1 & -3 \\ 0 & -6 & 18 \\ 0 & -18 & 54 \end{matrix}|\begin{matrix} -1 \\ 12 \\ 36 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }\div (-6),\\ { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }\div (-18) }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 1 & -3 \\ 0 & 1 & - \\ 0 & 1 & -3 \end{matrix}|\begin{matrix} -1 \\ -2 \\ -2 \end{matrix} \right] \\ \overset { { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-{ R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 1 & -3 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}|\begin{matrix} -1 \\ -2 \\ 0 \end{matrix} \right] \)
எனவே \(\rho \)(A) = \(\rho \)([A|B]) = 2 < 3
ஏறுபடி வடிவத்திலுள்ள அணியிலிருந்து கிடைக்கும் சமான சமன்பாடுகளின் தொகுப்பானது
x + y - 3z = -1, y - 3z = -2, 0 = 0
இதில் கடைசி சமன்பாடு 0 = 0 வெளிப்படையானது மற்றும் பொருத்தமுடையது.
மேலும் வெளிப்படையற்ற சமன்பாடுகள் இரண்டு உள்ளன. மூன்று தொகுப்பில் மாறிகள் உள்ளன. எனவே மாறிகளில் ஒன்றை நமது விருப்பப்படி நிலை நிறுத்தி மற்ற இரு மாறிகளுக்கான இரு சமன்பாடுகளைப் பெறலாம். எனவே z-ஐ t என்ற மெய்யெண் பெறும் தன்னிச்சை மாறியாகக் கொள்வோம். எனவே நாம் பெறுவது y = 3t - 2, x = -1-(3t - 2) + 3t = 1. எனவே தீர்வானது (x = 1, y = 3t - 2, z = t) ஆகும். இங்கு t என்பது தன்னிச்சை மெய்யெண் ஆகும். மேல் உள்ள தீர்வுக் கணமானது ஒரு சாராமாறி குடும்பத் தீர்வுகள் ஆகும். எனவே கொடுத்துள்ள தொகுப்பானது ஒருங்கமைவுடையது மற்றும் எண்ணற்ற தீர்வுகள் பெற்றிருக்கும். இந்த எண்ணற்ற தீர்வுகள் ஒரு குடும்பத் தீர்வுகளாகும்.

இங்கு மதிப்பிட வேண்டிய மாறிகளின் எண்ணிக்கை 3.
தொகுப்பின் அணி வடிவம் AX = B, இங்கு
A = \(\left[ \begin{matrix} 1 & 2 & -1 \\ 3 & -1 & 2 \\ \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} & \begin{matrix} -2 \\ -1 \end{matrix} & \begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix} \end{matrix} \right] ,X=\left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] ,B=\left[ \begin{matrix} 3 \\ 1 \\ \begin{matrix} 3 \\ -1 \end{matrix} \end{matrix} \right] \)
விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணியானது [A|B] = \(\left[ \begin{matrix} 1 & 2 & -1 \\ 3 & -1 & 2 \\ \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} & \begin{matrix} -2 \\ -1 \end{matrix} & \begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix} \end{matrix}|\begin{matrix} 3 \\ 1 \\ \begin{matrix} 3 \\ -1 \end{matrix} \end{matrix} \right] \)
[A|B]-ல் காஸ்ஸியன் நீக்கல் முறையை பயன்படுத்தக் கிடைப்பது
[A|B] = \(\overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-3{ R }_{ 1 }\\ { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-{ R }_{ 1 },\\ { R }_{ 4 }\rightarrow { R }_{ 4 }-{ R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ -7 \\ \begin{matrix} -4 \\ -3 \end{matrix} \end{matrix}\begin{matrix} -1 \\ 5 \\ \begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix} \end{matrix}|\begin{matrix} 3 \\ -8 \\ \begin{matrix} 0 \\ -4 \end{matrix} \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 2 }\rightarrow (-1){ R }_{ 2 }\\ { R }_{ 3 }\rightarrow (-1){ R_{ 3 } },\\ { R }_{ 4 }\rightarrow (-1){ R }_{ 4 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 7 \\ \begin{matrix} 4 \\ 3 \end{matrix} \end{matrix}\begin{matrix} -1 \\ -5 \\ \begin{matrix} -4 \\ -2 \end{matrix} \end{matrix}|\begin{matrix} 3 \\ 8 \\ \begin{matrix} 0 \\ 4 \end{matrix} \end{matrix} \right] \\ \overset { { R }_{ 3 }\rightarrow 7{ R }_{ 3 }-4{ R }_{ 2 }\\ { R }_{ 4 }\rightarrow 7{ R }_{ 4 }-3{ R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 7 \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{matrix}\begin{matrix} -1 \\ -5 \\ \begin{matrix} -8 \\ 1 \end{matrix} \end{matrix}|\begin{matrix} 3 \\ 8 \\ \begin{matrix} -32 \\ 4 \end{matrix} \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }\div (-8) }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 7 \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{matrix}\begin{matrix} -1 \\ -5 \\ \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \end{matrix}|\begin{matrix} 3 \\ 8 \\ \begin{matrix} 4 \\ 4 \end{matrix} \end{matrix} \right] \\ \overset { R4\rightarrow { R }_{ 4 }-{ R }_{ 3 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 7 \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{matrix}\begin{matrix} -1 \\ -5 \\ \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \end{matrix}|\begin{matrix} 3 \\ 8 \\ \begin{matrix} 4 \\ 0 \end{matrix} \end{matrix} \right] \)
விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணி [A|B]-ல் மூன்று அபூச்சிய நிரைகள் உள்ளன. எனவே, \(\rho \)([A|B]) = 3.
A-யின் நிரை-ஏறுபடி வடிவமானது \(\left[ \begin{matrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 7 & -5 \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} & \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} & \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \end{matrix} \right] \) இதில் மூன்று அபூச்சிய நிரைகள் உள்ளன.
எனவே, \(\rho \)(A) = 3
எனவே, \(\rho \)(A) = \(\rho \)([A|B]) = 3
ஏறுபடி வடிவத்திலுள்ள அணியிலிருந்து கிடைக்கும் சமான சமன்பாடுகளின் தொகுப்பானது x + 2y - z = 3, 7y - 5z = 8, z = 4, 0 = 0.
கடைசி சமன்பாடு 0 = 0 என்பது அர்த்தமுள்ளது. பின்னோக்கிப் பிரதியிடல் முறையில் நமக்குக் கிடைப்பது
z = 4
7y - 20 = 8 ⇒ y = 4,
x = 3 - 8 + 4 ⇒ x = -1
எனவே தீர்வானது (x = -1, y = 4, z = 4).  (இங்கு A-ஆனது சதுர அணியல்ல என்பது குறிப்பிடத்தக்கது)

6%, 8% மற்றும் 9% பத்திரங்களில் முதலீடு செய்யப்படும் தொகை முறையே ரூ. x, ரூ.y மற்றும் ரூ.z என்க.
∴ கொடுக்கப்பட்ட தரவின்படி, x+y+z=65000    ....(1)
\(\frac { 6\times x\times 1 }{ 100 } +\frac { 8\times y\times 1 }{ 100 } +\frac { 9\times z\times 1 }{ 100 } =4800\)
[ ∴ வட்டி =\(\frac{PNR}{100}\)]
\(\Rightarrow \frac { 6x }{ 100 } +\frac { 8y }{ 100 } +\frac { 9z }{ 100 } =4800\)
\(\Rightarrow 6x+8y+9z=480000\)...(2)
மேலும், \(\frac { 9z }{ 100 } =600+\frac { 8y }{ 100 } \)
\(\Rightarrow \frac { -8y }{ 100 } +\frac { -z }{ 100 } =60000\) ...(3)
விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணியை ஏறுபடிவ வடிவத்திற்கு தொடக்கநிலை உருமாற்றங்கள் செய்யக் கிடைப்பது.
[A|B] =\(\left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 6 & 8 & 9 \\ 0 & -8 & 9 \end{matrix}|\begin{matrix} 65000 \\ 480000 \\ 60000 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-{ 4R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & -8 & 9 \end{matrix}|\begin{matrix} 65000 \\ 90000 \\ 60000 \end{matrix} \right] \)
\(\overset { { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }+4{ R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 21 \end{matrix}|\begin{matrix} 65000 \\ 90000 \\ 420000 \end{matrix} \right] \)
ஏறுபடிவத்திலிருந்து கிடைக்கும் சமான சமன்பாடுகளின் தொகுப்பானது, 
x+y+z= 65000 ...(1)
2y+3z=90000 ....(2)
21z=42000
⇒ z=\(\frac{420000}{21}=20000\)
z=20,000 என (2)ல் பிரதியிட கிடைப்பது, 
2y+3(20,000)=90000
⇒ 2y+60,000=90,000
⇒ 2y=90,000-60,000
⇒ y=\(\frac{30,000}{2}=15,000\)
y=15,000 மற்றும் z=20,000 என (1)ல் பிரதியிட கிடைப்பது.
x+15,000+20,000=65000
⇒ x+35,000=65000
⇒ x=65,000-35,000
⇒ x=30,000
6% பத்திரத்தின் விலை ரூ.30,000, 8% பத்திரத்தில் ரூ.15,000 மற்றும் 9% பத்திரத்தின் விலை ரூ.20,000.

விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணியை ஏறுபடிவ வடிவத்திற்கு உருமாற்றங்கள் செய்யக் கிடைப்பது,
\(\left[ \begin{matrix} 4 & 3 & 6 \\ 1 & 5 & 7 \\ 2 & 9 & 1 \end{matrix}|\begin{matrix} 25 \\ 13 \\ 1 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 1 }\leftrightarrow { R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 5 & 7 \\ 4 & 3 & 6 \\ 2 & 9 & 1 \end{matrix}|\begin{matrix} 13 \\ 25 \\ 1 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }-4{ R }_{ 1 }\\ { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }-2{ R }_{ 1 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 5 & 7 \\ 0 & -17 & -22 \\ 0 & -1 & -13 \end{matrix}|\begin{matrix} 13 \\ -27 \\ -25 \end{matrix} \right] \overset { { R }_{ 2 }\rightarrow { R }_{ 2 }+ (-1)\\ { R }_{ 3 }\rightarrow { R }_{ 3 }+ (-1) }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 5 & 7 \\ 0 & 17 & 22 \\ 0 & 1 & 13 \end{matrix}|\begin{matrix} 13 \\ 27 \\ 25 \end{matrix} \right] \\ \overset { { R }_{ 3 }\rightarrow 17{ R }_{ 3 }-{ R }_{ 2 } }{ \longrightarrow } \left[ \begin{matrix} 1 & 5 & 7 \\ 0 & 17 & 22 \\ 0 & 0 & 199 \end{matrix}|\begin{matrix} 13 \\ 27 \\ 398 \end{matrix} \right] \)
ஏறுபடிவத்திலிருந்து கிடைக்கும் சமமான சமன்பாடுகளின் தொகுப்பானது
x + 5y + 7z = 13,   ....(1)
17y + 22z = 27,   .....(2)
199z = 398   ......(3)
(3)-லிருந்து நாம் பெறுவது z = \(\frac { 398 }{ 199 } \) = 2
z = 2 என (2) -ல் பிரதியிடக் கிடைப்பது y = \(\frac { 27-22\times 2 }{ 17 } =\frac { -17 }{ 17 } \) = -1
z = 2 மற்றும் y = −1 என (1)-ல் பிரதியிடக் கிடைப்பது x = 13 - 5 x (-1) -7 x 2 = 4
எனவே தீர்வானது (x = 4, y = -1, z = 2)

பம்பு A தொட்டியை நிரப்ப x நிமிடங்கள் எடுத்துக் கொள்ளும் மற்றும் பம்பு B தொட்டியை நிரப்ப y நிமிடங்கள் எடுத்துக் கொள்ளும் என்க.
1 நிமிடத்தில் எடுத்துக்கொள்ளும் என்க.
1 நிமிடத்தில் A ஆல் \(\frac{1}{x}\) அலகும் மற்றும் B ஆல் \(\frac{1}{y}\) அலகும் நிரப்ப முடியும்.
\(\therefore \frac { 10 }{ x } +\frac { 10 }{ y } =1\) மற்றும் \(\frac { 30 }{ x } -\frac { 30 }{ y } =1\)
\(\frac{1}{x}\) =a மற்றும் \(\frac {1}{y}=b \) என பிரதியிட 
\(\Rightarrow 10a+10b=1\)
மற்றும் \(30a-30b=1\)
\(\Delta =\left| \begin{matrix} 10 & 10 \\ 30 & -30 \end{matrix} \right| =10 \times (-30) - 10 \times 30 = 600 \not = 0\)
\({ \Delta }_{ x }=\left| \begin{matrix} { 1 } & 10 \\ { 1 } & -30 \end{matrix} \right| =1 \times (-30) - 10 \times 1= -40 \)
\({ \Delta }_{ y }=\left| \begin{matrix} 10 & { 1 } \\ 30 & { 1 } \end{matrix} \right| =10 \times 1 - 1 \times 30 = -20\)
கிராமரின் விதிப்படி 
\(\therefore a=\frac { { \Delta }_{ 1 } }{ \Delta } =\frac { -40 }{ -600 } =\frac { 1 }{ 15 } \Rightarrow \frac { 1 }{ x } =\frac { 1 }{ 15 } x=15\)
\(b=\frac { { \Delta }_{ 2 } }{ \Delta } =\frac { -20 }{ -600 } =\frac { 1 }{ 30 } \Rightarrow \frac { 1 }{ y } \Rightarrow y=30\)
A 15 நிமிடங்களிலும், B 30 நிமிடங்களிலும் தொட்டியை நிரப்பும்.

x கேள்விகளுக்கு சரியாக பதில் அளித்திருப்பார் மற்றும் y கேள்விகளுக்கு தவறான பதில் அளித்திருப்பார் என்க.
கொடுக்கப்பட்ட தரவின்படி, x+y =100 மற்றும் 
\(x-\frac { 1 }{ 4 } y=80...(1)\)
4ஆல் பெருக்க கிடைப்பது 
4x-y=320      ...(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து 
\(\Delta =\left| \begin{matrix} 1 & 1 \\ 4 & -1/4 \end{matrix} \right| =-1/4-1=-5/4 \not = 0\)
\({ \Delta }_{ x }=\left| \begin{matrix} 100 & 1 \\ 80 & -1/4 \end{matrix} \right| =-25-80=-105\)
\({ \Delta }_{ y }=\left| \begin{matrix} 1 & 100 \\ 1 & 80 \end{matrix} \right| =80-100=-20\)
\(\therefore x=\frac { { \Delta }_{ x } }{ \Delta } =\frac { -105 }{ -5/4 } =21 \times 4 =+84\)
மற்றும் \(y=\frac { { \Delta }_{ y } }{ \Delta } =\frac { -20 }{ -5/4 } =4 \times 4 = 16\)
\(\therefore\) 84 கேள்விகளுக்குச் சரியான பதில் அளித்திருப்பார்.
16 கேள்விகளுக்கு தவறான பதில் அளித்திருப்பார்.

y = ax² + bx + c என்ற பாதையானது (10,8), (20,16), (40,22) என்ற புள்ளிகள் வழிச் செல்கிறது ஆதலால் 100a + 10b + c = 8, 400a + 20b + c = 16, 1600a + 40b + c = 22 என்ற  சமன்பாடுகள் கிடைக்கின்றன. கிராமரின் விதியை பயன்படுத்த பின்வருவனவற்றைக் காண்போம்.
\(\ \triangle =\left| \begin{matrix} 100 & 10 & 1 \\ 400 & 20 & 1 \\ 1600 & 40 & 1 \end{matrix} \right| =1000\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \\ 16 & 4 & 1 \end{matrix} \right| \)= 1000 [-2 + 12 - 16] = -6000
\({ \triangle }_{ 1 }=\left| \begin{matrix} 8 & 10 & 1 \\ 16 & 20 & 1 \\ 22 & 40 & 1 \end{matrix} \right| =20\left| \begin{matrix} 4 & 1 & 1 \\ 8 & 2 & 1 \\ 11 & 4 & 1 \end{matrix} \right| \) = 20[-8 + 3 + 10] = 100,
\({ \triangle }_{ 2 }=\left| \begin{matrix} 100 & 8 & 1 \\ 400 & 16 & 1 \\ 1600 & 22 & 1 \end{matrix} \right| =200\left| \begin{matrix} 1 & 4 & 1 \\ 4 & 8 & 1 \\ 16 & 11 & 1 \end{matrix} \right| \) = 200 [-3 + 48 - 84] = -7800,
\({ \triangle }_{ 3 }=\left| \begin{matrix} 100 & 10 & 8 \\ 400 & 20 & 16 \\ 1600 & 40 & 22 \end{matrix} \right| =2000\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 4 \\ 4 & 2 & 8 \\ 16 & 4 & 11 \end{matrix} \right| \)= 2000 [-10 + 84 - 64] = 20000.
கிராமரின் விதிப்படி, a = \(\frac { { \triangle }_{ 1 } }{ \triangle } =-\frac { 1 }{ 60 } ,b=\frac { { \triangle }_{ 2 } }{ \triangle } =\frac { 7800 }{ 6000 } =\frac { 78 }{ 60 } =\frac { 13 }{ 10 } ,c=\frac { { \triangle }_{ 3 } }{ \triangle } =\frac { 20000 }{ 6000 } =-\frac { 20 }{ 6 } =\frac { 10 }{ 3 } \)
எனவே பாதையின் சமன்பாடு \(y =-\frac { 1 }{ 60 } { x }^{ 2 }+\frac { 13 }{ 10 } x-\frac { 10 }{ 3 } \)
x = 70 எனில் y = 6எனக் கிடைக்கிறது. எனவே பந்தானது எல்லைக்கோட்டிற்கு நேர் மேலாக 6 மீ உயரத்தில் செல்கிறது மற்றும் எல்லைக் கோட்டின் அருகில் உள்ள ஆட்டக்காரர் எகிறிக் குதித்துப் பிடிக்க முயன்றாலும் அவரால் அப்பந்தினைப் பிடிக்க இயலாது. எனவே அப்பந்து மிகப்பெரிய 6 ஆகச் சென்றது மற்றும் அவ்வணி ஆட்டத்தினை வென்றது.

நபரின் மாத ஆரம்ப ஊதியம் ரூ x என்க மற்றும் ஆண்டு உயர்வு ரூ y என்க.
கொடுக்கப்பட்ட தரவின்படி x + 3y = 19800 மற்றும் x + 9y = 23,400.
கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு தொகுப்பின் அணி வடிவம் 
\(\left[ \begin{matrix} 1 & 3 \\ 1 & 9 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 19800 \\ 23400 \end{matrix} \right] \)
⇒ AX=B இங்கு A=\(\left[ \begin{matrix} 1 & 3 \\ 1 & 9 \end{matrix} \right] \)மற்றும் \(B=\left[ \begin{matrix} 19800 \\ 23400 \end{matrix} \right] \)
\(|A|=\left| \begin{matrix} 1 & 3 \\ 1 & 9 \end{matrix} \right| =9-3=6\neq 0\)
A^-1 ஐக் காண இயலும்
\(\therefore { A }^{ -1 }=\frac { 1 }{ |A| } adj\quad A=\frac { 1 }{ 6 } \begin{bmatrix} 9 & -3 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}\)
\(\therefore X={ A }^{ -1 }B\)
\(\left[ \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right]=\frac { 1 }{ 6 } \begin{bmatrix} 9 & -3 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}\left[ \begin{matrix} 19800 \\ 23400 \end{matrix} \right] \)
\(=\frac { 1 }{ 6 } \left[ \begin{matrix} 178200 & -70200 \\ -19800 & +23400 \end{matrix} \right] \)
\(\left[ \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right]=\frac { 1 }{ 6 } \left[ \begin{matrix} 108000 \\ 3600 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 18000 \\ 600 \end{matrix} \right] \)
\(\therefore x=18000,\quad y=600\)
எனவே  ஆரம்ப ஊதியம் Rs. 18000 மற்றும் ஆண்டு உயர்வு Rs. 600.

AB = \(\left[ \begin{matrix} -4 & 4 & 4 \\ -7 & 1 & 3 \\ 5 & -3 & -1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & -2 & -2 \\ 2 & 1 & 3 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} -4+4+8 & 4-8+4 & -4-8+12 \\ -7+1+6 & 7-2+3 & -7-2+9 \\ 5-3-2 & -5+6-1 & 5+6-3 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 8 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 8 \end{matrix} \right] \)= 8I₃

மற்றும் BA = \( \left[ \begin{matrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & -2 & -2 \\ 2 & 1 & 3 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} -4 & 4 & 4 \\ -7 & 1 & 3 \\ 5 & -3 & -1 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} -4+7+5 & 4-1-3 & 4-3-1 \\ -4+14-10 & 4-2+6 & 4-6+2 \\ -8-7+15 & 8+1-9 & 8+3-3 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 8 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 8 \end{matrix} \right] \)= 8I₃
எனவே நாம் பெறுவது AB = BA = 8I₃ அதாவது \(\left( \frac { 1 }{ 8 } A \right) B = B\left( \frac { 1 }{ 8 } A \right) \) = I₃ எனவே, B^-1 = \(\frac { 1 }{ 8 } \)A.
கொடுத்துள்ள நேரியச் சமன்பாட்டுத் தொகுப்பை அணி வடிவில் எழுதக் கிடைப்பது.
\(\\ \left[ \begin{matrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & -2 & -2 \\ 2 & 1 & 3 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 4 \\ 9 \\ 1 \end{matrix} \right] \) அதாவது, B = \(\left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 4 \\ 9 \\ 1 \end{matrix} \right] \)
எனவே, \(\left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] ={ B }^{ -1 }\left[ \begin{matrix} 4 \\ 9 \\ 1 \end{matrix} \right] =\left( \frac { 1 }{ 8 } A \right) \left[ \begin{matrix} 4 \\ 9 \\ 1 \end{matrix} \right] =\frac { 1 }{ 8 } \left[ \begin{matrix} -4 & 4 & 4 \\ -7 & 1 & 3 \\ 5 & -3 & -1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 4 \\ 9 \\ 1 \end{matrix} \right] =\frac { 1 }{ 8 } \left[ \begin{matrix} -16+36+4 \\ -28+9+3 \\ 20-27-1 \end{matrix} \right] =\frac { 1 }{ 8 } \left[ \begin{matrix} 24 \\ -16 \\ -8 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 3 \\ -2 \\ -1 \end{matrix} \right] \)
எனவே தீர்வானது (x = 3, y = -2, z = -1)

\(\left(\frac{1+\sqrt{3} i}{1-\sqrt{3} i}\right)^{10} =\left[\frac{\cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3}}{\cos \left(-\frac{\pi}{3}\right)+i \sin \left(-\frac{\pi}{3}\right)}\right] ^{10}\)
\( =\left[\cos \left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{3}\right)+i \sin \left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{3}\right)\right] ^{10}\)
\( =\left(\cos \frac{2 \pi}{3}+i \sin \frac{2 \pi}{3}\right)^{10}=\cos \frac{20 \pi}{3}+i \sin \frac{20 \pi}{3} \)
\( =\cos \left(6 \pi+\frac{2 \pi}{3}\right)+i \sin \left(6 \pi+\frac{2 \pi}{3}\right) \)
\( =\cos \left(\frac{2 \pi}{3}\right)+i \sin \left(\frac{2 \pi}{3}\right)=\operatorname{cis} \frac{2 \pi}{3} \)

x² + x + 1 = 0 
தீர்க்கக் கிடைப்பது \(x = {-1 \pm i \sqrt{3} \over 2}\)
\( \omega=\frac{-1+i \sqrt{3}}{2} \) மற்றும் \(\omega^2=\frac{-1-i \sqrt{3}}{2} \)
\( \therefore \alpha^{2020}+\beta^{2020}=(\omega)^{2020}+\left(\omega^2\right)^{2020} \)
\( =\left(\omega^3\right)^{673} \cdot \omega+\left(\omega^3\right)^{1346} \cdot \omega^2 \)
\( =1 \cdot \omega+1 . \omega^2=\omega+\omega^2=-1 \)

 (1 + i) (1 + 2i) (1 + 3i) .... (1 + ni) = x + iy இருபுறமும் மட்டு மதிப்பை கண்டு வர்க்கப்படுத்த 
2.5.10 .... (1 + n²) = x² + y²

\(|z+2| =|z-2| \)
\(z  =x+\mathrm{iy} \)
\(|(x+2)+\mathrm{iy}|  =|(x-2)+\mathrm{iy}| \)
\((x+2)^2+y^2  =(x-2)^2+\mathrm{y}^2 \)
\(x^2+4 x+4  =x^2-4 x+4 \)
\(\Rightarrow x  =0\)

\(z_1+z_2+z_3=0 \)
\( \Rightarrow\left(z_1+z_2+z_3\right)^2=0 \)
\( z_1^2+z_2^2+z_3^2+2\left(z_1 z_2+z_2 z_3+z_3 z_1\right)=0 \)
\( z_1^2+z_2^2+z_3^2=-2 z_1 z_2 z_3\left(\frac{1}{z_1}+\frac{1}{z_2}+\frac{1}{z_3}\right) \)
\(=-2 z_1 z_2 z_3\left(\bar{z}_1+\bar{z}_2+\bar{z}_3\right) \)
\(=-2 z_1 z_2 z_3\left(\overline{z_1+z_2+z_3}\right)=0\)

\(|\mathrm{z}|-\mathrm{z} =1+2 \mathrm{i} \)
\(\mathrm{z}  =x+\mathrm{iy} \) என்க.
\(|\mathrm{z}|  =x+\mathrm{iy}+1+2 \mathrm{i} \)
\(\sqrt{x^2+y^2}  =(x+1)+\mathrm{i}(\mathrm{y}+2) \)
\(\sqrt{x^2+y^2}  =x+1 \)
\(x^2+\mathrm{y}^2  =(x+1)^2 \)
\(\mathrm{y}^2 =2 x+1 \)
\(\mathrm{y}+2=0\)
y = -2
\(2 x  =3 \Rightarrow x=\frac{3}{2} \)
\(\therefore \mathrm{z}=x+\mathrm{iy}  =\frac{3}{2}-2 i\)

கொடுக்கப்பட்டது : \(\left| z-\frac { 3 }{ z } \right| \) = 2
|z| ஐ \(\left|\left(z-\frac{3}{z}\right)+\frac{3}{z}\right|\) என எழுதலாம்.
ஏதேனும் இரு காலப்பெண்களுக்கான முக்கோண சமனிலியைப் பயன்படுத்த,
\( || z-\frac{3}{z}|-| \frac{3}{z}|| \leq\left|z-\frac{3}{z}+\frac{3}{z}\right| \leq\left|z-\frac{3}{z}\right|+\left|\frac{3}{z}\right|\)
\(\left|2-| \frac{3}{z}|\leq| z|\leq 2+| \frac{3}{z} \right\rvert\, \)
\( \left.\Rightarrow 2-\left|\frac{3}{z}\right|-|z| \leq 0 \Rightarrow|z|+\frac{3}{\mid z} \right\rvert\,-2 \geq 0\)
\( -2+\left|\frac{3}{z}\right|-|z| \leq 0 \Rightarrow|z|-\frac{3}{|z|}+2 \geq 0\)
\( |z|-2-\frac{3}{|z|} \leq 0\)
|z| = r என்க.
\(\text {(1) } \Rightarrow r^2-2 r+3 \geq 0 \)
B² - 4AC = 4 - 12 < 0, மெய் மூலங்கள் இல்லை 
\(\text {(2) } \Rightarrow r^2+2 r-3 \geq 0 \Rightarrow(r+3)(r-1) \geq 0\)
ie) \(r \in \mathbb{R}-(-3,1)\)
\(\text {(3) } \Rightarrow r^2-2 r-3 \leq 0 \Rightarrow(r-3)(r+1) \leq 0\)
ie) \(r \in[-1,3]\)
(4) மற்றும் (5) லிருந்து, \(r \in[1,3] \Rightarrow|z| \in[1,3]\)
\(\therefore|z|\) ன் மீச்சிறு மதிப்பு 1

\(2 \mathrm{i} z^2=\bar{z} \text {. } \)
\(\therefore \quad\left|2 i z^2\right|=|\bar{z}| \)
\(ie \ |2| \cdot|i| \cdot|z|^2=|z| \Rightarrow 2 \times 1 \times|z|^2=|z|\)
\(\frac{|z|^2}{|z|}=\frac{1}{2} \Rightarrow|z|=\frac{1}{2}\)

z, iz மற்றும் z + iz ஆகிய கலப்பெண்களால் ஏற்படும் முக்கோணத்தின் பரப்பளவு
z = a + ib என்க. ⇒ புள்ளி (a,b)
iz = - b + ia ⇒புள்ளி (-b, a) 
z + iz = (a-b) + i(a+b) ⇒ புள்ளி ((a−b), (a+b))
முக்கோணத்தின் பரப்பளவு \( =\frac{1}{2}\left[x_1\left(y_2-y_3\right)+x_2\left(y_3-y_1\right)+x_3\left(y_1-y_2\right)\right] \)
\(=\frac{1}{2}[a(a-a-b)-b(a+b-b)+(a-b)(b-a)] \)
\(=\frac{1}{2}\left[-a b-a b+a b-a^2-b^2+a b\right] \)
\(=\frac{1}{2}\left|a^2+b^2\right|=\frac{1}{2}|z|^2\)

\(\mathrm{i}^n+\mathrm{i}^{n+1}+\mathrm{i}^{n+2}+\mathrm{i}^{n+3}  =\mathrm{i}^n\left[1+i+i^2+i^3\right] \)
\( =i^n[1+i-1-i] =i^n(0)=0\)

|A| = 0 எனில் AX = 0 என்ற சமன்பாட்டிற்கு வெளிப்படையற்ற தீர்வுகள் இருக்கும் 
\(\left|\begin{array}{ccc} 1 & \sin \theta & -\cos \theta \\ \cos \theta & -1 & 1 \\ \sin \theta & 1 & -1 \end{array}\right|=0 \)
\( \Rightarrow 1(1-1)-\sin \theta(-\cos \theta-\sin \theta) -\cos \theta(\cos \theta+\sin \theta)=0 \)
\( \Rightarrow \sin \theta \cos \theta+\sin ^2 \theta-\cos ^2 \theta-\cos \theta \sin \theta=0 \)
\(\sin ^2 \theta=\cos ^2 \theta \Rightarrow \sin \theta=\cos \theta \)
\(\theta=\frac{\pi}{4}\)

கொடுக்கப்பட்டது \(x^{\mathrm{a}} \cdot \mathrm{y}^{\mathrm{b}}=\mathrm{e}^{\mathrm{m}} ; x^{\mathrm{c}} \cdot \mathrm{y}^{\mathrm{d}}=\mathrm{e}^{\mathrm{n}}\)
மடக்கை எடுக்கக் கிடைப்பது 
\( a \log x+b \log y=m \) ...(1)
\(c \log x+d \log y=n \) ...(2)
\(X=\log x, Y=\log y \) என்க.
\(\therefore(1) \Rightarrow a X+b Y=m \) ...(3)
\((2) \Rightarrow c X+d Y=n\) ...(4)
கிராமரின் விதியைப் பயன்படுத்தக் கிடைப்பது 
\(\Delta=\left|\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right|=\Delta_3\) கொடுக்கப்பட்டது 
\( \Delta_X=\left|\begin{array}{ll} m & b \\ n & d \end{array}\right|=\Delta_1 \) கொடுக்கப்பட்டது 
\(\Delta_Y=\left|\begin{array}{ll} a & m \\ c & n \end{array}\right|=\Delta_2 \) கொடுக்கப்பட்டது 
\( \therefore \mathrm{X}=\frac{\Delta_{\mathrm{X}}}{\Delta}=\frac{\Delta_1}{\Delta_3} \Rightarrow \log x=\frac{\Delta_1}{\Delta_3} \Rightarrow x=\mathrm{e}^{\frac{\Delta_1}{\Delta_3}} \)
\( Y=\frac{\Delta_Y}{\Delta}=\frac{\Delta_2}{\Delta_3} \Rightarrow \log y=\frac{\Delta_2}{\Delta_3} \Rightarrow y=e^{\frac{\Delta_2}{\Delta_3}} \\ \)

\(\operatorname{adj}(\mathrm{AB}) =\operatorname{adj}(\mathrm{B}). \operatorname{adj}(\mathrm{A}) \)
\( =\left[\begin{array}{cc} 1 & -2 \\ -3 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 4 & -1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} 2-8 & 3+2 \\ -6+4 & -9-1 \end{array}\right] \)
\(\operatorname{adj}(\mathrm{AB}) =\left[\begin{array}{cc} -6 & 5 \\ -2 & -10 \end{array}\right] \)

\(A B=I \Rightarrow B=A^{-1}=\frac{1}{1+\tan ^2 \frac{\theta}{2}}\left[\begin{array}{cr} 1 & -\tan \frac{\theta}{2} \\ \tan \frac{\theta}{2} & 1 \end{array}\right] \)
\(=\frac{1}{\sec ^2 \frac{\theta}{2}}\left[\begin{array}{cc} 1 & -\tan \frac{\theta}{2} \\ \tan \frac{\theta}{2} & 1 \end{array}\right]=\cos ^2 \frac{\theta}{2} A^{\top}\)

(A^TA^-1)^T = A^TA^-1
(A^-1)^T (A^T)^T =  A^TA^-1
(A^T)^-1 A = A^TA^-1
A^T(A^T)^-1AA = (A^T) A^T A^-1 A
(A^T மற்றும் A ஆல் முறையே முன்பெருக்கம் மற்றும் பின்பெருக்கம் செய்ய) A² = (A^T)²

A - ல் A₃₂ ன் இணைக்காரணி =\(-\left|\begin{array}{cc}3 & -1 \\ 2 & 0\end{array}\right|\)=-(0+2)=-2 
|A|  =3(2)-1(-2)-1(4+2)
=6+2-6=2
\(\mathrm{A}^{-1}\) - ல் \(\mathrm{a}_{23}\)இணைக்காரணி
\(=\frac{1}{|A|} \operatorname{adj} \mathrm{A}_{32}=\frac{1}{2}(-2)=-1\)

A ன் வரிசை 2 x 2 \(A\left[ \begin{matrix} 1 & -2 \\ 1 & 4 \end{matrix} \right] \) என்க.
\(\left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & -2 \\ 1 & 4 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 6 & 0 \\ 0 & 6 \end{matrix} \right] \)
a + b = 6
c + d = 0
-2a + 4b = 0
-2c + 4d = 6
சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கக் கிடைப்பது, 
a = 4, b = 2 c = -1, d = 1
\(A = \left[ \begin{matrix} 4 & 2 \\ -1 & 1 \end{matrix} \right] \)

|adj(adj A)| = |A|⁹
\(|A|^{(n-1)^2}=|\mathrm{A}|^9\)
(n - 1)² = 9 = 3²
n - 1 = 3 \(\Rightarrow\) n = 4