முதல் தளம் \(\overrightarrow{\mathrm{r}} \cdot(2 \hat{\mathrm{i}}-\lambda \hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}})=3\)
இரண்டாவது தளத்தை மாற்றி எழுத,
\(\vec{r} \cdot\left(2 \hat{i}+\frac{1}{2} \hat{j}-\frac{\mu}{2} \hat{k}\right)=\frac{5}{2}\)
இரு தளங்களும் இணையானவை எனவே,
\(-\lambda=\frac{1}{2} \\ \frac{-\mu}{2}=1\\ \therefore \lambda=-\frac{1}{2} ; \mu=-2\)

\(\vec{r}=(\hat{i}-2 \hat{j}-\hat{k})+t(6 \hat{j}-\hat{k})\\ \vec{r}=\vec{a}+t(\vec{b}-\vec{a})\ i.e\ \vec{a}, \vec{b}\\ \vec{a}  =\hat{i}-2 \hat{j}-\hat{k} \\ \vec{b}-\vec{a}  =6 \hat{j}-\hat{k} \Rightarrow \vec{b}=6 \hat{j}-\hat{k}+\vec{a} \\ \vec{b}  =6 \hat{j}-\hat{k}+\hat{i}-2 \hat{j}-\hat{k}=\hat{i}+4 \hat{j}-2 \hat{k}\)
புள்ளிகள் (1,-2,-1) மற்றும் (1,4,-2)

\(d=\sqrt{(1-0)^2+(1-0)^2+(1-0)^2}=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3} \)
கொடுக்கப்பட்டது \(\sqrt{3}=\frac{1}{2}\left|\frac{3+k}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}\right| \)
\(\sqrt{3}=\frac{1}{2}\left|\frac{3+k}{\sqrt{3}}\right| \Rightarrow 6=|3+k| \\ \Rightarrow \pm 6=3+\mathrm{k} \Rightarrow \mathrm{k}=3,-9\)

 \(\vec{a} \times(\vec{b} \times \vec{c})  =\frac{\vec{b}}{\sqrt{2}}+\frac{\vec{c}}{\sqrt{2}} \\ (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b}-(\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c}  =\frac{\vec{b}}{\sqrt{2}}+\frac{\vec{c}}{\sqrt{2}} \\  -\vec{a} \cdot \vec{b}  =\frac{1}{\sqrt{2}} .\)
\( \vec{a} \cdot \vec{b} =\frac{-1}{\sqrt{2}} \\ |\vec{a} \| \vec{b}| \cos \theta =\frac{-1}{\sqrt{2}} \\ \text { (1)(1) } \cos \theta =\frac{-1}{\sqrt{2}} \\ \theta =\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{3 \pi}{4} \)

\(\bar{a}.\bar{c}\) = 1 மற்றும் \(\vec{b}.\vec{c}=1\)
\( (\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}=\lambda \vec{a}+\mu \vec{b} \Rightarrow(\vec{c} \cdot \vec{a}) \vec{b}-(\vec{c} \cdot \vec{b}) \vec{a}=\lambda \vec{a}+\mu \vec{b} \\ \Rightarrow \mu=\vec{c} \cdot \vec{a}=1 \quad \& \quad \lambda=-(\vec{c} \cdot \vec{b})=-1 \\ \mu+\lambda=1-1=0 \)

\( \frac{\vec{a} \cdot(\vec{b} \times \vec{c})}{(\vec{c} \times \vec{a}) \cdot \vec{b}} +\frac{\vec{b} \cdot(\vec{c} \times \vec{a})}{(\vec{a} \times \vec{b})+\vec{c}}+\frac{\vec{c} \cdot(\vec{a} \times \vec{b})}{(\vec{c} \times \vec{b}) \cdot \vec{a}} \\ =\frac{[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]}{[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]}+\frac{[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]}{[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]}-\frac{[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]}{[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]} \\ =1+1-1=1 \)

\( \vec{b} =2 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}, \quad \vec{n}=\hat{i}+\hat{j} \\ \sin \theta =\frac{|\vec{b} \cdot \vec{n}|}{|\vec{b}| \vec{n} \mid}=\frac{2+1+0}{\sqrt{4+1+4} \sqrt{1+1}}=\frac{3}{\sqrt{9} \sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \sin \theta =\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \theta =\sin ^{-1} \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\pi}{4} \)
or 45⁰

கொடுக்கப்பட்ட தளம் \(x+3 y-\alpha z+\beta=0\)
(2, 1, -2) என்ற புள்ளி தளத்தின் மீது அமைந்துள்ளது.
2+3+2 \(\alpha+\beta \) = 0 
\(\Rightarrow 2 \alpha+\beta  =-5\)       ....(1)
\(\vec{r} . \vec{d}=\mathrm{p}, \vec{d}\) என்பது \(\left(b_1, b_2, b_3\right)=(3,-5,2)\) என்ற திசைக் கொசைன் கொண்ட செங்குத்தான வெக்டர் ஆகும்.
\(\therefore b_1 d_1+b_2 d_2+b_3 d_3  =0 \\\Rightarrow 3(1)-5(3)+2(-\alpha)=0 \\ -12-2 \alpha  =0 \Rightarrow \alpha=-6\)
\(\alpha=6 \) என (1) ல் பிரதியிட,
\(2(-6)+\beta=-5 \Rightarrow-12+\beta=-5 \Rightarrow \beta=7\)
எனவே \((\alpha, \beta)=(-6,7)\)

\( \overrightarrow{n_1} =3 \hat{i}-2 \hat{j}+0 \hat{k}, \overrightarrow{n_2}=\hat{i}+\frac{3}{2} \hat{j}+2 \hat{k} \\ \vec{n}_1 \cdot \overrightarrow{n_2} =3-2\left(\frac{3}{2}\right)=3-3=0 \\ \cos \theta =0 \Rightarrow \theta=\frac{\pi}{2} \)

\(\left(\frac{1+\sqrt{3} i}{1-\sqrt{3} i}\right)^{10} =\left[\frac{\cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3}}{\cos \left(-\frac{\pi}{3}\right)+i \sin \left(-\frac{\pi}{3}\right)}\right] ^{10}\)
\( =\left[\cos \left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{3}\right)+i \sin \left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{3}\right)\right] ^{10}\)
\( =\left(\cos \frac{2 \pi}{3}+i \sin \frac{2 \pi}{3}\right)^{10}=\cos \frac{20 \pi}{3}+i \sin \frac{20 \pi}{3} \)
\( =\cos \left(6 \pi+\frac{2 \pi}{3}\right)+i \sin \left(6 \pi+\frac{2 \pi}{3}\right) \)
\( =\cos \left(\frac{2 \pi}{3}\right)+i \sin \left(\frac{2 \pi}{3}\right)=\operatorname{cis} \frac{2 \pi}{3} \)

\( \left(\cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3}\right)^{\frac{3}{4}}=\left[\cos \left(\frac{\pi}{3} \times 3\right)+i \sin \left(\frac{\pi}{3} \times 3\right)\right]^{3/4}\)
\( =\cos \frac{(2 k \pi+\pi)}{4}+i \sin \frac{(2 k \pi+\pi)}{4}, k=0,1,2,3 \)
\(\mathrm{k}=0 \) எனில் \(\cos \frac{\pi}{4}+i \sin \frac{\pi}{4} \)
k = 1 எனில்  \(\cos \frac{3 \pi}{4}+i \sin \frac{3 \pi}{4} \)
k = 2 எனில்  \(\cos \frac{5 \pi}{4}+i \sin \frac{5 \pi}{4}\)
k = 3 எனில் \(\cos \frac{7 \pi}{4}+i \sin \frac{7 \pi}{4} \)
எல்லா மதிப்புகளின் பெருக்குத் தொகை 
\(=\cos \left(\frac{\pi}{4}+\frac{3 \pi}{4}+\frac{5 \pi}{4}+\frac{7 \pi}{4}\right)+i \sin \left(\frac{\pi}{4}+\frac{3 \pi}{4}+\frac{5 \pi}{4}+\frac{7 \pi}{4}\right) \)
\(=\cos 4 \pi+i \sin 4 \pi=1+0=1\)

x² + x + 1 = 0 
தீர்க்கக் கிடைப்பது \(x = {-1 \pm i \sqrt{3} \over 2}\)
\( \omega=\frac{-1+i \sqrt{3}}{2} \) மற்றும் \(\omega^2=\frac{-1-i \sqrt{3}}{2} \)
\( \therefore \alpha^{2020}+\beta^{2020}=(\omega)^{2020}+\left(\omega^2\right)^{2020} \)
\( =\left(\omega^3\right)^{673} \cdot \omega+\left(\omega^3\right)^{1346} \cdot \omega^2 \)
\( =1 \cdot \omega+1 . \omega^2=\omega+\omega^2=-1 \)

\(\frac{z-1}{z+1}\) என்பது முற்றிலும் கற்பனை 
\(\mathrm{z}=x+\mathrm{iy}\) என்க.
\(\frac{z-1}{z+1}=\frac{x+i y-1}{x+i y+1}=\frac{x^2-1+y^2}{(x+1)^2+y^2}+i \frac{2 y}{(x+1)^2+y^2}\)
\(\frac{z-1}{z+1}\) என்பது முற்றிலும் கற்பனை என்பதால்,
\(\operatorname{Re}\left(\frac{z-1}{z+1}\right) =0 \)
\(\therefore \frac{x^2-1+y^2}{(x+1)^2+y^2} =0 \Rightarrow x^2+y^2=1\)
அதாவது \(|z|^2=1 \Rightarrow|z|=1\)

P(x) = x³ + 2x + 3, குறிமாற்றங்கள் இல்லை
மிகை மெய்யெண் மூலங்கள் இல்லை.
P(-x) = - x³ - 2x + 3, ஒரேயொரு குறிமாற்றம் 
ஒரு குறையெண் மூலம்
இதற்கு ஒரு குறையெண் மற்றும் இரண்டு கற்பனை மூலங்கள் உள்ளது.

a < 0 எனில், ஒரே ஒரு குறிமாற்றம் மட்டுமே கிடைக்கும்.

\(\alpha+\beta+\gamma=-p, \quad \alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha=q, \alpha \beta \gamma=-r \)
\(\sum \frac{1}{\alpha}=\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma}=\frac{\beta \gamma+\alpha \gamma+\alpha \beta}{\alpha \beta \gamma}=\frac{q}{-r}\)

\(\mathrm{f}(x)=x^{\mathrm{m}}\) மற்றும் \(g(x)=x^n \) என்க.
படி = m படி = n 
\( (\mathrm{f} \circ \mathrm{g})(\mathrm{x})=\mathrm{f}(\mathrm{g}(x))=\mathrm{f}\left(x^{\mathrm{n}}\right)=\left(x^{\mathrm{n}}\right)^{\mathrm{m}}=x^{\mathrm{mn }} \)
படி = mn 

கொடுக்கப்பட்டது : \(\left| z-\frac { 3 }{ z } \right| \) = 2
|z| ஐ \(\left|\left(z-\frac{3}{z}\right)+\frac{3}{z}\right|\) என எழுதலாம்.
ஏதேனும் இரு காலப்பெண்களுக்கான முக்கோண சமனிலியைப் பயன்படுத்த,
\( || z-\frac{3}{z}|-| \frac{3}{z}|| \leq\left|z-\frac{3}{z}+\frac{3}{z}\right| \leq\left|z-\frac{3}{z}\right|+\left|\frac{3}{z}\right|\)
\(\left|2-| \frac{3}{z}|\leq| z|\leq 2+| \frac{3}{z} \right\rvert\, \)
\( \left.\Rightarrow 2-\left|\frac{3}{z}\right|-|z| \leq 0 \Rightarrow|z|+\frac{3}{\mid z} \right\rvert\,-2 \geq 0\)
\( -2+\left|\frac{3}{z}\right|-|z| \leq 0 \Rightarrow|z|-\frac{3}{|z|}+2 \geq 0\)
\( |z|-2-\frac{3}{|z|} \leq 0\)
|z| = r என்க.
\(\text {(1) } \Rightarrow r^2-2 r+3 \geq 0 \)
B² - 4AC = 4 - 12 < 0, மெய் மூலங்கள் இல்லை 
\(\text {(2) } \Rightarrow r^2+2 r-3 \geq 0 \Rightarrow(r+3)(r-1) \geq 0\)
ie) \(r \in \mathbb{R}-(-3,1)\)
\(\text {(3) } \Rightarrow r^2-2 r-3 \leq 0 \Rightarrow(r-3)(r+1) \leq 0\)
ie) \(r \in[-1,3]\)
(4) மற்றும் (5) லிருந்து, \(r \in[1,3] \Rightarrow|z| \in[1,3]\)
\(\therefore|z|\) ன் மீச்சிறு மதிப்பு 1

வட்டத்தின் சமன்பாடு\((x - 3) ^ 2 + (y + r) ^ 2 = r ^ 2 \) ....(1)
இது (1, -2) என்ற புள்ளி வழிச் செல்கிறது
\( (1-3)^2+(-2+r)^2 =r^2 \\ 4+4-4 r+r^2 =r^2 \Rightarrow r=2 \\ (x-3)^2+(y+2)^2 =4 \)
\((5-3)^2+(-2+2)^2=4 \Rightarrow 4=4\)

P-ன் நியமப்பாதை = y²-ன் இயக்குவரை = 4x
4a = 4
a = 1
இயக்குவரையின் சமன்பாடு x = -a = -1
x = -1

\(|\sqrt {3} + i| = \sqrt {3+1} = 2\)
\(|3 i+4|  =\sqrt{9+16}=5 \)
\(|8+6 i|  =\sqrt{64+36}=10 \)
\(|z|  =\frac{2^3 \times 5^2}{10^2}=\frac{200}{100}=2\)

\(a^2=9, \quad b^2=4 \\  2 x-y=1 \Rightarrow y=2 x-1 \\  m=2 \\  c=\sqrt{a^2 m^2-b^2}=\sqrt{9(4)-4} \\  =\sqrt{36-4}=\sqrt{32} \\  c= \pm 4 \sqrt{2} \\ =\left(\frac{-a^2 m}{c}, \frac{-b^2}{c}\right) \\  =\left(\frac{-9 \times 2}{-4 \sqrt{2}}, \frac{-4}{-4 \sqrt{2}}\right) \text { (or) }\left(\frac{-9 \times 2}{4 \sqrt{2}}, \frac{-4}{4 \sqrt{2}}\right) \\  =\left(\frac{9}{2 \sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right) \text { (or) }\left(\frac{-9}{2 \sqrt{2}}, \frac{-1}{\sqrt{2}}\right) \\ \)

ஒரு கலப்பெண்ணின் இணை கலப்பெண் \(\frac { 1 }{ i-2 } \) 
கலப்பெண் \(z = \frac { 1 }{ -i-2 } = \frac { 1 }{-( i-2) } = \frac { -1 }{( i+2) } \)

x + y = 6 ...(1)
x + 2y = 4... (2) ஆகியவற்றைத் தீர்க்க. 
(1)-(2) -y = 2
y = -2
(1) ⇒ x-2 = 6
x = 8
புள்ளி (8, -2) என்க.
மற்றொரு புள்ளி (6, 2)
\(r = \sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2} \\ =\sqrt{(8-6)^2+(2+2)^2} \\ =\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{4+16} \\ =\sqrt{20}=2 \sqrt{5} \)

\(x ^ 2 + y ^ 2 - 2x - 2y + 1 = 0 \)
2g = - 2
g = - 1
2f = - 2
f = - 1
இணையான கோடு 2x + 4y + \(\lambda\) = 0 என்க. மையம் (-g, -f) = (1, 1) என்பது இக்கோட்டின் மேல் அமைவதால்,
2 + 4 + 2 = 0 ⇒\(\lambda\) = -6
2x + 4y - 6 = 0
x + 2y = 3

\( C A =C B \Rightarrow C A^2=C B^2 \\ (1-1)^2+(0-h)^2 =(2-1)^2+(3-h)^2 \\ h^2 =1+h^2+9-6 h \\ 6 h =10 \Rightarrow h=\frac{10}{6}=\frac{5}{3} \\ =2 h =2\left(\frac{5}{3}\right)=\frac{10}{3} \)

\( L: 3 x-4 y =\mathrm{m} \\ C: x^2+y^2-4 x-8 y-5 =0 \\ (x-2)^2+(y-4) =25 \)
C(2, 4); r = 5
மையத்திலிருந்து தொலைவு < r
\( \left| \frac{ah+bk+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\right|<r\)
\(\left|\frac{3\times 2-4\times 4-m}{\sqrt{9+16}} \right|<r\Rightarrow \left| \frac{-10-m}{5}\right|<5\)
\(-5<\frac{10+m}{5}<5\)
-25 < 10 + m < 25
-25 - 10 < m < 25 - 10
-35 < m < 15

செவ்வகல நீளம்
\( \frac{2 b^2}{a} =8 \\ b^2 =4 a ........ (1) \) 
துணையச்சின் நீளம் 
\( 2 b =\frac{1}{2}(2 a e) \\ b =\frac{a e}{2} \\ b^2 =\frac{a^2 e^2}{4} \)
\( \frac{a^2 e^2}{4} =a^2\left(e^2-1\right) \\ \mathrm{e}^2\left(e^2-1\right) =4 \mathrm{e}^2-4 \\ 3 \mathrm{e}^2 =4 \Rightarrow \mathrm{e}^2=\frac{4}{3} \\ \therefore \mathrm{e} =\frac{2}{\sqrt{3}}\)

\(\sum_{n=1}^{13}\left(i^n+i^{n-1}\right)=  \left(\mathrm{i}^1+\mathrm{i}^2+\mathrm{i}^3+\ldots+\mathrm{i}^{13}\right)+ \left(\mathrm{i}^0+\mathrm{i}^1+\mathrm{i}^2+\ldots+\mathrm{i}^{12}\right) \)
\(=  \mathrm{i}^0+2\left(\mathrm{i}^1+\mathrm{i}^2+\mathrm{i}^3+\ldots+\mathrm{i}^{12}\right)+\mathrm{i}^{13} \)
\(=  1+2(\mathrm{i}-1-\mathrm{i}+1+\ldots+1)+\mathrm{i} \)
\(=  1+2(0)+\mathrm{i}=1+\mathrm{i}\)

\(\mathrm{i}^n+\mathrm{i}^{n+1}+\mathrm{i}^{n+2}+\mathrm{i}^{n+3}  =\mathrm{i}^n\left[1+i+i^2+i^3\right] \)
\( =i^n[1+i-1-i] =i^n(0)=0\)

\(\left[\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 6 & 8 \\ -1 & -2 & -3 & -4 \end{array}\right] \xrightarrow[R_2 \rightarrow R_2-2 R_1]{R_3+R_1}\left[\begin{array}{llll} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]\)
அபூச்சிய நிரைகளின் எண்ணிக்கை = 1
\(\therefore \rho(A)=1\)

\(\mathrm{A}^{\mathrm{T}} =\mathrm{A}^{-1} \Rightarrow \mathrm{AA}^{\mathrm{T}}=\mathrm{I} \)
\({\left[\begin{array}{ll} \frac{3}{5} & \frac{4}{5} \\ x & \frac{3}{5} \end{array}\right]\left[\begin{array}{ll} \frac{3}{5} & x \\ \frac{4}{5} & \frac{3}{5} \end{array}\right] } =\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] \)
\(\frac{3}{5} x+\frac{12}{25} =0\)
\(\frac{3}{5} x=\frac{-12}{25} \Rightarrow x = \frac{-4}{5}\)

\(|\operatorname{adj} \mathrm{A}| =|\mathrm{A}|^{\mathrm{n}-1} \)
\(1(-6+0)-x(-2) =4^2 \)
\(-6+2 x =16 \)
\(2 x=16+6 =22 \Rightarrow x=11\)

A ன் வரிசை 2 x 2 \(A\left[ \begin{matrix} 1 & -2 \\ 1 & 4 \end{matrix} \right] \) என்க.
\(\left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & -2 \\ 1 & 4 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 6 & 0 \\ 0 & 6 \end{matrix} \right] \)
a + b = 6
c + d = 0
-2a + 4b = 0
-2c + 4d = 6
சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கக் கிடைப்பது, 
a = 4, b = 2 c = -1, d = 1
\(A = \left[ \begin{matrix} 4 & 2 \\ -1 & 1 \end{matrix} \right] \)

\(\frac { |adjB| }{ |C| } = \frac {adj |adjA| }{ |3A| } = \frac{|A|^{(n-1)^2}}{3^n|A|}\)
\(= \frac{|A|^{1}}{3^2|A|} = \frac{1}{9} \ \ \ (∵ n = 2)\)

|adj(adj A)| = |A|⁹
\(|A|^{(n-1)^2}=|\mathrm{A}|^9\)
(n - 1)² = 9 = 3²
n - 1 = 3 \(\Rightarrow\) n = 4

\(\therefore \cos 2 u=\cos 2\left(\frac{\pi}{2}\right)=\cos \pi=-1\)

\(  \sin ^{-1}(1)-\sin ^{-1}\left(\sqrt{\frac{3}{x}}\right)   =\frac{\pi}{6} \\ \frac{\pi}{2}-\sin ^{-1} \sqrt{\frac{3}{x}}   =\frac{\pi}{6} \Rightarrow \cos ^{-1} \sqrt{\frac{3}{x}}=\frac{\pi}{6} \\ \sqrt{\frac{3}{x}}   =\cos \frac{\pi}{6} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \sqrt{x}   =2 \Rightarrow x=4  \)
விடை (2) :  \(x^2-x-12=0 \Rightarrow(x-4)(x+3)=0 \) 
\(\Rightarrow x=4,-3\)
விடை (3) :\( x^2+x-12=0 \Rightarrow(x+4)(x-3)=0 \\\)
\(  \Rightarrow x=3,-4\)
 x = 4 க்கு, விடை(2) சரியானது.

\( -1 \leq x^2-3 \leq 1 \\ -1+3 \leq x^2 \leq 1+3 \\ \Rightarrow 2 \leq x^2 \leq 4 \\ \pm \sqrt{2} \leq x \leq \pm 2 \\ \therefore \quad[-2,-\sqrt{2}] \cup[\sqrt{2}, 2] \)

\( \tan ^{-1}\left(\frac{1}{4}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{2}{9}\right)=\tan ^{-1}\left(\frac{\frac{1}{4}+\frac{2}{9}}{1-\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{9}}\right) \\ =\tan ^{-1}\left(\frac{\frac{9+8}{36}}{\frac{36-2}{36}}\right)=\tan ^{-1}\left(\frac{17}{34}\right)=\tan ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) \)

\( \tan ^{-1} x+\cos ^{-1} x =\frac{\pi}{2} \\ \tan ^{-1} x =\frac{\pi}{2}-\cot ^{-1} x=\frac{\pi}{2}-\frac{2 \pi}{5} \\ =\frac{5 \pi-4 \pi}{10}=\frac{\pi}{10} \)

\( \sin ^{-1} x+\sin ^{-1} y+\sin ^{-1} z=\frac{3 \pi}{2}    \therefore x=y=z=1 \\  \left(\because \sin ^{-1}(1)\right.\left.=\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}=\frac{3 \pi}{2}\right) \\   x^{2017}+y^{2018}+z^{2019}-\frac{9}{x^{101}+y^{101}+z^{101}} \\  =1+1+1-\frac{9}{1+1+1} \\  =3-\frac{9}{3}=3-3=0  \)

2sin⁻¹ \(\alpha\) -க்கு ஒரு தீர்வு இருந்தால்
\( -\frac{\pi}{2} \leq 2 \sin ^{-1} \alpha \leq \frac{\pi}{2} \\ -\frac{\pi}{4} \leq \sin ^{-1} \alpha \leq \frac{\pi}{4} \\ \sin \left(\frac{-\pi}{4}\right) \leq \alpha \leq \sin \frac{\pi}{4} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} \leq \alpha \leq \frac{1}{\sqrt{2}} \\ |\alpha| \leq \frac{1}{\sqrt{2}} \)

\( \sin ^{-1} x+\cos ^{-1} x+\cos ^{-1} y+\sin ^{-1} y =\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}=\pi \\ \frac{2 \pi}{3}+\cos ^{-1} x+\cos ^{-1} y =\pi \\ \cos ^{-1} x+\cos ^{-1} y =\pi-\frac{2 \pi}{3} \\ =\frac{3 \pi-2 \pi}{3}=\frac{\pi}{3} \)

\(\sin ^{-1}(\cos x)=\sin ^{-1}\left(\sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right)\right)=\frac{\pi}{2}-x\)