\(s={ 16t }^{ 2 }\) 
\(\cfrac { ds }{ dt } =32t\)
தரையைத் தொடும்போது t = 5 எனில்,
கணப்பொழுது திசைவேகம் \(\cfrac { ds }{ dt } =32(5)\) 
= 160 அடி/வினாடி 

't ' நேரத்தில் இடப்பெயர்ச்சி s = \(\frac{t^{3}}{3}-t^{2}+3\) ஆகும்.
't ' நேரத்தில் திசைவேகம் v = \(\frac{ds}{dt}=t^{2}-2t\) ஆகும்.
't ' நேரத்தில் முடுக்கம் a = \(\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dt}=2t-2\) ஆகும்.
t²-2t=0 அதாவது, t = 0,2 எனும் போது திசைவேகம் பூச்சிய மதிப்பை அடையும். 2t-2=0
அதாவது, t =1 எனும்போது முடுக்கம் பூச்சிய மதிப்பை அடையும்.

f (x) = tan x என்க. f (x) -ன் மெக்லாரனின் விரிவு
\(f(x)=\sum^{n=\infty}_{n=0} a_{n}x^{n}\), இங்கு , \(a_{n}=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\).
f (x) -ன் வகைக்கெழுக்கள் மற்றும் x = 0 -ல் இதன் மதிப்புகள் அட்டவணைப்படுத்தப்பட்டுள்ளன:
இப்பொழுது,
\(f'(x)=\frac{d}{dx}(\tan x)=\sec^{2}(x)\)
\(f''(x)=\frac{d}{dx}\sec^{2}(x))=2\sec x.\sec x.\tan x= 2 \sec^{2}x.\tan x\)
\(f'''(x)=\frac{d}{dx}(2\sec^{2}(x).\tan x)= 2\sec^{2}(x).\sec^{2}x+\tan x.4\sec x.\sec x.\tan x\)
=\(2\sec^{4}x+4\sec^{2}x.\tan^{2}x\)
\(f^{(iv)}(x)=8sec^{3}(x).secx.tan x+4sec^{2}x.2tanx .sec^{2}x+8secx.secx.tanx.tan^{2}x\)
=\(16sec^{4}xtanx+8sec^{2}x.tan^{3}x\)
\(f^{(v)}(x)=16\sec^{4}x.\sec^{2}x+64\sec^{3}x.\sec x.\tan x.\tan x+8 \sec^{2}x.3\tan^{2}x.\sec^{2}x+16\sec x.\sec x.\tan x.\tan^{3}x\)
=\( 16\sec^{6}x+88\sec^{4}x.\tan^{2}x+16\sec^{2}x.\tan^{4}x\).

இம்மதிப்புகளைப் பிரதியிட்டுச் சுருக்க , நமக்குத் தேவையான விரிவை கீழ்க்காணுமாறு பெறலாம்:
\(\tan x=x+\frac{1}{3}x^{3}+\frac{2}{15}x^{5}+...; -\frac{\pi}{2} < x <\frac{\pi}{2} \)

f(x)=log(1+x) என்க. f(x) -ன் மெக்லாரனின் விரிவு  \(f(x) = \sum _{ n=0 }^{ n=\infty }{ { a }_{ n }{ x }^{ n } } \) இங்கு, \(a_{n}=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\) f (x) -ன் வகைக்கெழுக்கள் மற்றும் x = 0 -ல் இதன் மதிப்புகள் அட்டவணைப்படுத்தப்பட்டுள்ளன.

இம்மதிப்புகளைப் பிரதியிட்டுச் சுருக்க , நமக்குத் தேவையான விரிவினை கீழ்க்காணுமாறு பெறலாம்:
\(\log(1+x)=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{4}}{4}+...\)  ; -1 <  x ≤ 1.

5 வினாடிகளில் புகைப்படக் கருவி 400 அடியிலிருந்து விழுகிறது.(கொடுக்கப்பட்டது)
ஃ 2 வினாடியில் சராசரி திசைவேகம் 
= \(\cfrac { s\left( 5 \right) -s(3) }{ 5-3 } \) 
=  \(\cfrac { 16({ 5 }^{ 2 })-16\left( { 3 }^{ 2 } \right) }{ 2 } \) 
= \(\cfrac { 400-144 }{ 2 } \) 
= \(\cfrac { 256 }{ 2 } =128\) அடி/வினாடி 

(i) t வினாடிகளில் புகைப்படக் கருவி விழும் 
தூரம் s=16t²
s=400 அடி 
\(\therefore { 16t }^{ 2 }=400\) 
\({ t }^{ 2 }=\cfrac { 400 }{ 16 } =25\) 
t=5 வினாடி 
ஃ தரையைத் தொடும் முன்னர் புகைப்படக் கருவி எடுத்துக் கொண்ட நேரம் 5 வினாடிகள். 
(ii) 5 வினாடிகளில் புகைப்படக் கருவி 400 அடியிலிருந்து விழுகிறது.(கொடுக்கப்பட்டது)
ஃ 2 வினாடியில் சராசரி திசைவேகம் 
= \(\cfrac { s\left( 5 \right) -s(3) }{ 5-3 } \) 
=  \(\cfrac { 16({ 5 }^{ 2 })-16\left( { 3 }^{ 2 } \right) }{ 2 } \) 
= \(\cfrac { 400-144 }{ 2 } \) 
= \(\cfrac { 256 }{ 2 } =128\) அடி/வினாடி 
(iii) \(s={ 16t }^{ 2 }\) 
\(\cfrac { ds }{ dt } =32t\)
தரையைத் தொடும்போது t = 5 எனில்,
கணப்பொழுது திசைவேகம் \(\cfrac { ds }{ dt } =32(5)\) 
= 160 அடி/வினாடி 

(i) அதிகபட்ச உயரத்தை அடையும் போது துகளின் திசைவேகம் v(t)-ன் மதிப்பு பூச்சியமாகும்.
நாம் இப்பொழுது, t நேரத்தில் துகளின் திசைவேகத்தைக் காண்போம்.
\(v(t)=\frac{ds}{dt}=128-32t\)
\(v(t)=0 \Rightarrow 128-32t=0 \Rightarrow t=4.\)
4 வினாடிக்குப் பின்னர் துகள் அதிகபட்ச உயரத்தை அடைகின்றது.
t = 4-ல் உயரமானது s(4)=128(4)-16(4)²=256 அடிகள் ஆகும்.
(ii) துகள் தரையை தொடும் போது s = 0 ஆகும்.
\(s=0\Rightarrow 128t-16t^{2}=0\)
\(\Rightarrow \) t= 0,8 வினாடிகள்.
தரையினை துகள் t = 8 வினாடிகளில் தொடுகிறது.
அது தரையைத் தொடும் போது அதன் திசை வேகம் v(8) = –128 அடி/வி ஆகும்.

f(x) என்ற சார்பு மூடிய இடைவெளி [2,3]-ல் தொடர்ச்சியானதாகவும், திறந்த இடைவெளி (2,3) -ல் வகையிடத்தக்கதாகவும், மற்றும் , f (2) = 0 = f (3) ஆகவும் உள்ளது.
இப்பொழுது, \(f'(x)=\frac{x^{2}-6}{x(x^{2}+6)} \)
எனவே , \(f'{(c)}=0\)
\(\Rightarrow \frac{c^{2}-6}{c(c^{2}+6)}=0\)
\(\Rightarrow c=\pm\sqrt{6}\)
இப்பொழுது, c = \(\pm\sqrt{6} \in (2,3).\)
\(-\sqrt{6}\notin (2,3)\) எனவே , \(c=\pm\sqrt{6}\)  ஆனது ரோலின் தேற்றத்தை நிறைவு செய்கிறது.
ரோலின் தேற்றத்தினை ஒரு இயற்கணிதச் சமன்பாட்டிற்கு கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளியில் எத்தனை தீர்வுகள் இருக்கும் என்பதனை சமன்பாட்டைத்தீர்க்காமல் காணவும் பயன்படுத்தலாம்.

\(\mathrm{y}=\mathrm{e}^x \sin x, \quad x \in[0,2 \pi] \)
\(=\frac{d y}{d x}=\mathrm{e}^x \cos x+\mathrm{e}^x \sin x\)
\( \mathrm{~S}=\mathrm{e}^x(\cos x+\sin x) \)
\( \frac{d S}{d x}=\mathrm{e}^x(-\sin x+\cos x)+ (\cos x+\sin x) \mathrm{e}^x\)
\(=\mathrm{e}^x(2 \cos x)\)
பெருமம் மற்றும் சிறுமத்திற்கு,
\(\frac{d S}{d x}  =0 \Rightarrow 2 \mathrm{e}^x \cos x=0\)
\(\mathrm{e}^x  =0\) என்பது சாத்தியமல்ல
\(\therefore \cos x  =0 \)
\(x  =\frac{\pi}{2} \in(0,2 \pi)\)
S பெருமம் எனில், \(\frac{d^2 S}{d x^2}\) ஆனது < 0 ஆக இருக்க வேண்டும்.
\(\frac{d^2 S}{d x^2}=2\left[-\mathrm{e}^x \sin x+\cos x \cdot \mathrm{e}^x\right] \)
\( =2 \mathrm{e}^x[\cos x-\sin x] \)
\(x=\frac{\pi}{2}, S^{\prime \prime}=2 e^{\frac{\pi}{2}}[0-1]=-2 e^{\frac{\pi}{2}}<0\)
\( \therefore x=\frac{\pi}{2}\)  ல்,S ஆனது பெரும மதிப்பை அடையும்.

\(f(x)=\sin ^4 x+\cos ^4 x \)
\( f^{\prime}(x)=4 \sin ^3 x \cos x-4 \cos ^3 x \sin x \)
\( f^{\prime}(x)=0 \Rightarrow 4 \sin x \cos x\left(\sin ^2 x-\cos ^2 x\right)=0 \)
\( \sin x=0 \quad \cos x=0 \quad \sin ^2-\cos ^2 x=0 \)
\( x=0 \quad x=\frac{\pi}{2} \quad \sin ^2 x=\cos ^2 x \)
\( x=\frac{\pi}{4} \)
\({\left[0, \frac{\pi}{4}\right], f^{\prime}(x)<0 \Rightarrow \mathrm{f}(x)}\) என்பது குறையும் சார்பு 
\({\left[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right], f^{\prime}(x)>0 \Rightarrow \mathrm{f}(x) }\) என்பது கூடும் சார்பு.

\(\mathrm{y}^2-x y+9  =0 \)
\(2 y \frac{d y}{d x}-\left(x \frac{d y}{d x}+y\right)  =0 \)
\(\frac{d y}{d x}(2 y-x)  =y \)
\(\frac{d y}{d x}  =\frac{y}{2 y-x}\)
தொடுகோடு நிலைகுத்தாக இருக்கும்போது, \(\frac{d y}{d x}=\infty\)
அதாவது \(\frac{y}{2 y-x}=\frac{1}{0} \Rightarrow 2 \mathrm{y}-x=0\)
\(2 \mathrm{y}=x\)
(1)ல் பிரதியியிட,
\(y^2-2 y^2+9  =0 \)
\(y^2  =9 \Rightarrow y= \pm 3\)

\(f(x)  =2 \cos 4 x \)
\(f^{\prime}(x)  =-8 \sin 4 x\)
\(x=\frac{\pi}{12}\) ல் செங்கோட்டின் சாய்வு 
\(=-\frac{1}{-8 \sin 4\left(\frac{\pi}{12}\right)}\)
\(=\frac{1}{8 \sin \frac{\pi}{3}}=\frac{1}{8\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}=\frac{\sqrt{3}}{12}\)

படத்திலிருந்து \(\tan \theta =\frac{y}{40} \Rightarrow y=40 \tan \theta \)
\(\frac{d y}{d t} =40 \sec ^2 \theta \frac{d \theta}{d t} \)
\(10 =40\left(\frac{50}{40}\right)^2 \frac{d \theta}{d t} \)
\(\therefore \frac{d \theta}{d t}=\frac{10 \times 40}{2500}=\frac{4}{25}\) ரேடியன்கள்/வினாடி